Separata semana 02, tema: ecuaciones exponenciales, solucionario

1. Universidad Nacional Agraria de la Selva
Centro Preuniversitario
Algebra – Semana 02 - Solución
Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL
1. Resolver:
52𝑥−3
= 59
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolución
2𝑥 − 3 = 9 → 𝑥 = 6
2. Resolver:
(
9
4
)
𝑥
(
8
27
)
𝑥−1
=
2
3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución
(
2
3
)
−2𝑥
(
2
3
)
3𝑥−3
=
2
3
𝑥 − 3 = 1 → 𝑥 = 4
3. Resolver: 𝑥 𝑥 𝑥+1
= 256
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 2
Resolución
𝑥 𝑥 𝑥.𝑥
= 256 → 𝑥 𝑥.𝑥 𝑥
= 22.22
Entonces 𝑥 = 2
4. Resolver: 𝑥 𝑥2
= 2
a) 2 b) √2 c)
1
2
d) 2 e) N.A.
Resolución
Elevando al cuadrado a ambos
miembros
(𝑥 𝑥2
)
2
= 22
→ (𝑥2) 𝑥2
= 22
Entonces 𝑥2
= 2 → 𝑥 = √2
5. Si: (𝑥 + 1)(𝑥+1)(𝑥+1)...
= 3 ¿Cuál
de las expresiones se cumple?
a) 𝑥 + 2 = √3
3
+ 1 b) 2𝑥 = 2√3
3
c) 𝑥2
= 2 + √3
3
d) 𝑥 − 1 = −2
e) 𝑥2
− 2 = √3 − 1
Resolución
(𝑥 + 1)3
= 3 → 𝑥 + 1 = √3
3
Sumando +1 a ambos miembros
𝑥 + 1 + 1 = √3
3
+ 1
→ 𝑥 + 2 = √3
3
+ 1
6. Resolver:
3 𝑥
+ 3 𝑥−1
+ 3 𝑥−2
+ 3 𝑥−3
+ 3 𝑥−4
= 363
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución
3 𝑥
+
3 𝑥
3
+
3 𝑥
32
+
3 𝑥
33
+
3 𝑥
34
= 363
Factorizando
3 𝑥
(1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
) = 36
3 𝑥
(
81 + 27 + 9 + 3 + 1
81
) = 36
3 𝑥
=
(363)(81)
121
= 35
𝑥 = 5

2. Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
7. Qué valor de “x” satisface la
ecuación:
[( √ 𝑥
−𝑥+𝑥3
5
−𝑥+𝑥5
)
𝑥
]
𝑥+𝑥3
= 3125
a)
1
5
b)√5 c) −
1
5
d) -5 e) 5
Resolución
[( √ 𝑥
𝑥(𝑥2−1)
5
𝑥(𝑥4−1)
)
𝑥
]
𝑥(𝑥2+1)
= 3125
𝑥
𝑥3(𝑥4−1)
5𝑥(𝑥4−1) = 55
→ 𝑥
𝑥2
5 = 55
Elevando a la 5 a cada miembro
(𝑥
𝑥2
5 )
5
= (55)5
→ 𝑥 𝑥2
= 552
∴ 𝑥 = 5
8. Resolver
9 𝑥+2
= 9 𝑥
+ 240
a)
1
2
b)
2
3
c) 4 d) 6 e)
3
2
Resolución
9 𝑥+2
− 9 𝑥
= 240
9 𝑥(81 − 1) = 240
(32) 𝑥
=
240
80
→ 32𝑥
= 3
→ 2𝑥 = 1 ∴ 𝑥 =
1
2
9. Al resolver:
4 𝑥−√𝑥2−5
− 12 (
2 𝑥−√ 𝑥2−5
2
) + 8 = 0
El producto de sus raíces es:
a)
4
27
b)
27
4
c)
2
9
d)
9
2
e)
8
27
Resolución
(2 𝑥−√𝑥2−5
)
2
− 6 (2 𝑥−√𝑥2−5
) + 8 = 0
Haciendo 2 𝑥−√𝑥2−5
= 𝑎
𝑎2
− 6𝑎 + 8 = 0 → (𝑎 − 4)(𝑎 − 2) = 0
𝑎 = 4 𝑉 𝑎 = 2
Remplazando en a = 4
2 𝑥−√𝑥2−5
= 22
→ 𝑥 − √ 𝑥2 − 5 = 2
(𝑥 − 2)2
= √ 𝑥2 − 5
2
𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 𝑥2
− 5 → 𝑥1 =
9
4
Remplazando en a = 2
2 𝑥−√𝑥2−5
= 2 → 𝑥 − √ 𝑥2 − 5 = 1
(𝑥 − 1)2
= √ 𝑥2 − 5
2
𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 𝑥2
− 5 → 𝑥2 = 3
El producto 𝑥1 𝑥2 =
9
4
(3) =
27
4
10. Resolver:
[58 𝑥
]
4−𝑥
= 51660
a) 60 b) 120c) 240 d) 360e) 50
Resolución
[523𝑥
]
2−2𝑥
= 524(60)
→ 52 𝑥
= 52240
∴ 𝑥 = 240
11. Hallar “ 𝑥”
(
1
4
)
(
1
2
)
4 𝑥
=
√2
2

3. Universidad Nacional Agraria de la Selva
Centro Preuniversitario
Algebra – Semana 02 - Solución
Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL
a)1 b)
2
3
c) 2 d) 6 e)
1
2
Resolución
(
1
4
)
(
1
2
)
4 𝑥
=
2
1
2
2
= 2
−1
2 = (
1
2
)
1
2
(
1
4
)
(
1
2
)
4 𝑥
= (
1
4
)
1
4
= (
1
4
)
(
1
2
)
2
(
1
4
)
(
1
2
)
4 𝑥
= (
1
4
)
(
1
2
)
4
1
2
∴ 𝑥 =
1
2
12. Resolver: 𝑥 𝑥3
= 3
a) √3 b) √3
3
c) 3 d) 1 e) N.A
Resolución
𝑥 𝑥3
= √3
3 3
= √3
3 √3
3 3
∴ 𝑥 = √3
3
13. Hallar 𝑥
[539
]
33 𝑥
= 599
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Resolución
539.33 𝑥
= 599
→ 39+3 𝑥
= (32)9
9 + 3 𝑥
= 18 → 3 𝑥
= 9 → 3 𝑥
= 32
∴ 𝑥 = 2
14. Calcular el valor de “n”
√
𝑥 𝑛2
+ 𝑥 𝑛2+5
𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛+5
𝑛−1
= 𝑥5
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución
√
𝑥 𝑛2
+ 𝑥 𝑛2
. 𝑥5
𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛. 𝑥5
𝑛−1
= 𝑥5
√
𝑥 𝑛2
(1 + 𝑥5)
𝑥 𝑛(1 + 𝑥5)
𝑛−1
= 𝑥5
√ 𝑥 𝑛2−𝑛
𝑛−1
= 𝑥5
→ 𝑥
𝑛(𝑛−1)
𝑛−1 = 𝑥5
∴ 𝑛 = 5
15. Resolver la siguiente ecuación
exponencial:
33 𝑥
= 279 𝑥−4
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
Resolución
33 𝑥
= (33)9 𝑥−4
Igualando exponentes
3 𝑥
= 3. 9 𝑥−4
→ 3 𝑥
= 3. 32𝑥−8
𝑥 = 1 + 2𝑥 − 8 → 𝑥 = 7
16. Resolver la siguiente ecuación
exponencial:
[(𝑎 𝑥) 𝑥] 𝑥−𝑥
= 𝑎
√
1
8
a) 1 b) 0.5 c) 0.2 d) 2 e) 5

4. Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
Resolución
(𝑎 𝑥2
)
𝑥−𝑥
= 𝑎
√
1
23
→ 𝑎 𝑥2−𝑥
= 𝑎√2−3
𝑥2−𝑥
= (2−1)
3
2 → 𝑥2−𝑥
= (
1
2
)
3
2
𝑥2−𝑥
= (
1
2
)
2−
1
2
∴ 𝑥 =
1
2
= 0.5
17. Resolver:
√
𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛
(𝑏2 𝑎) 𝑛 + 𝑥 𝑛
𝑛
=
1
𝑏
a) a b) b c) ab d)
𝑎
𝑏
e)
1
𝑎
Resolución
Elevando a la potencia “n” ambos
miembros de la igualdad:
𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛
(𝑏2 𝑎) 𝑛 + 𝑥 𝑛
=
1
𝑏 𝑛
Multiplicando en cruz
𝑏 𝑛(𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛) = 𝑏2𝑛
𝑎 𝑛
+ 𝑥 𝑛
𝑏 𝑛
𝑥 𝑛
+𝑏 𝑛
𝑎 𝑛
= 𝑏2𝑛
𝑎 𝑛
+ 𝑥 𝑛
𝑏 𝑛
𝑥 𝑛
− 𝑥 𝑛
= 𝑏2𝑛
𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛(𝑏 𝑛
− 1) = 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
(𝑏 𝑛
− 1)
𝑥 𝑛
= (𝑎𝑏) 𝑛
→ 𝑥 = 𝑎𝑏
18. Hallar 𝑥 + 𝑦
2 𝑥
+ 5 𝑦
= 9 (1)
2 𝑥+2
− 5 𝑦+1
= −9 (2)
a) 6 b) 9 c) 3 d) 4 e) 10
Resolución
Haciendo 2 𝑥
= 𝑎 y 5 𝑦
= 𝑏
En (1) 𝑎 + 𝑏 = 9
En (2) 4𝑎 − 5𝑏 = −9
Resolviendo el sistema
𝑎 = 4 → 2 𝑥
= 22
→ 𝑥 = 2
𝑏 = 5 → 5 𝑦
= 5 → 𝑦 = 1
Finalmente: 𝑥 + 𝑦 = 3
19. Resolver:
𝑏 𝑥 𝑛−𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
Dónde: 𝑏 = 𝑥 𝑥 𝑥
a) √ 𝑛 b) 1 c) √ 𝑛
𝑛
d) n e) N.A
Resolución
Remplazando
(𝑥 𝑥 𝑥
)
𝑥 𝑛−𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
𝑥 𝑥 𝑥+𝑛−𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
𝑥 𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
→ 𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
→ 𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑛
∴ 𝑥 = √ 𝑛
𝑛
20. Resolver:
18
−𝑥
18 = 𝑥−1
. 12
𝑥
18
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Resolución
1
18
𝑥
18
=
1
𝑥
. 12
𝑥
18
𝑥 = (18.12)
𝑥
18 → 𝑥 = (23
. 33
. )
𝑥
18
𝑥 = 6
𝑥
6 → 𝑥
1
𝑥 = 6
1
6
∴ 𝑥 = 6

5. Universidad Nacional Agraria de la Selva
Centro Preuniversitario
Algebra – Semana 02 - Solución
Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL
21. Resolver:
(𝑏 𝑏
. 𝑥) 𝑥
= 𝑏 𝑏1−𝑏
a) 𝑏 𝑏
b) 𝑏2
c)
1
𝑏
d) 𝑏 𝑏+1
e) 𝑏1−𝑏
Resolución
Elevando a la potencia 𝑏 𝑏
:
(𝑏 𝑏
. 𝑥) 𝑥.𝑏 𝑏
= 𝑏 𝑏1−𝑏.𝑏 𝑏
(𝑏 𝑏
. 𝑥) 𝑏 𝑏.𝑥
= 𝑏 𝑏1−𝑏+𝑏
(𝑏 𝑏
. 𝑥) 𝑏 𝑏.𝑥
= 𝑏 𝑏
→ 𝑏 𝑏
. 𝑥 = 𝑏
𝑥 =
𝑏
𝑏 𝑏
→ 𝑥 = 𝑏1−𝑏
22. Resolver:
4 𝑥
− 3 𝑥−
1
2 = 3 𝑥+
1
2 − 22𝑥−1
a)
1
3
b)
1
2
c)
3
2
d) 3 e)
5
2
Resolución
4 𝑥
−
3 𝑥
√3
= 3 𝑥
. √3 −
4 𝑥
2
4 𝑥
+
4 𝑥
2
= 3 𝑥
. √3 +
3 𝑥
√3
4 𝑥
(1 +
1
2
) = 3 𝑥
(√3 +
1
√3
)
(
4
3
)
𝑥
=
8
3√3
= (
4
3
)
3
2
→ 𝑥 =
3
2
23. Resolver:
√ 𝑚
1
3
+𝑥
2
9
−𝑥
= √ 𝑚
1
3
−𝑥
2
9
+𝑥
. √ 𝑚2
(
2
9
)
2
−𝑥2
a) 2 b) 1.8 c) 1.5 d) 2.5 e) 2.8
Resolución
𝑚
1
3
+𝑥
2
9
−𝑥
= 𝑚
1
3
−𝑥
2
9
+𝑥
. 𝑚
2
(
2
9
)
2
−𝑥2
1
3
+ 𝑥
2
9
− 𝑥
=
1
3
− 𝑥
2
9
+ 𝑥
+
2
(
2
9
)
2
− 𝑥2
Multiplicando a cada término por:
(
2
9
)
2
− 𝑥2
(
1
3
+ 𝑥) (
2
9
+ 𝑥) = (
1
3
− 𝑥) (
2
9
− 𝑥) + 2
Multiplicando
2
27
+
𝑥
3
+
2
9
𝑥 + 𝑥2
=
2
27
−
𝑥
3
−
2
9
𝑥 + 𝑥2
+ 2
𝑥
3
+
𝑥
3
+
2
9
𝑥 +
2
9
𝑥 = 2
Multiplicando por 9
3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 = 18 → 𝑥 = 1.8
24. Resolver la ecuación
exponencial:
𝑥 𝑥
=
1
√2
4
a)
1
2
b)
1
4
c)
1
16
d)
1
8
e)
3
2
Resolución
𝑥 𝑥
= (
1
2
)
1
4
= (
1
2
)
4(
1
4.4
)
= (
1
16
)
1
16
𝑥 𝑥
= (
1
16
)
1
16
→ 𝑥 =
1
16

6. Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/
25. Resolver el sistema
2 𝑥
= 5 + 3 𝑦
(1)
3 𝑦+1
= 2 𝑥+1
+ 17 (2)
Hallar x.y
a) 12 b) 22 c) 15 d) 25 e) 30
Resolución
Haciendo 2 𝑥
= 𝑎 y 3 𝑦
= 𝑏
En (1) 𝑎 = 5 + 𝑏
En (2) 3 𝑏 = 2𝑎 + 17
Resolviendo el sistema
𝑎 = 32 → 2 𝑥
= 25
→ 𝑥 = 5
𝑏 = 27 → 3 𝑦
= 33
→ 𝑦 = 3
Finalmente: 𝑥. 𝑦 = 15
26. Si 𝑎 𝑎 𝑎
= 𝑎2
, 𝑎 > 0, halle el valor
de 𝑎3𝑎
a) 8 b) 4 c) 6 d) 9 e) 18
Resolución
𝑎 𝑎
= 2 → (𝑎 𝑎)3
= 23
∴ 𝑎3𝑎
= 8
27. Si 1632𝑥
= 842𝑥
, entonces 𝑥 es
a)
1
3
b)3 c)2 d)
1
4
e)
1
2
Resolución
24.32𝑥
= 23.42𝑥
→ 4. 32𝑥
= 3. 42𝑥
(
3
4
)
2𝑥
= (
3
4
) → 2𝑥 = 1 → 𝑥 =
1
2
28. Si (2√7
3
)
𝑥
= 3136, entonces el
valor de 𝑥2
+ 1 es
a) 32 b) 29 c) 76 d) 23 e) 37
Resolución
(2√7
3
)
𝑥
= 3136
√23. 7
3 𝑥
= 562
→ 56
𝑥
3 = 562
𝑥
3
= 2 → 𝑥 = 6
Luego 𝑥2
+ 1 = 62
+ 1 = 37
29. Si (625)3 𝑎
= (125)4 𝑎
y 7 𝑏3
=
(343)3
Hallar 𝐸 = 𝑎3
− 𝑏
3
2
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 2
Resolución
54.3 𝑎
= 53.4 𝑎
→ 4. 3 𝑎
= 3. 4 𝑎
𝑎 = 1
7 𝑏3
= (73)3
→ 𝑏3
= 9 → 𝑏
3
2 = 3
𝐸 = 𝑎3
− 𝑏
3
2 = 13
− 3 = −2
30. Si 𝑥8−8 𝑥
= 8, hallar 𝐸 = √ 𝑥
3𝑥
a) 2√2
3
b) 2 c) √3
3
d) 2 e) √2
3
Resolución
𝑥
1
88 𝑥
= 8 → (𝑥
1
88 𝑥
)
88 𝑥
= 888 𝑥
√ 𝑥
𝑥 √ 𝑥
𝑥 √𝑥
𝑥 𝑥
= 888 𝑥
→ √ 𝑥
𝑥
= 8
𝐸 = √√ 𝑥
𝑥3
= √8
3
→ 𝐸 = 2
… sigan practicando…