1. Hari ini admin ingin bahas tentang logaritma nih heeeee
Ingat : operasi logaritma adalah kebalikan dari operasi perpangkatan.
contoh : 24
=16 maka 2
log 16 =4.
A. Rumus : a
log x = n
keterangan :
a = bilangan pokok , a > 0; a ≠ 1
x = numerus
n = hasil dari logaritma
( dibaca : logaritma x dengan basis a sama dengan n)
Contoh soal :
a.) 2
log 4 = 2
log 2 2
= 2 ; benar
b.) 3 log 1/81 = 3 log 3 -4
= -4
B. Sifat – sifat logaritma :
1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
a
log a = 1, a
log 1 = 0, log 10 = 1
bukti :
a
log a = 1 ; a
log a 1
= 1 karena sesuatu yang dipangkatkan dengan 1
hasilnya bilangan itu sendiri.
a
log 1 = 0 ; karena sesuatu yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya
sama dengan 1.
log 10 = 1 ; suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya
10.
2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x + a
log y = a
log xy
bukti :
misal : a
log x = n ; a
log y = m ; a
log xy = mn , maka ...
a n
+ a m
= a nm
= a
log xy ; terbukti
3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x-a
log y = a
log
bukti :
a
log x = n ⇔an
= x
a
log y = m ⇔am
= y

2. Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
=
= an-m
ap
= an-m
, maka p = n-m
sehingga, a
log x – a
log y = a
log ; terbukti.
4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
a
log xn
= n a
log x
bukti :
a
log x n
⇔ a
log x.x.x.x...
⇔a
log x + a
log x + ... + a
log x
⇔n a
log x
5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
Bukti:
a
log x = p ⇔ ap
= x
log xn
= q ⇔ = xn
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:
xn
= am.q
⇔ (ap
)n
= amq
⇔ anp
= amq
⇔ np = mq
⇔ q = p
Jadi , log xn
= a
log x
6. Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
a
log x = =
Bukti :
a
log x = n ⇔ x = an
log x = log an (sifat 4 logaritma)
⇔ n =
⇔ a
log x = (terbukti)
Jika p = x maka
a
log x =
=

3. 7. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x · x
log y = a
log y
Bukti :
a
log x = p ⇔ ap
= x
x
log y = q ⇔ xq
= y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y= xp
⇔ y=(ap
)q
⇔ y=apq
⇔ a
log y = a
log apq
⇔ a
log y = pq a
log a
⇔ a
log y = pq
⇔ a
log y = a
log x . x
log y
8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
= x
Bukti :
a
log x = n ⇔ an
= x
x = an
⇔ x =
jadi, = x
9. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
Bukti :
⇔ a
log xn
= p
xn
= ap
xn
=
jadi,
contoh soal :
1. 3 log 2 . 2 log 5 . = 3 log 3 = 1
2. 8
log 32 = = 5/3
3. Jika 2 log 3 = a dan 3 log 5 = b , maka 15 log 20
⇔3
log 20 / 3
log 15
⇔ ( 3
log 5 + 3
log 4 ) / ( 3
log 5 + 3
log 3 )
⇔ ( b + 2 1/a ) / ( b + 1 )
⇔ ( ab + 2 ) / a( b + 1 )

4. Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan
1. Fungsi Logaritma
Suatu fungsi yang berbentuk :
F(x) = a
log x
Dengan a > 0 dan a ≠ 1 disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a.
2. Persamaan Logaritma
Adalah persamaan yang numerus atau bilangan pokoknya memuat variabel x.
Contoh persamaan logaritma :
a. 3
log ( 2x -1 ) = 2
b. 5
log ( 3x + 4 ) = 7
log ( 3x + 4 )
Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma
a. Bentuk a
log f(x) = b
Syarat : Jika a
log f(x) = b , maka f(x)= a b
, dengan syarat f(x) > 0, a>0
dan a ≠ 1
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan 2
log ( x + 2 ) = 3 ?
2
log ( x + 2 ) = 3 ⇔ syarat bagi numerus : x + 2 > 0 ⇔ x > -2
⇔ x + 2 = 2 3 ⇔ x = 6.
Jadi penyelesaian dari persamaan 2
log ( x + 2 ) = 3 adalah x = 6.
b. Bentuk f(x)
log a = b
Syarat : Jika f(x)
log a = b , maka (f(x))b
= a, dengan syarat f(x) > 0, a>0
dan f(x) ≠ 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan x-2
log 9 = 2 ?
x-2
log 9 = 2 ⇔ ( x -2 )2 = 9 ⇔ x2 -4 x + 4 = 9 ⇔ x2 -4 x - 5 = 0
⇔ ( x -5 ) dan ( x + 1 ) = 0
⇔ x= 5 atau x = -1
Karena persyaratan mengharuskan x - 2 > 0 dan x- ≠ 1 maka ni ai x
5.
c. Bentuk a
log f(x) = b
log f(x)
Syarat : a ≠ b dan f(x) > 0, maka f(x) 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan 3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 ) ?
3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 )
⇔ 2 x – 3 =1
⇔ 2 x = 4

5. ⇔ x = 4
Jadi penyelesaian persamaan 3
log ( 2x - 3 ) = 5
log ( 2x - 3 ) adalah x = 2.
d. Bentuk a
log f(x) = a
log g(x)
Syarat : f (x ) = g (x) dimana f (x) > 0 dan g (x) > 0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2
log x2
= 2
log ( x +
6 ) ?
⇔ F (x) = g (x)
⇔ x2 = x + 6
⇔ x2 – x -6 = 0
⇔ ( x +2 ) ( x - 3) =0
⇔ x = -2 atau x = 3
Jadi , himpunan penyelesaian nya adalah { -2 , 3 }.
e. Bentuk h(x)
log f(x) = h(x)
log g(x)
Syarat : f (x ) = g (x) dimana f (x) > 0 dan g (x) > 0 serta h (x) > 0 dan h
(x) ≠ 1.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan :
x-1
log ( 2x – 2 ) = x-1
log ( x + 2 ) ?
⇔ f (x) = g (x)
⇔ 2x -2 = x + 2
⇔x = 4
Jadi penyelesaiannya adalah x = 4.
contoh soal :
1. jika 9
Log 8 = n, nyatakan 4
Log 3 dalam n ?
jawab :
⇔ 9
log 8 = n
⇔ 3
= n
⇔ 3/2 = n
⇔ = [2n]/3

6. Untuk 4
log 3 = 22
log 3
⇔ ½ 2
log 3
⇔ ½ [1/[3
log 2]
⇔ ½ [3/[2n]] = 3/[4n]
2. Tentukan penyelesaian dari 2 x^2- 3x +2
+ 2x^2-3x
= 5
Jawab :
2 x^2- 3x +2
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 22
. 2 x^2- 3x
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 4. 2 x^2- 3x
+ 2x^2-3x
= 5
⇔ 5. 2x^2-3x
= 5
⇔ 2x^2-3x
= 1
⇔ 2x^2-3x
= 20
⇔ x2
- 3x = 0
⇔ x(x-3)=0
⇔ x1 = 0 dan x2 = 3
Jadi nilai yang memenuhi persamaan di atas adalah x = 0 atau x= 3.
3. Jika 2
log 3 = a dan 3
log 5 = b, maka 15
log 20 = ...
Jawab :
[( 3
log 20 ) / ( 3
log 15 )]
[(3
log 5+3
log 4) / ( 3
log 5 + 3
log 3)]
[( b + 2/a ) / ( b + 1 )]
Agar lebih sederhana lagi dikali dengan a/a.
Hasil = [( ab + 2)/ a ( b + 1 )]
4. Penyelesaian pertidaksamaan log ( x-4 ) + log ( x + 8 ) < log ( 2x + 16 )
adalah ..
Jawab :
X2
– 4x + 8x – 32 < 2x + 16
X2 + 2 – 48 < 0
( x + 8 ) ( x – 6 )
X1 = -8 dan x2 = 6
Hasil : -8 < x < 6