Makalah ini membahas tentang penyebaran ketidakpastian dalam pengukuran fisika. Beberapa poin penting yang dibahas antara lain ketidakpastian dalam pengukuran langsung, aturan akar kuadrat pada perhitungan ketidakpastian, penjumlahan dan pengurangan serta perkalian dan pembagian ketidakpastian, dan rumus umum untuk menghitung ketidakpastian penyebaran.

1. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 1
MAKALAH
FISIKA EKSPERIMEN I
“PENYEBARAN KETIDAKPASTIAN”
KELOMPOK 3
DINA NOVSIANI (E1Q015013)
ENDANG SRI WAHYUNI (E1Q015015)
FARIZAH YULIANTI (E1Q015016)
HALIMAH (E1Q015018)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARM
2017

2. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 2
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan kesempatan kepada kami
sehingga dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Kedua kalinya shalawat
serta salam tidak lupa kami haturkan atas junjungan alam Nabi besar Muhammad SAW yang
telah membawa kita dari alam kegelapan menuju alam yang terang benderang dengan iman
dan takwa.
Terimakasih pula kepada dosen Fisika Eksperimen I yang telah memberikan
bimbingan kami untuk menyelesaikan tugas makalah ini. Tak terkecuali juga pada pihak-
pihak lain yang telah membantu dalam membuat makalah ini. Makalah ini dibuat untuk
memenuhi tugas Fisika Eksperimen I, sesuai dengan ketentuan yang ditetapkan.
Tak ada gading yang tak retak, tak ada manusia yang luput dari kesalahan. Begitu
juga dengan makalah ini yang masih banyak kekurangan. Oleh karena itu sangat diharapkan
kritik dan saran dari pembaca untuk kesempurnaan makalah berikutnya. Semoga makalah ini
bermanfaat bagi pembaca dan khususnya untuk penulis sendiri.
Mataram, 05Oktober 2017
Penyusun

3. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 3
DAFTAR ISI
Halaman Judul
Kata Pengantar ........................................................................................................................ i
..................................................................................................................................................
Daftar Isi .................................................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.......................................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................................................1
1.3 Tujuan....................................................................................................................1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung .......................................................3
2.2 Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan................................................................4
2.3 Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian...................................6
2.4 Dua Kasus Khusus Penting .................................................................................11
2.5 Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan ......................................................14
2.6 Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal .......................................................17
2.7 Perubahan Fungsi dari Satu Variabel ..................................................................20
2.8 Langkah-langkah Penyebaran .............................................................................24
2.9 Contoh Penyebaran Kesalahan............................................................................25
2.10 Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran ......................................................31
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan..........................................................................................................37
DAFTAR PUSTAKA

4. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 4
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sebagian besar besaran fisika biasanya tidak dapat diukur menggunakan pengukuran
tunggal langsung, tetapi dapat diukur dalam dua langkah yang berbeda. Pertama, kita
mengukur satu atau lebih besaran yang dapat diukur secara langsung. Kedua, kita
menggunakan hasil pengukuran besaran sebelumnya untuk menghitung besaran yang
lain. Sebagai contoh, untuk menemukan luas persegi panjang, kita mengukur panjang l
dan tinggi t, kemudian kita dapat menghitung luas persegi panjang. Dengan cara yang
sama, kita dapat menemukan kecepatan sebuah benda dengan cara mengukur jarak d
dan waktu yang dibutuhkan t, kemudian kita dapat menghitung 𝑣 = 𝑑 / 𝑡. .
Ketika pengukuran melibatkan dua langkah ini, nilai ketidakpastian juga
melibatkan dua langkah. Pertama kita harus memperkirakan ketidakpastian pada
pengukuran secara langsung dan kemudian menentukan bagaimana ketidakpastian ini
"menyebar" melalui perhitungan selanjutnya. Penyebaran kesalahan adalah subjek utama
dari bab ini.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung?
2. Bagimana Aturan Akar-Kuadrat pada perhitungan?
3. Bagimana Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian?
4. Apa saja Dua Kasus Khusus Penting?
5. Bagimana Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan?
6. Apa yang dimaksud dengan Ketidakpastian Tunggal?
7. Bagimana Perubahan Fungsi dari Satu Variabel?
8. Apa saja langkah-langkah Penyebaran?
9. Apa saja Contoh penyebaran kesalahan?
10. Bagimana Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran?
1.3 Tujuan
1. Menjelaskan Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung.
2. Mengetahui Aturan Akar-Kuadrat pada Percobaan Menghitung.
3. Memahami Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian.
4. Memahami Dua Kasus Khusus Penting.

5. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 5
5. Memahami Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan.
6. Memahami Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal.
7. Mengetahui Perubahan Fungsi dari Satu Variabel.
8. Memahami Langkah-langkah Penyebaran.
9. Mengetahui Contoh kasus penyebaran kesalahan
10. Menjelaskan Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran.

6. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 6
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung
Hampir semua pengukuran langsung melibatkan pembacaan skala (misalnya
pada penggaris, jam, atau voltmeter) atau tampilan digital (misalnya, pada jam digital
atau voltmeter). Sumber utama ketidakpastian adalah pembacaan skala. Misalnya, jika
kita mengukur panjang l dengan penggaris dalam satuan milimeter, kita cukup
memutuskan bahwa panjangnya bisa dibaca dalam milimeter terdekat tapi tidak lebih.
Disini, ketidakpastian 𝛿𝑙 akan menjadi𝛿𝑙 = 0.5 𝑚𝑚.
Jika kita hanya melihat pada skala dan melupakan sumber ketidakpastian, kita
akan salah dalam menentukan jumlah ketidakpastian. Bahkan, kesalahan paling umum
siswa adalah mengabaikan sumber ketidakpastian dan meremehkan ketidakpastian.
Tentu saja, kita juga harus menghindari kesalahan. Penelitian yang dilakukan dengan
hati-hati dan menggunakan ketidakpastian pada semua pengukuran dapat menghindari
kesalahan. Jelas, yang ideal adalah menemukan semua kemungkinan penyebab
ketidakpastian dan memperkirakan pengaruhnya secara akurat, yang kedengarannya
tidak terlalu sulit.
Setidaknya, membaca meter digital jauh lebih mudah daripada meter analog
konvensional. Kecuali meter digital yang rusak, seharusnya hanya menampilkan angka
signifikan. Oleh karena itu, biasanya cukup aman untuk mengatakan bahwa jumlah
angka penting dalam hasil bacaan meter digital justru menampilkan tampilan yang lebih
baik. Jadi, voltmeter digital yang memberitahu kita bahwa 𝑉 = 81 microvolts bisa
berarti bahwa ketidakpastian adalah senilai dari 𝛿𝑉 = 0,5 sampai𝛿𝑉 = 1 atau lebih.
Tanpa panduan untuk memberitahu kita ketidakpastian dalam meter digital, asumsi
yang masuk akal adalah bahwa ketidakpastian pada digit terakhir adalah ± 1 (sehingga
tegangan yang disebutkan yaitu V = 81 ± 1).
Meter digital, bahkan lebih baik dari skala analog, karena dapat memberikan
pengaruh akurasi. Sebagai contoh, seorang siswa mungkin menggunakan timer digital
untuk mengukur waktu jatuhnya berat di mesin Atwood atau perangkat serupa. Jika
pada timer menampilkan 8.01 detik, waktunya adalah:
𝒕 = 𝟖. 𝟎𝟏 ± 𝟎. 𝟎𝟏 𝒔. (2.1)

7. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 7
Namun, belajar mengulangi percobaan di bawah hampir identik menemukan
pengukuran kedua dari 8.41 s; itu adalah,
𝑡 = 8.41 ± 0.01 𝑠.
Satu penjelasan dari perbedaan besar ini adalah bahwa ketidakpastian dalam
memulai prosedur bervariasi pada kondisi awalnya dan karena pada saat jatuh; yaitu,
diukur benar-benar berbeda. Dalam kasus lain, akurasi telah disebutkan dalam
Persamaan ( 2.1). Berdasarkan dua pengukuran yang dilakukan, jawaban yang lebih
realistis adalah
𝑡 = 8.2 ± 0.2 𝑠.
khususnya, ketidakpastian adalah sekitar 20 kali lebih besar dari persamaan ( 2.1) yang
didasarkan pada pembacaan tunggal
Contoh ini membawa kita ke titik lain yang telah disebutkan dalam Bab 1.
Pengukuran dapat diulang-ulang, hal ini biasanya dilakukan dalam beberapa kali.
Sehingga menghasilkan nilai penyebaran yang memberikan indikasi yang baik dari
ketidakpastian, dan rata-rata nilainya hampir lebih pasti dan lebih dipercaya daripada
melakukan satu pengukuran. Bab 4 dan 5 mendiskusikan solusi statistik beberapa
pengukuran. Disini, kita lebih menekankan jika pengukuran adalah berulang, maka itu
harus dilakukan berulang, jika dalam pengukuran terjadi kesalahan sistematik, yang
mendorong semua hasil dalam arah yang sama (seperti jam yang berjalan lambat),
maka penyebaran dalam hasil tidak akan mencerminkan kesalahan sistematik.
Menghilangkan kesalahan sistematis tersebut memerlukan pemeriksaan kalibrasi dan
prosedur yang hati-hati.
2.2 Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan
Berbagai jenis pengukuran langsung memiliki ketidakpastian yang dapat
diukur dengan mudah. Beberapa percobaan mengharuskan kita untuk menghitung
peristiwa yang terjadi secara acak namun memiliki tingkat rata-rata yang pasti.
Misalnya, bayi yang lahir di rumah sakit masuk dengan cara acak, tapi sepanjang proses
kelahiran di rumah sakit itu kemungkinan terjadi dengan tingkat rata-rata yang pasti.
Bayangkan bahwa seorang ahli demografi yang ingin tahu tingkat ini menghitung 14
kelahiran dalam waktu dua minggu di rumah sakit setempat. Berdasarkan hasilnya, dia
mengatakan bahwa perkiraan terbaik untuk jumlah yang diharapkan dari kelahiran

8. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 8
dalam dua minggu adalah 14. Kecuali jika dia telah membuat kesalahan, bahwa 14
adalah angka persis dari kelahiran pada periode dua minggu yang diamati. Karena
kelahiran terjadi dengan cara acak, bagaimanapun juga, jelas bahwa tidak mungkin
angka 14 akan sama dengan jumlah rata-rata kenyataannya. Kelahiran di semua periode
dua minggu mungkin berjumlah 13, 15, atau bahkan pecahan nomor seperti 13,5 atau
14,7.
Terbukti, bahwa ketidakpastian dalam jenis eksperimen ini tidak dapat diamati
jumlah hitungannya. Sebaliknya, ketidakpastian dalam beberapa angka yang diamati
mendekati jumlah rata-rata yang benar. Masalahnya adalah untuk memperkirakan
seberapa besar ketidakpastian ini, dalam Bab 11, jawabannya adalah sangat sederhana
dan mudah. Dinyatakan bahwa ketidakpastian dalam jumlah yang dihitung dari
peristiwa acak, sebagai perkiraan yang benar dari jumlah rata-rata, adalah akar kuadrat
dari jumlah yang dihitung. Dalam contoh, ahli demografi menghitung 14 kelahiran
dalam waktu dua minggu. Oleh karena itu, ketidakpastiannya adalah √14 ≈ 4, dan
kesimpulan akhirnya adalah
(𝑘𝑒𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑔𝑔𝑢) = 14 ± 4.
Untuk membuat pernyataan ini menjadi lebih umum, misalkan kita
menghitung kejadian dari setiap acara (seperti kelahiran bayi di rumah sakit) yang
terjadi secara acak tetapi pada tingkat rata-rata yang pasti. Misalkan kita menghitung
untuk interval waktu yang dipilih T (seperti dua minggu). Berdasarkan penelitian ini,
perkiraan terbaik untuk jumlah rata-rata kejadian di waktu T adalahjumlah v yang
diamati, dan ketidakpastian dalam perkiraan ini adalah akar kuadrat dari jumlah, yaitu
√ 𝑣. Oleh karena itu, jawaban untuk rata-rata jumlah kejadian dalam waktu T adalah
(𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑻 = 𝒗 ± √𝒗 (2.2)
Saya mengacu pada hasil penting ini seperti Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan
Contoh yang paling menonjol adalah dalam pelajaran radioaktivitas. Pada bahan
radioaktif masing-masing inti meluruh pada waktu acak, tetapi peluruhan dalam sampel
yang besar terjadi pada tingkat rata-rata yang pasti. Untuk menemukan tingkat ini, kita
dapat menghitung jumlah v dari beberapa selang waktu T; jumlah yang diharapkan dari
peluruhan dalam waktu T, dengan ketidakpastian yang kemudian diberikan oleh aturan
akar-kuadrat (2.2).

9. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 9
2.3 Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian
Pada bab ini, kita akan memperkirakan bahwa jika kita telah mengukur satu
atau lebih jumlah , 𝑦, .. . , sesuai dengan ketidakpastian 𝑥, 𝛿𝑦, . .. , dan sekarang kita
ingin menggunakan nilai yang telah diukur dari 𝑥, 𝑦, . . . , untuk menghitung jumlah
nilai riil 𝑞. Perhitungan 𝑞 biasanya langsung; masalahnya adalah bagaimana
ketidakpastian, 𝛿𝑥, 𝛿𝑦, . . , menyebar melalui perhitungan dan menyebabkan
ketidakpastian 𝛿𝑞 di nilai akhir 𝑞.
 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
Pada bab 2 telah dibahas apa yang terjadi ketika kita mengukur dua nilai 𝑥 dan
у serta menghitung jumlah 𝑥 + 𝑦, atau perbedaan 𝑥 − 𝑦. Untuk memperkirakan
ketidakpastian dalam penjumlah atau pengurangan, kemungkinan nilai tertinggi
dan terendah 𝑥 adalah 𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡 ± 𝛿𝑥, dan dari у adalah 𝑦 𝑏𝑒𝑠𝑡 ± 𝛿𝑦. Oleh karena itu,
kemungkinan nilai tertinggi 𝑥 + у adalah
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + (𝛿𝑥 + 𝛿𝑦)
dan kemungkinan nilai terendah adalah
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 − (𝛿𝑥 + 𝛿𝑦)
Dengan demikian, nilai untuk 𝑞 = 𝑥 + у adalah
𝑞 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 − 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
dan ketidakpastian adalah
𝜹𝒒 ≈ + 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚 (2.3)
Pendapat yang sama menunjukkan bahwa ketidakpastian dalam perbedaan 𝑥 − у
diberikan oleh rumus yang sama (2.3). Artinya, baik ketidakpastian jumlah 𝑥 + у
atau pengurangan 𝑥 − у adalah jumlah 𝛿𝑥 + + 𝛿𝑦 dari ketidakpastian di x dan y.
Jika kita memiliki beberapa nilai x, . . . ,w untuk ditambahkan atau
dikurangi, kemudian diulang. Penerapan (2.3) memberikan aturan sementara,
sebagai berikut.

10. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 10
Ketidakpastian pada Penjumlahandan Pengurangan
Jika beberapa jumlah x, . . . ,w diukur denganδx, . . . ,δW, dan
nilai-nilai yang telah diukur digunakan untuk menghitung
𝑞 = 𝑥 + . . .+ 𝑧 − (𝑢 + . . .+ 𝑤),
maka ketidakpastian dalam nilai yang dihitung dari q adalah
jumlah,
𝛿𝑞 ≈ 𝛿𝑠 + . . . + 𝛿𝑧 + 𝛿𝑢 + . . .+ 𝛿𝑤,
dari semua ketidakpastian asli.
(2.4)
Dengan kata lain, ketika kita menjumlahkan atau mengurangi sejumlah angka,
ketidakpastian akan bertambah.
Contoh: Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh sederhana, dilakukan sebuah percobaan yaitu mencampurkancairan
dari dua botol. Pertama diukur massa botol secara terpisah ketika botol terisi penuh
dan ketika botol tersebut kosong, dengan hasil perhitungan sebagai berikut:
𝑀1 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 (𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑢ℎ) = 540 ± 10 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑚1 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 ( 𝑘𝑜𝑠𝑜𝑛𝑔) = 72 ± 1 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑀2 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎( 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑢ℎ) = 940 ± 20 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑚2 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑏𝑜𝑡𝑜𝑙 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 (𝑘𝑜𝑠𝑜𝑛𝑔) = 97 ± 1 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑠
Sekarang menghitung massa total cair sebagai:
𝑀 = 𝑀1 − 𝑚1 + 𝑀2 − 𝑚2
= 540 − 72 + 940 − 97) 𝑔𝑟𝑎𝑚
=1,311 𝑔𝑟𝑎𝑚.
Sesuai dengan peraturan (2.4), ketidakpastian dalam jawaban ini adalah jumlah
dari semua ketidakpastian,
𝛿𝑀 ≈ 𝛿М1 + 𝛿𝑚1 + 𝛿𝑀2 − 𝛿𝑚1 𝛿𝑀
= (10 + 1 + 20 + 1) 𝑔𝑟𝑎𝑚 = 32 𝑔𝑟𝑎𝑚

11. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 11
Jadi, jawaban akhir nya adalah
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑖𝑟 = 1,310 ± 30 𝑔𝑟𝑎𝑚
Perhatikan bagaimana ketidakpastian massa dari botol kosong jauh lebih kecil,
yang membuat kontribusi diabaikan dengan ketidakpastian akhir. Pengaruh ini
penting, dan kita akan membahasnya nanti. Berdasarkan pengalaman, kita dapat
belajar mengidentifikasi ketidakpastian yang diabaikan dan memang dapat
diabaikan dari awal. Karena seringkali, hal ini dapat menyederhanakan
perhitungan ketidakpastian.
 PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
Bagian 2.9 membahas ketidakpastian hasil di 𝑞 = 𝑥𝑦 dari dus pengukuran
nilai. Kita melihat bahwa, penyediaan ketidakpastian pecahan berpotensi kecil,
ketidakpastian pecahan di 𝑞 = 𝑥𝑦 adalah jumlah ketidakpastian pecahan di x dan
y. Seperti yang kita lihat, ketidakpastian dalam sebuah hasil bagi diberikan oleh
aturan yang sama seperti untuk hasil ketidakpastian pecahan di 𝑞 = 𝑥 / 𝑦 adalah
sama dengan jumlah dari ketidakpastian pecahan di x dan y. Karena ketidakpastian
dalam perkalian dan hasil bagi yang terbaik dinyatakan dalam ketidakpastian
pecahan, notasi singkat untuk yang keduanya akan membantu. Kesimpulan bahwa
jika kita mengukur beberapa nilai x adalah:
(𝑢𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥) = 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ± 𝛿𝑥
dengan cara biasa, maka ketidakpastian pecahan di x didefinisikan sebagai
(𝑘𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑖 𝑥) =
𝛿𝑥
| 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘|
Hasil pengukuran kuantitas x dapat dinyatakan dalam sebagian kecil yang Salah
nasional 𝛿𝑥 ⁄ | 𝑥| adalah
( 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥) = 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 (𝑙 ±
𝛿𝑥|
| 𝑥|
).
Oleh karena itu, nilai 𝑞 = 𝑥 / 𝑦 dapat ditulis sebagai
( 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑞) =
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
1 ± 𝛿𝑥
| 𝑥|⁄
1 ±
𝛿𝑦
| 𝑦|⁄

12. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 12
Masalah kita sekarang adalah untuk menemukan nilai-nilai kemungkinan ekstrim
faktor kedua yang benar. Faktor terbesar ini, misalnya, jika pembilang memiliki
nilai terbesar,1 + 𝛿𝑥
| 𝑥|⁄ , dan penyebut memiliki nilai terkecil, 1 −
𝛿𝑦
| 𝑦|⁄ . Dengan
demikian, kemungkinan nilai q yang terbesar dari 𝑞 = 𝑥 / 𝑦 adalah
( 𝒏𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 𝒅𝒂𝒓𝒊 𝒒) =
𝒙𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌
𝒚 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌
𝟏 + 𝜹𝒙
| 𝒙|⁄
𝟏 −
𝜹𝒚
| 𝒚|⁄
(2.5)
Faktor yang terakhir dalam bagian (3.5) memiliki bentuk (1 + 𝑎) / (𝑙 − 𝑏), di
mana nilai a dan b biasanya kecil (yaitu, kurang dari 1). Hal ini dapat
disederhanakan oleh dua perkiraan. Pertama, karena b kecil, theorema binomial
menyiratkan bahwa
𝟏
(𝟏 − 𝒃)
≈ 𝟏 + 𝒃
(2.6)
Oleh karena itu ,
(1 + 𝑎)
(1 − 𝑏)
≈ (1 + 𝑎)(𝑙 + 𝑏) = 1 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏
≈ 1 + 𝑎 + 𝑏
di mana, di baris kedua, kita telah mengabaikan produk dari dua jumlah kecil. Jika
kita kembali ke (2.5) dan menggunakan pendekatan ini, kita akan menemukan
kemungkinan terbesar nilai 𝑞 = 𝑥 / 𝑦.
( 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑞) =
𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑦 𝑏𝑒𝑠𝑡
(1 +
𝛿𝑥
| 𝑥|
+
𝛿𝑦
| 𝑦|
)
Sebuah perhitungan yang sama menunjukkan bahwa kemungkinan nilai terkecil
yang diberikan oleh sejenis ekspresi dengan dua tanda dikurangi. Jika
dinggabungkan keduanya, akan menemukan bahwa:
(𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑞) =
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
( 1 ± [
𝛿𝑥
| 𝑥|
+
𝛿𝑦
| 𝑦|
] )
Bandingkan persamaan ini dengan bentuk standar,
( 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑞) = 𝑞 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 (1 ±
𝛿𝑞
| 𝑞|
)

13. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 13
kita melihat bahwa nilai untuk q adalah 𝑞 𝑏𝑒𝑠𝑡 =
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
𝑦𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
. Seperti yang kita
harapkan, bahwa ketidakpastian pecahannya adalah
𝜹𝒒
| 𝒒|
≈
𝜹𝒙
| 𝒙|
+
𝜹𝒚
| 𝒚|
(2.7)
Kita dapat menyimpulkan bahwa ketika kita membagi atau memperbanyak
jumlah x dan y, ketidakpastian pecahan hasilnya adalah jumlah dari ketidakpastian
pecahan di x dan y, seperti dalam ( 2.7). Jika sekarang kita mengalikan atau
membagi serangkaian bilangan, pengulangan penerapan hasil ini mengarah pada
aturan sebagai berikut.
Ketidakpastian hasil dan analisis hasil bagi
Jika beberapa jumlah x,. . . , w diukur dengan un- kecil
kepastian 𝜹x,. . ., 𝜹w, dan nilai-nilai yang diukur digunakan
untuk menghitung
𝑞 =
𝑥 × . . . × 𝑧
𝑢 × . . . × 𝑤
maka ketidakpastian pecahan dalam nilai yang dihitung dari q
adalah jumlah
𝜹𝒒
| 𝒒|
≈
𝜹𝒙
| 𝒙|
+ ⋯ +
𝜹𝒛
| 𝒛|
+
𝜹𝒖
| 𝒖|
+ ⋯+
𝜹𝒘
| 𝒘|
(2.8)
dari ketidakpastian pecahan di x, . . . ,w.
Secara singkat, ketika bilangan dikalikan atau dibagi maka ketidakpastian pecahan
akan dijumlahkan.
contoh: Masalah pada Survei
Dalam sebuah survei, kadang-kadang ditemukan nilai untuk panjang (l) tidak
dapat diakses (seperti ketinggian pohon yang tinggi) dengan mengukur tiga panjang
lainnya I1, I2 ,I3 adalah

14. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 14
𝐼
𝑙1 𝑙2
𝑙3
Misalkan kita melakukan sebuah percobaan dan mendapatkan hasil berikut
𝑙1 = 200 ± 2, 𝑙2 = 5,5 ± 0,1, 𝑙3 = 10,0 ± 0,4.
Perkiraan yang terbaik untuk l adalah
𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 =
200 𝑥 5,5
10,0
= 110 𝑓𝑡
Sesuai dengan ( 2.8), ketidakpastian pecahan dalam jawaban ini adalah jumlah dari
ketidakpastian I1, I2 , dan I3 yaitu 1%, 2%, dan 4%, masing-masing. Dengan
demikian:
𝛿𝑙
𝑙
≈
𝛿𝐼1
𝑙1
+
𝛿𝑙2
𝑙2
+
𝛿𝐼3
𝑙3
dan jawaban akhirnya adalah:
𝑙 = 110 ± 8 𝑓𝑡.
2.4 Dua Kasus Khusus yang Penting
Dua kasus khusus yang penting dari aturan (2.8) telah disebutkan. Pertama
menyangkut hasilkali dari dua angka, yang salah satunya tidak memiliki ketidakpastian;
yang lain melibatkan bilangan berpangkat (seperti x3) dari sejumlah angkayang di ukur.
NILAI PENGUKURAN JUMLAH WAKTU YANG TEPAT
Misalkan jika telahmengetahuinilai x dan menggunakannya untuk menghitung 𝑞 =
𝐵𝑥, di mana nilai B tidak memiliki ketidakpastian. Sebagai contoh, ketika mengukur
diameter lingkaran dan menghitung lingkarnya, 𝑐 = 𝜋 × 𝑑, atau mengukur ketebalan
T dari 200 lembar kertas dan menghitung ketebalan satu lembar sebagai 𝑡 =
(1 / 200) × 𝑇. Menurut aturan (2.8), ketidakpastian pecahan di 𝑞 = 𝐵𝑥 adalah
jumlah dari ketidakpastian pecahan di B dan x. Karena 𝛿𝐵 = 0, hal ini berarti bahwa:
δq
|q|
=
δx
|x|
Artinya, ketidakpastian pecahan di 𝑞 = 𝐵𝑥 (dengan B diketahui persis) adalah sama
dengan yang di x. Kita dapat mengungkapkan bahwa hasil ini berbeda jika kita kalikan

15. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 15
melalui |𝑞| = |𝐵𝑥| agar δq = |B|δx, dan kita memiliki aturan yang yang bisa
digunakan sebagai berikut:
Nilai pengukuran Waktu yang tepat
Jika nilai x diukur dengan ketidakpastian δx, kemudian digunakan untuk
menghitung
q = Bx,
dimana B tidak memiliki ketidakpastian, maka ketidakpastian di
q hanya | 𝑩 | kali di x,
𝛅𝐪 = | 𝐁| 𝛅𝐱
(2.9)
Aturan ini sangat berguna untuk mengukur sesuatu yang sangat kecil tapi
dilakukan secara berulang, seperti ketebalan selembar kertas atau waktu pada sebuah
putaran yang berputar sangat cepat. Sebagai contoh, jika kita mengukur ketebalan T
dari 200 lembar kertas dan memperoleh jawaban:
(𝑘𝑒𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛 200 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟) = 𝑇 = 1,3 ± 0,1 𝑖𝑛𝑐𝑖
Dengan begitu, ketebalan t dari satu lembar kertas adalah
(𝑘𝑒𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟) = 𝑡 = 1/200 × 𝑇
= 0,0065 ± 0,0005 𝑖𝑛𝑐𝑖.
Perhatikan bagaimana cara tersebut (mengukur ketebalan beberapa lembar kertas dan
membaginya dengan jumlah totalnya) ini dapat memudahkan pengukuran yang lainnya
yang membutuhkan peralatan lebih canggih dan ternyataa cara ini memberikan
ketidakpastian yang sungguh kecil. Tentu saja, setiap lembar harus diketahui masing-
masing tebalnya.
DAYA
Kasus khusus yang kedua dari aturan (2.8) membahas tentang kekuatan (daya)
beberapa nilai yang diukur. Sebagai contoh, kita mengukur kecepatan v dari beberapa
obyek untuk kemudian kita dapat mencari energi kinetiknya 1 2⁄ mv2
, atau untuk

16. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 16
menghitung persegi v2
. Karena v2
adalah v × v, maka dari persamaan (2.8) bahwa
ketidakpastian pecahan di v2
adalah dua kali ketidakpastian pecahan dalam v. Secara
umum, dari persamaan (2.8) aturan umum untuk setiap daya jelas sebagai berikut.
Ketidakpastian dalam Daya
Jika nilai x diukur dengan ketidakpastian δx dan nilai yang diukur
digunakan untuk menghitung daya
q = xn
maka ketidakpastian pecahan di q adalah n kali di x,
𝛅𝐪
| 𝐪|
= 𝐧
𝛅𝐱
| 𝐱|
(2.10)
Asal-usul dari aturan ini perlu diketahui bahwa 𝑛 adalah bilangan bulat positif.
Bagaimanapun juga, aturan ini menyamaratakan untuk menyertakan setiap eksponen 𝑛,
seperti yang akan kita lihat nanti dalam Persamaan (2.26).
Contoh: Pengukuran g
Misalkan mahasiswa mengukur nilai g, percepatan gravitasi, dengan mengukur waktu t
untuk sebuah batu yang jatuh dari ketinggian h di atas tanah. Setelah melakukan
beberapa percobaan, dia menyimpulkan bahwa
𝑡 = 1,6 ± 0,1 𝑠
Dan pengukuran tertinggi dari h yaitu :
ℎ = 46.2 ± 0.3 𝑓𝑡
Karena rumus h yang diberikan ℎ = 1 2⁄ 𝑔𝑡2
, ia menghitung g sebagai
g =
2h
t2
=
2 × 46,2 ft
(1.6 s)2
= 36.1 ft s2⁄
Apa yang dimaksud dengan ketidakpastian pada jawaban tersebut?
Ketidakpastian dalam jawaban tersebut dapat ditemukan dengan menggunakan aturan
yang telah dikembangkan. Untuk tujuan ini, kita perlu mengetahui bahwa
ketidakpastian pecahan di masing-masing faktor dalam g = 2h/t2
digunakan untuk

17. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 17
menghitung g. Faktor 2 tidak memiliki ketidakpastian. Dan ketidakpastian di h dan t
adalah
δh
h
=
0.3
46.2
= 0.7%
Dan
δt
t
=
0.1
1.6
= 6.3%
Menurut aturan (2.10), ketidakpastian dari t2 adalah dua kali dari t. Oleh karena itu,
penerapan aturan (2.8) untuk hasilkali dan hasil bagi dengan rumus g = 2h/t2
, kami
menemukan ketidakpastian:
𝛅𝐠
𝐠
=
𝛅𝐡
𝐡
+ 𝟐
𝛅𝐭
𝐭
= 𝟎. 𝟕% + 𝟐 ( 𝟔. 𝟑%) = 𝟏𝟑. 𝟑%
(2.11)
Dan ketidakpastiannya
δg = (36.1 ft s2
) ×
13.3
100
⁄ = 4.80 ft s2⁄
Jadi, jawaban akhir dari mahasiswa tersebut (jika dibulatkan) adalah
g = 36 ± 5 ft/s2
.
2.5 Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan
Aturan yang telah disajikan sejauh ini dapat diringkas: Jika hasil pengukuran
ditambahkan atau dikurangi, ketidakpastian bertambah; ketika hasil pengukuran
dikalikan atau dibagi, ketidakpastian pecahan bertambah. Dalam bagian berikutnya,
kita akan membahas bagaimana, dalam kondisi tertentu, ketidakpastian yang telah
dihitung dengan menggunakan aturan-aturan ini mungkin tidak semestinya besar.
Secara khusus, kita akan melihat bahwa jika ketidakpastian asli yang tunggal dan acak,
lebih realistis (dan kecil) dari ketidakpastian akhir yang diberikan oleh aturan yang
sama dimana ketidakpastian (atau ketidakpastian pecahan) yang ditambahkan dalam
quadrature (prosedur yang didefinisikan). Pertama, mari kita menghitung jumlah, 𝑞 =
𝑥 + 𝑦, dari dua angka x dan yang telah diukur dalam bentuk standar
( hasil pengukuran x) = 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ± 𝛿𝑥

18. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 18
dengan ungkapan yang sama untuk y. Ungkapan yang digunakan di bagian terakhir
adalah sebagai berikut: Pertama, penilaian terbaik untuk 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 adalah 𝑞 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 =
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + 𝑦𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘. Kedua, nilai yang tinggi untuk kemungkinan x dan y adalah 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 +
𝛿𝑥 dan 𝑦𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 + 𝛿𝑦, nilai q yang tertinggi adalah
xterbaik + yterbaik + δx + δy (2.12)
Demikian pula, kemungkinan nilai terendah 𝑞 adalah
xterbaik + yterbaik − δx − δy
Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan, nilai q mungkin terletak di antara dua
angka-angka ini, dan ketidakpastian di q adalah
δq ≈ δx + δy
Untuk mengetahui mengapa rumus δq ini diperkirakan terlalu tinggi, maka kita
perhatikan bagaimana nilai q yang sebenarnya sehingga bisa menyamakan nilai
tertinggi yang ekstrim pada (2.12). Jelas, bahwa hal ini terjadi jika kita mengabaikan x
dengan jumlah total δx dan mengabaikan y dengan jumlah total δy, jelas hal yang tidak
diperbolehkan. Jika x dan y diukur secara tunggal dan acak, kita memiliki peluang 50%
untuk dapat mengabaikan x disertai dengan diperkirakan terlalu tinggi dari y, atau
sebaliknya. Maka, kemungkinan kita akan mengabaikan x dan y dengan jumlah total δx
dan δy sangat kecil. Oleh karena itu, nilai δq ≈ δx + δy menekankan bahwa
kemungkinan terjadi kesalahan.
Apa perkiraan yang lebih baik dari δq? Jawabannya tergantung pada apa yang
kita maksud dengan ketidakpastian .Hal ini juga tergantung pada hukum yang mengatur
statistik kesalahan dalam pengukuran. Pada bab 5 yang membahas normal atau Gauss,
distribusi, yang menggambarkan pengukuran tunggal ketidakpastian acak. Ini
menunjukkan bahwa jika pengukuran x dan y yang dibuat secara tunggal dan keduanya
diatur oleh distribusi normal, maka ketidakpastian di 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 ditunjukkan oleh
δq = √(δx)2 + (δy)2 (2.13)
Ketika kita menggabungkan dua angka dengan mengkuadratkannya,dan
mengambil akar kuadrat, seperti dalam (2.13), persamaan tersebut ditambahkan dalam
kuadrat. Dengan demikian, aturan yang terkandung dalam (2.13) dapat dinyatakan
sebagai berikut: Jika pengukuran x dan y adalah independen dan hanya tunduk

19. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 19
ketidakpastian acak, maka ketidakpastian δq pada nilai ukur dari 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 adalah
jumlah kuadrat atau kuadrat jumlah dari ketidakpastian δx dan δy. Bandingkan
pernyataan pada (2.13) untuk ketidakpastian di 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 dengan persamaan,
δq ≈ δx + δy (2.14)
Pertama, persamaan pada (2.13) selalu lebih kecil dari yang sebelumnya (2.14), seperti
yang dapat kita lihat dari pendapat geometris sederhana: Untuk setiap dua bilangan
positif a dan b, angka a, b, dan √a2 + b2 adalah tiga sisi segitiga siku-siku (Gambar
3.1). Karena panjang setiap sisi segitiga selalu kurang dari jumlah dua sisi lain,
√𝑎2 + 𝑏2
Gambar 2.2. Karena setiap sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi lain, ketidaksamaan
√a2 + b2 < 𝑎 + 𝑏 selalu benar.
Dua sisi lainnya, berikut bahwa √a2 + b2 < 𝑎 + 𝑏 dikarenakan pada persamaan (2.13)
selalu lebih kecil dari (2.14).
Karena pernyataan (2.13) untuk ketidakpastian di 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 selalu lebih kecil
dari (2.14), kita harus menggunakan (2.13). Hal ini, bagaimanapun juga, tidak selalu
berlaku. Pernyataan (2.13) mencerminkan kemungkinan bahwa terlalu tinggi dari 𝑥
dapat diimbangi dengan mengabaiakan y atau sebaliknya.
Kita akan membuktikan nanti (dalam Bab 9) itu, apakah kesalahan kita adalah
tunggal dan acak, ketidakpastian di 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 adalah tentu tidak lebih besar dari
yang sederhana dari penjumlahan δx + δy:
δq ≤ δx + δy
(3.15)

20. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 20
Artinya, pernyataan pada (3.14) untuk δq adalah sebenarnya sebuah batas
atas (yang berlaku dalamsemua kasus). Jika kita memiliki alasan untuk yang dicurigai
(kesalahan dalam x dan y tidak tunggal dan acak (seperti dalam contoh pengukuran
pita), kita tidak dibenarkan menggunakan jumlah kuadrat (3.13) untuk nilai δq. Di sisi
lain, terikat dengan (3.15) jaminan untuk δq tentu tidak lebih buruk daripada 𝛿𝑥 +
𝛿𝑦, dan tentu saja paling aman adalah dengan menggunakan aturan lama
δq ≈ δx + δy
Seringkali, apakah ketidakpastian ditambahkan dalam kuadratur atau
langsung membuat sedikit perbedaan. Sebagai contoh, misalkan panjang x dan y
diukur dengan ketidakpastian 𝛿𝑥 = 𝛿𝑦 = 2 𝑚𝑚. Jika kita yakin ketidakpastian ini
adalah tunggal dan acak, kita akan memperkirakan kesalahan dalam 𝑥 + 𝑦 menjadi
penjumlahan dalam kuadratur,
√(δx2) + (δy2) = √4 + 4 mm = 2.8 mm ≈ 3 mm
tetapi jika kita berpikir bahwa ketidakpastiannya kemungkinan tidak tunggal,
kita harus menggunakan penjumlahan biasa
δx + δy ≈ (2 + 2)mm = 4 mm
Dalam banyak percobaan, penilaian ketidakpastian begitu kasar bahwa
perbedaan antara kedua jawaban (3 mm dan 4 mm) tidak penting. Di sisi lain, kadang-
kadang jumlah di kuadrat secara signifikan lebih kecil dari pada jumlah biasa. Agak
mengherankan, jumlah di kuadrat kadang-kadang lebih mudah untuk menghitung dari
jumlah biasa.
2.6 Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal
Dalam pembahasan sebelumnya, kita membahas ketidakpastian acak,
bagaimana ketidakpastian tunggal dalam jumlah x dan y yang menyebabkan
ketidakpastian dalam penjumlahan 𝑥 + 𝑦. Kita melihat bahwa untuk jenis
ketidakpastian tersebut terdapat dua kesalahan yang harus ditambahkan dalam kuadrat.
Kita dapat mempertimbangkan masalah terkait pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Seperti yang akan kita lihat dalam Bagian 5.6, dalam semua kasus dan aturan
sebelumnya (2.4) dan (2.8) yang dimodifikasi bahwa jumlah kesalahan (atau kesalahan
terkecil) digantikan oleh jumlah kuadrat. Selanjutnya, pernyataan (2.4) dan (2.8) akan

21. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 21
terbukti menjadi batas atas yang menentukan apakah ketidakpastian yang itu tunggal
dan acak. Dengan demikian, versi terakhir dari dua aturan utama itu adalah sebagai
berikut:
Ketidakpastian dalam Penjumlahan dan Pengurangan
Misalkan x, w diukur dengan ketidakpastian δx, δw dan nilai yang diukur digunakan
untuk menghitung
𝑞 = 𝑥 + 𝑧 − (𝑢 + 𝑤)
Jika ketidakpastian x, w dikenal tunggal dan acak, maka ketidakpastian di q adalah
penjumlahan kuadrat.
δq = √(δx2) + (δz2) + (δu2)+ (δw2) (2.16)
dari ketidakpastian asli. Dalam kasus apapun, 𝛿𝑞 tidak pernah lebih besar dari jumlah
biasanya.
δq ≤ δx + δz + δu + δw (2.17)
Ketidakpastian pada Hasil Kali dan Hasil Bagi
Misalkan bahwa x,w diukur dengan ketidak pastian 𝜹𝒙, 𝜹𝒘 dan hasil pengukuran
digunakan untuk menghitung
𝑞 =
𝑥 𝑋 𝑧
𝑢 × 𝑤
Jika ketidakpastian pada x, w adalah ketidakpastian tunggal dan acak, dan
ketidakpastian terkecil di q adalah penjumlahan pada kuadratur dari ketidakpastian
pecahan,
𝛅𝐪
| 𝒒|
= √(
𝜹𝒙
𝒙
)
𝟐
+ . . .+(
𝛅𝐳
𝒛
)
𝟐
+ (
𝜹𝒖
𝒖
)
𝟐
+ . . .+ (
𝛅𝐰
𝒘
)
𝟐
(2.18)
Dalam kasus lain, itu tidak lebih besar dari penjumlahan biasa,

22. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 22
𝛿𝑞
| 𝑞|
≤
𝛿𝑥
| 𝑥|
+ . . .+
𝛿𝑧
| 𝑧|
+
𝛿𝑢
| 𝑢|
+ . . .+
𝛿𝑤
| 𝑤|
(2.19)
Perhatikan bahwa kita belum dibenarkan menggunakan penambahan kuadratur
untuk ketidakpastian acak tunggal. Kita berpendapat bahwa pada berbagai
ketidakpastian tunggal dan acak, ada kesempatan untuk pembatalan kesalahan dan
ketidakpastian yang dihasilkan (atau ketidakpastian pecahan) harus lebih kecil dari
jumlah sederhana dari ketidakpastian asli (atau ketidakpastian pecahan) ; jumlah di
kuadratur memang memiliki nilai. Kita memberikan pembenaran yang tepat
penggunaannya dalam Bab 5. pada (2.17) dan (2.19) telah dibuktikan dalam Bab 9.
Contoh: Penambahan Langsung dan Penambahan Kuadrat
Sebagaimana telah dibahas, kadang-kadang tidak ada perbedaan yang signifikan antara
ketidakpastian pengukuran dengan penambahan di kuadrat dan pengukuran itu dihitung
dengan penambahan. Seringkali, ada perbedaan yang signifikan, dan-cukup
mengejutkan-jumlah dikuadrat sering jauh lebih sederhana untuk mengukur. Untuk
melihat bagaimana hal ini bisa terjadi, kita dapat melihat contoh berikut.
Misalkan kita ingin mencari efisiensi motor listrik DC untuk mengangkat m
massa melalui ketinggian h. Gaya yang bekerja adalah mgh, dan energi listrik yang
dikirim ke motor VIt, di mana V adalah tegangan yang diberikan, dan t adalah waktu
yang berjalannya motor. Kemudian, efisiensinya:
efisiensi, e =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
energi untuk motor
=
mgh
VIt
Mari kita anggap bahwa m, h, V, dan I semua bisa diukur dengan akurasi 1%,
(ketidakpastian terkecil untuk m, h, V,dan I) = 1%
Dan bahwa pada waktunya, ketidakpastiannya 5%
(ketidakpastian terkecil untukt) = 5%
(ketidakpastian terkecil untuk m, h, V,dan I) = 1%
(Tentu saja, g dikenal dengan ketidakpastian yang diabaikan). Sekarang, jika kita
menghitung efisiensi e,
δe
e
≈
δm
m
+
δh
h
+
δV
V
+
δI
I
+
δt
t

23. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 23
= (1 + 1 + 1 + 1 + 5)% = 9%
Di sisi lain, ketidakpastian yang tunggal dan acak, maka kita dapat menghitung 𝛿𝑒 oleh
jumlah kuadrat, menjadi
𝛿𝑒
𝑒
= √(
𝛿𝑚
𝑚
)
2
+ (
𝛿ℎ
ℎ
)
2
+ (
𝛿𝑉
𝑣
)
2
+ (
𝛿𝐼
𝐼
)
2
+ (
𝛿𝑡
𝑡
)
2
= √(1%)2 + (1%)2 + (1%)2 + (1%)2 + (5%)2
=√29% ≈ 5%
Jelas,bahwa jumlah kuadrat mengarah ke perkiraan secara signifikan lebih kecil untuk
δe. Oleh karena itu, satu angka yang signifikan, ketidakpastian m, h, V, dan I
menjadikan tidak ada kontribusi sama sekali untuk ketidakpastian dalam e jika dihitung
dengan cara ini; yaitu, satu angka yang signifikan, kami telah menemukannya (dalam
contoh ini)
δe
e
=
δt
t
2.7 Perubahan Fungsi dari Satu Variabel
Sekarang kita telah mengetahui bagaimana ketidakpastian, baik tunggal dan
sebaliknya, menghitung melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Namun, banyak perhitungan yang memerlukan operasi yang lebih rumit, seperti
perhitungan sinus, cosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui bagaimana
ketidakpastian terkait dalam kasus ini.
Sebagai contoh, misalkan mencari indeks bias kaca n dengan mengukur sudut
kritis θ. Kita tahu dari optik dasar bahwa 𝑛 = 1/sin 𝜃. Oleh karena itu, jika kita dapat
mengukur sudut θ, kita dapat dengan mudah menghitung indeks bias n, tapi kemudian
kita harus memutuskan apa ketidakpastian δn di 𝑛 = 1/sin 𝜃 hasil dari ketidakpastian
δθ pada pengukuran θ.
Lebih umum, misalkan kita telah mengukur nilai x dalam bentuk standar
xterbaik ± δx dan ingin menghitung beberapa fungsi yg dikenal demgan q (x), seperti
q(x) = 1/sin x atau q(x) = √x. Cara mudah untuk perhitungan ini adalah dengan
menggambar grafik q (x) seperti pada Gambar 3.3. Penilaian terbaik untuk q (x), tentu

24. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 24
saja, qterbaik = q(xterbaik), dan nilai-nilai Xterbaik dan qterbaik terhubung oleh garis
berat pada Gambar 2.3.
Untuk memutuskan ketidakpastian δq, kami memperkenalkan pendapat biasa.
Kemungkinan nilai terbesar dari x adalah xterbaik + δx; menggunakan grafik, kita dapat
segera menemukan nilai kemungkinan terbesar q, yang ditampilkan sebagai qmax.
Demikian pula, kita dapat menarik kemungkinan terkecil nilai, qmin, seperti yang telah
ditunjukkan. Jika δx ketidakpastian pecahan (seperti yang kita tahu), maka bagian dari
grafik yang terlibat dalam konstruksi ini kira-kira lurus, qmax dan qmin akan mudah
dilihat dari kedua sisi qterbaik. Ketidakpastian δq bisa kemudian diambil dari grafik
sebagai salah satu dari panjang yang ditampilkan, dan kami telah menemukan nilai q
dalam bentuk standar qterbaik ± δq.
𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
Gambar 3.3.Grafik dari q(x) vs, x. Jika x diukur sebagai qterbaik ± δx. Maka penilaian
terbaik untuk q (x) adalah qterbaik = q(xterbaik). Kemungkinan nilai terbesar dan
terkecil q (x) sesuai dengan hasil xterbaik ± δx dari x.
Dari Gambar 3.3, kita melihat bahwa
𝜹𝒒 = 𝒒( 𝒙𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌 + 𝜹𝒙) − 𝒒(𝒙𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌) (2.20)
𝛿𝑞
𝑞 𝑚𝑎𝑥
𝑞 𝑚𝑖𝑛
𝑞 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘
𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘+𝛿𝑥𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘−𝛿𝑥
q
q (x)
x

25. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 25
Pendekatan fundamental kalkulus menyatakan bahwa, untuk setiap fungsi 𝑞(𝑥) untuk
setiap kenaikan adalah cukup kecil sebesar 𝑢,dimana:
𝑞( 𝑥 + 𝑢) − 𝑞( 𝑥) =
𝛿𝑞
𝛿𝑦
𝑢
Dengan demikian, ketidakpastian δx (seperti yang selalu kita anggap), dapat ditulis
ulang perbedaan (3.20) menjadi
𝜹𝒒 =
𝒅𝒒
𝒅𝒙
𝜹𝒙
(2.21)
Dengan demikian, untuk menemukan ketidakpastian δq kita hanya menghitung 𝑑𝑞/𝑑𝑥
dan turunan dikalikan dengan ketidakpastian δx.
Di sini, nilai maksimum mungkin 𝑞 𝑚𝑎𝑥 jelas sesuai dengan nilai minimum x,
sehingga
𝜹𝒒 = −
𝒅𝒒
𝒅𝒙
𝜹𝒙
(2.22)
Karena 𝑑𝑞/𝑑𝑥 adalah negatif, kita dapat menulis −𝑑𝑞/𝑑𝑥 sebagai |𝑑𝑞/𝑑𝑥|, dan kami
memiliki aturan umum berikut.
Ketidakpastian pada Fungsi Satu Variabel
Jika x diukur dengan 𝜹𝒙 dan digunakan untuk menghitung fungsi
q(x), dan ketidakpastian 𝜹𝒒 adalah
𝜹𝒒 = |
𝒅𝒒
𝒅𝒙
𝜹𝒙|
(2.23)
Aturan ini biasanya memungkinkan kita untuk menemukan 𝛿𝑞 dengan cepat dan
mudah. Kadang-kadang, jika 𝑞(𝑥) sangat rumit, mengevaluasi turunannya dapat
menjadi gangguan, dan akan kembali ke (2.20).
Contoh: Ketidakpastian pada Cosinus
Sebagai aplikasi sedrhana dari aturan (2.23), misalkan kita mengukur sebuat sudut 𝜃
sebagai:
𝜃 = 20 ± 3°

26. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 26
𝜹( 𝒄𝒐𝒔𝜽) = |
𝒅 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝜽
𝜹𝜽|
= | 𝐬𝐢𝐧 𝜽| 𝜹𝜽 (𝒊𝒏 𝒓𝒂𝒅)
(2.24)
Kita dapat mengindikasikan bahwa 𝛿𝜃 harus dijadikan radian, karena turunan dari
cos 𝜃 adalah sin 𝜃 hanya jika 𝜃 diubah ke radian. Oleh karena itu, kita dapat tulis
kembali bahwa 𝛿𝜃 = 3° sebagai 𝛿𝜃 = 0.05 𝑟𝑎𝑑; kemudian (2.24) menjadi
𝛿(cos 𝜃) = (sin20°) × 0.05
= 0.34 × 0.05 = 0.02
Jadi, jawaban akhirnya
cos 𝜃 = 0.94 ± 0.02
Seperti contoh yang lain pada persamaan (2.23), kita dapat memperoleh
kembali dan menyamaratakan suatu hasil menemukan Bagian 2.4. Umpamakan kita
mengukur kwantitas 𝑥 dan kemudian menghitung daya 𝑞( 𝑥) = 𝑥 𝑛
, dimana 𝑛 diketahui
posisi nomor negatif atau positif. Menurut (2.23), haisl ketidakpastian 𝑞 adalah
𝛿𝑞 = |
𝑑𝑞
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 = | 𝑛𝑥 𝑛−1| 𝛿𝑥
Jika kita membagi kedua sisi dengan persamaan ini | 𝑞| = | 𝑥 𝑛|, kita menemukan
bahwa:
𝛿𝑞
| 𝑞|
= | 𝑛|
𝛿𝑥
| 𝑥|
itu adalah, ketidakpastian yang kecil dalam 𝑞 = 𝑥 𝑛
adalah | 𝑛| waktu dari 𝑥. Hasil ini
(2.25) hanya aturan (2.10) ditemukan lebih awal, kecuali hasil disini menjadi lebih
umum, karena 𝑛 sekarang bisa nomor yang mana saja. Sebagai contoh, jika 𝑛 =
1
2
,
kemudian 𝑞 = √ 𝑥 dan
𝛿𝑞
| 𝑞|
=
1
2
𝛿𝑥
| 𝑥|
itu adalah, ketidak-pastian yang kecil dalam √ 𝑥 adalah sebagian dari 𝑥 sendiri. Dengan
cara yang sama, ketidak-pastian yang kecil dalam
1
𝑥
= 𝑥−1
adalah sama seperti yang
ada pada 𝑥 .

27. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 27
Hasil ( 2.25) adalah hanya keadaan yang khusus pada aturan ( 2.23). [Itu]
cukup penting, bagaimanapun, untuk [berhak/layak] statemen terpisah seperti yang
berikut aturan umum.
Ketidak-Pastian di suatu Daya
Jika 𝒙 terukur dengan ketidakpastian 𝜹𝒙 dan digunakan
untuk mengkalkulasi daya 𝒒 = 𝒙 𝒏
( dimana 𝒏 adalah suatu yang
ditetapkan ;dan ditahu angkanya), kemudian ketidak-pastian yang kecil
dalam 𝒒 adalah | 𝒏|saat 𝒙
𝜹𝒒
| 𝒒|
= | 𝒏|
𝜹𝒙
| 𝒙|
(2.26)
2.8 Langkah-langkah Penyebaran
Sekarang kita memiliki cara yang cukup untuk menangani hampir semua
masalah dalam penyebaran kesalahan. Setiap perhitungan dapat dipecah dalam urutan
langkah-langkah, dan melibatkan salah satu jenis operasi berikut: (1 )Penjumlahan dan
Pengurangan; (2) perkalian dan hasil bagi; dan (3) perhitungan fungsi dari satu variabel,
seperti x n, sin x, e x, atau ln x. Sebagai contoh, kita bisa menghitung
𝒒 = 𝒙(𝒚 − 𝒛 𝒔𝒊𝒏 𝒖) (2.27)
dari besaran yang diukur x, y, z dan u dalam langkah-langkah berikut : Hitung fungsi
sin u,kemudian hasil kali dari z dansin u , selanjutnya pengurangan dari y dan z sin u,
dan terakhir mengalikan x dengan(𝑦 – 𝑧sin 𝑢).
Kita tahu bagaimana ketidakpastian menyebar melalui masing-masing operasi
terpisah. Dengan demikian, berbagai besaran yang terlibat adalah bebas, dan kita dapat
menghitung ketidakpastian dalam jawaban akhir dengan melanjutkan langkah-langkah
ketidakpastian dalam pengukuran aslinya.
Sebelum kita membahas beberapa contoh langkah-demi-langkah perhitungan
kesalahan, ditekankan tiga poin umum. Pertama, karena ketidakpastian dalam
penjumlahan atau pengurangan melibatkan ketidakpastian absolut (seperti 𝛿𝑥). Kedua,
fitur menyederhanakan penting dari semua perhitungan adalah bahwa ketidakpastian
jarang diperlukan untuk lebih dari satuan signifikan. Oleh karena itu, banyak dari

28. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 28
perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan banyak ketidakpastian yang lebih kecil
dapat benar-benar diabaikan.
Akhirnya, kita perlu menyadari bahwa kadang-kadang akan menemukan
fungsi q (x) yang ketidakpastian tidak dapat ditemukan dengan metode bertahap.
Fungsi-fungsi ini selalu melibatkan setidaknya satu variabel yang muncul lebih dari
sekali. Misalnya, bahwa di tempat fungsi (2.27), kita harus mengevaluasi
𝑞 = 𝑦 – 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦
Fungsi ini adalah pengurangan dari dua variabel y dan x sin y, tetapi kedua
istilah ini pasti tidak bebas karena kedua tergantung pada y. Dengan demikian, untuk
memperkirakan ketidakpastian, bergantung pada (menambah ketidakpastian secara
langsung, tidak dalam akar kuadrat). Dihadapkan dengan fungsi seperti ini, kita harus
mengakui bahwa perhitungan bertahap dapat memberikan ketidakpastian yang tidak
perlu besar, dan satu-satunya prosedur memuaskan kemudian menggunakan rumus
umum untuk dikembangkan.
2.9 Contoh Penyebaran kesalahan
Dalam hal ini dan bagian berikutnya, kita memberikan tiga contoh jenis
perhitungan ditemui di laboratorium pengantar. Tidak satu pun dari contoh-contoh ini
sangat rumit, pada kenyataannya beberapa masalah nyata jauh lebih rumit dari pada
yang dijelaskan di sini.
Contoh: Pengukuran 𝒈 dengan Pendulum Sederhana
sebagai contoh pertama, misalkan kita mengukur g, percepatan gravitasi, menggunakan
bandul sederhana. Periode pendulum seperti ini juga dikenal sebagai 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙/𝑔, di
mana 𝑙 adalah panjang pendulum. Dengan demikian, jika 𝑙 dan 𝑇 diukur, kita dapat
menemukan g sebagai
𝒈 = 𝟒𝝅 𝟐
𝒍/𝑻 𝟐
(2.28)
Hasil ini memberikan g sebagai hasil kali atau hasil bagi tiga faktor, 4𝜋2
, 𝑙,
𝑑𝑎𝑛 𝑇2
. Jika berbagai ketidakpastian yang bebas dan acak, ketidakpastian pecahan
dalam jawaban hanya jumlah kuadrat dari ketidakpastian pecahan di faktor ini. Faktor
4𝜋2
tidak memiliki ketidakpastian, dan ketidakpastian pecahan di 𝑇2
adalah dua kali di
𝑇;
𝛿(𝑇2
)
𝑇2
= 2
𝛿𝑇
𝑇

29. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 29
Dengan demikian, ketidakpastian pecahan dalam jawaban untuk g adalah:
𝜹𝒈
𝒈
= √(
𝜹𝒍
𝒍
) 𝟐 + (
𝜹𝑻
𝑻
) 𝟐
(2.29)
Misalkan kita mengukur periode 𝑇 untuk satu nilai panjang dan mendapatkan hasil
𝑙 = 92.95 ± 0.1 𝑐𝑚
𝑇 = 1.936 ± 0.004 𝑠.
Penilaian terbaik untuk 𝑔 mudah ditemukan dari (3,28) sebagai
𝑔𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 =
4𝜋2
× (92.95 𝑐𝑚)
(1.936 𝑠)2
= 979 𝑐𝑚/𝑠2
Untuk menemukan ketidakpastian di g kita dapat menggunakan (2.29), dan perlu
ketidakpastian pecahan di / dan 𝑇, ini mudah dihitung sebagai
𝛿𝑙
𝑙
= 0.1% 𝑑𝑎𝑛
𝛿𝑇
𝑇
= 0,2%
𝛿(𝑇2
)
𝑇2
= 2
𝛿
𝑇
Subtitusi ke (3.29), kita menemukan :
𝛿𝑔
𝑔
= √(0.1)2 + (2 x 0.2)2 = 0.4%
Dimana
𝛿𝑔 = 0.004 × 979 𝑐𝑚 𝑠2⁄ = 4𝑐𝑚/𝑠2
Dengan demikian, berdasarkan pengukuran ini, jawaban akhir adalah
𝑔 = 979 ± 4 𝑐𝑚 / 𝑠2
.
Setelah menemukan nilai yang diukur dari g dan ketidakpastian, secara alami akan
membandingkan nilai ini dengan nilai yang diterima dari g. Jika yang terakhir memiliki
nilai biasa dari 981 cm / s 2, nilai kini sepenuhnya memuaskan.
Jika percobaan ini diulang (karena kebanyakan percobaan tersebut harus)
dengan nilai yang berbeda dari parameter, perhitungan ketidakpastian biasanya tidak
perlu diulang secara detail lengkap. Kita sering mudah meyakinkan diri sendiri bahwa
semua ketidakpastian (di jawaban untuk g) cukup dekat bahwa tidak ada perhitungan
lebih lanjut diperlukan; kadang-kadang ketidakpastian dalam nilai-nilai perwakilan
beberapa g dapat dihitung dan sisanya diperkirakan dengan inspeksi. Dalam kasus

30. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 30
apapun, prosedur terbaik hampir selalu untuk mencatat berbagai nilai /, T, dan g dan
ketidakpastian terkait dalam satu meja.
Contoh: Indeks Bias Menggunakan Hukum Snell
Jika sinar cahaya melewati dari udara ke dalam gelas, sudut dari kejadian i dan refraksi
r didefinisikan seperti pada Gambar 2.5 dan terkait dengan hukum Snell, sin i= n sin r,
di mana n adalah indeks bias kaca. Jadi, jika Anda mengukur sudut i dan r, Anda dapat
menghitung indeks bias n sebagai
𝒏 =
𝐬𝐢𝐧 𝒊
𝐬𝐢𝐧 𝒓
(2.30)
Gambar 2.5. Sudut dari kejadian i dan refraksi r ketika sinar cahaya melewati dari
udara ke dalam gelas.
Ketidakpastian dalam jawaban ini mudah dihitung, karena n adalah hasil bagi sin i dan
sin r, ketidakpastian pecahan di n adalah jumlah kuadrat dari dalam sin i dan sin r:
𝜹𝒏
𝒏
= √(
𝜹 𝐬𝐢𝐧 𝒊
𝐬𝐢𝐧 𝒊
) 𝟐 + (
𝜹 𝐬𝐢𝐧 𝒓
𝐬𝐢𝐧 𝒓
) 𝟐
(2.31)
Untuk menemukan ketidakpastian pecahan dalam sinus dari setiap sudut θ, kami
mencatat bahwa
𝛿 sin 𝜃 = |
𝑑 sin 𝜃
𝑑𝜃
| 𝛿𝜃
= |cos 𝜃| 𝛿𝜃 ( 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑟𝑎𝑑)
Dengan demikian, ketidakpastian pecahan adalah
𝜹 𝐬𝐢𝐧 𝜽
| 𝐬𝐢𝐧 𝜽|
= | 𝐜𝐨𝐭 𝜽| 𝜹𝜽 (𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 𝒓𝒂𝒅)
(2.32)
Air
Gelas
i
r

31. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 31
Misalkan kita sekarang mengukur r sudut untuk beberapa nilai-nilai dari i dan
mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada dua kolom pertama dari Tabel 2.1 (dengan
semua pengukuran dinilai tidak menentu oleh ± 1 °, atau 0,02 rad). Perhitungan n = sin
i / sin r mudah dilakukan seperti yang ditunjukkan dalam tiga kolom berikutnya Tabel
2.1. Ketidakpastian dalam n kemudian dapat ditemukan seperti pada tiga kolom
terakhir; ketidakpastian pecahan dalam sin i dan sin r dihitung dengan menggunakan
(2.32), dan akhirnya ketidakpastian pecahan di n ditemukan menggunakan (2.31).
Tabel 2.1. Menemukan indeks bias.
𝒊(derajat)
∓ 1
𝒓(derajat)
∓ 1
𝑺𝒊𝒏 𝒊 𝑺𝒊𝒏 𝒓 𝒏 𝜹 𝐬𝐢𝐧 𝒊
| 𝐬𝐢𝐧 𝒊|
𝜹 𝐬𝐢𝐧 𝒓
| 𝐬𝐢𝐧 𝒓|
𝜹 𝒏
𝒏
20 13 0.342 0,225 1,52 5% 8% 9%
40 23,4 0,643 0,399 1,61 2% 4% 5%
Sebelum membuat serangkaian pengukuran seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1,
kita harus berpikir bagaimana cara terbaik untuk menentukan data dan perhitungan.
Pada Tabel 2.1 membuat data lebih mudah dan mengurangi bahaya kesalahan dalam
perhitungan. Hal ini juga lebih mudah bagi pembaca untuk mengikuti dan memeriksa.
Dua contoh hanya diberikan adalah khas dari banyak percobaan di laboratorium
fisika pengantar. Beberapa percobaan membutuhkan perhitungan yang lebih rumit,
namun. Sebagai contoh percobaan tersebut, disini pengukuran percepatan keranjang
bergulir lereng.
Contoh: Percepatan dari sebuah gerobak menuruni lereng
fotosel1
Fotosel 2
𝜃
s
l

32. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 32
Gambar 2.6. Sebuah gerobak menuruni lereng dengan sudut 𝜃. Setiap photocell
terhubung ke waktu untuk mengukur waktu untuk gerobak untuk lulus.
Mari kita mempertimbangkan sebuah gerobak bergulir menuruni lereng lereng seperti
pada Gambar 2.6. Percepatan diharapkan adalah gsin , jika kita mengukur dengan
mudah menghitung percepatan yang diharapkan dan ketidakpastian (Soal 2.42). Kita
bisa mengukur percepatan a yang sebenarnya dengan waktu keranjang melewati dua
photocells seperti yang ditunjukkan, masing-masing terhubung ke timer. Jika gerobak
memiliki panjang / dan mengambil waktu t1 untuk lulus photocell pertama, kecepatan
ada 𝑣1= 𝑙/𝑡1 . Dengan cara yang sama, 𝑣2 = 𝑙/𝑡2. (Sebenarnya, kecepatan ini adalah
kecepatan rata-rata kereta sementara melewati dua photocells. Namun , tersedia / yang
kecil, (perbedaan antara kecepatan rata-rata dan sesaat tidak penting.) Jika jarak antara
photocells adalah s, maka terkenal rumus v2
2 = v1
2 +2as , menyiratkan bahwa
𝑎 =
𝑣2
2
− 𝑣1
2
2𝑠
= (
𝜌
2𝑠
)(
1
𝑡2
2 −
1
𝑡1
2) (2.33)
Menggunakan formula ini dan nilai-nilai yang diukur dari 𝑙, 𝑠, 𝑡1 𝑑𝑎𝑛 𝑡2, kita dapat
dengan mudah menemukan percepatan diamati dan ketidakpastian tersebut.
Satu set data untuk percobaan ini, termasuk ketidakpastian, adalah sebagai
berikut (angka dalam kurung busur persentase ketidakpastian yang sesuai, karena dapat
dengan mudah memeriksa):
𝒍 = 𝟓. 𝟎𝟎 ± 𝟎. 𝟎𝟓 𝒄𝒎( 𝟏%)
𝒔 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎 ± 𝟎. 𝟐 𝒄𝒎 ( 𝟎. 𝟐%)
𝒕 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒔 ( 𝟐%)
𝒕 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝒔 (𝟑%)
(2.34)

33. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 33
Dari nilai-nilai ini, kita dapat segera menghitung faktor pertama dalam (2.33) sebagai
𝑙2/2𝑠 = 0,125 𝑐𝑚. Karena ketidakpastian pecahan di / dan s adalah 1% dan 0,2%,
yang di 𝑙2/2𝑠 adalah
(𝑘𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑖
𝑙2
2𝑠
) = √(2
𝛿𝑙
𝑙
)
2
+ (
𝛿𝑠
𝑠
)
2
= √(2 𝑥 1%)2 + (0,2 %)2
= 2%
(Perhatikan bagaimana ketidakpastian tidak membuat kontribusi yang cukup dan
bisa saja diabaikan.) Oleh karena itu,
𝒍 𝟐/𝟐𝒔 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝒄𝒎 ± 𝟐%. (2.35)
Untuk menghitung faktor kedua dalam (2,33) dan ketidakpastian, kami
melanjutkan langkah. Karena ketidakpastian pecahan di t1 adalah 2%. Bahwa dalam l/
t1
2 adalah 4%. Dengan demikian, sejak t1 = 0,054 s,
𝑙/𝑡1
2
= 343 + 14 𝑠−2
Dengan cara yang sama, ketidakpastian pecahan di l/t1
2 adalah 6% dan
𝑙/𝑡1
2
= 1041 + 62𝑠−2
Dengan cara yang sama, ketidakpastian pecahan di l/t1
2 adalah 6% dan
Mengurangkan ini (dan menggabungkan kesalahan dalam kuadratur), kita menemukan
𝟏
𝒕 𝟐
𝟐
−
𝟏
𝒕 𝟏
𝟐
= 𝟔𝟗𝟖 ± 𝟔𝟒 𝒔 𝟐
(𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟗%)
(2.36)
Akhirnya, menurut (2.33), akselerasi yang dibutuhkan adalah produk dari (2,35)
dan (3,36). Mengalikan persamaan ini bersama-sama (dan menggabungkan
ketidakpastian pecahan di quadrature), kita memperoleh
𝑎 = (0.125 𝑐𝑚 ± 2%) × (698𝑠−2
± 9%)
=
87.3𝑐𝑚
𝑠2
± 9%
Atau
𝒂 = 𝟖𝟕 ± 𝟖 𝒄𝒎/𝒔 𝟐 (2.37)

34. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 34
Jawaban ini sekarang bisa dibandingkan dengan yang diharapkan percepatan g sin 𝜃,
jika yang terakhir telah dihitung.
Ketika perhitungan yang mengarah ke (2,37) dipelajari dengan hati-hati,
beberapa fitur menarik muncul. Pertama, ketidakpastian 2% dalam faktor l2 / 2s benar-
benar dibanjiri oleh ketidakpastian 9% di ( 1 𝑡2
2⁄ ) - ( 1 𝑡1
2⁄ ). Jika perhitungan lebih
lanjut diperlukan untuk percobaan berikutnya, ketidakpastian / dan s karena itu dapat
diabaikan (begitu lama sebagai cek cepat menunjukkan mereka masih sama penting).
Fitur penting lainnya dari perhitungan kami adalah cara di mana 2% dan 3%
ketidakpastian t1 dan t2 tumbuh ketika kita mengevaluasi 1 𝑡1
2⁄ , 1 𝑡2
2⁄ , dan mengurangi
( 1 𝑡2
2⁄ ) - ( 1 𝑡1
2⁄ ). Sehingga ketidakpastian akhir adalah 9%. Pertumbuhan ini hasil
sebagian dari mengambil kotak dan sebagiandari mengambil selisih jumlah besar. Kita
bisa membayangkan memperluas percobaan untuk memeriksa perepatan konstan
dengan memberikan gerobak dorongan awal, sehingga kecepatan v1 dan v2 keduanya
lebih besar. Jika kita lakukan, t1 dan t2 akan mendapatkan lebih kecil, dan efek yang
baru saja dijelaskanakan bertambah buruk (lihat Soal 2.42).
2.10 Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran
Pada bagian ini, diberikan rumus umum tunggal dimana ketiga aturan ini dapat
diturunkan sehingga permasalahan penyebaran dapat diselesaikan. Meskipun formula
ini kerap kali rumit untuk digunakan, akan tetapi formula ini bergun asecara teoritis.
Selain itu, terdapat beberapa masalah dimana bukannya menghitung ketidakpastian
dalam langkah-langkahs seperti dalam tiga bagian terakhir, namun akan lebih baik
digunakan perhitungan satu langkah dengan rumus umum.
Untuk menggambarkan jenis permasalahan untuk perhitungan satu langkah
lebih sederhana, misalkan dilakukan pengukuran terhadap tiga variabel x, y, dan z dan
harus menghitung fungsi seperti
𝒒 =
𝒙 + 𝒚
𝒙 + 𝒛
(2.38)
dimana variabel 𝑥 muncul lebih dari sekali. Jika kitamenghitung 𝛿𝑞 ketidakpastian
dalam langkah-langkah ini, maka pertama-tama kita akan menghitung ketidakpastian
dalam dua penjumlahan 𝑥 + 𝑦 dan 𝑥 + 𝑧, dan kemudian membaginya. Melanjutkan
dengan cara ini, kita benar-benarakan kehilangan kemungkinan bahwa kesalahan dalam
pembilang karena kesalahan mungkin dalam 𝑥, sampai batas tertentu, membatalkan
kesalahan dalam penyebut karena kesalahan dalam 𝑥. Untuk memahami bagaimana

35. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 35
pembatalan ini bisa terjadi, misalkan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah semua bilangan positif, dan
mempertimbangkan apa yang terjadi jika pengukuran x dikenakan kesalahan. Jika kita
menaksir x terlalu jauh, maka menyebabkan penaksiran untuk 𝑥 + 𝑦 dan 𝑥 + 𝑧 juga
jauh, dan (untuk sebagian besar) penaksiran ini membatalkan satu sama lain ketika kita
menghitung (𝑥 + 𝑦) / (𝑥 + 𝑧). Demikian pula, ketika kita menaksir x terlalu rendah
maka penaksiran untuk 𝑥 + 𝑦 dan 𝑥 + 𝑧 juga menjadi rendah, yang lagi-lagi
membatalkan ketika kita membentuk hasil bagi. Dalam kedua kasus, kesalahan dalam x
secara substansial dibatalkan dari hasil bagi (𝑥 + 𝑦) / (𝑥 + 𝑧), dan perhitungan
bertahap kami benar-benar ketinggalan pembatalan tersebut.
Setiap kali fungsi melibatkan jumlah yang sama lebih dari sekali, seperti
dalam (2.38), beberapa kesalahan mungkin membatalkan diri (efek kadang-kadang
disebut kompensasi kesalahan). Jika pembatalan ini adalah mungkin, maka perhitungan
bertahap ketidakpastian mungkin melebih-lebihkan ketidakpastian akhir. Satu-satunya
cara untuk menghindari ini adalah menghitung ketidakpastian dalam satu langkah
dengan menggunakan metode yang sekarang .
Mari kita anggap pada awalnya bahwa kita mengukur dua kuantitas x dan y
dan kemudian menghitung beberapa fungsi 𝑞 = 𝑞 (𝑥, 𝑦). Fungsi ini bisa
disederhanakan 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 atau sesuatu yang lebih rumit seperti 𝑞 = (𝑥3
+
𝑦) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 𝑦). Untuk fungsi 𝑞 (𝑥) dari variabel tunggal, kami berpendapat bahwa jika
perkiraan terbaik untuk x adalah nomor 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 maka nilai terbaik untuk q (x) adalah
q( 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ). Berikutnya, kami berpendapat bahwa ekstrim (yang adalah, terbesar dan
terkecil) nilai kemungkinan 𝑥 adalah 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ± 𝑥 dan bahwa nilai-nilai ekstrim yang
sesuai q karena itu :
𝒒 (𝒙𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌 ± 𝜹𝒙) (2.39)
Akhirnya, kita menggunakan pendekatan :
𝒒(𝒙 + 𝒖) ≈ 𝒒(𝒙) +
𝒅𝒒
𝒅𝒙
𝒖
(2.40)
(untuk setiap 𝑢 kenaikan kecil) untuk menulis ulang nilai-nilai kemungkinan ekstrim
(3,39) sebagai :
𝒒 (𝒙𝒕𝒆𝒓𝒃𝒂𝒊𝒌) ± |
𝒅𝒒
𝒅𝒙
|𝜹𝒙
(2.41)

36. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 36
dimana nilai mutlak adalah untuk memungkinkan kemungkinan bahwa 𝑑𝑞/𝑑𝑥
mungkin negatif. Hasil (2,41) berarti bahwa 𝛿𝑞 ≈ | 𝑑𝑞/𝑑𝑥| 𝛿𝑥.
Ketika q adalah fungsi dari dua variabel, q (x, y), argumen serupa. Jika yterbaik
adalah perkiraan terbaik untuk x dan y,perkiraan terbaik untuk q menjadi
𝑞 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 = 𝑞 (𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘, 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘)
dengan cara yang biasa. Untuk memperkirakan ketidakpastian dalam hasil ini, kita
perlu untuk menggeneralisasi pendekatan (2.40) untuk fungsi dari dua variabel.
Generalisasi yang diperlukan adalah:
𝒒(𝒙 + 𝒖, 𝒚 + 𝒗) – 𝒒(𝒙, 𝒚) +
𝜹𝒒
𝜹𝒙
𝒖 +
𝜹𝒒
𝜹𝒚
𝒗
(2.42)
di mana u dan v adalah setiap sedikit demi sedikit di x dan y, dan 𝛿𝑞 / 𝛿𝑥 dan 𝛿𝑞 / 𝛿𝑦
yang disebut turunan parsial q terhadap x dan y. Artinya, 𝛿𝑞 / 𝛿 merupakan hasil
membedakan q terhadap x sementara memperlakukan y sebagai tetap, dan sebaliknya
untuk 𝛿𝑞 / 𝛿𝑦 [Untuk pembahasan lebih lanjut dari turunan parsial dan pendekatan
(2,42), lihat Soal 3.43 dan 3.44.]
Nilai kemungkinan ekstrim untuk X dan y 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ± 𝛿𝑥 dan 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘 ± 𝛿𝑥.
Jika kita memasukkan nilai-nilai ini ke dalam (3.42) dan ingat bahwa δq/ δxdan δq/ δy
bisa positif atau negatif, kita menemukan, untuk nilai-nilai ekstrim q,
𝑞( 𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘, 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘) = (|
𝜕𝑞
𝜕𝑥
| δx + |
𝜕𝑞
𝜕𝑦
|δy)
Ini berarti bahwa ketidakpastian di q (x, y) adalah
𝜹𝒚 ≈ (|
𝝏𝒒
𝝏𝒙
| 𝛅𝐱 + |
𝝏𝒒
𝝏𝒚
| 𝛅𝐲)
(2.43)
Sebelum kita membahas berbagai generalisasi dari aturan baru ini, mari kita
menerapkannya untuk kembali menurunkan beberapa kasus akrab. Misalkan, bahwa
𝒒(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝒚; (2.44)
yaitu, q hanya jumlah dari xdany. Turunan parsialkedua.
𝝏𝒒
𝝏𝒙
=
𝝏𝒒
𝝏𝒚
= 𝟏
(2.45)

37. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 37
danbegitu, menurut (2,43),
𝜹𝒒 ≈ 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚. (2.46)
Ini hanya aturan sementara kami asli bahwa ketidakpastian dalam 𝑥 + 𝑦 adalah
jumlah ketidakpastian x dan y. Dalam banyak cara yang sama, jika q adalah hasil 𝑞 =
𝑥𝑦 , Anda dapat memeriksa bahwa (2,43) berarti aturan dikenal bahwa ketidakpastian
pecahan di q adalah jumlah ketidakpastian pecahan di x dan y.
Aturan (2,43) dapat digeneralisasi dalam berbagai cara. Anda tidak akan
terkejut untuk mengetahui bahwa ketikaketidakpastian 𝑆𝑥 dan 𝑆𝑦 bebas dan acak,
jumlah (2.43) dapat digantikan oleh penjumlahan dikuadrat. Jika fungsi q tergantung
pada lebih dari dua variabel, maka kita cukup menambahkan istilah tambahan untuk
setiap variabel tambahan. Dengan cara ini, kita sampai pada aturan umum berikut (yang
pembenaran yang penuhakan muncul di Bab 5 dan 9).
Ketidakpastian dalam Fungsi Beberapa Variabel
Misalkan bahwa x, . . . ,z diukur dengan ketidakpastian 𝜹x, . . . . , 𝜹z dan
nilai yang terukur yang digunakan untuk menghitung fungsi 𝒒(x, . . . , z). Jika
ketidakpastian x, . . . , z adalah bebas dan acak, maka ketidakpastian di q
𝜹𝒒 = √(
𝝏𝒒
𝝏𝒙
𝜹𝒙) 𝟐 + (
𝝏𝒒
𝝏𝒛
𝜹𝒛) 𝟐
(2.47)
Dalam kasus apapun, tidak pernah lebih besar daripada jumlah biasa
𝜹𝒒 ≤
𝝏𝒒
𝝏𝒙
| 𝜹𝒙|+ .. . . +
𝝏𝒒
𝝏𝒛
| 𝜹𝒛|
(2.48)
Meskipun formula (2.47) dan (2.48) terlihat cukup rumit, mereka mudah untuk
memahami jika Anda berpikir tentang mereka satu istilah pada suatu waktu. Misalnya,
untuk sesaat bahwa di antara semua kuantitas diukur, x, y, . . . , z, hanya x tunduk pada
ketidakpastian. (Artinya, δy = . . . = δy = 0) Kemudian (2,47) hanya berisi satu istilah
dan kita akan menemukan
𝜹𝒒 = |
𝝏𝒒
𝝏𝒙
| 𝜹𝒙 jika 𝜹𝒚 = . . .= 𝜹𝒛 = 𝟎 (2.49)

38. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 38
Dengan kata lain, istilah | 𝛿𝑞/𝛿𝑥| 𝛿𝑥 dengan sendirinya adalah ketidakpastian,
atau ketidakpastian parsial, di q disebabkan oleh ketidakpastian di x saja. Dengan cara
yang sama, | 𝜕𝑞/𝜕𝑦| 𝛿𝑦 adalah ketidakpastian parsial di q karena δy sendiri, dan
sebagainya. Mengacu kembali ke (2,47), kita melihat bahwa total ketidakpastian di 𝑞
adalah jumlah kuadrat dari ketidakpastian parsial karena masing-masing dari
ketidakpastian terpisah δx, δy, . . . , δz (disediakan yang terakhir bebas). Ini adalah cara
yang baik untuk berpikir tentang hasil (2,47), dan itu menunjukkan cara paling
sederhana untuk menggunakan (2,47) untuk menghitung total ketidakpastian di 𝑞:
Pertama, menghitung ketidakpastian parsial di 𝑞 karena δx, δy, . . . , δz secara terpisah,
menggunakan (2,49) dan analog untuk y, . . . , z; maka cukup menggabungkan
ketidakpastian terpisah di kuadrat untuk memberikan total ketidakpastian dalam (2.47)
Dengan cara yang sama, apakah ketidakpastian δx, δy, . . . , δz adalah bebas,
aturan (3,48) mengatakan bahwa total ketidakpastian di 𝑞 tidak pernah melebihi jumlah
sederhana dari ketidakpastian parsial karena setiap δx, δy,. . . , δz secara terpisah.
Contoh: Menggunakan Rumus Umum (2,47)
Untuk menentukan jumlah
𝑞 = 𝑥2
𝑦 − 𝑥𝑦2
langkah-langkah ilmuwan x dan y sebagai berikut:
𝑥 = 3,0 ± 0,1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 2,0 ± 0,1.
Apa jawabannya untuk q dan ketidakpastian, seperti yang diberikan oleh (2,47)?
Nilai terbaik untuk q mudah dilihat menjadi𝑞 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑖𝑘= 6.0. Untuk menemukan
δq, kita ikuti langkah-langkah hanya dijelaskan. Ketidakpastian dalam q karena δx saja,
yang kita dilambangkan dengan δqx, diberikan oleh (2,49) sebagai
𝜹𝒒𝒙 = ( 𝒌𝒆𝒔𝒂𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 𝒒)
= |
𝝏𝒒
𝝏𝒙
| 𝜹𝒙
= |𝟐𝒙𝒚 − 𝒚 𝟐
|𝜹𝒙 = | 𝟏𝟐 − 𝟒| × 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟖
(2.50)
Demikian pula, ketidakpastian di q karena δy adalah
𝜹𝒒𝒚 = ( 𝒌𝒆𝒔𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 𝒒)
= |
𝝏𝒒
𝝏𝒙
| 𝜹𝒚
(2.51)

39. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 39
= |𝒙 𝟐
𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 𝟐
|𝜹𝒚 = | 𝟗 − 𝟏𝟐| × 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟑
Akhirnya, menurut (2.47). total ketidakpastian dalam q adalah jumlah kuadrat dari dua
ketidakpastian parsial tersebut:
𝜹𝒒 = √(𝜹𝒒𝒙) 𝟐 + (𝜹𝒒𝒚) 𝟐
𝜹𝒒 = √(𝟎. 𝟖) 𝟐 + (𝟎. 𝟑) 𝟐 = 𝟎. 𝟗
(2.52)
Dengan demikian, jawaban akhir untuk q
𝑞 = 6,0 ± 0,9.
Penggunaan (2,47) atau (2,48) untuk menghitung ketidakpastian cukup mudah
jika Anda mengikuti prosedur yang digunakan dalam contoh ini; itu adalah.pertam
amenghitung kontribusi masing-masing terpisah untuk 𝛿𝑞 dan hanya kemudian
menggabungkan mereka untuk memberikan total ketidakpastian. Prosedur ini
memecahkan masalah dalam perhitungan cukup kecil bahwa Anda memiliki
kesempatan baik untuk mendapatkan mereka benar. Ini memiliki keuntungan lebih
lanjut bahwa hal itu memungkinkan Anda melihat yang mana dar ipengukuranx, y, . . .
, zadalah kontributor utama untuk ketidakpastian akhir. (Misalnya, dalam contoh di
atas, δq y kontribusi = 0,3 begitu kecil dibandingkan dengan 𝛿𝑞𝑥 = 0,8 bahwas
ebelumnya hampir bisa diabaikan.)
Secara umum, ketika penyebaran bertahap dijelaskan dalam Bagian 2,8-2,10
mungkin, biasanya lebih sederhana dari pada aturan umum (2,47) atau (2,48) dibahas di
sini. Namun demikian, Anda harus menyadari bahwa jika fungsi q (x, . . . , z)
melibatkan variabel apapun lebih dari sekali, mungkin ada kesalahan kompensasi; jika
begitu. Perhitungan bertahap mungkin melebih-lebihkan ketidakpastian akhir, dan
menghitung δq dalam satu langkah dengan menggunakan (2.47) atau (2,48) lebih baik.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
 Hampir semua pengukuran langsung melibatkan pembacaan skala (misalnya pada
penggaris, jam, atau voltmeter) atau tampilan digital (misalnya, pada jam digital atau
voltmeter). Sumber utama ketidakpastian adalah pembacaan skala dan menempatkan
skala yang telah di tandai.

40. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 40
 Rumus-rumus yang ada dalam ketidakpastian adalah:
1. 𝑡 = 8.01 ± 0.01 𝑠.
2. (𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢𝑇 = ±𝑣√ 𝑣
3. 𝛿𝑞 ≈ + 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
4. 𝛿𝑞 ≈ 𝛿𝑠 + . . . + 𝛿𝑧 + 𝛿𝑢 + . . .+ 𝛿𝑤,
5. ( 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟𝑑𝑎𝑟𝑖𝑞) =
𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑦 𝑏𝑒𝑠𝑡
1+ 𝛿𝑥
| 𝑥|⁄
1−
𝛿𝑦
| 𝑦|⁄
6.
1
(1−𝑏)
≈ 1 + 𝑏
7.
𝛿𝑞
| 𝑞|
≈
𝛿𝑥
| 𝑥|
+
𝛿𝑦
| 𝑦|
8.
𝛿𝑞
| 𝑞|
≈
𝛿𝑥
| 𝑥|
+ ⋯ +
𝛿𝑧
| 𝑧|
+
𝛿𝑢
| 𝑢|
+ ⋯+
𝛿𝑤
| 𝑤|
 Dua kasus khusus yang penting menyangkut hasil kali dari dua angka, salah satunya
tidak memiliki ketidakpastian; yang lain melibatkan daya (seperti x3) dari sejumlah
angka terukur.
 Rumus-rumus dalam kasus khusus adalah
1. δq = |B|δx
2.
δq
|q|
= n
δx
|x|
3.
δg
g
=
δh
h
+ 2
δt
t
 Jikahasil pengukuran ditambahkan atau dikurangi, ketidakpastian bertambah; ketika
hasil pengukuran dikalikan atau dibagi, ketidakpastian pecahan bertambah.
 Setiap perhitungan dapat dipecah dalam urutan langkah-langkah dan melibatkan
salah satu jenis operasi berikut:
1. Jumlah dan selisih;
2. Perkalian dan hasil bagi; dan
3. Perhitungan fungsi dari satu variabel, seperti x n, sin x, e x, atau ln x.
 Ketidakpastian dalam penjumlahan atau pengurangan melibatkan ketidakpastian
absolut (seperti 𝛿𝑥) sedangkan di perkalian atau hasil bagi melibatkan ketidakpastian
pecahan (seperti δx / | 𝑥|), perhitungan akan membutuhkan beberapa cara untuk
menghitung mutlak untuk ketidakpastian pecahan .
 Rumus-rumus untuk pengukuran tunggal dalam penjumlahan adalah:
1. δq = √(δx)2 + (δy)2
2. xbest + ybest + δx + δy

41. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 41
3. δq ≈ δx + δy
4. δq ≤ δx + δy
5. δq ≤ δx+ . . .+δz + δu+ . . .+δw
6. δq = √(δx2)+ . . .+(δz2) + (δu2 )+ . . .+(δw2)
7.
δq
| 𝑞|
= √(
𝛿𝑥
𝑥
)
2
+ . . .+ (
δz
𝑧
)
2
+ (
𝛿𝑢
𝑢
)
2
+ . . .+ (
δw
𝑤
)
2
8.
𝛿𝑞
| 𝑞|
≤
𝛿𝑥
| 𝑥|
+ . . .+
𝛿𝑧
| 𝑧|
+
𝛿𝑢
| 𝑢|
+ . . .+
𝛿𝑤
| 𝑤|
 Rumus untuk perubahan suatu variabel:
1. 𝛿𝑞 = 𝑞( 𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡 + 𝛿𝑥) − 𝑞(𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡)
2. 𝛿𝑞 =
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝛿𝑥
3. 𝛿𝑞 = −
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝛿𝑥
4. 𝛿𝑞 = |
𝑑𝑞
𝑑𝑥
𝛿𝑥|
5. 𝛿( 𝑐𝑜𝑠𝜃) = |
𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝛿𝜃| = |sin 𝜃| 𝛿𝜃 (𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑟𝑎𝑑)
 Rumus-rumus umum kesalahan penyebaran :
1. q =
𝑥+𝑦
𝑥+𝑧
2. q (xbest ± 𝛿x)
3. q(x + u) ≈ q(x) +
𝑑𝑞
𝑑𝑥
u
4. q (xbest) ±|
𝑑𝑞
𝑑𝑥
|𝛿𝑥
5. q(x + u,y + v) – q(x,y) +
𝛿𝑞
𝛿𝑥
𝑢+
𝛿𝑞
𝛿𝑦
v
6. 𝛿𝑦 ≈ |
𝑑𝑞
𝑑𝑥
|𝛿𝑥 +
𝑑𝑞
𝑑𝑦
|𝛿𝑦.
7. q(x, y) = x + y;
8.
𝛿𝑞
𝛿𝑥
=
𝛿𝑞
𝛿𝑦
= 1
9. 𝛿𝑞 ≈ 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦.
10. 𝛿𝑞 = |
𝑑𝑞
𝑑𝑥
|𝛿𝑥 (if 𝛿𝑦 =…..= 𝛿𝑦 = 0

42. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 42
DAFTAR PUSTAKA
Taylor, R. John. 1997. An Introduction To Error Analysis The Study OfUncertaintiesIn
Physical Measurements SecondEdition.California : University Science Books.