Una elipse es la curva cerrada simétrica que resulta de cortar un cono por un plano oblicuo a su eje de simetría. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La ecuación general de una elipse o hipérbola puede expresarse en forma canónica para determinar los elementos como el centro y las medidas de los ejes.

1. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de
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revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras
que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado
.CENTRO EN EL ORIGEN
Elipse con eje paralelo a OX y sin centro en el
origen
Elipse con eje paralelo a OY y sin centro en el
origen
CENTRO HK

2. ECUACION GENERAL:
Hola eze:
x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0
Es la ecuación general de una elipse o una hipérbola.
Para graficarla necesitamos hallar la medida de los
ejes y el centro, y eso se puede ver en la fórmula
canónica:
(x - xc)2 (y - yc)2
--------- + --------- = 1 (Elipse "paralela al eje
x")
a2 b2
(y - yc)2 (x - xc)2
--------- + ----------- = 1 (Elipse "paralela al eje
y")
a2 b2
(x - xc)2 (y - yc)2
--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela al
eje x")
a2 b2

3. (y - yc)2 (x - xc)2
--------- - --------- = 1 (Hipérbola "paralela al
eje y")
a2 b2
Donde xc e yc son las coordenadas del centro, y "a" y
"b" las medidas de los "semiejes".
Así que hay que pasar la ecuación de la forma general
a la forma canónica. Eso se hace con el procedimiento
de "completar cuadrados" o "completar el trinomio",
que ya expliqué en varias oportunidades (más
adelante te doy los enlaces). Así que voy a hacer eso:
x2 + 8x + 16y2 + 7 = 0
El trinomio con x se completa con 42. Porque
8:2 = 4 (el coeficiente del término con "x")
En el caso de la "y" no hace falta completar el
trinomio, porque no hay término con "y" (después
vemos que se hace).
Así que queda:
x2 + 8x + 42 - 42 + 16y2 + 7 = 0
(x2 + 8x + 42) + 16y2 + 7 - 42 = 0
(x + 4)2 + 16y2 + 7 - 16 = 0
(x + 4)2 + 16y2 - 9 = 0
(x + 4)2 + 16(y - 0)2 = 9
Agregué el cero restando a la y, para que quede el
cuadrado de un binomio como en la fórmula canónica,
y así se pueda ver la yc (coordenada "y" del centro).
Pero no hace falta hacerlo.
Ahora hay que sacar el 16. Como multiplicar por 16 es
lo mismo que dividir por su inverso: 1/16, lo voy a
poner dividiendo, y así me llego a la fórmula canónica,
que no tiene números multiplicando delante del
binomio, sino números dividiendo al binomio. Como el
binomio con x no tiene ningún número multiplicando,
pongo el 1 dividiendo, así se ve el valor de "a2" o "b2":
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + -------- = 9
1 1/16

4. Pero en el segundo miembro tiene que quedar un "1",
y hay un "9". Entonces lo paso dividiendo:
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + --------
1 1/16
---------------------- = 1
9
Y eso lo puedo resolver de varias maneras. Por
ejemplo, puedo usar la propiedad distributiva de la
división respecto de la suma:
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- --------
1 1/16
-------- + ------------ = 1
9 9
Y si no te es común dividir "fracción sobre fracción",
podemos usar que dividir por 9 es lo mismo que
multiplicar por 1/9. Así que queda:
(x + 4)2 1 (y - 0)2 1
--------.--- + ----------.---- = 1
1 9 1/16 9
(x + 4)2 (y - 0)2
-------- + -------- = 1
9 9/16
Ésa es la fórmula canónica de una elipse, porque es
una suma. El "0" y el "1" los puse para que se
visualicen los elementos que buscamos de la elipse
(centro y ejes), pero no hace falta ponerlo. Así que
esa fórmula la puedes ver también como:
(x + 4)2 y2
-------- + ------ = 1
9 9/16
En la fórmula canónica se puede ver que el centro de
la elipse es:
CENTRO = (-4,0)
Porque (x + 4)2 es igual a:
(x - (-4))2
Entonces la "xc" es -4.

5. Y el número que está restando a la "y" es 0. Así que la
"yc" es 0.
Y las medidas de los "semiejes" son:
a2 = 9
|a| = V9
|a| = 3
El semieje mayor es un segmento de medida 3.
b2 = 9/16
|b| = V(9/16)
|b| = 3/4
El semieje menor es un segmento de medida 3/4 (ó
0,75).
Recordemos que en la Elipse, "a" es el semieje mayor,
y "b" el menor. Como 9 es mayor que 9/16, planteé la
ecuación con "a" para el 9, y con "b" para el 9/16.
Entonces tenemos los elementos necesarios para
graficar la elipse.
CENTRO: (-4,0)
SEMIEJE MAYOR: 3
SEMIEJE MENOR: 3/4 (ó 0,75)
Ésta es una elipse "paralela al eje x", la "a" está
debajo del binomio con "x", entonces el eje mayor es
paralelo al eje x: