Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Numeros reales
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular a la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial «Andrés Eloy Blanco»
Barquisimeto - Estado Lara
Estudiante:
Guillermo Romero
C.I: 28.281.456
PNF en Contaduría
Sección: 0102
2. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí
misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al
conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para
los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos
es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números
naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito
(tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio
puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por
otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede
formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones,
entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y
conduce a la teoría de conjuntos.
3. Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para
obtener nuevos conjuntos:
Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos
comunes a A y B.
Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es
el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier
elemento que esté en B.
Complemento: El complemento de un conjunto A es el
conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia
simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen,
o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se
representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto
cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer
elemento a perteneciente a A, y un segundo
elemento b perteneciente a B.
4. Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen
expansión decimal no periódica. Por ejemplo,
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π También es real.
Los números reales (denotado por {R}) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a
los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no
se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales
aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen
expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal
periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números que tienen
expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia
a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Claramente, la
propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad de
tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos tipo de números
muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
Diferentes clases de
números reales
Recta Real
5. Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se
tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
- La notación a < b significa a es menor que b;
-La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como
"estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que“
- La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
-La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
- La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
-La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de
magnitud.
-La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente
se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.
Ejemplos de desigualdades:
3 < 7
-2 > -5
x ≤ 2
x-3 ≥ y
6. La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de
su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin
importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor
absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor
absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho
anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten
el mismo valor absoluto: |8|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo,
hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor absoluto de |3|.
Para cualquier número real x, el valor absoluto de x denota por |x| se define como:
El valor absoluto de x es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo: cuando x es
un número negativo (x<0) entonces su valor absoluto es necesariamente positivo (|x|=-x>0)
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la
distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto entre la
diferencia de dos números es la distancia entre ellos.
7. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es
menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos
a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a |
< b , entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos
descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
