Ứng dụng máy tính casio giải các phương trình lượng giác có hệ số nguyên

1. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page1
ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO TRONG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ HỆ SỐ NGUYÊN
Yêu cầu đã biết về CALC 100
I. Thực hiện phép nhân đa thức
    2sin 1 1 sinx cosP x x x   
Giải:
- Bước 1: Xem: { 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑙à ẩ𝑛 𝑋
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑙à 𝑡ℎ𝑎𝑚 𝑠ố 𝑚
      , 2 1 1P x P X m X X m     
- Bước 2: Quy trình bấm phím:
+ B2.1: Bật chế độ số phức MODE 2 (CMPLX)
+ B2.2: Nhập vào màn hình:   2 1 1X X i  
+ B2.3: Bấm CALC, máy hỏi X? .
Nhập “100” và bấm “=”.
Máy hiện:
Ta có:
6 5 4 3 2 1 4 3 2 1
019701 0199
a a a a a a a a a a
i 
     
   
0 1 2 0
2
, 1. 3. 2. 1. 2.
2 3 1 2 1
P X m X X X m X X
X X m X
      
    
     2
2
2sin 3sin 1 cos 2sin 1
2sin 3sin 1 2sin cos cos
P x x x x x
x x x x x
     
    

2. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page2
II. Đưa phương trình lượng giác có hệ số nguyên về phương trình tích
Xét ví dụ sau:
Giải phương trình:  sin2x+cos2x cosx+3sinx 2 1 
Các bước sau đây tiến hành ngoài nháp thôi:
PHẦN A: PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
Đầu tiên chúng ta thử nhẩm nghiệm của phương trình hay nghĩa là tìm một nhân tử
của phương trình xem sao:
- Bước 1: Bật chế độ đơn vị góc ( hay độ)lên, bấm SHIFT MODE 3 (Deg).
- Bước 2:
+ Bậc chế độ TABLE, bấm MODE 7 (TABLE). Máy hỏi:  F X 
Nhập vào màn hình phương trình (1), nhưng nhập là:
sin2x+cos2x cosx+3sinx-2 và bấm “=”.
+ Máy hỏi Start? , nghĩa là giá trị khởi đầu.
Nhập “0” và bấm “=”.
+ Máy hỏi End? , nghĩa là giá trị kết thúc.
Nhập “360” và bấm “=”.
+ Máy hỏi Step? , nghĩa là bước nhảy.
Nhập “15” và bấm “=”.
( Bạn đọc tự hiểu tại sao ở đây lại nhập 0; 360 và 15 nhé.)
+ Máy hiện bảng hiện thị kết quả: .
Dưới đây là bảng hiển thị kết quả đầy đủ:
X F(X)
1 0 -2
2 15 -0.823
3 30 0
4 45 0.4142

3. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page3
5 60 0.4641
6 75 0.2729
7 90 0
8 105 -0.209
9 120 -0.267
10 135 -0.171
11 150 0
12 165 0.1084
13 180 0
14 195 -0.444
15 210 -1.267
16 225 -2.414
17 240 -3.732
18 255 -5.004
19 270 -6
20 285 -6.522
21 300 -6.464
22 315 -5.828
23 330 -4.732
24 345 -3.376
25 360 -2
26
Ta có các nghiệm thu được:
0 0 0 0
30 ;90 ;150 ;180 .
Nhận xét: Các nghiệm cách nhau
0
60 hay ta có nghiệm tổng quát của phương trình
là:
0
0 .180
30 ;( )
3
k
k 
- Bước 3: Ở đây ta chỉ xét một trường hợp nhỏ của nghiệm là X =
0
30 cho dễ phù
hợp với phần I. ; bạn đọc có thể chọn X =
0
90 . (tùy vào trường hợp của kết quả bài
toán mà ta lấy nghiệm nào để làm nhân tử)
Khi X =
0
30 hay
1
sinx
2
 là một nghiệm của phương trình (1), hay cũng có nghĩa là
2sinx-1là một nhân tử của phương trình.

4. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page4
Nếu các bạn vững kiến thức biến đổi lượng giác thì ở phần này chúng ta đã có cơ sở
để biến đổi phương trình rồi. Không cần đọc phần B nữa.
PHẦN B: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH
Đưa phương trình (1) về dạng phương trình tích
Trở lại phương trình ban đầu:  sin2x+cos2x cosx+3sinx 2 1 
- Bước 1: Ở phương pháp này có một hạn chế đó là chỉ áp dụng được với một góc 
hay nói cách khác đó là chúng ta phải đưa nó về cùng một góc .
Ở đây cho hợp với phần I. thì chúng ta sẽ biến đổi pt (1) thành:
   2
1 2sin cos 1 2sin cos 3sin 2x x x x x     
- Bước 2: Vì chúng ta đã biết (1) có một nhân tử là 2sinx-1 cho nên (1):
 2
2sin cos 1 2sin cos 3sin 2 (2sin 1 ?).( )x x x x x x      
Hay
 2
2sin cos 1 2sin cos 3sin 2
( )
2sin
?
1
x x x x x
x
    


- Bước 3: Quy trình tìm (?).
Nhập vào máy tính:
 2
2 1 2 3 2
2 1
Xi X i X
X
    

; với sinx là X và cosxlà i.
Bấm CALC, máy mỏi X?, bấm “100” và bấm “=”.
Máy hiện: , hay ta có kết quả: 99 i 
Hay  0 1
1. 1X X i X i      
Nghĩa là: sinx+1+cosx
Vậy:    2
2sin cos 1 2sin cos 3sin 2 (2sin 1). sinx 1 cosx x x x x x x         
Hay

5. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page5
 
sin2x+cos2x cosx+3sinx- 2 0
(2sin 1). sinx 1 cos 0x x
 
     
Tới đây các bạn hiểu vấn đề chúng ta đang làm vừa giờ rồi chứ. Nếu thành thạo chỉ
cần vài bước chúng ta có thể tìm ra hướng giải các bài phương trình lượng giác có hệ
số nguyên một cách dễ dàng.
Chú ý quan trọng:
Chú ý 1: Quay lại phần trên một xíu nhé.
Nếu ta chọn X =
0
90 hay nhân tử của chúng ta là sinx-1 thì:
 2
2sin cos 1 2sin cos 3sin 2
( )
si
?
n 1
x x x x x
x
    


Nhập vào máy:
 2
2 1 2 3 2
1
Xi X i X
X
    

“CALC 100” máy cho kết quả: ,
199
199
99
i

 
Cho nên chúng ta sẽ không nhận nhân tử sinx-1 nhé. Thử tương tự các nhân tử khác.
Chú ý 2: Quay lại phần trên một xíu nhé.
Làm tớiđây có bạn nào thắc mắc chỗ cos2xbiến đổithành 2
cos2x=1-2sin x. Vậy mình
chuyển cos2x thành 2
cos2x=2cos 1 được hay không?. Hay ta có thể lấy nhân tử là
cosx được không?.
Câu trả lời là có!
Xét trở lại phương trình (1): sin2x+cos2x cosx+3sinx- 2 0 
Với 0
90X  hay cos 0x hay phương trình có nhân tử là cosx .
Phương trình    2
1 2sin cos 2cos 1 cos 3sin 2x x x x x     

6. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page6
Vì chúng ta có một nhân tử là cosx cho nên ta có:
   2
2sin cos 2cos 1 cos 3sin 2 cos . ?x x x x x x     
Hay    2
2sin cos 2cos 1 cos 3sin 2
co
?
s
x x x x x
x
    

Nhập vào máy:
 2
2 2 1 3 2Xi i i X
i
    
; với sinx là X, cosxlà i và 2
cos x là -1.
Bấm “CALC 100” máy hiện , 199 295i
Hay      0 1 0 1
1. 2. 5. 3. 2 1 3 5X X X X i X X i        
Hay:  2sin 1 3sin 5 cosx x x  
Vậy:
   2
2sin cos 2cos 1 cos 3sin 2 cos . 2sin 1 3sin 5 cosx x x x x x x x x          
Hay  sin2x+cos2x cosx+3sinx- 2 cos . 2sin 1 3sin 5 cosx x x x      
Ở đây ta thấy việc phân tíchtrên không đẹp cho lắm.
III. Các ví dụ và bài tập minh họa cụ thể
Ví dụ1: ĐH.D2008 Giải phương trình lượng giác sau:
   2sin 1 2 sin2x=1+2cosx 1x cos x 
Phân tích làm nháp:
- Bước 1: tìm nhân tử:
+ Bật chế độ TABLE: Bấm MODE 7.
Nhập vào máy tính:  2sin 1 2 sin2x-1-2cosxx cos x 
Máy hỏi Start? , Nhập “0” và bấm “=”.
Máy hỏi End? , Nhập “360” và bấm “=”.

7. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page7
Máy hỏi Step? , Nhập “15” và bấm “=”.
Ta được bảng kết quả sau:
X F(X)
1 0 -3
2 15 -1.426
3 30 -0.366
4 45 0
5 60 -0.267
6 75 -0.758
7 90 -1
8 105 -0.723
9 120 0
10 135 0.8284
11 150 1.366
12 165 1.3977
13 180 1
14 195 0.4659
15 210 0.098
16 225 0
17 240 0
18 255 -0.241
19 270 -1
20 285 -2.276
21 300 -3.732
22 315 -4.828
23 330 -5.098
24 345 -4.397
25 360 -3
26
Ta thu được các nghiệm là: 00 0 0
45 21; ; ;50 22 240 .
Nhận xét: Từ đây các bạn có thể đoán được hai nghiệm tổng quát của phương trình
này
0 0
45 .180 ;( )k k  và
0
0 .180
120 ;( )
3
k
k 
Ở đây chúng ta sẽ lấy nghiệm nào làm nhân tử đây: Phân tíchthử

8. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page8
+ Nếu lấy 0
45X  ta được
2
sinx
2
 hoặc
2
cosx=
2
mà phương trình toàn hệ số
nguyên. Vậy bỏ trường hợp này.
+ Nếu lấy 0
120X  ta được
3
sinx
2
 (loại vì lý do như trên) hoặc
1
cosx=
2

hay
2cosx+1 là nhân tử cần tìm.
- Bước 2: Đưa về tích
Vì nhân tử của chúng ta là 2cosx+1 nên chúng ta sẽ biến đổi phương trình (1) như
sau:
   
 2
2
2sin 1 2 sin2x=1+2cosx 1
2sin 1 2 1 2sinxcosx-1-2cosx=0
4sin 2sinxcosx-1-2cosx=0
x cos x
x cos x
xcos x
 
   
 
+ Bật chế độ số phức: MODE 2 (CMLPX)
+ Nhập vào máy tính:
2
4 2 1 2
2 1
Xi Xi i
i
  

+ Bấm “CALC 100” ta được: , 1 200i 
Hay: 1 2Xi 
Hay: 1 2sin 1 sin2xcosx x   
Vậy
  
2
4sin 2sinxcosx-1-2cosx 0
2 1 sin2 1 0
xcos x
cosx x
 
   
- Bước 3: Giải phương trình
Sau khi phân tích, ta lạnh lùng trình bày như sau:

9. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page9
   
  
2sin 1 2 sin2x=1+2cosx 1
2 1 sin2 1 0
21 22 1 0 3 ;( )2
sin2 1 0 sin2 1
4
x cos x
cosx x
x kcosx cosx
k
x x x k
 
 
 
   
               
Ví dụ 2: ĐH.A2007 Giải phương trình lượng giác sau:
     2 2
1 sin x 1 sinx=1 sin2 2cosx cos x x   
Giải:
- Bước 1: Dùng TABLE nhẩm nghiệm và tìm nhân tử của phương trình
Ta thu được các nghệm sau: 000 00
0 ; ; ;90 ;1 5 315 3603
Từ đây các bạn có thể quan sát thấy phương trình của chúng ta có ba nghiệm tổng
quát: 0 0 0
90.18 ; 800 .1kk  và  0 0
135 .1 ;80k k 
Ta chọn 0
90X  cho đẹp, hay ta có sinx 1 và tương đương ta có nhân tử là sinx 1 .
- Bước 2: Đưa về tích. Bật chế độ số phức CMLPX.
Biến đổiphương trình (2):
     
   
   
2 2
2 2
2 2
1 sin x 1 sinx=1 sin2 2
1 sin x 1 1 sin sinx=1 2sin
1 sin x 2 sin sinx 1 2sin 0
cosx cos x x
cosx x xcosx
cosx x xcosx
   
     
      
Nhập vào máy tính:
   2 2
1 2 1 2
1
X i X X Xi
X
    

Bấm “CALC 100” ta được: , 10099 99i 
Hay        2 2
1 1 1 1X X X i X X X i            
Hay:    2
sin sinx 1 sinx 1 *x cosx    

10. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page10
Ở đây ta chú ý chỗ này, vì chúng ta có ba nghiệm tổng quát. Mà chúng ta mới chỉ
dùng một nhân tử. Cho nên chỗ phương trình (*) chúng ta vẫn có phân tích tiếp à
chuyện đương nhiên.
Vậy thì với 0
0X  ta được 1cosx hay 1cosx .
Vậy ta phân tích (*) trở thành:
   
   
 
2
2
2
sin sinx 1 sinx 1 *
1 sinx 1 sinx 1
sinx sinx 1
x cosx
cos x cosx
cos x cosx
    
     
   
Vậy ta nhập vào máy:
 1 1
1
X X i
i
   

Bấm “CALC 100” ta được , 100 i
Hay: X i hay sinx cosx
Vậy     2
sin sinx 1 sinx 1 1 sinxx cosx cosx cosx       
- Bước 3: Sau khi ta đã đưa về các tích được, ta trình bày như sau:
     
   
2 2
1 sin x 1 sinx=1 sin2 2
sinx 1 1 sinx 0
cosx cos x x
cosx cosx
   
    
Sau đây là một số bài tập: (Các bạn lấy bài tập nào trong đề thi ĐH cũng được, miễn
là hệ số nguyên)
1) ĐH.B2005:
1 sin cos sin2 2 0x x x cos x    
2) ĐH.B2011
sin2xcosx+sinxcos 2 sinx cosx cos x x  
Bài viết sơ thảo còn rất nhiều sơ sót, mong quý thầy cô và các bạn hỗ trợ bổ sung và
phát triển phương pháp.

11. Lê Mạnh Cường
Sđt: 096 992 57 45
Page11
Tài liệu tham khảo:
1. ỨNG DỤNG CALC 100 VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ HỆ
SỐ NGUYÊN: Tác giả Mẫn Tiệp (Hậu Giang), viết năm 2013.
2. ỨNG DỤNG CASIO VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: Trang
facebookHỌC SÁNG TẠO.
3. TÀI LIỆU INTERNET.
Đồng Nai, 30/07/2015
Lê Mạnh Cường