整数環Zがpidである事を証明しました. 分かりやすくまとめたつもりです

1. 整数環ℤがPIDである事の証明
Hanpen Robot

2. 「ℤがPIDである」とは？
• PIDは単項イデアル整域(Principal Integral Domain)の略です.
• 環RがPIDである ⇔ 全てのイデアルが 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑥 ∈ 𝑅}となる.
• 𝑎 という形のイデアルを，単項イデアルという.
• 整数環ℤがPIDである ⇔ 全てのイデアルが nℤ = (𝑛)
• つまり，倍数の集合になるって事

3. 「ℤがPIDである」の証明
• ℤの任意のイデアルを𝕒とする.
• イデアル𝕒の任意の元𝑚を取り出す. そして， 𝕒 の元で絶対値が
一番小さい元𝑛(ただし，𝑛 ≠ 0) で割ってみる. すると・・・
• 𝕒 ∋ 𝑚 = 𝑞𝑛 + 𝑟 (|𝑛| > |𝑟| ≥ 0) とかける. (𝑞, 𝑛, 𝑟 ∈ ℤ)
• 式変形すると、 r = 𝑚 − 𝑞𝑛 となる.
• ここで，𝑛は𝕒 の元で絶対値が一番小さく， |𝑛| > |𝑟| ≥ 0なので
• 𝑟 = 0となる.(∵整数はとびとびの値しか取れないから)
• ゆえに, 𝕒 ∋ 𝑚 = 𝑞𝑛， そして，𝑚はイデアル𝕒の任意の元なので,
• 𝕒 = 𝑛ℤ = 𝑛 = 𝑞𝑛 𝑞 ∈ ℤ}
• ℤの任意のイデアルは単項イデアルである.

4. 「ℤがPIDである」の証明
• 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ と仮定すると， 𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 𝑜𝑟 𝑏 = 0 が成立するので
• ℤは整域である.
• ∴ ℤはPID
• 証明終了！

5. 終