aplicación por partes

1. APLICACIÓN
Una empresa que se dedica a la producción de herramientas agrícolas tiene un costo
marginal por unidad de su producto dad por la siguiente expresión:
𝐶(𝑋)8000𝐿𝑛(𝑥 + 25)
(𝑥 + 25)2
En donde X es el nivel de producción, si los costos fijos ascienden a 2000 dólares,
determine la función costo y el costo total de producir 10 unidades.
Solución:
Datos:
Costo fijo = 2000
C(x) = ?
∫ 𝐶(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 8000𝑙𝑛 (𝑥 + 25)(𝑥+25)−2
𝑑𝑥
𝑈 = 8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
𝑑𝑢 = 8000.
1
𝑥 + 25
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
8000
𝑥 + 25
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = (𝑥 + 25)−2
𝑑𝑥
𝑣 =
(𝑥 + 25)−1
−1
𝑣 =
−1
𝑥 + 25
Formula:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
∫ 𝐶(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 8000𝑙𝑛 (𝑥 + 25)(𝑥+25)−2
𝑑𝑥
𝐶(𝑥) = 8000𝑙𝑛(𝑥 + 25) (
−1
𝑥 + 25
) − ∫
−1
(𝑥 + 25)
800
(𝑥 + 25)
𝑑𝑥
𝐶(𝑥) =
−8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
(𝑥 + 25)
+ 8000 ∫(𝑥 + 25)−2
𝑑𝑥

2. 𝐶(𝑥) =
−8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
(𝑥 + 25)
+ 8000 (
−1
𝑥 + 25
) + 𝐶
𝐶(𝑥) = −
8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
(𝑥 + 25)
−
8000
𝑥 + 25
+ 𝐶
Coto variable = 0
Costo fijo = 2000
2000 =
−8000𝑙𝑛(0 + 25)
(0 + 25)
−
8000
0 + 25
+ 𝐶
2000 +
8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
25
+
8000
25
= 𝐶
𝐶 = 3350
Reemplazando la constante en la función de costo
𝐶(𝑥) = −
8000𝑙𝑛(𝑥 + 25)
25
−
8000
25
+ 3350
Para producir 10 unidades reemplazando en la función costo para encontrar el costo total
𝐶(10) = −
8000𝑙𝑛(10 + 25)
25
−
8000
25
+ 3350
= 1892.28
Respuesta: el costo total de producir 10 herramientas es de 1982.28 dólares.