Este documento fornece um resumo sobre o número áureo (também conhecido como razão áurea ou número de Fibonacci), incluindo sua história, definições matemáticas, aplicações em arquitetura, arte, música e na natureza. O documento está estruturado em nove capítulos que abordam diferentes aspectos desse número surpreendente.
2. O Livro
Autor: Mário Livio
Editora: Record
Idioma: Português
Nº de Páginas: 333
Edição: 2006
Preço: 48 reais
(www.livifusp.com.br)
3. Estrutura
9 capítulos
1: Prelúdio para um Número
2: O Tom e o Pentagrama
3: Sob uma Pirâmide que
Aponta para a Estrela Y
4: O Segundo Tesouro
5: Filho da Boa Natureza
6: A Proporção Divina
7: Pintores e Poetas têm a
Mesma Licença
8: Dos Ladrilhos aos Céus
9: Será que Deus é um
Matemático?
4. O Número FI
Existem diversas
definições matemáticas
para FI, ao lado as
mais conhecidas.
A seguir uma
aproximação um pouco
melhor para FI.
9. O Pentagrama e a Razão Áurea
No pentagrama
encontramos a razão
áurea entre diversos
segmentos, um deles
está exemplificado ao
lado.
10. Filho da boa Natureza
“Os nove números indianos são: 987654321.
Com esses números e com o signo 0, qualquer
número pode ser escrito, como está
demonstrado abaixo”
Leonardo de Pisa (1170-1240)
11. Todos os pensamentos de um coelho
são coelhos
Um homem pos um par de coelhos num lugar
cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser
gerados a partir deste par em um ano se,
supostamente, todo mês cada par dá a luz a
um novo par, que é fértil a partir do segundo
mês?
13. A seqüência de Fibonacci
Definimos a Seqüência de Fibonacci como descrito
a seguir. (um termo qualquer da seqüência é
atingido somando-se os dois termos anteriores)
19. Aplicações de FI
Podemos encontrar a razão áurea em
diversas áreas das nossas vidas, em geral
relacionamos essa razão a beleza e
equilíbrio.
A seguir mostraremos a razão áurea, em
particular o retângulo áureo, sendo aplicada
na arquitetura, pintura e escultura do mundo
clássico e do atual.
20. O FI na Arquitetura (Grécia)
Os gregos já
usavam o
retângulo áureo
em suas
construções mais
importantes, o
Partenon é um
exemplo claro
disso.
21. O FI na Arquitetura (Egito)
Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.
22. O FI na Arquitetura (Paris)
Encontramos a razão áurea em
diversas proporções da igreja de
Notre-Dame, em Paris.
23. O FI na Arquitetura (New York)
Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova
Iorque.
24. O FI na Arquitetura (Canadá)
No Canadá
encontramos o FI na
torre CN, em Toronto.
25. O FI em Pinturas Clássicas
Leonardo da Vinci, assim como muitos
outros artistas Clássicos, usou vastamente a
razão áurea em suas obras.
A seguir veremos alguns exemplos da razão
áurea sendo usada em obras por diversos
artistas.
26. No famoso quadro
Mona Lisa, de
Leonardo da
Vinci, o retângulo
áureo aparece
diversas vezes.
Note que as
proporções do
próprio quadro
seguem a razão
áurea nesse caso.
27. Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para
enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a
direita. O que sobra é um quadrado.
28. A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito
de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo
áureo nessa pintura de Bouguereau.
29. Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo
nessa pintura.
31. O FI na Fotografia
Uma famosa técnica de
fotografia é colocar o
foco da foto em um
ponto que é encontrado
usando a razão áurea,
como ilustrado ao lado.
A seguir algumas fotos
que usam esse
principio.
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35. O FI no Design Tecnológico
Podemos encontrar diversos exemplos do FI
sendo usado para fazer o design de objetos
tecnológicos.
Exemplos disso são os nossos cartões de
crédito, carteirinha USP, bilhete único e
cartões de seguro saúde.
A seguir veremos mais alguns exemplos da
razão de ouro sendo usada em design
tecnológico.
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40. O FI na Natureza
Encontramos o FI em diversos lugares da
natureza, nos animais, nas plantas e até
mesmo em nossos corpos.
A seguir mostraremos diversos exemplos
que podem ser encontrados na natureza.
41. O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o
esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo
áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.
48. O FI no Corpo Humano
O corpo humano apresenta inúmeras
proporções muito próximas da razão áurea.
Em geral consideramos bonitas as pessoas
com esse tipo de proporção, a seguir
faremos um pequeno estudo dessas
pessoas.
49. Os dentes e a Razão Áurea
Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea
aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso
está em parte associada a essa razão, cor,
contraste e tamanho também são considerados, é
claro.
51. O Rosto Humano
A seguir veremos algumas proporções
áureas encontradas no rosto humano.
Inicialmente mostraremos alguns casos
soltos, e depois faremos uma análise mais
cuidadosa de 4 casos diferentes, escolhidos
completamente ao acaso, duas mulheres e
dois homens.
61. Curiosidades sobre o Fi
Sabia que a proporção
de abelhas fêmeas e
zangões em uma
colméia é muito
próxima de FI?
A figura ao lado passa
uma idéia do porque
disso.
63. O FI na Bíblia
A arca de Noé é descrita na bíblia como um colóide
de 300 cúbitos por 50 cúbitos por 30 cúbitos
(comprimento, largura e altura da arca). Então sua
frente é um cubo de 50x30, aproximadamente FI.
Outra arca bíblica apresenta a razão FI, a arca da
aliança, que guardaria as tábuas dos dez
mandamentos é descrita na bíblia como uma arca
de 2.5 x 1.5 x 1.5 (em cúbitos). Logo percebemos
que sua base e sua frente são retângulos áureos.
64. O Lado Mau de FI
Encontra-se também o número FI a partir do
número da besta (mais uma referência
bíblica).
O número da besta é 666.
sen(666) = -0.809016994...
Note que isso é metade do FI negativo:
sen(666)*(-2)=1.61803...
65. A Lei de Benford
A Lei de Benford cita que a
probabilidade de algum digito ser o
primeiro de um número em dados da
vida real (como a primeira página de
um jornal) segue uma regra.
Em essência a regra pode ser definida
como a tabela ao lado.
Você consegue encontrar FI nesses
dados?
d p
1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.7%
5 7.9%
6 6.7%
7 5.8%
8 5.1%
9 4.6%
66. O FI na Música
O tempo de uma música pode ser visto
como uma razão, por exemplo a razão entre
os tempos de batidas de bumbo e caixa de
uma bateria por exemplo.
Em algumas de suas sinfonias Ludwig Van
(Beethoven para os íntimos) usou a razão
áurea na marcação do tempo. Encontramos
a razão em sua quinta e nona sinfonias.
Max Roach, baterista de Jazz também usou
FI em alguns de seus solos.