1. UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA INGENIERIA MECANICA
“Análisis cinemático, diseño y construcción de una
transmisión didáctica de engranes de tres velocidades”
TESIS PROFESIONAL
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
INGENIERO MECÁNICO
PRESENTA:
ROGER HUATAY GONZALES
ASESOR:
ING. FRANCISCO PEREZ LOAYZA
CAJAMARCA. JULIO 2011
2. Agradecimiento
A Dios, de quien he recibido el más hermoso tesoro que existe: la vida. Quien me
ha enseñado el significado del amor, de la Fe y de la vida sobrenatural. A El,
creador de todo cuanto existe, quien ha iluminado mi camino con su faro protector y
me ha llenado de bendiciones, quien ha devuelto esperanza, paz, amor y alegría a
mi vida, le entrego todo mi corazón y mi agradecimiento.
A mis padres, José Braulio Huatay Ispilco, Lucinda Gonzales Chilòn quienes han
estado a mi lado en las buenas y en las malas, han creído en mí y han dado un
valor especial a mi vida. De quienes he recibido todo el amor que he requerido y
han depositado en mi la semilla que me ha forjado hasta lo que soy. A los seres
universalmente más amados por mi, les agradezco por ser los mejores padres que
pude haber tenido, y les dedico este esfuerzo que no solo ha sido mío, sino mucho
de ello fue de ustedes. ¡Los amo, y gracias!
A mi hermano, Oscar Huatay Gonzales, de quien he recibido todo el apoyo
que he necesitado y quien me ha enseñado con su ejemplo de vida grandes
lecciones que me han ayudado a forjar mi carácter. A la más grande compañero y
amigo que tengo, solamente me resta decirte que te amo, y gracias por ser mi
hermano.
A mi asesor, el Ing. Francisco Pérez Loayza, por forjar en mí los
conocimientos que me han llevado a decidir el ramo por el que se guiará mi vida.
De quien he recibido grandes consejos, y quien me proporcionó todo el apoyo, la
tolerancia y la paciencia para lograr llegar al final de mi camino en esta Facultad.
¡Gracias!
3. por sus acertados consejos y por todos los conocimientos que me
transmitieron en el transcurso de mi estancia en la Facultad. Por su sinceridad y
amabilidad, ¡Gracias!
A todos y cada uno de mis amigos, de quienes he recibido el hermoso e invaluable
tesoro de la amistad, quienes me han brindado sus enseñanzas, su comprensión y
cariño, y que a pesar de todo han creído en mí. A quienes siendo difícil mencionar
aquí no quiero pasar por alto, pero saben que hablo de ustedes. Hermanos, por ser
esas personas que han iluminado mi vida, los quiero y gracias por todo.
A una amiga sumamente especial para mí, quien ha sido mi motivación, mi fuente
de inspiración y una de las tantas razones por las que cada día mi esfuerzo es al
máximo. Por ser una persona que siempre me ha apoyado, me ha comprendido y
aceptado como soy. Durante todo este tiempo mi corazón ha estado en ti, y te
agradezco por la fuerza que me has transmitido, por estar siempre a mi lado y por
ayudarme a volver a sentir lo que es amar.
A todas aquellas personas que de alguna manera me han influenciado y ayudado a
alcanzar este objetivo, el cual es el logro más grande de mi vida.
ROGER HUATAY GONZALES
4. Reconocimientos
A la Universidad de Alas Peruanas, por haberme dado la oportunidad de enfrentar el
mayor reto de mi vida.
A la Facultad de Ingeniería Mecánica, por ser el lugar donde
pude forjar los conocimientos que me serán necesarios para desarrollar mi vida
profesional.
5. Señor Jesús, tú que nos has llamado al honor de contribuir
con nuestra humilde aportación a la obra del apostolado. Tú
que has pedido al Padre Celestial, no quitarnos del mundo
sino guardarnos del mal, concédenos con abundancia tu luz y
tu gracia, para vencer en nosotros mismos el espíritu de las
tinieblas y del pecado. A fin de que, concientes de nuestro
deber, perseverando en el bien e inflamados en el celo por tu
causa, con la fuerza del ejemplo, de la oración, de la acción
y de la vida sobrenatural, nos hagamos cada día más dignos
de nuestra Santa misión, más aptos para establecer y
promover entre los hombres nuestros hermanos, tu reinado
de justicia, de paz y de amor.
6. Índice
CAPÍTULO UNO.- DEFINICIÓN DEL PROYECTO
1.1 Planteamiento del problema .......................................................................... 1
1.2 Justificación ..................................................................................................... 2
1.3 Objetivos .......................................................................................................... 2
1.4 Metodología de desarrollo .............................................................................. 3
CAPÍTULO DOS.- INTRODUCCIÓN
2.1 Revisión histórica ............................................................................................ 4
2.2 Trenes de mecanismos .................................................................................... 5
2.2.1 Trenes de engranajes ........................................................................... 5
2.3 Cambio de velocidades ................................................................................... 6
CAPÍTULO TRES.- DESCRIPCIÓN DE LA CAJA DE CAMBIOS DE TRES
VELOCIDADES
3.1 Introducción .................................................................................................... 7
3.2 Tipos de cajas de cambios
3.2.1 Cajas automáticas ................................................................................ 7
3.2.2 Cajas manuales .................................................................................... 8
3.3 Principio de funcionamiento de la caja de cambios de tres velocidades
sin sincronizadores .......................................................................................... 10
3.4 Funcionamiento real de la caja de cambios de tres velocidades con
sincronizadores ................................................................................................ 15
CAPÍTULO CUATRO.- CONCEPTOS CINEMÁTICOS
4.1 Sistemas de referencia y vectores posición ................................................... 22
4.2 Características de un vector posición ............................................................ 23
4.3 Derivada de un vector respecto al tiempo .................................................... 23
4.3.1 Derivada de un vector referido a un sistema fijo ............................. 23
4.3.2 Derivada de un vector referido a un sistema móvil ......................... 24
4.4 Velocidad de un punto específico .................................................................. 27
4.5 La ley fundamental del engrane .................................................................... 28
4.6 Descripción cinemática del movimiento de un engrane ............................. 30
CAPÍTULO CINCO.- ANÁLISIS CINEMÁTICO DE LA CAJA DE TRES
VELOCIDADES
5.1 Descripción ...................................................................................................... 33
5.2 Análisis de la transmisión del eje impulsor al eje auxiliar ......................... 38
5.3 Análisis de la velocidad de salida en reversa ................................................ 40
5.4 Análisis de la velocidad de salida en posición primera ............................... 44
5.5 Análisis de la velocidad de salida en posición segunda ............................... 46
5.6 Análisis de la velocidad de salida en posición tercera ................................. 48
I
7. ⁄ndice
5.7 Análisis de la velocidad de salida en posición neutral ................................ 49
5.8 Análisis considerando número de dientes .................................................... 49
CAPÍTULO SEIS.- DESCRIPCIÓN DEL PROTOTIPO
6.1 Objetivo del prototipo ..................................................................................... 51
6.2 Diseño del prototipo ....................................................................................... 51
6.3 Imágenes del prototipo ................................................................................... 54
CAPÍTULO SIETE.- CONCLUSIONES
7.1 Los conocimientos del ingeniero mecánico .................................................. 57
7.2 Análisis del proyecto de tesis ......................................................................... 58
7.3 Relaciones de transmisión obtenidas ............................................................ 59
APÉNDICE A.- PRÁCTICA SOBRE EL PROTOTIPO
APÉNDICE B.- DIBUJO DE ENSAMBLE DEL PROTOTIPO
BIBLIOGRAFÍA
II
8. Capítulo Uno
Definición del Proyecto
En nuestra convicción como seres humanos, debemos tener una apertura sin prejuicios para
buscar y aceptar la verdad venga de donde venga, esté donde esté y nos lleve a donde nos lleve.
Una descripción general del contenido de esta Tesis es presentada en este capítulo,
con la finalidad de puntualizar los objetivos, justificaciones y la manera como se llevó a cabo su
realización.
1.1 Planteamiento del problema
Uno de los grandes retos a los cuales el hombre se enfrenta día con día es el
entendimiento de los fenómenos que existen en el universo. Ha llegado a su fin un siglo que
la historia recordará por sus grandes avances tecnológicos y científicos, dentro de los cuales
se encuentra el desarrollo que la industria automotriz ha logrado.
Entre los inventos más importantes que el hombre ha realizado se encuentra la
rueda, con la cual se desarrollaron los primeros medios de transporte impulsados por la
fuerza de animales, hasta que la revolución industrial trajo al mundo nuevas fuentes de
producción de energía con las cuales se pudieron crear los primeros automóviles de motor.
Los automóviles son dispositivos complejos formados por muchos sistemas
mecánicos, los cuales han realizado el trabajo para el que fueron concebidos de la manera
más adecuada. Sin embargo, estas maravillas modernas han nacido gracias al estudio que la
ingeniería ha realizado.
Los elementos vitales en la estructura y conformación de un automóvil son
principalmente mecánicos. La Ingeniería Mecánica ha sido la responsable de diseñar y
mejorar estos mecanismos, para poder lograr que cada vez se realice un mejor trabajo con
un menor esfuerzo.
Debido a esta realidad, es indispensable que el ingeniero en esta rama comprenda la
conformación y los principios de funcionamiento de los diversos elementos básicos
existentes en un automóvil.
La necesidad que este proyecto de tesis cubre es el entendimiento de las bases de
funcionamiento de una transmisión de engranajes de un automóvil, debido a que este es uno
de los elementos más vitales en la producción de movimiento. Además, servirá de
Página Número1
9. Definición del Proyecto
referencia a los futuros estudiantes de ingeniería mecánica y personas interesadas en este
tema.
1.2 Justificación
Al realizar los estudios en ingeniería mecánica, el estudiante se enfrenta
frecuentemente al problema de comprender la manera en la que funcionan algunos
dispositivos mecánicos, esto debido a la falta de experiencia o de medios para conocer
físicamente tales aparatos.
En este proyecto se plantea la meta de mostrar al estudiante de una manera sencilla
el funcionamiento de una caja de velocidades, pero sin sacrificar el rigor matemático; para
que pueda realizar un análisis cinemático de un sistema como éste y entenderlo a detalle.
1.3 Objetivos
Los objetivos principales que se pretenden alcanzar con este proyecto son:
1. Dar a conocer al estudiante un panorama global de las transmisiones automotrices.
2. Que el estudiante comprenda el principio de operación de una caja de velocidades, y
conozca la manera como se conforma y funciona una caja real de tres velocidades.
Para esto, se apoyará en un prototipo didáctico que ha sido diseñado
específicamente para que se pueda visualizar dicho principio.
3. Realizar un análisis cinemático por el método de vectores de posición de una caja de
engranajes de tres velocidades y reversa, comenzando por un repaso a los conceptos
cinemáticos y posteriormente se analiza paso a paso las velocidades existentes en
este tipo de mecanismos, para que el estudiante pueda comprender el porqué y como
se generan las relaciones de transmisión usadas en el medio automotriz y los
métodos para obtenerlas.
4. Esta tesis pretende ser un documento que el estudiante utilice como referencia
bibliográfica de apoyo en su estudio, brindando los datos técnicos referentes a esta
materia.
5. Que el estudiante obtenga un conocimiento global que le de una visión amplia como
ingeniero mecánico.
Capítulo Uno Página Número2
10. Definición del Proyecto
1.4 Metodología de Desarrollo
En el desarrollo de este proyecto se realizaron las siguientes actividades:
1. Investigación bibliográfica.
2. Investigación de campo, visitando lugares como talleres o centros de servicio
automotriz para recopilar información.
3. Investigación documental por medio de películas documentales, revistas o medios
electrónicos como la Internet.
4. Entrevista con personas que conozcan estos temas como ingenieros, maestros,
técnicos, etc.
5. Diseño conceptual de la caja de tres velocidades empleando dibujos en CAD.
6. Estudio de los conceptos cinemáticos aplicables al análisis de un mecanismo de este
tipo.
7. Elaboración del análisis cinemático del tren de engranes de tres velocidades y
reversa.
8. Diseño de un prototipo, basado en el diseño conceptual realizado por medio de
gráficos CAD.
9. Elaboración de los dibujos de fabricación de dicho prototipo empleando dibujo en
AutoCAD.
10. Fabricación del prototipo en taller.
11. Desarrollo de una práctica que ayude a reforzar los conocimientos adquiridos por la
persona que utilice esta tesis como referencia bibliográfica.
Capítulo Uno Página Número 3
11. Capítulo Dos
Introducción
La mejor manera de predecir el futuro es crearlo.
-
Para comprender el funcionamiento de las cajas de velocidades es necesario conocer el
elemento indispensable que las integra: los trenes de engranajes. En este capítulo se presenta
una introducción a estos sistemas mecánicos.
2.1 Revisión histórica
El desarrollo de los engranes ha sido un proceso de evolución continua mediante el
cual, las ruedas dentadas diseñadas por Leonardo Da Vinci, se han ido perfeccionando
hasta obtener los eficientes y precisos sistemas de engranes empleados en las modernas
cajas de transmisión de potencia.
Existen numerosos trabajos que presentan la historia de los engranes. Los primeros
intentos por concebir un engrane se remontan al siglo IV A.C. Sin embargo, la forma
correcta del perfil del diente, requerida para engranes que giren suavemente y con
relaciones de velocidad casi constantes, se obtuvo hasta el siglo XVII D.C.
El ingenio del hombre y la búsqueda del conocimiento le llevaron a soñar con la
idea de construir una máquina que pudiera viajar libremente con fuerza propia. El primer
antecesor de los automóviles actuales se construyó en Francia en la segunda mitad del siglo
XVIII: era un tractor de vapor.
Al pasar de los años, los inventores decidieron que los motores nuevos deberían
tener un vehículo especialmente diseñado. En 1892 se construyó el primer automóvil
verdadero, el cual tenía un lugar especial para el motor, e inclusive tenía embrague y caja
de velocidades, lo cual comenzó a ser imitado por otros fabricantes.
De esta manera es como la transmisión de potencia por medio de engranajes
comenzó a formar parte del medio automovilístico. Hoy día, estos elementos mecánicos
brindan al automóvil un mejor aprovechamiento de la fuerza del motor, implementando
sistemas de alta tecnología como microcomputadoras y sistemas hidráulicos para cambios
automatizados de velocidades, pero su principio de funcionamiento básico sigue siendo el
mismo que hace dos siglos.
Página Número4
12. Introducción
2.2 Trenes de mecanismos
Puesto que el objetivo primordial de las máquinas es transformar la energía, todas
ellas deberán tener como constituyente un mecanismo o una serie de mecanismos entre el
punto en el que se recibe la energía y aquel en que se suministra para su utilización. Del
mismo modo, los mecanismos, tanto si forman parte integral de las máquinas, como si se
emplean meramente con su función primaria de modificadores de movimiento, están
formados por combinaciones de órganos dispuestos en cadena. Estas cadenas reciben el
nombre de trenes de mecanismos. Estos trenes pueden estar constituidos por una gran
variedad de componentes: mecanismos articulados, levas, engranajes, cadenas, cuerdas,
correas, etc.
Cuando la distancia entre los ejes que hay que conectar es relativamente grande, se
pueden utilizar cuerdas, correas o cadenas. Si esa distancia es relativamente pequeña y se
requiere una transmisión segura se usan los engranajes. Cuando este último requisito no es
esencial, pero la distancia es demasiado pequeña para que resulte ventajoso el empleo de
uniones flexibles, como correas, etc., se emplean algunas veces las ruedas de fricción. Con
un tren de mecanismos es prácticamente posible conseguir cualquier resultado deseado,
tales como el plano, dirección y tipo de movimiento final (giratorio, alternativo, continuo,
intermitente, etc.). Los trenes de mecanismos se hallan en toda clase de máquinas y, al
conectar la fuente de energía con el elemento que la va a utilizar, debe satisfacer, por
separado o en combinación, las exigencias de ventaja mecánica, una determinada relación
de velocidades, flexibilidad de empleo y tener medidas compactas.
2.2.1 Trenes de engranajes
Si el movimiento se transmite enteramente por medio de engranajes, la combinación
de éstos es llamada un tren de engranajes. Dos arreglos comúnmente utilizados son: los
simples y los compuestos. En un tren de engranajes simple, cada eje del mecanismo lleva
una sola rueda, como se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1 – Tren de engranajes simple
Capítulo Dos Página Número5
13. Introducción
En un tren de engranajes compuesto cada eje, excepto el primero y el último, lleva
dos ruedas solidarias entre sí, como se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2 – Tren de engranajes compuesto
Además de estos arreglos, existen trenes de engranajes Epicíclicos y Planetarios.
Un tren epicíclico es aquel arreglo de engranes en el cual, el centro de un engrane (llamado
engrane planeta) se mueve en un círculo alrededor del centro de otro engrane (llamado
engrane sol), mientras que las velocidades angulares de ambos engranes (respecto a un
tercer cuerpo fijo) mantienen una relación constante. Un tren planetario es aquel en el cual,
dos o mas engranes coaxiales independientes son engranados con varios ensambles de
engranes similares (planetas) montados en ejes intermedios, los cuales están fijos en
elementos conductores.
2.3 Cambio de velocidades
Para que un automóvil inicie su movimiento, se requiere que el motor proporcione
una potencia que pueda empujar su peso; esto se logra con un incremento en el torque que
entrega el motor a las ruedas, y por consiguiente una disminución en la velocidad angular.
Pero una vez que dicho vehículo se encuentra en movimiento, ya no es necesario aumentar
el torque, sino que el motor necesita proporcionar suficiente velocidad angular para
incrementar la cantidad de movimiento del automóvil. Esta doble función que se requiere
obtener del motor se logra por medio de una caja de velocidades.
El objetivo primordial de una caja de velocidades es transformar las características
mecánicas (torque y velocidad angular) de la potencia que se transmite del motor hacia las
ruedas.
Capítulo Dos Página Número6
14. Capítulo Tres
Descripción de la caja de cambios
de tres velocidades
En este capítulo se presenta un panorama general de las cajas de cambios empleadas
más comúnmente en el mercado internacional, y se estudia el principio de funcionamiento de las
cajas manuales de tres velocidades, finalizando con una revisión de la manera real como
trabajan estos dispositivos mecánicos.
3.1 Introducción
En la transmisión y caja de cambios del automóvil subsiste, en esencia, mucho de lo
que existía en los años cincuenta. Es decir, existe una caja de cambios entre el elemento que
proporciona la energía y el eje de transmisión, que se encarga de hacerla llegar a las ruedas
del vehículo. La caja de cambios hace que el par y la velocidad angular del eje de
transmisión se ajusten a los deseos del conductor y a las necesidades de maniobra. El eje de
transmisión transmite la energía al diferencial, a través del cual llega hasta las ruedas.
Sin embargo, recientemente se ha avanzado mucho en materia de cajas de cambios y
trenes de transmisión, lo cual se hace evidente, especialmente en cajas de cambios
automáticas, que hoy alcanzan un alto grado de complejidad. Los cambios de velocidades
se realizan tan suavemente y con una respuesta tan rápida a las condiciones de
funcionamiento requeridas que el conductor apenas los percibe. La obtención de tal
suavidad es debida a un cuidadoso diseño de los controles de la caja de cambios automática
del motor y del vehículo, así como a la adición de nuevos y más sutiles dispositivos de
control.
3.2 Tipos de cajas de cambios
3.2.1 Cajas automáticas
En una caja de cambios automática no hay embrague; en su lugar, un convertidor
hidráulico de par transmite la fuerza del motor a la caja de cambios y, de aquí, pasa a las
ruedas. El conductor sólo tiene que seleccionar la posición en la palanca y, en función a
una ley preestablecida, el cambio pasa a una marcha o velocidad superior al alcanzar un
régimen determinado. Pero también se puede forzar una reducción pisando a fondo el
acelerador o seleccionando manualmente una velocidad inferior en la palanca de cambios.
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15. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Actualmente, las cajas de cambio automáticas cuentan con control electrónico y
varios programas de funcionamiento: uno deportivo en donde el cambio ocurre a un alto
nivel de revoluciones del motor para poder aprovechar su máxima potencia; otro económico
en el que los cambios ocurren de manera muy rápida para consumir menos combustible; y
otro denominado invierno que selecciona la segunda velocidad para arrancar y así evitar la
pérdida de tracción de las llantas.
La principal diferencia de una caja de cambios automática con una manual es que se
utilizan unos engranajes especiales, comúnmente conocidos como trenes planetarios o
epicicloidales. Están formados por tres elementos: un piñón central denominado planetario,
una corona exterior y tres piñones denominados satélites, que giran entre los dos anteriores.
Si estos tres elementos giran libremente, no transmiten movimiento, pero sí lo hacen
cuando se bloquea uno de ellos. Cada elemento del engranaje epicicloidal puede recibir la
fuerza del motor, y cualquiera de los otros dos transmitirla al diferencial. Una caja
automática consta de dos, tres o incluso más trenes de engranajes epicicloidales, uno tras
otro, sobre el eje de entrada y salida. La conexión entre ellos se realiza mediante discos
circulares de fricción. En las cajas automáticas, la fuerza para cambiar de velocidad no
proviene del movimiento de la palanca, sino de una bomba hidráulica.
La segunda diferencia entre una caja automática y una manual, es que en la primera
no hay embrague, sino que se recurre a un convertidor hidráulico de par. En este sistema no
existe una unión mecánica entre motor y la caja automática de cambios, sino que se
aprovecha la fuerza centrífuga que actúa sobre el aceite para transferir la fuerza giratoria
del motor al eje impulsor de la caja de cambios. El convertidor consta de tres elementos que
forman un anillo toroidal cerrado, en cuyo interior está el aceite. El impulsor o bomba tiene
forma de disco, cuenta con aspas curvadas en su interior y está unido al ci al. La turbina es
similar, pero está unida al eje seguidor de la caja de velocidades. Por último, el estator o
reactor está entre los dos platillos anteriores, va acoplado al primario del cambio, pero sólo
gira en una dirección. En la figura 3.1 se muestra esquemáticamente una caja automática
con sus partes más representativas.
3.2.1 Cajas manuales
Básicamente, un cambio de velocidades consiste en lograr una combinación de
varios trenes de engranajes con distinto número de dientes y, por lo tanto, diferente valor de
reducción o aumento. El eje por el que llega el movimiento del motor a la caja de cambios a
través del embrague se denomina eje primario, eje conductor o eje impulsor. El eje por el
que sale el movimiento de la caja de velocidades hacia el diferencial se llama eje
secundario, eje conducido o eje seguidor. De las combinaciones diferentes entre los piñones
que hay en los ejes se obtienen las distintas velocidades: la primera es la de mayor
reducción, es decir, la que proporciona menor velocidad en el eje de salida hacia las ruedas.
Se llama directa a la marcha en la que el eje impulsor gira a la misma velocidad que el eje
seguidor.
Capítulo Tres Página Número 8
16. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.1 – Caja de cambios automática [1]
Las parejas de piñones están siempre engranadas, y lo que se hace es escoger cuál es
la que transmite la fuerza del motor a las ruedas mediante el movimiento de la palanca de
cambios. También se puede seleccionar una posición en la que ningún par de piñones
transmite la fuerza del motor –punto muerto o neutral– o invertir el sentido de giro en el
caso de la reversa.
Para la correcta conexión o desconexión de las parejas de piñones, al insertar las
marchas se utilizan unos acoplamientos especiales denominados sincronizadores. Estos son
dispositivos mecánicos que permiten que dos ruedas engranen a la misma velocidad de
giro, pues engranar piñones que giran a velocidades diferentes provoca roces, desgaste y
ruidos. Por este motivo se utilizan piñones con dientes helicoidales, pues engranan con
mayor suavidad y más precisión que los de dientes rectos. Los sincronizadores son
dispositivos en forma de anillos cónicos que hacen rozar al piñón contra el eje antes de que
ambos queden solidarios, igualando las velocidades de giro por rozamiento de una pieza
contra la otra. Aunque este proyecto de tesis se enfoca al estudio de una caja de cambios
manual de tres velocidades, la figura 3.2 ilustra esquemáticamente una caja de cambios
manual de cuatro velocidades para tracción delantera con sus principales partes indicadas.
Capítulo Tres Página Número 9
17. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Aunque hoy en día la mayoría de las cajas de velocidades vienen selladas y
lubricadas de por vida, conviene tener en cuenta que los aceites utilizados deben cumplir
con una serie de características fundamentales, diferentes de las del lubricante que se utiliza
para el motor. Al igual que estos últimos, tienen funciones de refrigeración y antidesgaste,
pero la presión a que se ven sometidas las moléculas del aceite entre los dientes de los
engranajes hace necesaria una gran resistencia del lubricante a la compresión. Además, hay
elementos en las juntas, retenes, sincronizadores, etc., que son más débiles que el metal, por
lo que el aceite debe ser resistente a la corrosión pero sin atacar químicamente al resto de
los materiales.
A cada una de las distintas velocidades obtenidas de la caja de cambios les
corresponde una combinación entre parejas de piñones. La relación de tamaño que existe
entre el número de dientes de cada engranaje con su pareja determina la relación de cambio.
3.3 Principio de funcionamiento de la caja de cambios de
tres velocidades sin sincronizadores
Existen muchos tipos de cajas de cambios manuales. Algunos de los más sencillos
se encuentran en los automóviles de turismo. En autobuses y camiones se emplean otros
tipos más complicados. Sin embargo, todas las cajas de cambios manuales tienen un
funcionamiento similar, aunque su construcción sea diferente.
El principio de funcionamiento para una caja de cambios de tres velocidades sin
sincronizadores se basa en tres ejes y ruedas dentadas o piñones de varios diámetros. Para
explicarlo, se consideran solamente las piezas móviles, es decir, sin tomar en cuenta el
alojamiento, los rodamientos ni los sincronizadores.
Cuatro de los piñones están rígidamente unidos al eje intermedio. Estos son el piñón
impulsor, el de segunda, el de primera y el de marcha atrás. El eje impulsor gira
independientemente al eje seguidor. Cuando se acopla el eje impulsor hace girar el piñón
impulsor del eje auxiliar y con él, el propio eje y los demás engranajes acoplados a él. Este
eje auxiliar gira en sentido contrario al del eje impulsor. Cuando los engranajes están en la
posición de neutral o punto muerto, como se indica en la figura 3.3, y el automóvil está
detenido, el eje seguidor de transmisión no gira. Este eje transmite el movimiento a las
ruedas del coche a través del diferencial. Los piñones del eje seguidor de transmisión
pueden desplazarse sobre el mismo, a lo largo de unas estrías, accionando la palanca de
cambios desde la posición del conductor. Estas estrías tienen dientes interiores y exteriores,
los cuales permiten un desplazamiento axial de los piñones y al mismo tiempo, que el eje
gire solidariamente con ellos.
Las figuras mostradas representan una palanca de cambios de consola, debido a que
ilustran mejor la acción de la misma en el cambio de engranajes.
Capítulo Tres Página Número 10
18. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.2 –Caja de cambios manual de cuatro velocidades [1]
Capítulo Tres Página Número 11
19. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Primera velocidad
Cuando se acciona la palanca de cambio para situar los engranajes en la posición de
primera, se desplaza el piñón más grande del eje seguidor de transmisión a lo largo del
mismo hasta que engrana con el piñón pequeño del eje auxiliar. Para efectuar esta
operación, previamente se desacopla del motor el eje del impulsor, con lo que, tanto éste
como el eje auxiliar dejan de girar. Cuando se vuelve a acoplar el motor, el piñón impulsor
del eje impulsor hace girar el eje seguidor de transmisión, a través del eje auxiliar. Como
éste gira más despacio que el eje impulsor, y su piñón más pequeño está engranado con el
más grande del eje seguidor de transmisión, se consigue una relación de transmisión de
aproximadamente 3:1; es decir, el eje impulsor da tres vueltas por cada una que da el eje
seguidor de transmisión. La figura 3.4 muestra la combinación para primera velocidad.
Segunda velocidad
Cuando se coloca la palanca de cambios en posición de segunda, como muestra la
figura 3.5, el piñón grande del eje seguidor de transmisión se desengrana del piñón pequeño
del eje auxiliar; y el piñón más pequeño del primero se desplaza hasta engranarlo con el
piñón grande del segundo. Esto proporciona una relación de transmisión algo más reducida.
Figura 3.3 – Caja de cambios con los engranajes en posición neutral. El eje impulsor gira independiente al
eje seguidor
Capítulo Tres Página Número 12
20. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.4 – Caja de cambios con los engranajes en posición de primera. El eje impulsor gira
independiente al eje seguidor
Tercera velocidad o directa
Cuando se cambia a directa, como se muestra en la figura 3.6, los dos piñones del
eje seguidor de la transmisión se desengranan de los del eje auxiliar, y el piñón de segunda
y tercera de aquél presiona axialmente contra el piñón impulsor. Los dientes situados a los
lados de los dos piñones engranan, para que el eje seguidor de la transmisión pueda girar
con el eje impulsor, obteniéndose una relación de 1:1.
o
Figura 3.5 – Caja de cambios con los engranajes en posición de segunda. El eje impulsor gira
independiente al eje seguidor
Capítulo Tres Página Número 13
21. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
o
Figura 3.6 – Caja de cambios con los engranajes en posición de tercera. El eje impulsor gira
independiente al eje seguidor
Reversa
Cuando los engranajes se colocan en la posición de reversa, como lo muestra la
figura 3.7, el piñón grande del eje seguidor de transmisión engrana con el piñón intermedio
de reversa, el cual se encuentra permanentemente engranado con el piñón pequeño que hay
en el extremo del eje auxiliar. Interponiendo este piñón loco entre el de este eje y el del eje
seguidor de transmisión, hace que éste gire en sentido contrario, es decir, en el mismo
sentido que el eje auxiliar.
edio
Figura 3.7 – Caja de cambios con los engranajes en posición de marcha atrás. El eje impulsor gira
independiente al eje seguidor
Capítulo Tres Página Número 14
22. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
En esta descripción se subrayan los principios básicos de toda caja de cambios sin
considerar sincronizadores; sin embargo, en los automóviles modernos, los tipos utilizados
son algo más complejos. En ellos se incluyen piñones helicoidales y cambios de engranajes
con dispositivos de sincronización de la rotación de los piñones que van a engranar. Con
ello se elimina el ruido de los piñones y se facilita la operación de cambio de velocidad.
3.4 Funcionamiento real de la caja de cambios de tres
velocidades con sincronizadores
La caja de cambios proporciona un medio para hacer variar la relación de engrane.
De esta forma, el cigüeñal puede girar cuatro, ocho o doce veces por cada revolución de las
ruedas (considerando también la reducción producida por el diferencial). Además, va
provisto de un piñón inversor que permite la marcha atrás. La figura 3.8 muestra la
localización de la caja de velocidades en el automóvil.
Figura 3.8 – Localización de la caja de velocidades en el eje de transmisión [1]
El cambio de velocidad tiene lugar cuando, mediante el accionamiento de la palanca
de cambios, se acciona una de las palancas de cambios (28 o 29 de la figura 3.9). La figura
3.10 muestra la sección lateral de la caja de cambios. En cualquier cambio de velocidades,
la palanca realiza tres funciones:
1. Selecciona el conjunto de engranajes a mover.
2. Desplaza dicho conjunto de engranajes en la dirección adecuada para que engranen
los piñones apropiados.
3. Evita el posible engrane de dos velocidades diferentes a la vez.
Capítulo Tres Página Número 15
23. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.9 – Vista superior en sección de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante [3]
1. Retén del cojinete del piñón del 13. Cojinete posterior del eje 25. Muelle del retén.
embrague. principal.
2. Cojinete del piñón del embrague. 14. Piñón de ataque del velocímetro. 26. Bola del retén.
3. Piñón del embrague. 15. Eje principal. 27. Sello de aceite.
4. Resorte activante. 16. Casquillo. 28. Palanca de cambio de segunda
y tercera.
5. Eje loco de marcha atrás. 17. Sello de aceite. 29. Palanca de cambio de primera y
marcha atrás.
6. Piñón loco de marcha atrás. 18. Rodillos del cojinete guía anterior. 30. Tapa lateral.
7. Manguito del embrague de 19. Arandela de empuje. 31. Horquilla de cambio de primera y
segunda y tercera. marcha atrás.
8. Piñón deslizante de primera y 20. Arandela de empuje. 32. Retén de enclavamiento.
marcha atrás.
9. Clavija del eje loco de marcha 21. Rodillos del cojinete guía 33. Dedo de arrastre de la arandela
atrás. posterior. de empuje.
10. Piñón de segunda. 22. Anillo sincronizador. 34. Adaptador del eje del
velocímetro.
11. Arandela de empuje. 23. Horquilla de cambio de segunda 35. Platina.
y tercera.
12. Prolongación de la caja. 24. Eje de cambio de segunda y
tercera.
La caja de cambios de tres velocidades representada en las figuras 3.11 a 3.15 está
dotada de sistema de sincronización para sus tres velocidades hacia delante. El
sincronizador permite cambiar a primera con el vehículo en movimiento sin que se
produzcan choques de los piñones. Están representadas las posiciones que ocupan los
diversos engranajes, así como los embragues de tambor de sincronización (también
llamados manguitos de sincronización) para las varias velocidades existentes. Por ejemplo,
al cambiar a primera, se desplazan hacia delante el piñón y el manguito de primera y
Capítulo Tres Página Número 16
24. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
marcha atrás (figura 3.12). Con este movimiento, se empuja la superficie cónica del anillo
de bloqueo del sincronizador contra el cono que engrana con el piñón de primera. Con el
vehículo en movimiento, los dientes internos del manguito no engranan con los existentes
alrededor del cubo del piñón de primera, hasta que tanto éste como aquél, giren a la misma
velocidad. Esta velocidad de engrane se consigue mediante el rozamiento de las superficies
cónicas situadas en el manguito y en el piñón. Una vez que alcanzan ambos la misma
velocidad, el manguito puede desplazarse longitudinalmente para hacer engranar los dientes
de su superficie interior con los situados en el exterior del cubo del piñón de primera.
El piñón de primera está engranado permanentemente con el piñón del eje auxiliar,
así que, al volver a embragar, la energía del motor se transmitirá a través del eje impulsor y
el engranaje (piñón del embrague), eje auxiliar, piñón de primera y eje seguidor.
Figura 3.10 – Vista lateral en sección de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante [3]
1. Retén del cojinete del piñón motriz 11. Cojinete posterior del eje 21. Arandela de empuje.
principal del embrague. principal.
2. Cojinete del piñón motriz principal 12. Prolongación de la caja. 22. Cojinete de rodillos.
del embrague.
3. Piñón motriz principal del 13. Eje principal. 23. Conjunto de la transmisión
embrague. intermedia.
4. Resorte activante. 14. Rodillos del cojinete guía anterior. 24. Deflector de aceite.
5. Anillo de sincronización. 15. Arandela de empuje. 25. Piñón loco de marcha atrás.
6. Acoplamiento de segunda y 16. Anillo de retención. 26. Adaptador del eje del medidor
tercera. de velocidad.
7. Piñón deslizante de primera y 17. Arandela de empuje. 27. Eje del piñón conducido del
marcha atrás. medidor de velocidad.
8. Caja de cambios. 18. Rodillos del cojinete guía 28. Platina.
posterior.
9. Piñón de segunda. 19. Arandela de empuje.
10. Arandela de empuje. 20. Eje intermedio.
Capítulo Tres Página Número 17
25. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
El acoplamiento de los piñones de segunda y tercera es parecido, excepto por el
cambio en la relación de transmisión. Las figuras 3.14 y 3.15 muestran las direcciones en
que se mueve el segundo y tercer sincronizador cuando se cambia, respectivamente, a
segunda o tercera velocidad. Cuando se pone la reversa, el piñón deslizante de primera y
reversa se desplaza hacia la parte trasera, como se puede ver en la figura 3.13, para que de
este modo el piñón de marcha atrás del eje principal engrane con el piñón loco de marcha
atrás. Esto significa interponer un piñón suplementario en el tren de engranajes, para que la
rotación del eje de salida se invierta y el coche retroceda.
El sistema de sincronización asegura un engrane sin ruido. La figura 3.11 muestra la
caja de tres velocidades en su posición neutral.
Cambio a primera velocidad
Cuando se coloca la primera velocidad, la palanca de cambios tiene dos acciones.
Primero, se selecciona la palanca de cambio correspondiente a primera y marcha atrás.
Entonces, la acción sobre esta palanca hace que la horquilla de primera y marcha atrás se
desplace hacia la izquierda, con lo cual se consigue que el engranaje de primera y marcha
atrás también se desplace hacia la izquierda (es decir, hacia la parte delantera del coche). Al
moverse en esta dirección, engrana con el piñón intermedio correspondiente a la primera
velocidad. Cuando el embrague se acopla, el piñón que va montado en el eje del mismo
transmite el movimiento de rotación al engranaje de primera y marcha atrás a través del
piñón intermedio conducido, el piñón motriz de primera, como muestra la figura 3.12. Esta
energía de rotación pasa al eje principal a través del tambor (o manguito) del embrague de
segunda y tercera, el cual se mantiene en posición mediante la horquilla de estas dos
velocidades, para que así no pueda desplazarse hacia el eje principal. El piñón de primera y
marcha atrás, el tambor del embrague y el eje principal giran como una unidad solidaria,
puesto que no existe ningún movimiento relativo entre ellos.
Cambio a reversa
La marcha atrás se consigue desplazando el piñón de primera y marcha atrás hacia
la derecha y engranándolo con el piñón loco de marcha atrás, haciendo que el movimiento
del eje intermedio se transmita a través de este engranaje. Esto implica que para que el eje
principal gire en sentido contrario, debe introducirse un piñón suplementario en el tren de
engranajes, como lo muestra la figura 3.13.
Cambio a segunda velocidad
Ahora se va a cambiar a la segunda velocidad. El selector escoge la palanca de
cambio y la horquilla correspondientes a la segunda y tercera velocidades. Los dos dedos
de la horquilla se extienden a ambos lados del collar que rodea el extremo izquierdo del
tambor del embrague de la segunda y tercera velocidades. El movimiento de la horquilla
correspondiente a estas marchas hacia la derecha, hace que el tambor del embrague también
se desplace en la misma dirección. Al mismo tiempo, se impide el movimiento longitudinal
Capítulo Tres Página Número 18
26. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
del engranaje de primera y marcha atrás, que se encuentra sobre la superficie externa del
tambor del embrague, por la acción de la horquilla correspondiente a estas velocidades.
Como ya se ha indicado, al desplazarse el tambor del embrague hacia la derecha, los
conos de sincronización montados sobre el mismo se ponen en contacto con el engranaje de
segunda. Esto hace que dicho engranaje, que estaba girando libremente, se sincronice con el
tambor. Entonces, un desplazamiento adicional hace que las estrías o dientes interiores y
exteriores engranen. El engranaje de segunda, el de la transmisión intermedia y el del
embrague giran libremente antes de engranar, puesto que para cambiar de marcha hay que
desembragar. Al mismo tiempo, el automóvil se mueve y, por tanto, el eje principal hace
girar el tambor solidariamente con él. En cuanto las estrías o dientes del tambor entran en
contacto y se vuelve a embragar, la energía desarrollada por el motor se transmite al eje
principal a través de los engranajes del embrague, la transmisión intermedia, de la segunda
velocidad y el tambor, tal como se indica en la figura 3.14.
Cambio a tercera velocidad o directa
Esencialmente, cuando se cambia a la tercera velocidad, la acción que tiene lugar es
la misma. Cuando esto ocurre, el tambor del embrague se desplaza hacia la parte delantera
del coche, mostrado del lado izquierdo en la figura 3.15. La fuerza de rozamiento entre la
superficie interior del cono en el extremo izquierdo del tambor del embrague y el anillo
sincronizador izquierdo pone en sincronismo a aquél con el tambor del embrague. Un
desplazamiento adicional del tambor hacia la izquierda hace que los dientes de su superficie
interna engranen con el piñón pequeño situado en el extremo del eje del embrague.
Entonces, éste y el eje principal tienen que girar solidariamente, produciéndose así una
transmisión directa a través de la caja de cambios.
Figura 3.11 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en
posición neutral. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres Página Número 19
27. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.12 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en
posición de primera. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Figura 3.13 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en
posición de reversa. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres Página Número 20
28. Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.14 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en
posición de segunda. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Figura 3.15 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en
posición de tercera. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres Página Número 21
29. Capítulo Cuatro
Conceptos cinemáticos
El objetivo de este capítulo consiste en presentar los conceptos básicos que permitan
analizar en forma sistemática y ordenada las diferentes relaciones cinemáticas que existen en
los trenes de engranes.
4.1 Sistemas de referencia y vectores posición
Para facilitar el análisis cinemático de un mecanismo, resulta de utilidad establecer
convenientemente algunos sistemas de referencia. Estos sistemas pueden ser tanto móviles
como fijos. Los sistemas móviles generalmente se establecen en cada eslabón y se mueven
junto con él. Por otro lado, los sistemas fijos o inerciales, se establecen en aquellos
eslabones que no se mueven, o bien, en la base fija que soporta al mecanismo. Además,
sobre los ejes de los sistemas de referencia, se establecen vectores unitarios, los cuales se
utilizan para indicar el sentido y la dirección de dichos ejes. Un ejemplo de lo
anteriormente mencionado se muestra en la figura 4.1.
y0 y1 x1
ˆj1 ˆ1
i
G
ˆ0
j r
a
x0
ˆ0
i
Figura 4.1 – Sistemas de referencia y vectores unitarios
Se le llama vector posición a aquel vector que se utiliza para localizar un punto
sobre el mecanismo, el cual resulta de interés para el analista. Una manera adecuada de
definir un vector posición, consiste en utilizar coordenadas que son medidas a lo largo de
los ejes de los sistemas de referencia que se establecieron en los eslabones. Para especificar
una coordenada a lo largo de un determinado eje, se utiliza la magnitud de la coordenada,
acompañada de un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que el
mencionado eje de referencia. Por ejemplo, en la figura 4.1, el origen del sistema
Página Número22
30. Conceptos cinemáticos
G
coordenado móvil x1y 1se localiza mediante el vector posición de r , el cual se puede definir
mediante la relación:
G
r ˆ1
ia
4.2 Características de un vector posición
Como su nombre lo indica, los vectores posición son expresiones vectoriales. Por tal
motivo, al transcurrir el tiempo, estas expresiones pueden cambiar tanto en su magnitud, así
como su dirección y sentido. El hecho de que pueda existir cambios en la magnitud de un
vector, significa que éste puede crecer o decrecer. Por otro lado, cuando se presentan
cambios en la dirección y el sentido de un vector, quiere decir que éste tiene una
orientación variable. Por lo expuesto anteriormente, al derivar un vector posición con
respecto al tiempo, tienen que tomarse en cuenta todos los cambios que ello implica.
4.3 Derivada de un vector respecto al tiempo
Al derivar un vector con respecto al tiempo, pueden presentarse dos casos
particulares que se presentan a continuación.
4.3.1 Derivada de un vector referido a un sistema fijo
G
Este caso se presenta cuando se tiene un vector posición r cuyas componentes r , xr y
y r zestán referidas a un sistema inercial fijo en el espacio XYZ, como se muestra en la
figura 4.2.
Z
G
ˆ
k r
rz
ˆ
i ˆ
j Y
rx
X ry
Figura 4.2 – Componentes de un vector referidas a un sistema fijo
Capítulo Cuatro Página Número23
31. Conceptos cinemáticos
G
Respecto a la figura anterior, el vector posición r está dado por:
G ˆ
r rxˆ ry ˆ rz k
i j (4.1)
Al derivar este vector con respecto al tiempo, se obtiene:
G
rd G
_ _i _ j _ ˆ _
i _
j ˆ
r rxˆ ry ˆ rz k rx ˆ ry ˆ rz k
_ (4.2)
dt
Sin embargo, ya que los vectores unitarios (fijos en el espacio) no cambian ni su
magnitud ni su orientación al transcurrir el tiempo, entonces:
G G_ G
_
j ˆ
ˆ 0 , ˆ 0 , k 0
i_ (4.3)
Así, la ecuación (4.2) queda como:
G
_ _i _ j _ ˆ
r rxˆ ry ˆ rz k (4.4)
A partir del resultado anterior, se puede concluir que la derivada con respecto al
tiempo de un vector referido a un sistema fijo, es igual a la derivada con respecto al tiempo
de sus componentes.
4.3.2 Derivada de un vector referido a un sistema móvil
G
En este caso, se tiene un vector posición cuyas componentes r, y son ahora
medidas respecto a un sistema móvil cuyos ejes son paralelos a los vectores unitarios eˆ, e r ˆ
y eˆ como lo muestra la figura 4.3.
,
G
Z
ˆ
e
ˆ
e ˆ
er
G
r
ˆ
k
Y
ˆj ˆ
e
ˆ
i
ˆ
eR
X
Figura 4.3 – Vector posición referido a un sistema móvil
Capítulo Cuatro Página Número 24
32. Conceptos cinemáticos
G
ˆ
En la figura anterior, e res una extensión del vector r . Además, ˆ es perpendicular
e
G
a la proyección del vector r sobre el plano X-Y y apunta en la dirección tangente en la que
G
el ángulo crece. También, el vector unitario e ˆ perpendicular al vector r y apunta en
es
la dirección tangente en la que el ángulo crece. Por último, debe notarse que el vector
G
unitario ˆR es una extensión de la proyección del vector r
e sobre el plano X-Y y es
ˆ
diferente al vector unitario e r.
G
Ahora, el vector está dado por la expresión:
G
r e r e e
ˆ ˆ ˆ (4.5)
Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo se obtiene:
G
r er e e r er e e
_ _ˆ _ˆ _ˆ ˆ
_ ˆ
_ ˆ
_ (4.6)
En este caso, los vectores unitarios e , ˆr e ˆ y eˆ mantienen constante su magnitud,
pero cambian su orientación al transcurrir el tiempo. Por tal motivo, su derivada con
respecto al tiempo es diferente del vector cero. Para calcularla, conviene primeramente
j ˆ
representar dichos vectores unitarios en función de los vectores unitarios fijos iˆ, ˆ, k . Para
ello, analizando la geometría representada en la figura 4.3, se puede obtener que:
ˆ ˆR ˆ i) j ˆ
e r ( e r cos e) ( er sen k)( e r cos cos ˆ ( e r cos sen ) ˆ ( er sen k)
e e sen ˆ ( e cos )ˆj
ˆ ( i) (4.7)
ˆ ( ˆR ˆ
e e sen e) ( e cos k)e sen cos ˆ e sen sen ) ˆ ( e cos k)
( i) ( j ˆ
Siendo e , e y e las magnitudes de los vectores eˆ,r e eˆ respectivamente. Derivando
r ˆy ,
con respecto al tiempo las expresiones anteriores, y tomando en cuenta que la magnitud de
los vectores unitarios eˆr, e ˆ e esigual a uno, se obtiene:
y ˆ
er ( sen cos _cos sen ˆ ( sen sen cos cos )ˆj ( cos k)
ˆ
_
_
i)
_ _ _ ˆ
e cos ˆ sen )ˆj
ˆ
_
(_ i) ( _ (4.8)
e ( cos cos sen sen ˆ cos sen sen cos ) ˆ sen k)
ˆ
_
_ _ i) ( _ _ j ( _ ˆ
Capítulo Cuatro Página Número 25
33. Conceptos cinemáticos
Por otro lado, la velocidad angular absoluta del sistema móvil e -e -e ˆr ˆ ˆ puede
obtenerse a partir de la figura 4.4. Analizando esta figura, se puede observar que el
movimiento de rotación del sistema móvil está animado de dos velocidades angulares
parciales y . Proyectando estas velocidades angulares parciales sobre los ejes X, Y y Z,
_ _
se obtiene que la velocidad angular absoluta del sistema móvil está dada por el vector:
sen
_
_
cos
(4.9)
_
Z
_
ˆ
k
Y
ˆ
j ˆ
e
_
ˆ
i ˆ
eR
X
Figura 4.4 – Velocidad angular del sistema móvil
Ahora, efectuando los siguientes productos vectoriales:
sen cos _cos sen
_
_
er cos cos _sen sen
ˆ
cos
_
_cos
_
e sen
ˆ (4.10)
0
_cos sen sen
_
_
e sen cos _cos sen
ˆ
_sen
Capítulo Cuatro Página Número 26
34. Conceptos cinemáticos
Comparando las expresiones (4.10) con (4.8), puede concluirse que:
er e r
ˆ_ ˆ
e e
ˆ_ ˆ (4.11)
e e
ˆ_ ˆ
Aunque el resultado anterior se demostró solamente para un caso en particular, se
puede demostrar que también es válido para cualquier caso. Su generalización puede
expresarse de la siguiente manera:
“La derivada con respecto al tiempo de un vector unitario uˆ , el cual gira con una
velocidad angular absoluta , puede obtenerse directamente mediante el producto
vectorial u u ”.
ˆ
_ ˆ
Ahora, volviendo a la expresión (4.6), puede concluirse que la derivada con respecto
G
al tiempo de un vector de magnitud variable que gira junto con un sistema móvil, está
dada por:
G
r er e e
_ _ˆ _ˆ _ˆ (4.12)
Respecto a la expresión anterior, puede verse que ésta consta de dos partes distintas.
La primera parte considera la variación en magnitud que experimenta el vector al
transcurrir el tiempo. Por otro lado, la segunda parte toma en cuenta los cambios de
orientación que sufre el vector al estar girando.
4.4 Velocidad de un punto específico
Considérese un punto P ubicado arbitrariamente en el espacio tridimensional,
mostrado en la figura 4.5. Éste puede ser localizado, con respecto al sistema de referencia
G
fijo XYZ, mediante un vector posición r , el cual se dibuja desde el origen O hasta P.
P
Z
P
ˆ
k G
rP
ˆ
j
ˆ
i O
Y
X
Figura 4.5 – Vector posición que ubica a un punto P
Capítulo Cuatro Página Número 27
35. Conceptos cinemáticos
La velocidad se define como la primera derivada con respecto al tiempo del vector
posición. Matemáticamente, esto es:
G
G G d ( rP )
v P rP
_ (4.13)
dt
4.5 La ley fundamental del engrane
Antes de considerar la ley Fundamental del Engrane, conviene conocer el siguiente
teorema de la cinemática de cuerpo rígido:
“Todos los puntos a lo largo de una línea recta inscrita sobre un cuerpo rígido giratorio
tienen la misma componente de velocidad a lo largo de dicha línea”
Este teorema es ejemplificado en la figura 4.6, donde se puede apreciar un cuerpo
rígido que gira en torno a un punto fijo O. Por ejemplo, cualquier punto sobre la línea L
tiene la misma componente de velocidad.
G G
G v3 v4
G v2
v1
1 2 3 4
Figura 4.6 – Cuerpo rígido girando en torno a un punto fijo
Una vez revisado este principio, considérese ahora la figura 4.7. En ella se muestran
dos levas haciendo contacto, las cuales son una representación general de los dientes de dos
engranes acoplados. Las levas giran alrededor de dos ejes que pasan por los pivotes fijos C 1
y C 2. Además, las levas tienen velocidades angulares 1 y 2, respectivamente. En el punto
de contacto Q, t 1-t 2 una línea tangente y n -n es la línea normal.
es 1 2
El contacto entre las superficies de las levas no debe perderse. Esto puede
expresarse mediante el requerimiento de que las componentes de velocidad a lo largo de la
línea de contacto (n 1-n 2 sea la misma para los dos puntos en contacto.
)
Capítulo Cuatro Página Número 28
36. Conceptos cinemáticos
Por otro lado, debido al movimiento giratorio de las levas, los vectores velocidad
G G
vQ1 para el punto de contacto sobre la leva 1 y v Q2 para el punto de contacto sobre la leva 2
deben ser perpendiculares a su respectivo radio de giro, como lo muestra la figura.
n2
t2
Q vQ1
vQ2 P1
t1
2
1
P
C1 C2
P2
n1
Figura 4.7 – Representación mediante levas del contacto entre dos dientes
Sean C1P 1y C P dos líneas perpendiculares a la normal n -n 1, entonces, de acuerdo
2 2 2
al teorema anterior:
v P1II vQ1 II 1 P1 / C1 (4.14)
v P2 II vQ2 II 2 P2 / C2 (4.15)
El símbolo II indica que las velocidades son paralelas a la línea normal n -n . 1 2
Entonces, para mantener el contacto, debe satisfacerse que:
vQ1II vQ2 II (4.16)
Sustituyendo (4.14) y (4.15) en (4.16), se obtiene:
1 P1 / C1 2 P2 / C 2
2 P1 / C1
(4.17)
1 P2 / C 2
Por los triángulos semejantes C 2 2 y C P P, se obtiene:
PP 1 1
P / C1 P / C2
(4.18)
P1 / C1 P2 / C2
Capítulo Cuatro Página Número 29
37. Conceptos cinemáticos
Ahora, la relación (4.17) se transforma en:
2 P / C1
(4.19)
1 P / C2
Entonces, para que la relación de velocidades (4.19) sea constante, el punto P
llamado punto de paso debe siempre dividir la distancia entre centros C /C1en 2la misma
relación. De esta manera, la Ley Fundamental del engrane puede enunciarse como:
“Para una relación constante de velocidades angulares, la localización del punto de paso
debe ser constante”.
Además, puede demostrarse [5] que la velocidad de deslizamiento entre los puntos
de contacto viene dada por:
v desl ( 2 ) P / Q
1 (4.20)
De donde se deduce que la velocidad de deslizamiento es proporcional a la distancia
que existe entre el punto de contacto Q y el punto de paso P. Cuando P y Q coinciden, P /Q
vale cero, la velocidad de deslizamiento se hace cero y los dientes acoplados ruedan
instantáneamente uno sobre otro. Este hecho ayuda a comprender el porque se puede
considerar que dos engranes giran con rodadura pura en sus círculos primitivos.
4.6 Descripción cinemática del movimiento de un engrane
Considérese el diagrama cinemático para un engrane arbitrario mostrado en la figura
4.8 y 4.9, donde la velocidad angular de entrada es definida por . Los vectores unitarios
er y eˆ
ˆ están fijos al engrane, y sirven para definir la posición del punto Q y el sentido de
giro del engrane, respectivamente.
La posición del punto Q con respecto al punto O puede obtenerse al sumar un vector
que localice el punto P con otro que localice el punto Q respecto al punto P.
Matemáticamente, esto es:
G G G
rQ rP rQ / P (4.21)
G
Debido a que los vectores unitarios e ˆr y ˆe giran con el engrane, el vector r Q / P
puede determinarse por el radio del engrane en la dirección del vector unitario e ˆr esto es:
,
G
rQ / P ˆr
eR (4.22)
Sustituyendo en la ecuación (4.21), se obtiene:
G G
rQ rP eR
ˆr (4.23)
Capítulo Cuatro Página Número 30
38. Conceptos cinemáticos
ˆ
er
ˆ
e
ˆ
el
Figura 4.8 – Diagrama cinemático para un engrane
Derivando esta expresión, se obtiene:
G G G
vQ rQ rP eR
_ _ ˆr
_ (4.24)
Por otro lado, la velocidad angular del engrane es:
G
el
ˆ (4.25)
ˆ
er
ˆ
er
ˆ
e
Figura 4.9 – Vista en detalle del engrane
Capítulo Cuatro Página Número 31
39. Conceptos cinemáticos
Obteniendo la derivada del vector unitario que aparece en la ecuación (4.24), se
obtiene: G
er er ( el e r ) e
ˆ
_ ˆ ˆ ˆ ˆ (4.26)
Sustituyendo el resultado de la expresión (4.26) en la ecuación (4.24), se obtiene:
G G
vQ rP ( R e)
_ ˆ (4.27)
En el caso de que el punto P esté fijo en el espacio, su velocidad es igual a cero,
G G. Entonces, la ecuación se reduce a:
_
rP 0
G
vQ ( R e)
ˆ (4.28)
Capítulo Cuatro Página Número32
40. Capítulo Cinco
Análisis cinemático de la
caja de tres velocidades
El principal objetivo de este capítulo es comprender el funcionamiento de la caja de
cambios desde el punto de vista cinemático, por lo que se realiza el análisis cinemático del
mismo.
5.1 Descripción
En la sección 3.3 se describió el principio de funcionamiento de una caja de tres
velocidades sin sincronizadores. Ahora, en la figura 5.1 se muestra el arreglo básico para
este tren de engranajes en la posición neutral.
Figura 5.1 – Esquema de la caja de cambios de tres velocidades
Este arreglo consta de 8 engranes (numerados del 1 al 8) y cuatro ejes, los cuales son:
- El eje impulsor, al cual se fija el engrane 1.
- El eje auxiliar, al cual se fijan los engranes 2, 3, 4 y 5.
- El eje de reversa, donde se encuentra el engrane 8.
- El eje del seguidor, el cual contiene a los engranes 6 y 7.
Página Número 33
41. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
El eje impulsor gira independiente al eje seguidor, por lo tanto, cuando no están
acoplados los engranes 1 y 6, su velocidad angular es distinta. Tanto el eje del impulsor
como el eje auxiliar se mantienen rotando, ya que los engranes 1 y 2 están siempre
acoplados.
Existen cinco posibles etapas de movimiento para el eje del seguidor, dependiendo
de la posición ocupada por los engranes 6, 7 y 8, las cuales son:
- Marcha Atrás.- Se muestra en la figura 5.2. Se consigue desplazando en engrane 7
hacia la derecha hasta acoplarlo con el engrane 8, el cual se encuentra a su vez
acoplado al engrane 5. Debido a que el engrane 8 se encuentra sobre el Eje de
Reversa, transmite la potencia desde el Eje Auxiliar hasta el Eje Seguidor en sentido
inverso, lo cual produce la reversa.
- Primera Posición.- Se muestra en la figura 5.3. Ahora se desplaza el engrane 7 hacia
la izquierda hasta acoplarlo con el engrane 4, de esta manera que la potencia fluye
del Eje Impulsor hacia el Eje Auxiliar a través del acoplamiento de los engranes 1 y
2, y del Eje Auxiliar al Eje Seguidor por medio del acoplamiento de 7 con 4.
- Segunda Posición.- Se muestra en la figura 5.4. Es el caso en el que el engrane 6 se
desplaza hacia la derecha hasta acoplarse con el engrane 3.
- Tercera Posición.- Se muestra en la figura 5.5. También llamada directa, se logra
desplazando el engrane 6 hacia la izquierda y acoplándose con el engrane 1.
- Posición Neutral.- Se muestra en la figura 5.6. En ella, el Eje Seguidor está
desacoplado y en consecuencia no hay transmisión de movimiento.
Figura 5.2 – Esquema de la caja de cambios en marcha atrás
Capítulo Cinco Página Número34
42. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Figura 5.3 – Esquema de la caja de cambios en primera posición
Figura 5.4 – Esquema de la caja de cambios en segunda posición
Capítulo Cinco Página Número35
43. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Figura 5.5 – Esquema de la caja de cambios en tercera posición
Figura 5.6 – Esquema de la caja de cambios en posición neutral
A continuación se realiza el análisis cinemático para cada uno de los casos anteriores,
con la finalidad de obtener la relación de transmisión entre el Eje Impulsor y el Eje
Seguidor, o en otras palabras, entre la entrada y la salida del sistema. Debido a que este
análisis se basa en el principio de funcionamiento descrito en la sección 3.3, no considera la
existencia de sincronizadores.
Capítulo Cinco Página Número36
44. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Considérese el arreglo de engranajes mostrado en la figura 5.1. Este arreglo es la base
para realizar los diagramas cinemáticos que sirven para determinar la relación de
transmisión entre el Eje Impulsor y el Eje Seguidor. Considérese también la geometría
mostrada en las figuras 5.7 y 5.8. El punto O mostrado en la figura 5.7 es el punto de
referencia para todos los cálculos que se realizan en este capítulo.
Figura 5.7 – Esquema de la caja de velocidades en el plano XY
1
8
2
Figura 5.8 – Esquema de la caja de velocidades en el plano ZY
Capítulo Cinco Página Número37
45. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
5.2 Análisis de la transmisión del eje impulsor al eje auxiliar
Considérese los engranes 1 y 2 mostrados en la figura 5.9, y el diagrama cinemático
mostrado en la figura 5.10. La velocidad angular de entrada A es la del Eje Impulsor. Los
ˆ ˆ
vectores unitarios e ly el2 son considerados fijos en el espacio, y sirven para definir los ejes
alrededor de los cuales giran los engranes 1 y 2, respectivamente. Por su parte, los vectores
ˆ ˆ
unitarios er1 y e1 están fijos al engrane 1, y sirven para definir la posición del punto P y el
1
sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios ˆ
er2
ˆ
y e2 están fijos al engrane 2, y sirven para definir la posición del punto P y 2 sentido de
el
giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el
cual es llamado Q.
A
B
Figura 5.9 – Engranajes 1 y 2
ˆ
er1
ˆ
er1
P1 1
ˆ
eH R1
ˆ
e1 P1
ˆ
el
O
R2
Q Q
ˆ
el2
ˆ
e2
P2
2
P2 ˆ
er2
ˆ
er2
Figura 5.10 – Diagrama cinemático para la transmisión del eje impulsor al eje auxiliar
Capítulo Cinco Página Número38
46. Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P está definido
1
por:
G
rP1 lel R1er1
ˆ ˆ
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene:
G G
v P1 rP1 R1 er1
_ ˆ
_
La velocidad angular absoluta del G Impulsor es igual a:
Eje
1 A el
ˆ
Analizando la derivada delGvector unitario, se obtiene:
er1 1 er1 A ( el er1 ) A e1
ˆ
_ ˆ ˆ ˆ
ˆ
Donde finalmente se obtiene:
G
v P1 R1 A e1
ˆ (5.1)
Por otro lado, tomando también como origen el punto O, el vector posición para el
punto P2está definido por:
G
rP2 eH lel2 R2 er2
ˆH ˆ ˆ
Derivando este vector con respecto al tiempo para determinar la velocidad de dicho
punto, se obtiene:
G G
v P2 rP2 R2 er2
_ ˆ
_
Como la velocidad angular en el Eje Auxiliar es igual a:
G
2 B el2
ˆ
Entonces, la derivada del vector unitario:
G
er2 2 er2 B ( el2 er2 ) B e2
ˆ
_ ˆ ˆ ˆ ˆ
Sustituyendo:
G
v P2 R2 B e2
ˆ (5.2)
Las ecuaciones (5.1) y (5.2) indican que la magnitud de la velocidad es igual al
producto escalar de la velocidad angular del eje y el radio del engrane, girando en dirección
de los respectivos vectores unitarios eˆ . i Al pasar por el punto Q, las velocidades de P y 1
P 2
son iguales, y sus vectores unitarios e ˆi respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo
tanto:
G G
v P1 v P2
e1 e2
ˆ ˆ
Capítulo Cinco Página Número39
47.
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
De donde se obtiene finalmente que:
R1 R2 B
A (5.3)
5.3 Análisis de la velocidad de salida en reversa
Considérese los engranes 5 y 8 mostrados en la figura 5.11, y el diagrama
cinemático mostrado en la figura 5.12. La velocidad angular en el Eje Auxiliar ( B ) es
igual a lo largo de toda su longitud, por lo tanto, la velocidad angular de entrada para el
engrane 5 es también B . Los vectores unitarios el2 y el3 son considerados fijos en el
ˆ ˆ
espacio, y sirve para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 5 y 8,
ˆ ˆ
respectivamente. Los vectores unitarios er5 y e5 están fijos al engrane 5, y sirven para
definir la posición del punto P 5 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De
ˆ ˆ
manera similar, los vectores unitarios er8 y e8 están fijos al engrane 8, y sirven para definir
la posición del punto P y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto
8
de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q. El vector unitario e ˆd está fijo en el
espacio, y siempre va dirigido del centro del engrane 5 hacia el centro del engrane 8.
C
B
Figura 5.11 – Engranajes 5 y 8
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P está definido
5
por:
G
rP5 lel eH 'lel2 R5 er5
ˆ ˆH ˆ ˆ
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene:
G G
v P5 rP5 R5 er5
_ ˆ
_
Capítulo Cinco Página Número40
