3. EPIC
Imagen y/o vídeo de acuerdo al tema
(motivación - conflicto cognitivo - recojo de
saberes previos)
4. Contenidos de la sesión:
• Definición.
• Qué es un teorema.
• Teorema de trabajo y energía.
• Energía potencial gravitatorio.
• Teorema del trabajo neto y la energía cinética.
• Ejercicios de aplicación.
EPIC
5. Logro de la sesión:
Al término de la sesión el estudiante, será capaz de
entender y resolver problemas de teorema de trabajo y
energía.
EPIC
6. Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una proposición
que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de
otros teoremas que fueron demostrados con anticipación.
c
b
a
c² = a² + b²
7. La cantidad de trabajo está ligada con los cambios de energía. El teorema que
se va a demostrar representa una de las generalizaciones más importantes que
tratan cuantitativamente los procesos de trabajo con variación de la energía.
Pensemos que se tiene un bloque de masa M que desliza por inercia sobre una
superficie horizontal lisa.
M
M
P
vo
vo
F liso
8. Cuando el bloque pasa por P, sobre el empieza a actuar una fuerza horizontal F
constante durante un intervalo de tiempo t.
M
M
P
vo
vo
F
liso
M
M M
Q
vf
a
t
d
9. Determinamos el trabajo neto sobre el bloque de P hacia Q.
WP Q = FR.d = F.d
=WP Q
Como F = FR = ma, reemplazando.
WP Q = ma.d = m(a.d) …………(1)
El bloque de P hacia Q debido a la fuerza F experimenta un M.R.U.V. por lo cual
podemos usar.
v²F = v²o +2ad
ad =
2
v²F - v²o …………(2)
11. Hemos deducido para el caso que sobre el cuerpo actúen fuerzas constantes y
trayectoria rectilínea, pero dicha fórmula tiene un carácter general ya que es
aplicable al caso que se manifiesten fuerzas variables(en valor y/o dirección) e
inclusive sobre una trayectoria curvilínea, es decir.
WA B =ΣWA B
Variación de Ec
= ECF – ECo
vo
vF
A
B
F2
F4
F3
F1
WFR
WA B = ΔEC
Nota:
Wneto > 0 ΔEC > 0
Significa que la energía cinética aumentó y
por tanto transmitió energía.
Wneto < 0 ΔEC < 0
Significa que la energía cinética disminuyó y para este caso,
significa que el cuerpo sobre el cual se desarrolló trabajo
entrega parte de su energía cinética a los cuerpos que le hayan
desarrollado trabajo.
12. Actividad: 1
m = 2kg
La esfera después de haber sido soltada en A pasa por B con 6m/s . ¿Cuánto trabajo se
desarrolló por medio de la fuerza de rozamiento? (g = 10m/s²).
2kg
A
B
5m
vA = 0
vB = 6m/s
Fg = 20N
fN fK
B
A
h = 5m
Resolución
Para este caso la fuerza de rozamiento
cinético es variable en dirección y en valor
y no convendría plantear su cantidad de
trabajo directamente.
13. Para el calculo de WA B podemos usar el teorema del trabajo neto y la energía
cinética.
WP Q = ΔEC
WA B
WA B +
= mv²F - mv²o
2 2
Fg
WA B + WA B
fN
fk
= EC(B) – EC(A)
fk
Fgh +
20(5) +WA B
fk
=2(6)²/2
WA B
fk
=- 64J
100 + WA B
fk
= 36
WA B
fk
= 36 - 100
14. Es la medida escalar de la interacción entre un cuerpo y la gran masa terrestre.
Matemáticamente se evalúa así.
C.G.
Superficie de la tierra
Nivel de
Referencia
(N.R.)
cuerpo
M
g
Formula
EPG = MgH
H
Unidades:
M: kilogramo (kg)
H: metros (m)
EPG : Joule (J)
15. La formula dada, nos expresa la energía asociada al sistema Tierra – cuerpo,
pero dicha energía se la vamos a asociar al cuerpo.
Tener presente.
1. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo depende del nivel de referencia
(N.R.). Esto determina que dicha energía es relativa.
2. En la formula, H es la distancia que se mide desde el nivel de referencia (N.R)
hacia donde esta concentrada la fuerza de gravedad del cuerpo (C.G.)
16. Actividad: 2
Una cadena homogénea de 4 kg cuelga de un techo, tal como se muestra. Calcule su
energía potencial gravitatorio con respecto al:
Piso
Extremos inferior de la cadena.
Centro de gravedad de la cadena homogénea.
Techo de la cual cuelga.
2m
g = 10m/s
1m
17. Actividad: 2
Con respecto al piso.
N.R.
H =2m
Resolución
Definimos la posición del centro de gravedad de la cadena así.
1m
1m
C.G.
Definimos su energía potencial.
EPG = mgH
En la figura H = 2m
EPG = 4(10)(2)
EPG = 80J
18. Actividad: 2
Con respecto al extremo interior de la cadena.
N.R.
H =1m
Resolución
En la figura la posición del centro de gravedad está a H = 1m.
C.G.
En la figura.
E`PG = mgH´
E`PG = (4)(10)(1)
E`PG = 40J
19. Actividad: 2
Con respecto al centro de gravedad (C.G.) de la cadena.
N.R.
Resolución
C.G.
En esta caso, el centro de gravedad (C.G.) está
sobre el nivel de referencia H = 0
EPG = mgH
EPG = (4)(10)(0)
EPG = 0
20. Actividad: 2
Con respecto al techo.
N.R.
Resolución
C.G.
EPG = mgH
EPG = (4)(10)(-1)
EPG = -40J
H =-1m
Para este caso el centro de gravedad (C.G.) está por debajo del nivel de referencia y la
distancia hacia el C.G. se indica con signo negativo.
La EPG tiene un valor relativo porque
depende por donde tracemos el nivel
de referencia.
La EPG puede se (+), (-) o cero
Nota:
21. El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se
destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la
energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y
después de cada transformación.
mgh= ECB – ECA
Determinemos el trabajo neto sobre la esfera de A hacia B.
HA
h
A
B
HB
N.R.
vA
vB
Fg
g WA B = ΔEC
mgHA - mgHB= ECB – ECA
mgHA - mgHB= ECB – ECA
EPG(A) EPG(B)
+ EPG(A) + EPG(B)
ECA = ECB EM(A) = EM(B)
22. En los movimientos de caída libre tener en cuenta que:
A partir del nivel de referencia se establece
que la energía cinética que tiene la esfera en A
se transforma en energía potencial gravitatoria
en B.
Raire = 0
A
B
N.R.
vA
vB = 0
EM(A) = EM(B)
EM = EC + EPG = cte.
Como la suma de la energía cinética y potencial gravitatoria es constante, se señala que un
aumento en la energía cinética implica una disminución de la energía potencial gravitatoria y
viceversa.
Ejemplo:
23. Actividad: 3
A
B
N.R.
vA = 15m/s
vB = ?
hA = 5m
Se indica el lanzamiento de una esfera, ¿con qué rapidez impacta en el piso? (g = 10m/s²)
h = 5m
15m/s
Resolución:
24. Tomando como nivel de referencia el piso de A hacia B planteamos que.
EM(A) = EM(B)
(EC + EPG)A = (EC + EPG)B
mv²A + mghA = mv²B
2 2
mv²A + 2mghA = mv²B
m(v²A + 2ghA) = mv²B
V²B = v²A +2ghA
V²B = (15)² +2(10)(5)
V²B = 225 +100
V²B = 325
VB = √325
VB = 5√13 m/s
25. Actividad: 4
A
B
N.R.
vA = 2,5m/s
vB = 3vA = 7.5m/s
hB = ?
Se lanza una esfera como se muestra en la figura. ¿a qué altura respecto del N.R. su rapidez
inicial se triplicará? (desprecie la resistencia del aire y g = 10m/s²)
h = 5m
V =2,5m/s
Resolución:
N.R.
La única fuerza que realiza trabajo sobre la esfera es la fuerza de
la gravedad (Fg) debe permanecer constante, es decir EM =cte.
hA = 5m
g
27. Actividad: 5
d
Se suelta un pequeño bloque sobre la superficie curva. Determine d(desprecie la resistencia
del aire y g = 10m/s²)
10m
V = 0
5m
28. Resolución
d
Conforme el bloque desciende el valor de su velocidad se incrementa.
hA = 10m
VA = 0
hB =5m
N.R.
g = 10m/s²
R
Fg
B
A
VB = 0
V
29. Resolución:
Respecto del N.R. tenemos
En la horizontal se verifica.
d = v.t ……………… (I)
Observe que t es el tiempo que emplea el bloque en llegar al suelo a partir de B. en
ese mismo intervalo de tiempo el bloque ha descendido 5m.
En la vertical
h = vot
5 = 10t²/2
+ ht²/2
t = 1s
Reemplazando en (I)
d = v
d = v …………..(II)
Este valor de la velocidad está relacionado con la energía
cinética del bloque en ese mismo punto. La energía
mecánica permanece constante.
EM(B) = EM(A)
mv²B + mghB = mv²A + mghA
2 2
30. Resolución:
Reemplazando en (II)
d = v …………..(II)
2 2
m(v²B + ghB) = m(v²A + ghA)
v²B + 5(10) = v²A + (10)(10)
2 2
v²B + 100 = 200
v²B = 100
vB = 10m/s
d = 10m
31. Actividad: 6
Un cuerpo de 10 kg posee una velocidad de 8 m/s², sobre él se ejercen ciertas
fuerzas que realizan un trabajo total de 400 J. Determinar la velocidad final que
adquiere
32. Actividad: 7
Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el camino mostrado.
¿Qué distancia d recorre en la parte plana, si solo existe rozamiento en la
superficie horizontal?. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,5. Considere: g
= 10 m/s² y H = 2,5 m
B C
A
H
d
v = 0
ꙡ
33. 1) Una esfera de 2 kg es soltada sobre la superficie libre de un lago. Si la
resistencia que ofrece el agua al movimiento de la esfera es de 10N, ¿qué
rapidez tiene la esfera cuando ha descendido 8.1m? (g = 10m/s²)
Subir al blackboard por mensaje.
2) Un bloque que parte del reposo en A resbala por una rampa y pierde entre A y B el
10% de su energía mecánica por efecto del rozamiento. Si en el punto C de máxima
altura su velocidad es Vx = 6m/s², calcular la altura máxima H. (g = 10 m/s²)
10 m
C
B
H
Vx
A
