O documento descreve o algoritmo de busca em profundidade (DFS) para grafos. O DFS é executado em um grafo de exemplo com 15 vértices, percorrendo cada vértice e seus vizinhos de forma recursiva e adicionando-os à sequência de busca.

1. 1
Confidential

2. 2
Confidential
Basic Graph Algorithms
Oleksandr Basalkevych
Senior Software Engineer

3. 3
Confidential
Agenda
1. What is a graph? Areas of application.
2. The main types of graphs.
3. Ways to represent graphs in memory.
4. Adjacency list
5. Depth first search (DFS)
6. Breadth first search (BFS).
7. Searching for connected components
8. Searching for the shortest path in an unweighted graph

4. 4
Confidential
4
What is a graph?

5. 5
Confidential
G = (V, E, I)
• V a set of vertices (also called nodes or points);
• E a set of edges (also called links or lines);
• I: E → {{x, y} | (x, y) ∈ V2 ∧ x ≠ y} an incidence function mapping every
edge to an unordered pair of vertices (i.e., an edge is associated with
two distinct vertices).
What is a graph
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7 v8 v11
v9
v12
v10
v13
v15
v14
e0
e1
e2
e3 e4
e6
e5 e7
e10
e11
e9
e12
e13 e14
e8
e15
e16
e17 e19
e18
V = { v0, v1, …, v15 }
E = { e0, e1, …, e19 }
I = { e0 → {v0, v1},
e1 → {v1, v2},
…
e19 → {v14, v15} }

6. 6
Confidential
6
Areas of application

7. 7
Confidential
Areas of application
• Social networks

8. 8
Confidential
Areas of application
• Roads / GPS

9. 9
Confidential
Areas of application
• Positional games

10. 10
Confidential
Areas of application
• Process workflow

11. 11
Confidential
11
The main types of graphs

12. 12
Confidential
The main types of graphs
• Directed / undirected
v0
v1
v2
v3
v4
v5
• Weighted / unweighted
v0
v1
v2
v3
v5
8
7
v4
9
3
2
5 7
• Multigraph
v0
v1 v2
v3
v5
v4
• With self loops
v0
v1 v2
v3
v5
v4

13. 13
Confidential
13
Ways to represent graphs in
memory

14. 14
Confidential
The graph we are going to work with
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12

15. 15
Confidential
Ways to represent graphs in memory
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9 v11
v12
• Adjacency matrix
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011
121314
• Adjacency list
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
3 6
3
1 2 4 5
3 5 8
0 3 4
1 14
8
4 7 9 10
8 10 11
8 9 11 13
9 10 12
11
10 14
6 13

16. 16
Confidential
16
Depth first search (DFS)

17. 17
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v0
Seq: v0

18. 18
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v5 v0
Seq: v0 v5

19. 19
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3

20. 20
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1

21. 21
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6

22. 22
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14

23. 23
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13

24. 24
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10

25. 25
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8

26. 26
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v4 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4

27. 27
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4

28. 28
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v7 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7

29. 29
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7

30. 30
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v9 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9

31. 31
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v11 v9 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11

32. 32
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v12 v11 v9 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

33. 33
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v11 v9 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

34. 34
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v9 v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

35. 35
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v8 v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

36. 36
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v10 v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

37. 37
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v13 v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

38. 38
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v14 v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

39. 39
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v6 v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

40. 40
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v1 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

41. 41
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12

42. 42
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v2 v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12 v2

43. 43
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v3 v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12 v2

44. 44
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v5 v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12 v2

45. 45
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack: v0
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12 v2

46. 46
Confidential
DFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Stack:
Seq: v0 v5 v3 v1 v6 v14 v13 v10 v8 v4 v7 v9 v11 v12 v2

47. 47
Confidential
47
Searching for connected
components

48. 48
Confidential
The graph we are going to work with
A connected component or simply component of an undirected graph
is a subgraph in which each pair of nodes is connected with each
other via a path.
Let’s try to simplify it further, though. A set of nodes forms a
connected component in an undirected graph if any node from the set
of nodes can reach any other node by traversing edges. The main
point here is reachability.

49. 49
Confidential
The graph we are going to work with
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
1

50. 50
Confidential
The graph we are going to work with
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
1
2 3

51. 51
Confidential
51
Breadth first search (BFS)
Shortest path

52. 52
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v0
Seq: v0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

53. 53
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v5
Seq: v0 v5
0 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

54. 54
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v3 v4
Seq: v0 v5 v3 v4
0 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

55. 55
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v4 v1 v2
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2
0 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

56. 56
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v1 v2 v8
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8
0 6 7 4 9 10 11 12 13 14
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

57. 57
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v2 v8 v6
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6
0 1 7 4 9 10 11 12 13 14
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

58. 58
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v8 v6
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6
0 1 7 4 9 10 11 12 13 14
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

59. 59
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v6 v7 v9 v10
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6 v7 v9 v10
0 1 8 4 8 8 11 12 13 14
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

60. 60
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v7 v9 v10 v14
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6 v7 v9 v10 v14
0 1 8 4 8 8 11 12 13 6
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

61. 61
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v9 v10 v14
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6 v7 v9 v10 v14
0 1 8 4 8 8 11 12 13 6
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

62. 62
Confidential
BFS
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v13
v10
v7
v8
v9
v11
v12
Queue: v10 v14 v11
Seq: v0 v5 v3 v4 v1 v2 v8 v6 v7 v9 v10 v14 v11
0 1 8 4 8 8 9 12 13 6
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:

63. 63
Confidential
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64. 64
Confidential
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9
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65. 65
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66. 66
Confidential
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67. 67
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9
0 2 4 6
Parents:

68. 68
Confidential
BFS: Getting the shortest path
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12
9
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v1
v2
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v10
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v12

69. 69
Confidential
BFS: Getting the shortest path
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12
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v3
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v6
v14
v10
v7
v8
v9 v11
v12
v13

70. 70
Confidential
BFS: Getting the shortest path
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12
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Parents:
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v1
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v5
v6
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v10
v7
v8
v9 v11
v12
v13

71. 71
Confidential
BFS: Getting the shortest path
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12
9
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Parents:
Restore the shortest path from v0 to v9:
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v0
v1
v2
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v5
v6
v14
v10
v7
v8
v9 v11
v12
v13

72. 72
Confidential
BFS: Getting the shortest path
0 1 8 4 8 8 9 11 10 6
0 3 3 5 5
1 3 5 7 8 10 11 13 14
12
9
0 2 4 6
Parents:
Restore the shortest path from v0 to v9:
Path: v9 v8 v4 v5 v0
v0
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v14
v10
v7
v8
v9 v11
v12
v13

73. 73
Thank You