Estruturas_de_concreto_-_Solicitações_tangenciais.pdf

Péricles Brasiliense Fusco
ESTRUTURAS
DE CONCRETO
SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS
Esforços Solicítantes
Forças Cortantes
Torção
Tensões em Regime Elástico
Seções Abertas e Seções Fechadas
Analogias de Treliça
Oimensionamento em Regime de Ruptura
Peças de Concreto Armado
Peças de Concreto Protendido
Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento

Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco
Enpnlieiro Ciwit • Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2
Engenheiro Nava! - EPUSP - 1 9 6 0
Doutor em Engenharia - EPUSP - 1 9 6 8
Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5
Professor titular - EPUSP - 1980
Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de
Concreto" e "Análise Experimental de Estruturas" do
Departamento de Engenharia e Estruturas e
Fundações da EPUSP
Fundador e Diretor do Labora tá rio de Estruturas e
Materiais Estruturais da EPUSP
Orientou 19 dissertações de mestrado c 17 do
doutorado.
Projetista de estruturas cie concreto, tendo
participado do projeto de grandes obras realçadas
no País durante os últimos 25 anos, nas áreas de
edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas.

ESTRUTURAS UE CONCRETO
SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

Estruturas de concreto: solicitações tangenciais
©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA.
Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP>
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Fusco, Péricles Brag iliensí?
Estruturas de concreto : solicitações
tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,
ISBN 979-85-7266-208-6
1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas
3, Estruturas de concreto armado I, Título,
08-06331 CDD-624,1334
índice para catáloga sistemático:
1. Estruturas de concreto armado : Solicitações
tangenciais : Engenharia estrutural
624 ,1834
Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza
Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha
Díagramação: Maurício Luiz Aires
Revisão: Andréa Marques Camargo
Editora Píni Lida,
Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil
Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427
www.piniweb.com - manuals@plni,com.br
1
» edição
1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8

Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-
to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças
cortantes e momento de torção.
Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-
nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-
is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-
ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas
de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-
adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma
aleatória a resistência do concreto à compressão. É por
essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-
lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de
solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade
de ocorrência de estados limites últimos de solicitações
tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de
estados limites últimos de solicitações normais, devidos a
escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem
provocar físsuração Suficientemente intensa para servir
de advertência da proximidade de possíveis situações de
eminência de colapso.
A resistência adequada aos esforços tangenciais depende
essencialmente de um correto detalhamento das armadu-
ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação
das quantidades de armaduras necessárias para essa re-
sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui
discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-
lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro
Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini,
Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o
entendimento completo das coisas somente é obtido
pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas
partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida
com as estruturas das sociedades humanas, em todos os
seus sentidos.
PÉRICLES B R A S t L I E N S E F U S C O
Professor Titular da Escola Politécnica da
Universidade de S ã o Paulo
São Paulo
30/5/2008

1" PARTE - CONCEITOS BÁSICOS SOBRE C I S A L H A M E N T O
CAPÍTULO 1
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26
1.5 Tensões principais 29
1.6 Natureza simplificada da teoria 31
CAPÍTULO 2
FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34
2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39
2.3 Cisalhamento na flexão composta 42
24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54
2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57
CAPÍTULO 3
ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES -
EXEMPLOS 64
3.1 Critérios de classificação das ações ....64
3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68
3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas;
FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma
natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71
3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas;
Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c
duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas
fundamentais e duas combinações de serviço 74

3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com
carregamento alternado , 77
3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80
3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão
simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85
3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado;
Combinação principal e combinação secundária 9C
CAPÍTULO 4
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96
4.1 Modelo resistente de treliça 96
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99
4.3 Modos de ruptura 102
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106
4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108
4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112
4.8 Funcionamento de barras dobradas 113
CAPÍTULO 5
ANALOGIAS DE TRELIÇA 116
5.1 Analogia da treliça clássica 116
5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120
5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127
5.4 Analogia generalizada da treliça 133
5.5 Tensões na armadura transversal 135
5.6 Tensões nas bielas diagonais 138
5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139

CAPITULO 6
PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142
6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144
6.3 Tensões nas bielas diagonais 146
6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150
6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151
6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas 153
6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15®
6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161
6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16?
CAPÍTULO 7
PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170
7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170
7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174
7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180
7.4 Outras i nvestigações experimentais 191
7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194
7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199
7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202
CAPÍTULO 8
PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206
8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206
8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210
8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214
8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215
8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222
8.6 Vigas com cabos Inclinados ........ 226

CAPÍTULO 9
REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230
9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230
9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232
Â» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A TORÇÃO
CAPÍTULO 10
TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246
10.1 Garras de seção circular 246
10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249
10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251
10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256
10.5 Seções abertas de parede delgada 256
10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260
10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261
10.8 Exemplo importante 263
10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265
CAPÍTULO 11
TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268
11.1 Tensões .. 268
11.2 Rigidez 272
11.3 Analogia da membrana 274
11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276
11.5 Exemplo 282
11.6 Seções parcialmente fechadas 287
11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289
11.8 Seções multicelulares 290
11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293

CAPÍTULO 12
TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298
12.1 Torção em peças de concreto armado 298
12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301
12.30 modelo de treliça espacial - .....303
12.4 Rigidez à torção 309
12.5 Torção de peças de concreto protendido 312
CAPÍTULO 13
TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314
13.1 Torção pura - 314
13.2 Tensões nas bielas diagonais .....317
13,4Tensões na armadura longitudinal 322
13.5 Torção composta .....324
13.6 Flexo-torção 326

Ia PARTE CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO
CAPÍTULO 1
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples
Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p
variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e
forças cortantes V Fig. (1.1 -a).
O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig.
(1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:
dx (1.1-1)
dx (1.1-2)
E
S
T
R
U
T
U
R
A
S W C
O
U
C
R
E
T
O

donde
dl
M dV
dx dx (1.1-3)
t t t t
M
V
M + dM
V + dV
dx
Condições tio equilíbrio
Figura (J, J-b)
Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de
sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-
tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são
positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e
as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.
A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação
(1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.
Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não
existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição
já dA = 0 (1.1-4)

em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não
foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-
tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento,
pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal,
como mostra a expressão (1.1-4).
De fato, como é mostrado na Fig. (1.1 -c), sendo r a resultante das tensões
de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção trans-
versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se
R
c0 +
e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,
(RCQ+dRco ) + (Rto +dR (Q.) = 0
estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.
crc+ dac
i >
-, dx
Rco Rco ^ d^o C
6
L —
Rlo+dRt*)
N
dx
Condições ele equilíbrio
Figura {). 1-cj
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante
Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-
chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).

Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de
comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais
nas faces de corte longitudinal do elemento.
Vigas da Soçáo Constante
Figuro (1,2-o)
Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio
longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-
põe necessariamente as condições
Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das
expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indife-
rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante
dessa subdivisão.
Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como
«/k, = <//?,
onde Í!R{ a d | aihi
Ay

sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitu-
dinal considerada, resultando
(IV =cí f <TíIA
*
Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-
go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se
dV =xbcíx
X
logo
I d
i =
b dx
- jatíA (12-1)
Cisalhamento no piitno longitudinal de corte
Figura (12-b)
A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x
possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz
qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se

ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-
tanto, desprezável.
A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h
depende da forma da seção transversal.
De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-
nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta
comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b),
Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudi-
nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal.
As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-
das adiante.
De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que
não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso
de flexão normal, resulta
1 d cM I d (M
t = —y-dA = — - —-5,
bdx j I ' bdx{ I y
)
onde / é o momento de inércia da seção transversal e
Sy = | ydA
o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas
áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos la-
dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na
flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas
áreas parciais. Deste modo, tem-se
/
l
sy d (SY
f dx 1 /
(1.2-2)

No caso em que as seções transversais tenham Sy // constante ao longo do eixo
da barra, resulta
(1,2-3)
hl
Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r
proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a
variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as
variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de
uma seção duplo T.
Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de
cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T.
Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento
T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao
longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-
no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa
borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de
cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-
nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo
do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento

paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura
das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura
das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda,
admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura
da aba.
De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-
mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que
usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção impor-
tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia
altura da seção.
Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde
y = 0, tem-se
JL
~ v ~ V (1
-2
-4
>
sendo
Z~SÜ (1.2-5)
Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da
tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x
constante ao longo da largura h da fibra considerada.
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento
Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na
periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a
tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De
fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as
tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular
ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a
componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-
gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas
a componente de cisalhamento tangente ao contorno.
mm
1 9

Cisalhamento na periferia
da saçãa transversal
Figura fI.3-«)
Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação
da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes,
Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento
em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas
ao eixo Y.
Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III
- V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A
pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja
constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha
média do elemento,
No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal,
essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das
tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-
te apresentado.
Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-
terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior
que a altura da seção.

Figura (1,3 b)
Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes
ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes
nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-
lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo
dessa componente.
Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão
(1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.
Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas
uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-
nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal
deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.

Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V),
No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano
longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é
necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse
aberta no eixo de simetria.
No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-
pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os
de força cortante.
Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-
minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-
derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado
no exemplo da Fig. (1.3-c).
Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto
figuro (?,3-c)

Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que
nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo
das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus
centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-
ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo
o momento estático Sy a eles correspondentes.
Figura fl.S-d)
É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção
celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas
à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados.
Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são
sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e
chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-
sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse
motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as
componentes paralelas à linha média do perfil.

Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil
Figura (1.3-o)
A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-
zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de
um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões
de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-
ponsáveis pela ligação da alma à mesa.

As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).
Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-
ção ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da
alma com as faces externas da mesa, a tensão ti : é obrigatoriamente nular
em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g),
Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cru-
zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h).
Verifica-se então que as tensões t;í atuantes no plano longitudinal de corte
da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-
tudinais de corte das abas da mesa.
Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig.
(1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-
ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise
desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos
reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-
turas de concreto,
Md
25

Figura f! ,3-g)
t 1 £
t 122
"^xz
Figura (1,3-ty
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável
Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais
das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser emprega-
da a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl varia em função de x ,

Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o
centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmen-
te são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2)
tem-se
T b A / — f —
0 0
I dx[l ,
logo
Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da
seção, admite-se que seja
donde
ou seja
Z=Qt
_V_ A / j / f O V__M_ I dh
CA
~z +
C ttc[h) z C, fr dx
I (y_M_dh^
h dx j
baz
(1.4-1)
V,
Viges do altura variável
Figura ít^-oj

Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a),
tem-se
— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^
dx dx dx
logo
1 („M.
Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atu-
ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por
(1.4-2)
(1.4-3)
sendo então
t 0 = ^ L (1.4-4)
I
M
a passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal
porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas.
Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem
ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).
Influência do variação da seção
Figura (J.4-Ò)

Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-
librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no
trecho de comprimento Ax.
No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um mo-
mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim
uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0.
Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e
h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força
cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver*
sal, Fig. (1.4-b).
Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que de-
termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-)
quando M e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-
cem em sentidos opostos.
1.5 Tensões principais
Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas
de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam
maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em
geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-
versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-
culares ao plano de tensão nula.
Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig.
(1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser
determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-
são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão
designada por av . Nessa figura também é mostrada a determinação das ten-
sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular
corrente em que <rh
. = 0.

tan a
a^-cr, CJ, - Cl
tá h
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são
impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de
compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em
valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior ten-
são de compressão por <s„ .
Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os
valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente.
Estados múltiplas da tvnsóas
Figura (!.5-i>)

Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da
seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-
metida à flexão simples.
Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a
inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo
longitudinal da peça.
Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL.
T
E
N
S
Õ
E
S P
f
l
l
N
C
I
P
f
l
l
S T
E
N
S
A
S P
R
I
N
C
I
P
A
I
S
Distribuição dos tansàos principais
Figuro (f,5b)
Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as
tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme
foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da
tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 .
1.6 Natureza simplificada da teoria
E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação
das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-
sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas,
Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.
Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-
buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na

teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da
barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.
De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-
troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que
adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na
equação (1.2-2).
Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao
longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que
em virtude das distorções y-jG seguirem necessariamente um andamento
análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-
dade da seção e distorções nulas em suas extremidades.
r-VS v - i
~bj G A
X q>=IA<p.

T
0
/ /
" r
i
i
i
i
i
1
n, '
• -X.
itp = IAíJ}j
/
f
/
/
i
i
i X
fp = 1 Aifh,
Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto
Figura (t.6-o)
Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da
altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência
da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.

CAPÍTULO 2
Forças cortantes reduzidas
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento
Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada
pela expressão
ys
X= JF
em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em
relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão
e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte
da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t,
Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para
o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor
absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção
transversal em relação a um eixo baricêntrico,
Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-
da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de
cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.
Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-
mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada.
Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram
calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-
versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria
força cortante.

Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale
(2.1-1)
em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por
meio da qual se calcula i ,
fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento
Figura (5. J-o)
C
5
T
H
U
T
U
n
A
S D
C C
O
N
C
R
E
T
O

Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se
ou seja
s(y)dy~-)yds(y)
yi >1
uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-
dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos
como resultado
>
•
• (2,1-2)
Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-
co vale
S(y)= jbz-dz
ou seja
V >
1
$ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz

A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático
da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo
portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior
sob a forma
A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação
(2,1-2), que é definida por
pode então ser escrita sob a forma
íty
>
-jbz-dz + Sq dv
Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se
dS(y) = -[bzl-dy = -bydy
Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se
(2.1-3)
s(y)dy = -y(-by)dy
resultando, finalmente,
S(y)dy=]byl
dy = I
(2.1-4)

Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que
(2.1-5)
Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-
salhamento são dadas por
, « 4
vsv d
I dx
( c
t
e sua resultante, pelo que já foi visto, vale
x(y)bdy = V+ fM J-f ^ dy
Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se
A Vj V
dy
Por outro lado, de
'r d
f c-
f - ^ 4> =
M ' J
dx
7
integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se
S?<*y = [ s M - S ( y 2 ) y y - d S y = I

ou seja, resulta
1
dA !
J y - M l . I
* d x I
s O
concluindo-se que em qualquer caso
R(t)mV
2.2 O conceito de força cortante reduzida
O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio
das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções
transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por
1 í,v M.
Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por
r, M
chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre
que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr.
O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural
é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia.
Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento
que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite
toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b),

M
' T
S c t g V y t
V g V s
M + AM
Força corta/lio rttduiida - (Vr<V)
Ftgura (2,2-o)
Força cortante redunda -(Vr<Vf
Figuro (2.2-bf

Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e Rt, resultan-
tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são
acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan|/r e R, tan v|/f, que são
paralelas à força cortante V.
Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a re-
sultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas
a força
Vr -V-Rc tan v|/£
. - Rt tany,
Nesse caso,sendo
Z
obtém-se
Vt-V - — (tan + taiH|>,)
z
Fazendo-se, então,
tan v|/c + tan _ tani|/, + tanj/2 ^ tanvp
z h h
resulta
., ,, M
» f - — t a n y
h (2.2-1)
que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga
de alma cheia.

De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários,
tem-se
Vr - R tan - Rf tan yf = V
ou seja
Vr-V + Rr tan + R, tan
resultando assim
rr w M
V = V -t-—tan 4/
A (2.2-2)
Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem ade-
quado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se
admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos
pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça,
fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma.
2.3 Cisalhamento na flexão composta
Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir
uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalha-
mento de eventuais variações de N ao longo da peça.
Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resul-
tados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a
forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de
forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento
continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção
transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da exis-
tência de uma força normal não nula.

Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas
pela expressão geral (1.2-1), ou seja
T = I i - íadA
b dx }
donde
hdx , r a )
•
obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor
C/stffiammto na ftoxào composta
Figura 12.3-a)

Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em
barras em que j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece es-
sencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à
linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos
banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante
das tensões de cisalhamento.
Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado te-
nham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é
necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas
parcelas, kt.N e k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e
pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c).
Seçíto çgm Aa j A constante
Figuro (2.3-b)

Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios
Figura 12.3-cí
O equilíbrio de forças axiais impõe a condição
kc+k,= 1
e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravida-
de da seção, deve-se ter
k,e(.=k,e,
donde
ou seja
logo
k, e,
L = L
e, e,
K _ e<
k(. + k, e,+et.

Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão
composta) dado por
z = et, +t>,
têm-se
z [2.3-2}
- (2.3-3}
Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então
^ (
tan - M . ^
—+k.N
z J
tan %
(2.3-4)
com N > 0 de tração.
Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto
Figuro (2.3-d)

2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado
Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que
agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o mo-
mento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma
convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico line-
ar. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido
a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.
Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tra-
cionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer
vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido
ao centro de gravidade da seção geométrica da peça.
Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de
que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida
a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da for-
ça normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços
serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}.
Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento , dado por
Ma = M - N • ys ( 2 . 4 - 1 )
considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de
compressão.
Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido
Figura f2.4 o)

Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de
gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das ten-
sões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expressões
[2.3-2) e [2.3-3), sendo
têm-se
= v,
er+e, =s
R
N
'e
> M-N-ya Af,
T T
„ M N-ee M-N-y( N(er+ys) M
R, - — + — +————-—2- + N
Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual
tan y -
M . ..
—+k,N
K z
tan
verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de
tração corresponde à decomposição com os valores
kc= 0 e *,m
obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão
M M
= V - tan tan - N lan
(2.4-2)

Finalmente, admitindo-se as simplificações
tani|/,. tany
2 ~ d
e
obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta
Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de
gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resul-
tante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer
outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante
das tensões de compressão.
De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do
momento fletor, na expressão
de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores
(2.4-3)
> (M
-kt,N turnj^- — - k : N tanvfí,
) s )
e
. =£zl±=>L
(2.4-4)
c
s
t
u
u
t
u
h
a
s p
c g
g
N
C
F
i
E
T
o mm
4 9

Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido
Figuro {2,4-b)
Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões
(2.4-4), resulta
t a n y t -
M z — yt
N
-
tan
ou seja
Vm, = V - — ( t a n y (1 + t a n y , ) + — — ( t a n + t a n i [ f , ) - N t a n
resultando então
ym, = V _ (tan y , + tan y J - N tan vj/,
que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao cen-
tro de gravidade da armadura de tração, pois
M - N • yx = Ms

De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k, conti-
das no par de expressões (2,4-4), tem-se
jtany,-
M y ' ,
— + — N tari
. z z )
isto é
= r(t a n +
M
c
resultando
que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões
normais no banzo comprimido.
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado
No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corres-
ponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a
aplicação das expressões do item anterior, têm-se
e
resultando de (2.4-3) a expressão simplificada
, jr J
V
/
ti (2.5-1)

na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M(.
Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M} = M .
R B F / 2
ÚV-^-lfl^
F/2
Vigas com inclinação do banzo comprimido
Figura (2,S-aj
A expressão anterior também pode ser posta sob a forma
(2,5-2)
admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quan-
do de tração, e que h e m crescem no mesmo sentido. Essa expressão
é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso con-
trário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2).
Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por
exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade
suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia,
conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redu-
ção a ser feita na força cortante é praticamente a mesma.

Figura (25 b)
Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais
devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma
simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia
de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos
paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as tra-
jetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos
e pela teoria usual de flexão.
Í
S
T
n
U
T
U
n
A
S O
C C
Q
N
C
F
I
C
T
O

Trujatórias cia esforços
Figuro (2.5-c)
Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato
uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efe-
tivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo
comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente
a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto arma-
do, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado.
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido
O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto pro-
tendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto
armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro enten-
dimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que
o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transver-
sais da peça.

Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções
transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto pro-
tendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples,
Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será
sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer
que seja a fase considerada de carregamento.
Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de ten-
sões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas.
A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida ape-
nas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de preten-
são. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada
pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços soli-
citantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas,
onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, de-
correntes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão.
Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer
outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força
normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de
ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão.
Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mo-
bilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equi-
librados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na
estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em
módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de
ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momento nulo, Nas estrutu-
ras hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar afas-
tadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento
igual ao valor M M mobilizado no próprio ato da protensão.
Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite úl-
timo de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de pro-
tensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento À/Ifyj!. Nessa
situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo
que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resul-
tantes Rt,(l e Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll das ações diretas,
somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir
E
S
T
R
U
T
U
R
A
S G
E C
O
N
C
R
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O I -

r
H :
H-o /
ü , 1 P Z
4 )
^M "O
t
(RU - Rci>
ía). PROTENSÃO
iM
r
g +q
(b>. ESTÁDIO I
^c (p + g + q í
R ^ 1 —
Rcn ^ — T
Mn
<
c
d - —
-T ;
! H t r " W
( c ) , ESTÁDIO H
M
Jí
tRtd - <W
td). ESTADO LIMITE ULTIMO
Fhxáo simples de estruturas pretendidas isostáticas
Figuro (Z.G-oj
r*
h i—
R t l t -
cd r
Mp.hip
Md
>
Í W p + V q ) « í
(Ru - Rci »
(d). PROTENSÃO
R t d * R c d
(b>. ESTADO LIMITE ÚLTIMO
ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas
Figuro f2,6-b)

Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma
força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas,
também não deve ser considerada como uma força normal para o dimen-
sionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode
ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria
protensão, que também são efeitos diretos.
Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão com-
posta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1)
até (2.5-2), nas quais agora
M = M + M p M l )
(2.6-1)
(2.6-2)
Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante
reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de pro-
tensão inclinados, conforme é analisado a seguir
2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados
Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida
sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão,
Fig. (2.7-a)
ÍSTNUTUNAS OC CQNCFICTO

ftgura (2.7-{>l
Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita
V^V-AV^-AV,,
onde V é a força cortante efetiva, é a redução devida à seção transversal
variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados
de protensão.
Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o
concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o
trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P
que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt exer-
cida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são
iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo
de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real,
em que existe atrito, sempre será P< Pt.
Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo
ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial
de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho

Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos
Figuro (2.7-b)
é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a
inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado,
Figura (2.7- C)

Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos
curvos vale
e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica
de equação
y = cx2
cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por
dy „
tan a = — = 2o:
dx
sendo
sin a = tan a = 2cx
resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como
se mostra na Fig. (2.7-c).
I
M
a presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por
superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos conside-
rados isoladamente.

Figura (2.7-d)
Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI de-
vido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida.
Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicita-
ções máximas quanto a de solicitações mínimas, Nos casos usuais, são consi-
deradas as forças médias Pm lmftj e Pmf.Q , respectivamente, como mostrado
na Fig. (2.7-e),

SOLICITAÇÕES M A X M A S : V ( Í T Q ) ( J
SOLICTTFTÇÕEÂ MÍNIMAS : V
(USUALMENTE
U M ÚNICO
ri.
£J
r d,
I
1 V,
Í
T
l
O
* [o+
m
s V
min gl,<f
q)d p,t«»
AV
F O R Ç A S
p,t»o
F O R Ç A S
C O R T A N T
C O R T A N T
SERÁ CONSIDERADO
VALOR P B P M )
E S
E S
M A X I M A S
M Í N I M A S
Forças cortantes reduzidas do cálculo
Figura (2.7-0)

CAPÍTULO 3
Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos
3.1 Critérios de classificação das ações
De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de
acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a),
Tabela (3.1-a)
CRITÉRIOS D E C L A S S I F I C A Ç Ã O TIPOS DE A Ç Õ E S
Variação no Tempo
Ações Permanentes
Ações Variáveis
Ações Extraordinárias
Variação no Espaço
Ações Fixas
Ações Livres (Móveis ou Removíveis)
Natureza Mecânica
Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis)
Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas}
Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas va-
riações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis
são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b).
A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um con-
junto de construções de mesma natureza.
A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização
da construção.

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
DAS AÇÕES VARIÁVEIS
TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS
Tempo de Permanência
Ações de Longa Duração
Ações de Curta Duração
Freqüência de Atuação
Ações Repetidas
Ações Não Repetidas
Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer
durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais
as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das
estruturas, da seguinte maneira:
a) Situações permanentes
Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspon-
dentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englo-
bam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da
mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida
útil da construção.
b} Situações temporárias
Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que
o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é
considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais,
como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quan-
do ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína.
Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados
valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses
valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios:

I) Ações permanentes
Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois va-
lores diferentes: um valor característico superior correspondente ao
quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de estrutu-
ras semelhantes, e um valor característico inferior, Gk M f correspondente ao
quantil de 5% dessa distribuição.
Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valo-
res representativos nominais, fixados de modo convencional da seguin-
te maneira:
1- Peso próprio das estruturas
Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único
valor nominal Gk, calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos espe-
cíficos médios dos materiais.
2- Peso dos elementos não estruturais
Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo,
levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente pre-
vistas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero.
3- Empuxos de terra
Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o em-
puxo passivo.
4- Forças de protensão
Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores caracterís-
ticos da força de protensão, um valor máximo Ph e um valor mínimo Pkml(i
ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm.
5- Outras ações
As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio,
por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorren-
tes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores
nominais únicos.

II) Ações variáveis
Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos:
1- Valor característico {Ffc}
É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores.
2- Valor de combinação }
É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável
considerada como principal, na verificação da segurança em relação a esta-
dos limites últimos.
3- Valor freqüente (y,/^ )
E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou
ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados
I irrites de serviço.
4- Valor de longa duração ( y ^ )
É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante perío-
dos de tempo suficientemente longos para que sejam considerados os efeitos
da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação
a estados limites de serviço.
Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utili-
zação ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na
Tabela (3.1-c)."
•na
67

Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização
AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES
Vi
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0
CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS
¥0 Vi
Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de
elevadas concentrações de pessoas
0,4 0,3 0,2
Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou
de elevadas concentrações de pessoas
0,7 0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS
Vo
Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2
Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2
Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,6 0,6 0,4
3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança
A- Estados limites últimos
m
Combinações últimas normais F<T = C!FCIII + 7,
»
II - Combinações últimas especiais ou de construção
rrj
' I >-2

III - Combinações últimas especiais
jtJ ri
M
B- Estados limites de serviço
tti tt
I - Combinações de longa duração FÍKM. = £FGKK + 2
í-i /.i
M
T tl
II - Combinações freqüentes F<IFRF = Y FA I + + X ^ A
M /«I
C- Coeficientes de ponderação
Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade
Combinações yK para efeitos (*}
Combinações
Desfavoráveis Favoráveis
Normais
te - 1 , 3 r . * 1,0
Especiais ou de Construção
yK = i.a y, = 1,0
Excepcionais
y , = ™ ys = 1,0
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos yM ou y a

Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade
Combinações y para efeitos (*}
Combinações
Normais
yK - 1,4 y, - 0,9
Especiais ou de Construção
V, - 1,3 y, - o-s
Excepcionais
yK = 1,2 y* = 0,9
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y^ ou ya
Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas
Combinações yK para efeitos (*)
Combinações
Normais yK = 1,2 y« = 0
Especiais ou de
Construção y« - 1,2 = 0
Excepcionais = 0 Y* = 0
[*) podem ser usados indiferentemente os símbolos Y
^ ou Y
o

Tabela (3.2-d) Ações variáveis
Combinações
Ações variáveis em
geral incluindo as
cargas móveis D
Efeitos da
temperatura
Normais
7, = 1.4 Yc= 1.2
Especiais ou cie Construção
7 , = 1.2 y, = i-o
Excepcionais
T,, = 1.0
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos ou
3.3 EXEMPLO N°1:
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas;
- Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis
de mesma natureza;
- Combinação última fundamental e combinação de serviço.
Q=100k N
| q = 20 k N ,' m
. _ _ _ L l g »10 k NI m
aJí A S
O —
•
L =0,0 m
Figura (3.3-s)

UNIDADES [kN, m) 1 kN s 0,1 tf
ANÁLISE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS
VALORES CORRESPONDENTES A
ANÁLISE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS
9 q Q TOTAIS
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Ações características: gk , qik
10 20 100 -
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Reações de apoio: R a = Rm
40 80 50 170
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
Ku
40 80 50 •
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
K--,
0 0 50 -
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Momentos fletores característicos MCk
80 160 200 -
E.L.
ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Forças cortantes de cálculo
56 112 70 238
E.L.
ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Forças cortantes de cálculo
0 0 70 70
E.L.
ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Momentos fletores de cálculo MCit
112 224 280 616
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de
serviço
Ku
40 80 50 -
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
• 56 35 •
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
v
Y A&r
- - - 131
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
0 0 50 -
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
0 0 35 •
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
V - - - 35
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
Momentos fletores de
serviço
80 160 200 -
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
- 112 140 -
E, L. de
SERVIÇO
^ =0,7
serviço
» * * 332

g k - 1 0 k N M i
q k = 2 0 k N / m
< ^ = 1 0 0 k N fm
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o Mc J
50
100
1S0
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
k N . m
g k = 1 0 k N / m
q k = 2 0 k N / m
Q ^ 1 0 0 k N / m
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o V,t
E s t a d o L i m i t e d e U t i l i z a ç ã o V.
Figura (13-b)

3.4 EXEMPLO NQ2;
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas;
- Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e a
duas ações variáveis de naturezas diferentes;
- Duas combinações últimas fundamentais e duas combinações de serviço.
Q - 1 0 0 kN
C
L = 8,0 m
q = 20 k N / m
g = 1 G k N / m
B
Figtiro (3.4-aj
Esse exercício é análogo ao anterior, tendo porém cargas variáveis de naturezas dife-
rentes. Nesse caso serão feitos: F1 -q; F2=Q; yK = yv = 1,4; 4'n<1 = =Hf
[i = 0,K
; y, =0,7; V3=0,6,

UNIDADES (kN, m] 1 k N = 0 , 1 tf
ESFORÇOS
VA LORISC 0R l ^ PO NDENTEÍTA
B G TOTAIS
Ações características: * ^fc
10 20 100 -
ANÁLISE
Reações de apoio:
= 40 80 50 170
ESTRUTURAL
Forças cortantes
40 80 50 -
características
0 0 50 -
Momentos fletores característicos
80 160 200 -
Wm
56 112 70 -
E. L
ÚLTIMOS
0,8x1 AVm
• 89,6 56 •
E. L
ÚLTIMOS
0 0 70 -
YV = M Forças cortantes
do cálculo
M K U ^ j ,
0 0 56 *
Y„ = 1-4
Forças cortantes
do cálculo
1- Combinação VAllrciH„b
56 112 56 224
f , , =0,8
1
» Combinação
0 • 56 66
Combinação
56 39,6 70 215,6
2" Combinação y
0 0 70 70
CSTUUTUHAS PC CONCRETO

y, «1,4
Momentos
fletores
de cálculo
1 4 M „
112 224 280 -
y, «1,4
Momentos
fletores
de cálculo
0,8x1,4 JTFW
- 179,2 224 •
y, «1,4
Momentos
fletores
de cálculo
Ia Combinação A Í £ U I I W
112 224 224 560
y, «1,4
Momentos
fletores
de cálculo
2° Combinação 112 179,2 280 571,2
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
Ku
40 80 5 0 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
- 5 6 35 •
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
• 48 30 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
0 0 50 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
0 0 35 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças
cortantes
de
serviço
- 0 30 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação - V A K 0 + ( ^ , + ^ 1 = 4 0 + 4 8 + 3 0
118
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação V ^ ^ , w = VCiljQ+ ( V ^ + V ^ - O + O + M
3 0
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação VAk,c+ V ^ + y , VAkQÍ=40+56+30
126
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
V Combinação VewlnKltoBl,= V w + y, VC,W1 + y , Vc<kQJ=0+0+30
30
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2" Combinação VW e q ü B n i 9 = VAkiG+ V|/;VWQ1+ y, VA40Í=40+48+35
123
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2° Combinação Vc.if„q0,m,= Vc.h|ti+¥íVc,h(ül+ y, Vc,Of=0+0+35
35
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos
fletores de
serviço
80 160 200 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos
fletores de
serviço
- 112 140 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos
fletores de
serviço
- 9 6 120 -
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação M C b W duroçlD= MC k G +y2 (Mc w ,+ MCkQI}=8Q+96+120
296
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
1" Combinação M ^ ^ = MCka+ y, M a ü l + MCk0J=80+112 + 120
312
E. L. de
SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2° Combinação Mfik|ü+ y2 + y, MCkM=80+96 + 140
316

3,5 EXEMPLO N°3: Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com carrega-
mento alternado.
q =10 k N / m
g = 20 kN / m
cnrnnn dl atribuídas
uniformo monta
R
o= 3,0 m L H 0 , O M
Figura (3,5-0}
UNIDADES (kN, m } 1 kN = 0,1 tf
ANÁLISE
ESTRUTURAL
E S F O R Ç O S VALORES CORRESPONDENTES A
ANÁLISE
ESTRUTURAL
E S F O R Ç O S
G
<ÍA>! 9íC
Min, Máx,
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Ações características 10 20 20 - -
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
VHiiüil.k -30 -60 - -30 -90
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
V
T É
k
l
í
i
.
k 37,5 15 60 37,5 112,5
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
v -22,5 15 -60 -7,5 -82,5
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Momentos fletores
característicos
MBfc
45 90 0 45 135
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Reações de apoio R
n
k 67,5 75 60 67,5 202,5
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Reações de apoio
R
Uk 22,5 -15 60 7,5 82,5
V s=0 9
1 4 V -42 - 8 4 - -
V s=0 9
W U -27 • • -
V s=0 9 1.4VedlllJl 52,5 21 84 »
V s=0 9
33,75 • * •
V s=0 9
1,4VCk -31,5 21 -84 -
V s=0 9
0,9 VCk •20,25 - • •

V(l (11
1 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45^
v -42 .84 - -42 -126
V(l (11
1 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45^
v
B
d
M 52,5 21 84 52,5 157,5
V(l (11
1 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45^
-31,5 21 -84 -10,5 -115,5
V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L
V
Ratq.d
-27 -84 - -27 -111
V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L
v 33,75 21 84 33,75 138,75
V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L
V
c<t
-20,25 21 -84 0,75 -104,25
M,
1,41^ 63 126 - -
M,
0,9 MSt 40,5 • • •
M,
1a Comb. Mh<1 63 126 63 189
M,
2a Comb. mh<1 40,5 126 40,5 166,5
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
VDlIIUE N',I
-30 -42 -30 -72
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
v0,dlr„iK
37,5 10,5 42 37P5 90
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
VC, a*r
-22,5 10,5 -42 •22,5 -64,5
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
45 63 - 45 108

3,6 EXEMPLO N°4;
Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanen-
tes de grande variabilidade e ações variáveis móveis.
peso próprio: g = 10 kN/m
carga móvel distribuída: q — 20 kN/m
carga móvel concentrada: Q = 100 kN
A & c D E
I a u 2.4 m L • 5,0 m
A
.1 =2,'! rti
I '
I I
lHj = 0 , 5
|
Figura {3.6-0}
UNIDADES (kN, m}
ESFORÇOS q + Q Máximos
g
> 0 < 0 > 0 < 0
Reações de apoio 64 265,2 -37,2 329,2 ( + 26,8)
forças cortantes v
A<|ir„k
0 • -100 -
<
tr
V1
3 k
-12 - -124 •
<
tr VC tiBd ,k
-24 - •148
vCrtlf„ii
40 187,2 -37,2
cc
UJ
LU
V 20 127,2 42,2
cc
UJ
LU
0 77,2 -77,2
t/i
• Momentos fletores MA k
0 0 0
Z IVL -7,2 - -134,4
<
- 2 8 . 8 - -297,6
31,2 270 -230,4
51,2 360 -177,6

c
-4
c
o
z
f]
ESTADOS
LIMITES
DE
SERVIÇO
ESTADOS
LIMITES
ÚLTIMOS
Forças
cortantes
y, =0,5
Momentos
fletores
g
2
^
a.
o
o
X
d
1
1
=
cj
a
o
f>
o
—
|
5.
"
3
"
3,
È
£
u
-
o
-
m
=r
*
»
II
i
o
Ia Combinação
Forças
cortantes
yK = 14
rv = l4
Momentos
fletores
£
T
i
e
£
T
£
5
£
>
H
<
n
i
•
<
G
•
<
rt
<
s
a
<
C
S
I
><
Q
L
C
L
2
D
£
n
2
c
£
>
<
n
C
L
<
o
—
f
L
<
a
S
L
<
C
D
><
S
t
£
a
.
£
c
£
n
£
s
c
t
£
>
<
m
a
<
<
c
.
t
<
•
s
-
fi.
<
—
><
(
J
1
i
k
>
C
O
1
kj
1
K
J
0
0
to
i
•
H
J
w
O
O
ro
o
ti
o
»
ro
-t.
V
r
o
O
&
P
ro
p
s
•
M
tn
t
O
j
O
O
0
0
O
J
o
p
to
o
>
•
O
C
O
o
vj
kl
ti.
c
o
ki
i>
o
0
0
1
O
o
o
I
V
C
O
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v
c<»f~ , za . 0^,100 :-Jir,í kit
Z
U N H A S OE INFLUÊNCIA
Figura (3.6-bJ

v ^ i S i l í S Z , zo + S2ííâ|ÈiZ(i *o,7fl« roo - + nu
M • 2 0 * 1,5! KK)« hN.fr
L J S
S LI(VE )
Me+- 20 + 2,0 * 100- * «O K
W
.
m
Me_». I ^ - ^ n Z O - 1,2* 100-• 177,6 k
N
.
m
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Figura (3.6-cj

3,7 EXEMPLO N°5;
- Viga isostática de concreto armado de seção variável;
- Flexão simples e flexão composta;
- Combinação principal e combinação secundária
g = 10 kN/m
q = 20 KN m (distribuída)
Q = 100 kN (concentrada)
Figure (3.7-a)
UNIDADES (kN, m )
ESFORÇOS VALORES CORRESPONDENTES A
ESFORÇOS
9 q 0 H = + 30 H=-30
Forças cortantes
ivAJ 0 0 100 - -
Forças cortantes | V J 12 24 100 - -
Forças cortantes
1 V C „.q> 1 24 48 100 - -
Momentos fletores MH
^"rtls, min.
0 0 0 0 0
MBhjiiVin
7,2 14,4 0 6
Ci.iíiín.
28,8 57,6 0 6
I V J 0 0 0 0 0 0
2,6 5,1 0 4,3 -4,3
7,2 14,4 0 1,5 -1,5

(g + q )
Q
1 ^ 1- i .1 i T
Figura ($, 7-h}
1a Combinação:
<* J
Vn, = A v * — f t a n y +lt4
2 > .<
J
-
>
, .
1
1
1
1 n
tati y
- P . . = 1,4x100=140 kN
- V ^ =], 4(12-2,6)+ ],4[(24 + l00)-5,l] = 179,6
kN
~VCRJI = 1,4 {24 - 7,2)+1,4 [(48 +100 )-14,4] = 210,6
kN

( m ( y u
+1,4 • tan y
- V . , =1,4x100 = 140
kN
-yB t j = 0,9 (l 2 - 2, ó)+1,4 [(20 +100)- 5, l] = 174,9 kN
- V C f j = 0,9 (24 " 7,2)+1,4[(48 +100)-14,4] = 202,1
kN
b} Flexo-Traçáo:
(g + q)
Q
i . . i Í ; t i r t
N _ Ms/z
Vr
1
V
1
1V^/Z v y ttí 1
Figure (3,7-cí

V = 1 4
' r j
í fof
Kr. tan v
* d ,
+ 1,4 I V
£ M ,
.Hjüf.iniii
tan v
-^,=1,4x100 = 140
kN
-K,r,i - U4(12 - 2,6)+1,4 [(24 +100)- (5,1 + 2,1)] -176,7 kN
-VO J = 1,4 (24 - 7,2 )+ 1,4 [(48 +100)- (14,4 +1,5)] = 208,5
kN
2a
Combinação:
^ = 0 , 9 ^ - ^ f u i n v
xqk ,min
tan ip
-VArJ = 1,4x100 = 140 kN
Brj = 0,9 (12 - 2,6)+1,4[(24 +100)- (5,1 + 2,1)] = 172,0
kN
- F t w = 0,9(24-7,2)+1,4[(48+I00)-(I4,4+1,5)] = 200,1
kN

c) Flexo-Compressão; (i^. ; y,=0) {admitindo-se a força normal como
obrigatoriamente aplicada)
(9 + q )
a
H
N
Ms/z
V,
M t g y
¥
Ms/z
1
8 T
*
* -
V i Í
T
Figura (3.7-</}
r Combinação:
V =14 + 1,4 tan y
- ^ , = 1 , 4 x 1 0 0 = 140
k
J
S
I
" V - U4 (12 - 2,6) +1,4 [(24 +100)- (5,1 - 2,1)] - 1 «2,6kN
-Pó.* «1,4(24-7,2)+ l,4[(48 + lÜ0)-(t4,4-l,5)]-212,7 kN

= o,
M itnt
tan x
}
/ +1,4
Y M
f
-K^-1.4x100 «140 k N
-V^j = 0,9(12 - 2,6)+1,4 [(24 + i 00)- (5,1 - 2,1)] = 177,8 kN
- ^ = 0,9(24-7,2)+],4[(48 + 100)-(l4,4-l,5)] = 204,3 kN
3.8 EXEMPLO N°6:
- Viga hiperestática de seção constante;
- Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis com carre-
gamento alternado;
- Combinação principal e combinação secundária.
mm
90

c a r g a p e r m a n e n t e g = 20 kN/m
c a r g a a c i d e n t a l q = 40 kN/m
A B C
I
A
T
L,a 7,0m I L 2= 8,0 m
T
Figuro (3.8-n)
j Z X T 1 T 3
M =53,08

A I
10 KN/m
MB=16,33
/1
A
B
M -48,00*
0 p2= 10 kN /m
M ^24,00
A
-A
B
CARREGAMENTOS DE REFERÊNCIA
MOMENTOS EM kN.m
Figura (3,8-bJ
Esforços solicitantes característicos: (Convenções clássicas de sinais)
Carga permanente: gí =20 kN/m
MAgi =2 (-53,08+ 24,00) = -58,2 kN,m
Mbka = 2(-lót33-48f00) =-128,7 kN.m
(
5
T
R
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T
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H
A
S Q
C C
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N
C
R
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T
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2 0 í Z + S V - 1 2 V = 6 0 m
_ 2 0 , 8 128,7 k
1
li.tllr.uk 2 H '
_K . ^ - 1 ^ = 63,9 kN
2 8
/ f ^ = 6 0 kN
flgjM = H0+96,1 = 176,1 kN
RCitJ. =63,9 kN
b) Carga variável no 1o tramo; qu = 40 kN/m
MAqk = 4(-53,08)=-212,3 kN.m
MQfik =4(-l6,33)=65,3 kN.m
4 0 > 7 + 2 l 2 , 3 - 6 5 , 3 k N
An* J 7
40x7 212,3-65,3
B
c
s
<
|
,
o
k •
•
) y *
= kN
= ~ = k N

RA a k = 161 kN
RB(írt = 1 1 9 + 8 '2 = 1 2 7 '2 k N
RCq, = -3,2 kN
c) Carga variável no 2o tramo: qlk - 40 kN/m
MAtik =4(+24,00) =96,0 kN.m
=4(-48,00) = - 1 9 2 kN.m
-96 -192
VjIIÀ = — i - =-41,1 kH
= 96+192
40x8 192 1 £ l j l l k I
40x8 192
~VCll , = = 136 kN
CM 2 8
RMJs— 41,1 kN
Riu,.t =41,1 + 184 = 225,1 kN
/?c^=136 kN

ANÁUSE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS
UNIDADES: fdl, m
ANÁUSE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS
UNIDADES: fdl, m g «»i min. máx.
ANÁUSE
ESTRUTURAL
Ações características: g,, q) t , qJk 20 40 40 - -
ANÁUSE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características
V 60 161 -41,1 - -
ANÁUSE
ESTRUTURAL
Forças cortantes
características V -80 -119 -41,1 - -
V 96,1 8,2 184 - -
-S3,9 8,2 -136 - -
Momentos ftetores -58,2 -212,3 96 - -
característicos M* -128,7 -65,3 -192 • -
Reações de apoio
características
R* 60 161 -41,1 18,9 221
Reações de apoio
características R
0k 176,1 127,2 225,1 176,1 528,4
Reações de apoio
características
R
C* 63,9 -8,2 136 55,7 199,9
M V W 84 225,4 -57,5 -
0,9 VM 54 - - •
Parcelas das
1 4 V -112 •166,6 -57,5 •
forças -72 - - •
cortantes de M V B d M 134,5 11,5 257,6 •
calculo
^ v B d l r t 86,5 - • •
1,4 VCk -89,5 11,5 -190,4 -
Vct -57,5 - • •
V^ 84 225,4 -57,5 26,5 309,4
1a Combinação VB t
i
s
n ,(( -112 •166,6 -57,5 -112 •336,1
8,-1,48^+1,48* ^B d
i
r
.
,
d 134,5 11,5 257,6 134,5 403,6
Vw
-89,5 11,5 -190,4 •78 •279,9
54 225,4 -57,5 •3,5 279,4
2a Combinação vE
í U
ü
i
h
.
d -72 -166,6 -57,5 -72 296,1
S,(=0,9Sot+1,4S* v
v!! (
Ü
F
,
r
[
l 86,5 11,5 257,6 86,5 355,6
V
V
C
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I -57,5 11,5 -190,4 46 247,9
Parcelas dos
1,4 MAk -81,5 -297,2 134,4 • -
Momentos -52,4 - - • -
Fletores
de Cálculo
1,4 Mnk -180,2 -91,4 -268,8 - -
Fletores
de Cálculo
0,9 Mnk -115p8 - - - -
1" Combinação -81,5 -297,2 134,4 52,9 -378,7
S,(=1,4S8t+1,4S* MBEt -180,2 -91,4 -268,8 -180,2 -540,2
2y Combinação MA
d -52,4 -297,2 134,4 82 -349,6
8,-0.88,,+1,4S* M0[| -115,8 -91,4 -268,8 -115,8 -476,0

2 * PARTE CISALHAMENTO NO CONCRETO ESTRUTURAL
CAPÍTULO 4
Vigas de concreto armado
4.1 Modelo resistente de treliça1
Nas vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, as armaduras
devem obedecer simultaneamente aos requisitos decorrentes de momen-
tos fletores e de forças-cortantes, Existem, assim, dois modelos simultâ-
neos de comportamento da peça, o comportamento de viga e o compor-
tamento de treliça.
Os tipos básicos de armaduras empregadas nas vigas simplesmente apoia-
das estão mostrados na Fig. (4.1 »a}.
4 - ESTRIBOS
Tipos básicos do armaduras de vigas
Figura (4.hd)
As barras corridas absorvem os esforços de tração devidos à flexão, esten-
dendo-se de ponta a ponta da viga.
Os cavaletes são barras dobradas. Quando elas existem, os seus trechos in-
clinados formam parte da armadura transversal resistente aos esforços de
tração decorrentes do cisalhamento, e seus trechos longitudinais fazem parte
da armadura de flexão,
'fUSCO,flH, Fjffirtarai (fo Cmicreím SiWlWftffíoJ TtmgcrKtoli. S t o Pvutai
Etcota Pamtsak* th> USfí tS3t/t9M.

Os estribos constituem-se na principal armadura transversal resistente aos
esforços de tração decorrentes do cisalhamento, e para sua ancoragem no
banzo comprimido da viga são empregados os porta-estribos.
Admitindo que a viga mostrada na figura anterior seja submetida a uma carga
transversal suficientemente elevada para que chegue às proximidades do es-
tado limite último de solicitações normais, ela sofrerá uma intensa fissuração,
como a que é mostrada na Fig. (4.1-b).
ftssuraçéo do vigas simplesmente apoiadas nas proximidades do ostado
timito último do soficituçõos normais
Figure (4, !-b)
Mo estado fissurado, a viga de concreto armado tem um funcionamento que
lembra o das treliças. As bielas diagonais delimitadas pelas fissuras formam
as diagonais comprimidas e as armaduras transversais formam os tirantes
que ligam os banzos da treliça.
I
M
a Fig. (4.1-c), está esquematizada a treliça resistente de uma viga no caso de
armadura transversal formada apenas por estribos perpendiculares ao eixo
da peça.
E S T R U T U R A S OS CONCRETO I

A Figura (4,1-d) mostra a fissuração real de vigas contínuas submetidas a car-
gas concentradas, nas proximidades do estado limite último de solicitações
normais. Junto a cargas concentradas, a fissuração tem uma distribuição em
forma de Seque a partir da face onde se aplicam as cargas.
Fissurnçüo do vigiís continuas sujoitiis a cargas concentradas
Figura (4. Ud)
Técnica (to armar (página 232) - Figura 9. I a
Na Figura (4.1-e) é mostrado o modelo geral de comportamento admitido
para as vigas de concreto armado,
Nesse modelo, que è sugerido pela fissuração mostrada na Fig, (4,1-d}, dis-
tinguem-se as regiões de introdução de forças concentradas, caracterizadas
pela distribuição de esforços transversais em forma de leque, das zonas de
cargas distribuídas ou nulas, caracterizadas pela transmissão dos esforços
transversais em zonas formadas por faixas oblíquas, em um comportamento
análogo ao das treligas. Essas zonas são claramente delimitadas pelo tipo de
fissuração que nelas se instala quando as intensidades das forças cortantes
ultrapassam determinados limites.
Na mesma figura é mostrada a inclinação do banzo comprimido da peça, de
acordo com o modelo resistente de viga de alma cheia.

Modelo rasistúnta globo) do vigíts dó concrútü armado
Figura (4, 1-e}
Técnica de armar (página 279} - Figura 9.1-b
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça
O comportamento de treliça nâo existe nas vigas fletidas desde o início de seu
carregamento.
Mo começo do carregamento, o comportamento das vigas de concreto arma-
do é muito semelhante ao das vigas de alma cheia feitas de material homogê-
neo resistente à tração,
Mas vigas de concreto armado não protendido, pelo fato de a armadura de
cisalhamento ser obrigatória, a fim de se evitar a ruptura frágil da peça, não
há grande interesse no estudo dos mecanismos resistentes ao cisalhamento
antes que ocorra a fissuração por flexão. Antes disso ocorrer, estando a viga
fletida ainda no estádio I, a sua resistência ao cisalhamento decorre dos mes-
mos mecanismos resistentes que funcionam nas peças sem armadura trans-
versal e também nas peças de concreto protendido antes da ocorrência do
estado limite de descompressão, que é praticamente equivalente à passagem
do estádio I para o estádio II.
A resistência da peça ao cisalhamento, antes que ocorra a fissuração por fle-
xão, é decorrente dos mesmos mecanismos resistentes alternativos que são
analisados no capítulo 7, ao ser estudado o cisalhamento nas lajes.
mm
9 9

Somente à medida que o carregamento aumenta, ocorre uma mudança de com-
portamento, passando-se do comportamento de viga para o de treliça, como
mostrado nas Fígs. (4,2-a) e (4.2-bl2
Por esse motivo, ao ser estudado o cisalhamento nas vigas de concreto ar-
mado comum, interessa essencialmente o comportamento de treliça, pois é
ele que explicará a resistência ao cisalhamento das peças nas proximidades
dos estados limites últimos de solicitações normais. Desse modo, os com-
portamentos resistentes alternativos ao de treliça têm interesse apenas para
esclarecer a influência da presença de forças normais de compressão na re-
sistência ao cisalhamento das vigas de concreto armado, porquanto as forças
normais de compressão têm a capacidade de adiar o início do processo de
fissuração da viga.
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Passagem do comportamento de viga para o de treliço
Figura (4.2-al
Ma verificação da segurança das vigas submetidas a forças cortantes, essa
mudança de comportamento deve ser considerada na limitação das tensões
de compressão das bielas diagonais de concreto, pois antes de se chegar às
proximidades do estado limite último decorrente dessa compressão, a inte-
gridade das bielas diagonais já ficou bastante comprometida pelas fissuras de
flexão, Fig. (4.2-b),
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Qonm/irtt, StrvtíttmlRósotrch d
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i RvflOft 70, I97r. ttstxM. C£B tntwrwtíoftãt
ÇatiritviM Slrotíiiríil CaiKtetç, Í973.

A fixação dos limites a serem respeitados pela compressão diagonal do con-
creto leva em conta o verdadeiro panorama de fissuração das vigas fletidas,
quando elas se aproximam do estado limite último de ruptura ou de alon-
gamento plástico excessivo decorrente dos momentos fletores que atuam
simultaneamente com as forças-cortantes.
E importante salientar, conforme se observa na Fig. (4.2-b), que a intensa fis-
suração da alma da viga reduz significativamente a resistência à compressão
das bielas diagonais, Essa redução será analisada posteriormente, ao serem
discutidos os valores limites das tensões de cisalhamento.
Figura (4.2-b)

Mo entanto, é preciso salientar que a fissuração da alma das vigas não deve
acarretar a ruptura das bielas diagonais antes que ocorra o estado limite últi-
mo de solicitações normais, pois toda ruína estrutural decorrente da ruptura
do concreto comprimido é de natureza frágil, isso é, não avisada.
Todavia, note-se que o comportamento de treliça das vigas fletidas de con-
creto armado é admitido apenas como uma simplificação do comportamento
real. Ma realidade, além do comportamento de treliça, existem outros fenô-
menos que contribuem para a resistência às forças cortantes, os quais so-
mente podem ser explicitados por meio de modelos resistentes alternativos
ao de treliça.
Mas vigas de concreto protendido existe um processo análogo de transição do
comportamento de viga para o comportamento de treliça. A diferença essencial
entre as vigas protendidas e as vigas armadas é que, nas peças protendidas,
o comportamento de treliça, que somente começa a aparecer após o estado
limite de formação de fissuras, é retardado pela protensão.
4.3 Modos de ruptura
Os modos de ruptura descrevem as diferentes formas como pode ocorrer
a ruptura física da peça estrutural. Como em geral é impraticável a quantifi-
cação das variáveis estruturais nesses estados de ruptura, para o projeto, é
preciso definir a segurança tendo em vista estados limites últimos que devem
ocorrer necessariamente antes que sobrevenha qualquer um desses reais
estados de ruína. Esses estados limites últimos de solicitações tangenciais
serão posteriormente definidos.
Os modos de ruptura das vigas de concreto armado submetidas a forças cor-
tantes podem ser classificados da seguinte maneira,

A - Ruptura na ausência de armaduras transversais eficazes
j
J
rnnzLii
L
RUPTURA DAS PEÇAS SEM
ARMADURA TRANSVERSAL
RUPTURA DAS PEÇAS COM
ESPAÇAMENTO EXCESSIVO DAS
BARRAS OA ARMADURA
TRANSVERSAL
Modo do ruptura do ausência do armaduras transversais eficazes
Figura (4,3-8)
Nos três casos mostrados na Fig. (4.3-a), a ausência de uma armadura trans-
versal eficaz, que intercepte a possível superfície de fratura, faz que a re-
sistência da peça dependa da resistência à tração do concreto e de outros
fenômenos resistentes associados à estrutura interna da peça,
A ausência de uma armadura transversal é permitida apenas em vigas de di-
mensões muito pequenas e nas peças estruturais de superfície, como lajes
e cascas. Nestes casos, a segurança depende apenas da manutenção dos
outros comportamentos resistentes que não o de treliça.
Esse modo de ruptura, devido à falta de uma armadura transversal eficaz,
quando é decorrente de espaçamentos excessivos das barras transversais,
corresponde a arranjos defeituosos das armaduras. Note-se que, nesse caso,
a segurança em relação à ruptura frágil, não avisada, não pode ser consegui-
da com o aumento da seção transversal das barras das armaduras. A única
maneira de garantir a segurança em relação a esse modo de ruptura é res-
peitar os afastamentos máximos permitidos para que as barras da armadura
transversal possam efetivamente entrar em carga.
mmm
103

B - Modos de ruptura na presença de armaduras transversais eficazes
J " T T 7
i | I i i ; - i ; I; L RUPTURA
È W l ! : ! 1 ! ! ! : A FORÇA CORTANTE-COMPRESSÃO
g c l - i _ L - - i - - i — J — i — L - |
— i- -L 1 ^
RUPTURA
FORÇA CORTANTE " TRAÇAO
RUPTURA
FORÇA CORTANTE - FLEXÃO
RUPTURA POR FLEXÃO DA
ARMADURA LONGITUDINAL
DE TRAÇÃO
Modos do ruptura no prosonça do armaduras transversais eficazes
Figuro (4,3-b)
Os modos de ruptura acima assinalados podem ocorrer mesmo com a mo-
bilização da resistência de armaduras transversais eficazes. Esses modos são
devidos a armaduras com resistência insuficiente ou por ruptura do concreto.
A ruptura força cortante-comoressão corresponde à ruptura por compres-
são das bielas diagonais de concreto. A segurança em relação a esse modo
de ruptura é garantida pela limitação do valor convencional da tensão tan*
gencial atuante.
A ruptura forca cortante-tração sobrevém quando é vencida a resistência da
armadura transversal, ocorrendo sua ruptura por tração. A segurança em re-
lação a esse modo de ruptura é garantida pelo emprego de uma quantidade
suficiente de armadura transversal.
A ruptura força cortante-flexão decorre da interação da força cortante com
o momento fletor, nas proximidades de cargas concentradas elevadas. Ele
pode sobrevír se as fissuras diagonais de cisalhamento cortarem uma parte

da região que formaria o banzo comprimido da peça fletida. Todavia, a inves-
tigação experimental mostra, como se relata no Item 6.8, que o cisalhamento
local no banzo comprimido devido à carga concentrada produz um estado
múltiplo de tensões, com enérgico acréscimo das tensões locais de compres-
são, que podem chegar a dobrar as tensões teoricamente atuantes, como
está mostrado nas Figs. (6.8-f) e (6.8-g). Esse estado múltiplo de tensões pode
provocara ruptura força cortante-flexão,
A ruptura por flexão da armadura longitudinal pode ocorrer quando as bielas
diagonais de concreto, que se apoiam no banzo tracionado sobre as barras
da armadura longitudinal, provocam tensões de flexão muito elevadas nessas
armaduras, em virtude de espaçamentos excessivos dos estribos ou até mes-
mo de ancoragem deficiente dos estribos quando eles estão indevidamente
ancorados no banzo tracionado da viga.
C - Modos de ruptura por deficiência das ancoragens
Modas dá ruptura por daficiânciá das ancoragens
Figura (/1,3-ct
O funcionamento solidário do aço com o concreto mobiliza tensões na inter-
face dos dois materiais.
Ao longo da armadura longitudinal de tração, nos trechos retos em que há
variações bruscas do momento fletor e também nas ancoragens de extre-
midade, as barras de aço da armadura tendem a escorregar em relação ao
concreto que as envolve, com o aparecimento de tensões longitudinais de ci-

salhamento na interface dos dois materiais3, Essas tensões podem provocar o
fendiihamento longitudinal do concreto, com o desligamento significativo dos
materiais. Isso pode implicar o desaparecimento do concreto armado como
material composto, de funcionamento solidário do aço com o concreto.
Esse modo de ruptura é particularmente perigoso nas ancoragens de extre-
midade em que um detalhamento defeituoso da extremidade da armadura
longitudinal pode facilitar o escorregamento dessa armadura.
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais
Para a verificação da segurança das peças submetidas a forças cortantes, con-
sideram-se estados limites últimos, reais ou convencionais, a partir dos quais
é dada como esgotada a resistência da peça.
A - Lajes sem armadura transversal
Mas lajes sem armadura transversal, considera-se que o risco de ruptura de-
corra da presença das tensões diagonais de tração. Messe caso, será admitida
a existência de um estado limite último convencional quando o valor de cál-
culo xw da tensão de cisalhamento, calculada convencionalmente, atingir um
certo valor , previamente especificado.
A condição de segurança VStj £ VHttl é então estabelecida em função da força
cortante solicitante de cálculo VSil e da força cortante resistente de cálculo,
que no caso é indicada por y M ,
B - Peças com armadura transversal
Mas peças armadas transversalmente, admite-se que todas as armaduras se-
jam corretamente detalhadas, considerando-se, para a verificação da segu-
rança, os seguintes estados limites últimos:
; ESTRUTURAS O
l
i CONCRETO 'WSCQ ftí! ntniet ttoemwrat w
f
n
r
f
p
j
r
a
» <ftr torwelv. 54t>Pi"riu.- Cd. P
i
n
l
, IMS,'ISO!

[ - Estado limite último força cortante compressão
A existência convencional desse estada limite último será admitida quando
o valor de cálculo T1wí da tensão convencional de cisalhamento superar um
certo valor resistente x H d i , convencionalmente adotado.
A condição de segurança VSd < y^ti2 é então estabelecida em função da força
cortante solicitante de cálculo VSlí e da força cortante resistente de cálculo,
que é indicada por VHiJ2.
II - Estado limite último força cortante-tração
Esse estado limite último ocorre convencionalmente quando na armadu-
ra transversal as tensões de tração atingem o valor de sua resistência de
cálculo à tração Ele é, portanto, anterior ao aparecimento da ruptura
força-cortante tração, na qual existe a ruptura real da armadura transversal.
A condição de segurança em relação a esse estado limite é garantida, em
cada trecho de comprimento da viga, pela efetiva existência de armadu-
ra de cisalhamento com seção transversal MSWirf que possa suportar, com
tensões não superiores à sua resistência de cálculo f os corresponden-
tes esforços de cálculo decorrentes das forças cortantes.
A condição de segurança VS(I £ VRdi é então estabelecida em função da
força cortante solicitante de cálculo VStl e da força cortante resistente de
cálculo, que no caso é indicada por VRd), e que vale yKd) - Vlwd + Veú, onde
K*<i ®0 v ®l°r de cálculo da parcela resistente ao cisalhamento em função
da armadura transversal de acordo com o modelo de funcionamento de
treliça, e V[tf é o valor de cálculo da parcela resistente devida aos meca-
nismos alternativos de resistência ao cisalhamento. Essa condição de
segurança é de fato escrita sob a forma simplificada = VSK + Vt, por
razões que serão justificadas posteriormente.
III - Estados limites últimos de escorregamento das ancoragens e de perda
de aderência
Os estados limites últimos ocorrem convencionalmente quando, nos locais

em que há possibilidade de escorregamento, as armaduras tracionadas não
tenham ancoragens eficientes'1,
A condição de segurança é estabelecida em função do comprimento de an-
coragem ih necessário, em função do diâmetro 4
> da barra, do valor de cál-
culo de sua resistência à tração frtj, e do valor de cálculo fMda resistência de
aderência do tipo de barra empregada. A condição básica de segurança é então
expressa por th " s . E s s a condição de segurança pode ainda ser modificada
4 há
em função da presença de ganchos de extremidade e de tensões transver-
sais de compressão ao longo do comprimento de ancoragem.
4.5 Princípio fundamental de segurança em relação às solicitações
tangenciais
Tendo em vista a multiplicidade de modos de ruptura decorrentes das for-
ças-cortantes e considerando que muitos desses modos podem acarretar o
colapso não avisado das estruturas, no dimensionamento das peças de con-
creto estrutural, sempre deverão ser tomadas todas as cautelas necessárias
a fim de que as solicitações tangenciais náo sejam condicionantes da ruína
e, portanto, não diminuam a resistência das peças calculadas em função das
solicitações normais,
Desse modo, adota-se como princípio fundamental de segurança que as
peças de concreto estrutural possuam dimensões e armaduras tais que, na
eventualidade de efetivamente sobrevir a ruína, por ato de força maior ou por
ação humana, ela decorra dos efeitos das solicitações normais, pois, nessas
condições, a ruína quase sempre poderá ser de natureza avisada, sem que
haja risco de perda de vidas humanas.
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça
O funcionamento dos estribos perpendiculares ao eixo da peça na formação
da treliça resistente a forças cortantes está ilustrado na Fig, (4.6-a).
No detalhe (!) dessa figura está mostrado como o estribo compõe a estrutura da
treliça. Observe-se que a biela diagonal se apõía efetivamente sobre a armadura
E
S
T
R
U
T
U
R
A
S o
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O
N
C
R
E
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O 'FUSCO, RR eu. ctl.

longitudinal de flexão, servindo o estribo de elemento de rigidez para concentrar
essa zona de apoio. Para essa finalidade, do lado do banzo comprimido também
há a necessidade de uma ancoragem eficiente do estribo e, para isso, é importan-
te a existência de porta-estribos que dêem sustentação a essa fixação.
Mo detalhe (II) está mostrado como se dá o equilíbrio de tensões em nós da
treliça situados no banzo tracionado, que permite a variação das tensões de
tração na armadura longitudinal de tração.
Mo detalhe {ill) é mostrado que as bielas diagonais de concreto tèm um fun-
cionamento tridimensional e que sua ligação ao banzo tracionado da peça se
faz, em parte, pelo apoio direto no cruzamento do estribo com a armadura de
flexão e, em parte, por aderência ao trecho terminal dos ramos verticais dos
estribos. O detalhe (IV) mostra a necessidade de o estribo ter um ramo hori-
zontal do lado do banzo tracionado da peça, a fim de evitar o fendilhamento
longitudinal da zona tracionada por flexão, que pode ocorrer em virtude da
inclinação transversal das bielas diagonais.
Funcionamento dos astribos porpentiiçutures ao eixo da poça
Figura (4.6-0)

Ma Fig, {4.6-b) estão mostrados os arranjos básicos dos estribos das vigas.
Em principio, o ramo horizontal dos estribos no banzo comprimido das peças
não seria indispensável, embora seja recomendável. Admite-se, assim, que
os estribos abertos, desprovidos do ramo horizontal do lado do banzo com-
primido, possam ser tão eficientes quanto os estribos fechados, com ramos
horizontais nos dois banzos da viga. Todavia, os esforços secundários que
sempre existem nas estruturas recomendam que sempre haja uma armadura
de fechamento dos estribos, mesmo do lado do banzo comprimido.
Quando são empregados estribos abertos, é importante observar que o lado
fechado é sempre colocado no fundo da forma da viga, quer esse lado vá ser
tracionado ou comprimido. Se o lado aberto do estribo ficar do lado traciona-
do da peça, o emprego de armadura de fechamento do estribo será rigorosa-
mente obrigatório,
Quando se empregam estribos múltiplos, os ramos horizontais devem so-
brepor-se parcialmente para evitar o fendilhamento longitudinal da alma da
viga. Para o emprego de estribos múltiplos devem ser considerados os pro-
blemas de colocação da armadura longitudinal da peça, e de dobramento
dos ramos de fechamento dos estribos que já estejam colocados na forma.
Armadura suplementar
de fechamento/
Porta-estribos
- 1
i • a
Estribo aberto Estribo fechado^ Estribos duplos
Arranjos básicas dos ostribos
Figura (4.6-b)
Como aparece na Fig, (4.6-c], os ganchos de extremidade e as dobras em
ângulos retos terão sua eficiência tão boa quanto permitirem a compacidade
dos elementos finos do concreto e o eventual contato metálico dos estribos
com as barras longitudinais que funcionam como porta-estribos,

Ancoréggm dos estribos nas iiobrns do extremidade
Figura Í4.6-C)
Tendo em vista a ação dos estribos na formação da treliça resistente, a Fig. (4,6-d)
mostra como se dá a variação das tensões normais nas barras da armadura lon-
gitudinal que não estão colocadas nos cantos da seção transversal da peça.
Funcionamento tridimensional dos ostribos verticais
Figura (4.6-d)

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