TEORIA

1. 1
CLASE 2
UNIDAD 1-Coordenadas cartesianas-Relaciones-Funciones-Dominio-Imagen-
Conjuntos caracteristicos de una funcion –Biyectividad- Función inversa.
Relación y Función
Par ordenado
Dados dos elementos x e y formamos un conjunto que dependa de dichos elementos y
del orden en que se consideran.
(x, y)
abscisa ordenada
Sean los conjuntos A=  1 3, y B= 2 6 8, ,
Realizamos el producto cartesiano
AxB =  (x,y) / x A y B   AxB =  1 2 1 6 1 8 3 2 3 6 3 8( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
Vamos a vincular los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B a
través de la siguiente condición:
x es la mitad de y
Representamos la situación mediante un diagrama de Venn
La relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados
R= 1 2 3 6( , ),( , )
Observamos que  1 2 3 6( , ),( , )   1 2 1 6 1 8 3 2 3 6 3 8( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
O sea RAxB
Definición
Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano AxB
B
1
3
2
6
8
A
x
y

2. 2
La relación la podemos mostrar:
a) R=  2(x,y) / (x,y) AXB y x  
b) R:A→B/ y=2x
b) Podemos mostrar la relación mediante un gráfico cartesiano
Al conjunto A lo llamamos conjunto de partida o conjunto dominio
Al conjunto B lo llamamos conjunto de llegada o conjunto codominio
Dominio de la relación
Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que
pertenecen a la relación.
DR= 1 3, DR A
Imagen de la relación
Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que
pertenecen a la relación.
IR=  2 6, IR B
Definición
Relación inversa de R es el subconjunto BXA definido por:
BXA= 2 1 6 1 8 1 2 3 6 3 8 3( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
R-1
=  (y,x) / (x,y) R R-1
=  2 1 6 3( , ),( , )

3. 3
a) R-1
=
1
2
(y,x) / (x,y) AXB x y
 
   
 
b) R-1
:B→A/ x=
1
2
y
FUNCION
Definición
La relación f: A→B es una función si y solo si se verifican las siguientes condiciones:
a) CONDICION DE EXISTENCIA. Todo elemento del conjunto de partida A tiene
imagen en el conjunto de llegada B.
x A y B / (x,y) f    
b) CONDICION DE UNICIDAD. Esa imagen es única
(x,y) f (x,z) f y z     (x,y)
Diagrama de Venn
Representación en ejes cartesianos ortogonales.
Y Y
X
X
Una curva definida en un sistema de ejes cartesianos ortogonales es función si al
trazar la recta paralela al eje y (en la zona del dominio), corta a la curva en un único
punto.
1
5
7
2
6
8
1
5
7
2
6
8
2
6
8
1
5
7

4. 4
Función real
Sean A y B conjuntos no vacios, una función con dominio A y codominio B es una
aplicación que a cada elemento x de A asigna uno y solo un elemento y de B.
Se expresa: f: A→B/ y= f(x) donde A  y B  
Dominio de una función
Es un conjunto formado por todos los valores reales que toma la variable x para los
cuales existe y es única su imagen real.
A=Dom f=  x A : y B / f(x) y   
Hay que tener en cuenta tres tipos de restricciones para calcular el dominio de una
función:
a) El denominador debe ser distinto de 0
f(x) =
P(x)
Q(x)
Q(x) ≠ 0 por ejemplo f(x) =
2 1
1
x
x


x-1≠0→x≠1
Dom f=  1 
b) El radicando de raíces de índice par debe ser mayor o igual a cero
y= nn
P(x)
; P(x)
Q(x)
n es par
P(x)
Q(x)
≥0, P(x) ≥0
Por ejemplo f(x) = 1x x-1≥0→ x≥1 Dom f= [1,+∞)
c) El argumento de logaritmos debe ser mayor a cero
b b
P(x)
y log P(x) ; y log
Q(x)
  P(x)>0
P(x)
Q(x)
>0
2 1y log (x )  X-1>0→x>1 Dom f= (1,+∞)
Dominio de las funciones polinómicas
donde a0, a1 ..., an-1, an son números reales que se llaman coeficientes del polinomio
y n es el grado del polinomio.
Dom f=
Imagen o rango de una función
Es un conjunto formado por los valores numéricos que toma la variable y.
Im f = y B : x Domf / f(x) y   
Im f B

5. 5
Ejemplo: f: [1,+∞) → / f(x) = 1x Im f= [0,+∞) = 0

Ejemplo: f: → / y= x2
Dom f= Im f= [0,+∞) = 0

Ejemplo: y = x+1 Dom f= Im f=
No siempre es sencillo determinar el conjunto imagen. Por eso se obtienen en general
a partir de los gráficos.
Ceros o raíces de una función-Interseccion con el eje x
Ceros o raíces=  0x Domf / f(x) 
Ejemplo: f(x) =
2 1
1
x
x


→
2 1
1
x
x


=0→ 2x-1= 0→ x=
1
2
Ordenada al origen- Intersección con el eje y
Ordenada al origen=  0 0y / Domf f( ) y   
Ejemplo: f(x) =
2 1
1
x
x


→ y= f (0)=
2 0 1
1
0 1
. 


Conjunto de positividad y negatividad
C+
=  0x / x Domf f(x)   
C-
=  0x / x Domf f(x)   
Paridad
Sólo para funciones con dominio simétrico con respecto al origen, si x A x A    ,
hablamos de paridad de una función. La paridad nos da información geométrica de la
gráfica.
Geométricamente representan los puntos
donde la curva intersecta al eje x.
Ejemplo: y = x3
-3x-2

6. 6
Una función es par  x Domf :f( x) f(x)    . La gráfica es simétrica con respecto
al eje y.
Una función es impar  x Domf :f( x) f(x)    . La gráfica es simétrica con
respecto al punto origen (0,0).
Inyectividad. Sobreyectividad. Función Inversa
Función inyectiva
1
5
7
2
6
8
2
6
8
1
7
1
5
7
2
6
8
f1 No es inyectiva-No es sobreyectiva
N
f2 es inyectiva- No es sobreyectiva
f 3 es inyectiva- es sobreyectiva- Es
biyectiva

7. 7
Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden
imágenes distintas, o lo que es lo mismo un elemento de B no puede ser imagen de
dos elementos distintos de A.
f: A→B es inyectiva  1 2 1 2 1 2x A, x A :f(x ) f(x ) x x       (1)
o equivalentemente
f: A→B es inyectiva  1 2 1 2 1 2x A, x A : x x f(x ) f(x )      
Por ejemplo: Tenemos la función polinómica f(x)= x2
Observando la representación grafica de la función, podemos ver que la función no es
inyectiva. Si tomamos rectas horizontales en cualquier valor del codominio, y
estas cortan en más de un punto a la grafica de la función, significa que existe 1 2x x
domf tal que 1 2f(x ) f(x ) , lo que contradice la definición de inyectividad.
Probamos analíticamente la inyectividad para y= x2
Partimos de 1 2f(x ) f(x ) (x1)2
= (x2)2
 2 2
1 2 1 2 1 2(x ) (x ) x x x x    
Por lo tanto f no es inyectiva
Probamos analíticamente la inyectividad para y=f(x) =x+2
Partimos de 1 2f(x ) f(x ) x1 +2=x2+2x1=x2
Por lo tanto f es inyectiva
Función sobreyectiva
Una función f definida de A→B es sobreyectiva si todos los elementos de B son
imagen de algún elemento de A, es decir que el conjunto imagen coincide con el
conjunto de llegada.
Im f=B.
f: A→B es sobreyectiva y B, x A / (x,y) f     

8. 8
Para saber si una función es sobreyectiva debemos despejar la x y ver si:
y B, x A   
Por ejemplo: f: → / y= x+2
y-2= x, si a un número real le restamos 2 se obtiene otro número real. Por lo tanto la
función es sobreyectiva.
Por ejemplo: f: → / y= x2
y x Por lo que sí y es un numero negativo, no existe x tal que y = f (x). Luego la
función f no es sobreyectiva.
Observando la representación grafica de la función f, podemos ver que la función no
es sobreyectiva. Si tomamos rectas horizontales en algún valor del codominio, y esta
no corta a la grafica de la función, significa que existe y que pertenece al codomino
para el cual no existe x que pertenezca al dominio.
IMPORTANTE:
Para analizar la inyectividad y la sobreyectividad de una función es importante
considerar, no solo la regla de asignación, sino también el dominio y el codominio de la
función.
 Si la función no es inyectiva, podemos redefinir la función para que lo sea,
eligiendo un dominio adecuado.
 Si la función no es sobreyectiva, podemos redefinir la función para que lo sea,
eligiendo un codominio adecuado.
 Dos funciones f y g son iguales si: Dom (f) = Dom (g), Im(f)= Im (g) y su regla
de asignación es la misma. Si alguna de estas tres condiciones no se cumple,
las funciones son distintas.
Definición
Una función f se denomina Biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.
Si una función f es biyectiva, entonces a cada valor del codominio le corresponde uno
y solo un valor del dominio. Esto hace posible que la relación inversa de f sea una
función (cumple unicidad y existencia), denominada función Inversa y que la
notaremos f -1
f -1
: Codom (f) → Dom (f) = f -1
(y) = x siempre que f (x) = y
y=x+2
x y=x+2
x=y-2 y
Propiedad
Una función f es inversible (existe la función inversa) si y solo si f es biyectiva.
x
1
-2
-2
y
3
0

9. 9
Sea f: → / y= x+2. Sabemos que la función es inyectiva y sobreyectiva por lo tanto
es biyectiva. Su función inversa es:
f -1
: → / f -1
(y)= y-2. Vamos a graficar ambas funciones en un mismo sistema de
coordenadas. Por lo tanto x se considera la variable independiente e y la variable
dependiente.
f -1
(x)=x-2
Sea f: → / y= x2
. Sabemos que la función no es inyectiva ni sobreyectiva por lo
tanto no es biyectiva. La relación inversa no es función porque no cumple con la
condición de existencia y unicidad.
y x x y o x y    
Cambiamos las variables:
y= x
Podemos redefinir la función dada para que admita función inversa.
f*: [0, ∞) → [0, ∞) / y= x2