A

1. Tugas Matematika
Integral Hal 49- 59
Disusun Oleh :
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
TAHUN AJARAN 2014/2015
Industri Air Kantung Sungailiat 33211
Bangka Induk, Propinsi Kepulauan Bangka Belitung
Telp : +62717 93586
Fax : +6271793585 email : polman@polman-babel.ac.id
http://www.polman-babel.ac.id
Kelompok 7 :
- Mirza ramadhan
- Fery Ardiansyah
- Rakam Tiano
- Sarman

2. Dua aturan integrasi berguna
Latihan 7.7
Cari integral tak tentu yang paling umum..
1. (3 − 5 − 21 + 36 − 10)
2. [3 − 4 (2 )]
3.
8
+
5
4.
1
√25 −
+
1
100 +
5.
−
6.
+
7.
+
8. ( + 4) =
9.
7
√
10.
20 +
√

3. Penyelesaian :
1. ∫(3 − 5 − 21 + 36 − 10) = ∫ 3 − ∫ 5 − ∫ 21 +
∫ 36 − ∫ 10 = 3 ∫ − 5 ∫ − 21 ∫ + 36 ∫ −
10 ∫ = 3 − 5 − 21 + 36 − 10 + = − − 7 +
18 − 10 +
2. ∫[3 − 4 (2 )] = ∫ 3 − ∫ 4 (2 ) = 3 ∫ − 4 ∫ (2 ) =
3 − 4 2 + = − 2 sin 2 +
3. ∫ + = ∫ + ∫ = 8 ∫ + 5 ∫ = 8 + 5 | | + =
−2 + 5 | | +
4. ∫ √
+ = ∫ √
+ ∫ = ∫ √
+ ∫ =
+ +
5. ∫ = ∫( − ) = ∫ − ∫ = − +
6. ∫ = ∫ + ∫ =
7. ∫ ( )
= ∫( + ) = | + | +
8. ∫( + 4) = ∫ + 16 + 2. . 4 = ∫ + 8 + 16 = +
+ 16 + = + +
9. ∫
√
= ∫ 7 = + = + = +
10. ∫ √
= ∫(20 + ) = ∫ 20 + = + + =
+ + = 40 + +

4. Integrasi dasar teknik
Integrasi dengan substitusi
Latihan 8.1
Gunakan integrasi dengan substitusi untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1. 3( − 5)
2.
3.
+ 7
4. ( − 3 ) (5 − 3)
5.
− 2
( − 4 + 5)
6.
− 2
− 4 + 5
7. cos(3 + 1 )
8.
3 √ ( )
√
9.
1 +
10. 6

5. PENYELESAIAN
1. 3( − 5)
u = x3
– 5 du = 3x2
dx
= ∫
=
1
5
+
=
( − 5)
5
+
2.
=
=
1
4
. 4
=
1
4
4
=
1
4
=
1
4
+
=
1
4
+
3.
+ 7
= + 7 = 2
+ 7

6. 1
2
2
+ 7
1
2
2
+ 7
1
2
1
2
| | +
1
2
( + 7) +
4. ( − 3 ) (5 − 3)
= ( − 3 ) = 5 − 3
=
= 4 +
= 4( − 3 ) +
5.
− 2
( − 4 + 5)
= − 4 + 5 = 4 − 8
=
1
4
.
4( − 2 )
=
1
4
=
1
4
| | +
=
1
4
( − 4 + 5) +

7. 6.
− 2
− 4 + 5
= − 4 + 5 = 4 − 8
= 4( − 2 )
=
1
4
.
4( − 2 )
− 4 + 5
=
1
4
=
1
4
| | +
=
1
4
( − 4 + 5) +
9.
1 +
=
1 + ( )
= 1 + = 2.
=
1
2
.
2.
1 + ( )
=
1
2
=
1
2
| |
=
1
2
1 + +

8. 10. 6
= − 2 = 3
= 6
= 2(3 )
=
1
3
. 3(2). (3 ).
=
1
3
6 .
=
1
3
. 6
=
1
3
. 6 +
= 2 +

9. Integrasi dengan bagian
Latihan 8.2
Gunakan integrasi dengan bagian untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.
1. ∫ 2 .sin2x dx
2. ∫ lnx dx
3. ∫ dt
4. ∫ cos x dx
5. ∫ ( )
6. ∫
7. ∫ ( − 3)
8. ∫ (4 )
9. ∫ ( + 5)
10. ∫ √ + 2 .

10. PENYELESAIAN
1. ∫ 2 sin 2
Misalnya :
u = 2x du = x
dv = sin 2x dx v= ∫ sin 2 = - cos2x
∫ . = –∫ .
∫ 2 sin 2 = (2x) (- cos 2x ) - ∫(− cos 2x ) . 2x
= - cos 2x + ∫ cos 2x dx
= - x cos 2x + . sin 2x
= - x cos 2x + . sin 2x + c
2. ∫
Misalnya :
U= inx du = dx
dv= dx v = ∫ =
∫ . = –∫ .
∫ = (in x) ( ) - ∫ . dx
= - .
= - + c
3. ∫
Misalnya :
U = t du = dt
dv = dt v = ∫ dt =
∫ . = . –∫ .

11. ∫ = (t) ( ) - ∫ dt
= - ∫ dt
= - + c
4. ∫ cos
Misalnya :
U= x du = dx
dv = cos x dx v = ∫ cos = sin x
∫ . = . –∫ .
∫ cos = ( x ) ( sin x ) - ∫ sin
= sin x + cosx dx
= sin x + cosx + c
5. ∫ ( x ) dx
Misalnya :
U = sin
Du= cos
Subtitusi du = sin du = cos
∫ dx = ∫
Salve integral
= in (u) + c
Subsitusi kembali
U=sin
= in (sin ) +
6. ∫
Misalnya :
U = du = 2x
dv = dx v = ∫ dx =
∫ . = u.v - ∫ .du
∫ = -∫ . 2
= -∫ 2 .
= - x+c
7. ∫ ( − 3)
Misalnya :
U= w du= dw

12. dv = ( − 3) = ∫(2 − 6 ) = − 3
∫ . = u.v - ∫ .du
∫ ( − 3) = . ( − 3) − ∫ .
= ( − 3 ) − +
8. ∫ (4 )
Misalnya :
U= in4x du=
dv= v = ∫ dx =
∫ . = u.v - ∫ .du
∫ (4 ) = in4x. -∫ in4x .
= 4 − ∶ 16 +
= 4 - + c
9. ∫ ( + 5)
Misalnya :
U= t du= dt
dv =( + 5) = ∫ −4 − 20 = 2 + 10
∫ . = u.v - ∫ .du
∫ ( + 5) =( t. 2 + 10 ) - ∫ 2 + 10 .
= 20 + (2 + 10 +
10. ∫ √ + 2 .dx
Misalnya :
U = x du = dx
Dv=√ + 2 dx v= ∫( + 2) =2 +0.67
∫ . = u.v - ∫ .du
∫ √ + 2 .dx = x . 2 +0.67 - ∫ 2 + 0.67 . dx
= x.2,67 - (2 + 0,67 ) dx
= 2,67 - 2,67 + c

13. Integrasi dengan menggunakan tabel rumus
terpisahkan
Latihan 8.3
Gunakan tabel rumus integral dalam Lampiran C untuk menemukan integral tak tentu yang
paling umum.
1. ∫ cot
2. ∫ ( ) ( )
3. ∫ ( )
4. ∫ cos
5. ∫ ( )
6. ∫ 3
7. ∫ √10 + 3
8. ∫ ( + 5)
9. ∫ √ + 2
10.
1
sin cos

14. PENYELESAIAN
1. ∫ cot
( Formula nomor 7)
Penyelesaian :
=
Misalkan :
= sin
= cos
Subsitusi = cos , = sin
cos
sin
=
ln| | +
subsitusi kembali = sin
|sin | +
2. ∫ ( ) ( )
=
1
( + 2) (2 + 5)
=
+ 2
+
2 + 5
=
1
( + 2) (2.2 + 5)
=
1
9
=
1
(5 + 2) (2 + 5)
=
1
7
Sehingga :
1
( + 2) (2 + 5)
=
1
( + 2) (2 + 5)

15. =
1
9
( + 2)
+
1
9
(2 + 5)
= | + 2| + ln|2 + 5| + c
3. ∫ ( ) = ∫( ) ( )
Missal :
U = ln x ⇒ = ( )
Dv = dx
dv =∫
v = x
∫( ) = − ∫ (x ln )
= ( ) . x - ∫
= . ( ) - ∫
= . ( ) x - ∫
= . ( ) - +
= . ( ) - ~ +
= ln x ( x ln x-x ) – ∫( ln − ) .
=x (ln x) - x ln x -
4. ∫ cos
Penyelesaian :
= → =
= → =
= −

16. = −
= + +
5. ∫ ( )
Penyelesaian :
( )
= ( )
+ ( )
=
( )
( )
= 2
+ = 0 = −2
Sehingga :
( + 2)
=
( + 2)
–
( + 2)
= + 2 → =
( + 2)
–
( + 2)
= – = 2 +
2
+
2 ( + 2) + ( )
+
6. ∫ 3
U = 3x dv =
= 3 v = ∫ =
du = 3 dx
∫ = u.v –∫

17. = (3x) . ( ) – ∫ . 3
= 3x − 3
7. ∫ √10 + 3 dw
( Formula nomor 2)
∫ √10 + 3 dw = ∫(10 + 3) dw
=
1
1
2 + 1
(10 + 3) +
= (10 + 3) +
8. ∫ ( + 5)
=∫ dt = ∫ ( + 5)
Missal:
U = t + 5 U= t+5
= 1 t = (u-5)
= t=u→u=t+5 =5
t = 2 → u=t+5 = 7
=∫ dt = ∫ ( + 5) = ∫( − 5) = ∫ − 5
( − 5 ) … … … … . = −
∫ −5 +1 du
∫ −5( − )
-5 (ln | | - )
-5 ( ln | + 5| - x)

18. -5 ln | + 5| + x
9. ∫ √ + 2
= + 2 → = − 2
=
Sehingga integral diatas dapat menjadi :
= ( − 2)√
= ( − 2)
= −
=
2
7
−
2
3
+
= ( + 2) −
2
3
( + 2) +