RS Aggarwal Class 9 Solutions Chapter-3.pdf

CLASS IX WWW.Vedantu.com RS Aggarwal solutions
FACTORISATION OF POLYNOMIALS - CHAPTER – 3
EXERCISE – 3A
Answer1. 9𝒙𝟐
+ 12𝒙𝒚
9𝑥2
+ 12𝑥𝑦 = 3𝑥(3𝑥) + 3𝑥(4𝑦)
= 3𝑥(3𝑥 + 4𝑦)
Answer2. 18𝒙𝟐
𝒚- 24𝒙𝒚𝒛
18𝑥2
𝑦 - 24𝑥𝑦𝑧 = 6𝑥𝑦(3𝑥) − 6𝑥𝑦(4𝑧)
= 6𝑥𝑦(3𝑥 − 4𝑧)
Answer3. 27𝒂𝟑
𝒃𝟑
− 𝟒𝟓𝒂𝟒
𝒃𝟐
27𝑎3
𝑏3
− 45𝑎4
𝑏2
= 9𝑎3
𝑏2(3𝑏) − 9𝑎3
𝑏2
(5𝑎)
= 9𝑎3
𝑏2
(3𝑏 − 5𝑎)
Answer4. 𝟐𝒂(𝒙 + 𝒚) − 𝟑𝒃(𝒙 + 𝒚)
2𝑎(𝑥 + 𝑦) − 3𝑏(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(2𝑎 − 3𝑏)
Answer5. 2𝒙(𝒑𝟐
+ 𝒒𝟐) + 𝟒𝒚(𝒑𝟐
+ 𝒒𝟐
)
2𝑥(𝑝2
+ 𝑞2) + 4𝑦(𝑝2
+ 𝑞2
) = (𝑝2
+ 𝑞2)(2𝑥 + 4𝑦)
= 2(𝑝2
+ 𝑞2)(𝑥 + 2𝑦)
Answer6. 𝒙(𝒂 − 𝟓) + 𝒚(𝒂 − 𝟓)
.𝑥(𝑎 − 5) + 𝑦(𝑎 − 5) = (𝑎 − 5)(𝑥 + 𝑦)
Answer7. 4(𝒂 + 𝒃) − 𝟔(𝒂 + 𝒃)𝟐
4(𝑎 + 𝑏) − 6(𝑎 + 𝑏)2
= 2(𝑎 + 𝑏)(2 − 3(𝑎 + 𝑏))
= 2(𝑎 + 𝑏)(2 − 3𝑎 − 3𝑏)
Answer8. 8(𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)𝟐
− 𝟏𝟎(𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)
8(3𝑎 − 2𝑏)2
− 10(3𝑎 − 2𝑏) = 2(3𝑎 − 2𝑏)(4(3𝑎 − 2𝑏) − 5)
= 2(3𝑎 − 2𝑏)(12𝑎 − 8𝑏 − 5)
Answer9. 𝒙(𝒙 + 𝒚)𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
𝒚(𝒙 + 𝒚)
x(𝑥 + 𝑦)3
− 3𝑥2
𝑦(𝑥 + 𝑦) = 𝑥(𝑥 + 𝑦)((𝑥 + 𝑦)2
− 3𝑥𝑦)
= 𝑥(𝑥 + 𝑦)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦)
= 𝑥(𝑥 + 𝑦)(𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑥𝑦)
Answer10. 𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎
𝑥3
+ 2𝑥2
+ 5𝑥 + 10 = 𝑥3
+ 5𝑥 + 2𝑥2
+ 10
= 𝑥(𝑥2
+ 5) + 2(𝑥2
+ 5)
= (𝑥 + 2)(𝑥2
+ 5)
Answer11. 𝒙𝟐
+ 𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝒛 − 𝟐𝒚𝒛
.𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 = 𝑥2
− 2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧
= 𝑥(𝑥 − 2𝑧) + 𝑦(𝑥 − 2𝑧)
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 2𝑧)

Answer12. (𝒂𝟑
𝒃 − 𝒂𝟐
𝒃 + 𝟓𝒂𝒃 − 𝟓𝒃)
(𝑎3
𝑏 − 𝑎2
𝑏 + 5𝑎𝑏 − 5𝑏) = (𝑎3
𝑏 + 5𝑎𝑏 − 𝑎2
𝑏 − 5𝑏)
= [𝑎𝑏(𝑎2
+ 5) − 𝑏(𝑎2
+ 5)]
= (𝑎𝑏 − 𝑏)(𝑎2
+ 5)
= 𝑏(𝑎 − 1)(𝑎2
+ 5)
Answer13. 𝟖 − 𝟒𝒂 − 𝟐𝒂𝟑
+ 𝒂𝟒
8 − 4𝑎 − 2𝑎3
+ 𝑎4
= 8 − 2𝑎3
− 4𝑎 + 𝑎4
= 2(4 − 𝑎3
) − 𝑎(4 + 𝑎3
)
= (2 − 𝑎)(4 − 𝑎3
)
Answer14. 𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐
− 𝟔𝒚𝟑
.𝑥3
− 2𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
− 6𝑦3
= 𝑥2(𝑥 − 2𝑦) + 3𝑦2
(𝑥 − 2𝑦)
= (𝑥 − 2𝑦)(𝑥2
+ 3𝑦2
)
Answer15. 𝒑𝒙 − 𝟓𝒒 + 𝒑𝒒 − 𝟓𝒙
p𝑥 − 5𝑞 + 𝑝𝑞 − 5𝑥 = 𝑝𝑥 − 5𝑥 + 𝑝𝑞 − 5𝑞
= 𝑥(𝑝 − 5) + 𝑞(𝑝 − 5)
= (𝑥 + 𝑞)(𝑝 − 5)
Answer16. 𝒙𝟐
+ 𝒚 − 𝒙𝒚 − 𝒙
.𝑥2
+ 𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑥 = 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥
= 𝑥(𝑥 − 𝑦) + (−1)(𝑥 − 𝑦)
= (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑦)
Answer17. (𝟑𝒂 − 𝟏)𝟐
− 𝟔𝒂 + 𝟐
(3𝑎 − 1)2
− 6𝑎 + 2 = (3𝑎)2
+ (1)2
− 2.3𝑎. 1 − 6𝑎 + 2
= 9𝑎2
+ 1 − 6𝑎 − 6𝑎 + 2
= 9𝑎2
− 12𝑎 + 3
= 9𝑎2
− 9𝑎 − 3𝑎 + 3
= 9𝑎(𝑎 − 1) − 3(𝑎 − 1)
= (𝑎 − 1)(9𝑎 − 3)
= 3(𝑎 − 1)(3𝑎 − 1)
Answer18. (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐
(2𝑥 − 3)2
− 8𝑥 + 12 = (2𝑥 − 3)2
− 4(2𝑥 − 3)
= (2𝑥 − 3)[(2𝑥 − 3) − 4]
= (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 7)
Answer19. 𝒂𝟑
+ 𝒂 − 𝟑𝒂𝟐
− 𝟑
.𝑎3
+ 𝑎 − 3𝑎2
− 3 = 𝑎(𝑎2
+ 1) − 3(𝑎2
+ 1)
= (𝑎2
+ 1)(𝑎 − 3)
Answer20. 𝟑𝒂𝒙 − 𝟔𝒂𝒚 − 𝟖𝒃𝒚 + 𝟒𝒃𝒙
3𝑎𝑥 − 6𝑎𝑦 − 8𝑏𝑦 + 4𝑏𝑥 = 3𝑎(𝑥 − 2𝑦) + 4𝑏(−2𝑦 + 𝑥)
= (𝑥 − 2𝑦)(3𝑎 + 4𝑏)
Answer21. 𝒂𝒃𝒙𝟐
+ 𝒂𝟐
𝒙 + 𝒃𝟐
𝒙 + 𝒂𝒃
a𝑏𝑥2
+ 𝑎2
𝑥 + 𝑏2
𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑎𝑥(𝑏𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑏𝑥 + 𝑎)
= (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑏𝑥 + 𝑎)

Answer22. 𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝒂𝒙 + 𝒙 − 𝒂 − 𝟏
.𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑥 − 𝑎 − 1 = 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥(𝑎 + 1) − 1(𝑎 + 1)
= 𝑥3
− 𝑥2
+ [(𝑥 − 1)(𝑎 + 1)]
= 𝑥2(𝑥 − 1) + [(𝑥 − 1)(𝑎 + 1)]
= (𝑥 − 1)[𝑥2
+ (𝑎 + 1)]
= (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑎 + 1)
Answer23. 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟖𝒙𝒚 − 𝟏
2𝑥 + 4𝑦 − 8𝑥𝑦 − 1 = 2𝑥 − 1 + 4𝑦 − 8𝑥𝑦
= 1(2𝑥 − 1) − 4𝑦[(−1) + 2𝑥)]
= 1(2𝑥 − 1) − 4𝑦(2𝑥 − 1)
= (2𝑥 − 1)(1 − 4𝑦)
Answer24. 𝒂𝒃(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐) − 𝒙𝒚(𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
)
a𝑏(𝑥2
+ 𝑦2) − 𝑥𝑦(𝑎2
+ 𝑏2) = 𝑎𝑏𝑥2
+ 𝑎𝑏𝑦2
− 𝑎2
𝑥𝑦 − 𝑏2
𝑥𝑦
= 𝑎𝑏𝑥2
− 𝑎2
𝑥𝑦 + 𝑎𝑏𝑦2
− 𝑏2
𝑥𝑦
= 𝑎𝑥(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) − 𝑏𝑦[(−𝑎𝑦) + 𝑏𝑥]
= 𝑎𝑥(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦) − 𝑏𝑦(𝑏𝑥 − 𝑎𝑦)
= (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦)(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)
Answer25. 𝒂𝟐
+ 𝒂𝒃(𝒃 + 𝟏) + 𝒃𝟑
.𝑎2
+ 𝑎𝑏(𝑏 + 1) + 𝑏3
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏3
= 𝑎(𝑎 + 𝑏2) + 𝑏(𝑎 + 𝑏2
)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏2
)
Answer26. 𝒂𝟑
+ 𝒂𝒃(𝟏 − 𝟐𝒂) − 𝟐𝒃𝟐
.𝑎3
+ 𝑎𝑏(1 − 2𝑎) − 2𝑏2
= 𝑎3
+ 𝑎𝑏 − 2𝑎2
𝑏 − 2𝑏2
= 𝑎(𝑎2
+ 𝑏) − 2𝑏(𝑎2
+ 𝑏)
= (𝑎 − 2𝑏)(𝑎2
+ 𝑏)
Answer27. 𝟐𝒂𝟐
+ 𝒃𝒄 − 𝟐𝒂𝒃 − 𝒂𝒄
2𝑎2
+ 𝑏𝑐 − 2𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 2𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐
= 2𝑎(𝑎 − 𝑏) − 𝑐(𝑎 − 𝑏)
= (𝑎 − 𝑏)(2𝑎 − 𝑐)
Answer28. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)𝟐
+ (𝒃𝒙 − 𝒂𝒚)𝟐
(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2
+ (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦)2
= (𝑎𝑥)2
+ (𝑏𝑦)2
+ 2. 𝑎𝑥. 𝑏𝑦 + (𝑏𝑥)2
+ (𝑎𝑦)2
− 2. 𝑏𝑥. 𝑎𝑦
= 𝑎2
𝑥2
+ 𝑏2
𝑦2
+ 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
+ (2𝑎𝑏𝑥𝑦 − 2𝑎𝑏𝑥𝑦)-
= 𝑎2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2
𝑥2
+ 𝑏2
𝑦2
= a2(𝑥2
+ 𝑦2) + 𝑏2
(𝑥2
+ 𝑦2
)
= (𝑥2
+ 𝑦2
)(𝑎2
+ 𝑏2
)
Answer29. 𝒂(𝒂 + 𝒃 − 𝒄) − 𝒃𝒄
a(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) − 𝑏𝑐 = 𝑎2
+ 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐
= 𝑎(𝑎 + 𝑏) − 𝑐(𝑎 + 𝑏)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑐)
Answer30. 𝒂(𝒂 − 𝟐𝒃 − 𝒄) + 𝟐𝒃𝒄
a(𝑎 − 2𝑏 − 𝑐) + 2𝑏𝑐 = 𝑎2
− 2𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
= 𝑎2
− 𝑎𝑐 − 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐
= 𝑎(𝑎 − 𝑐) − 2𝑏(𝑎 − 𝑐)
= (𝑎 − 𝑐)(𝑎 − 2𝑏)

Answer31. 𝒂𝟐
𝒙𝟐
+ (𝒂𝒙𝟐
+ 𝟏)𝒙 + 𝒂
.𝑎2
𝑥2
+ (𝑎𝑥2
+ 1)𝑥 + 𝑎 = 𝑎2
𝑥2
+ 𝑎𝑥3
+ 𝑥 + 𝑎
= 𝑎𝑥2(𝑎 + 𝑥) + 1(𝑎 + 𝑥)
= (𝑎 + 𝑥)(𝑎𝑥2
+ 1)
Answer32. 𝒂𝒃(𝒙𝟐
+ 𝟏) + 𝒙(𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐)
a𝑏(𝑥2
+ 1) + 𝑥(𝑎2
+ 𝑏2) = 𝑎𝑏𝑥2
+ 𝑎𝑏 + 𝑥𝑎2
+ 𝑥𝑏2
= 𝑎𝑏𝑥2
+ 𝑥𝑎2
+ 𝑥𝑏2
+ 𝑎𝑏
= 𝑎𝑥(𝑏𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑏𝑥 + 𝑎)
= (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑏𝑥 + 𝑎)
Answer33. 𝒙𝟐
− (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
.𝑥2
− (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥2
− 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
= 𝑥(𝑥 − 𝑎) − 𝑏(𝑥 − 𝑎)
= (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
Answer34. 𝒙𝟐
+
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟐 − 𝟑𝒙 +
𝟑
𝒙
.𝑥2
+
1
𝑥2 − 2 − 3𝑥 +
3
𝑥
= 𝑥2
+
1
𝑥2 − 2. 𝑥.
1
𝑥
− 3 (𝑥 −
1
𝑥
)
= (𝑥 −
1
𝑥
)
2
− 3 (𝑥 −
1
𝑥
)
= (𝑥 −
1
𝑥
) (𝑥 −
1
𝑥
− 3)

EXERCISE – 3B
FORMULA USED –: (𝒂𝟐
− 𝒃𝟐) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃)
Answer.1. 𝟗𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒚𝟐
9𝑥2
− 16𝑦2
= (3𝑥)2
− (4𝑦)2
= (3𝑥 − 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦)
Answer.2. (
𝟐𝟓
𝟒
𝒙𝟐
−
𝟏
𝟗
𝒚𝟐)
.(
25
4
𝑥2
−
1
9
𝑦2) = (
25
4
𝑥)
2
− (
1
9
𝑦)
2
= (
25
4
𝑥 −
1
9
𝑦) (
25
4
𝑥 +
1
9
𝑦)
Answer.3. 𝟖𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐
81−16𝑥2
= (9)2
− (4𝑥)2
= (9 − 4𝑥)(9 + 4𝑥)
Answer.4. 𝟓 − 𝟐𝟎𝒙𝟐
5 – 20𝑥2
= 5(1 − 4𝑥2)
= 5[(1)2
− (2𝑥)2]
= 5(1 − 2𝑥)(1 + 2𝑥)
Answer.5. 𝟐𝒙𝟒
− 𝟑𝟐
2𝑥4
− 32 = 2(𝑥4
− 16)
= 2[(𝑥2)2
− (4)2
]
= 2(𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4)
= 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥2
+ 4)
Answer.6. 𝟑𝒂𝟑
𝒃 − 𝟐𝟒𝟑𝒂𝒃𝟑
3𝑎3
𝑏 − 243𝑎𝑏3
= 3𝑎𝑏(𝑎2
− 81𝑏2)
= 3𝑎𝑏(𝑎 − 9𝑏)(𝑎 + 9𝑏)
Answer.7. 𝟑𝒙𝟑
− 𝟒𝟖𝒙
3𝑥3
− 48𝑥 = 3𝑥(𝑥2
− 16)
= 3𝑥(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
Answer.8. 𝟐𝟕𝒂𝟐
− 𝟒𝟖𝒃𝟐
27𝑎2
− 48𝑏2
= 3(9𝑎2
− 16𝑏2)
= 3[(3𝑎)2
− (4𝑏)2
]
= 3(3𝑎 − 4𝑏)(3𝑎 + 4𝑏)
Answer.9. 𝒙 − 𝟔𝟒𝒙𝟑
.𝑥 − 64𝑥3
= 𝑥(1 − 64𝑥2)
= 𝑥{(1)2
− (8𝑥)2
}
= 𝑥(1 − 8𝑥)(1 + 8𝑥)
Answer.10. 𝟖𝒂𝒃𝟐
− 𝟏𝟖𝒂𝟑
8𝑎𝑏2
− 18𝑎3
= 2𝑎(4𝑏2
− 9𝑎2)
= 2𝑎(2𝑏 − 3𝑏)(2𝑏 + 3𝑎)
Answer.11. 𝟏𝟓𝟎 − 𝟔𝒙𝟐

150 − 6𝑥2
= 6(25 − 𝑥2)
= 6(5 − 𝑥)(5 + 𝑥)
Answer.12. 𝟐 − 𝟓𝟎𝒙𝟐
2 – 50𝑥2
= 2(1 − 25𝑥2)
= 2(1 − 5𝑥)(1 + 5𝑥)
Answer.13. 𝟐𝟎𝒙𝟐
− 𝟒𝟓
20𝑥2
− 45 = 5(4𝑥2
− 9)
= 5(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)
Answer.14. (𝟑𝒂 + 𝟓𝒃)𝟐
− 𝟒𝒄𝟐
(3𝑎 + 5𝑏)2
− 4𝑐2
= (3𝑎 + 5𝑏 − 2𝑐)(3𝑎 + 5𝑏 + 2𝑐)
Answer.15. 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
− 𝒂 − 𝒃
.𝑎2
− 𝑏2
− 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) − 1(𝑎 + 𝑏)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏 − 1)
Answer.16. 𝟒𝒂𝟐
− 𝟗𝒃𝟐
− 𝟐𝒂 − 𝟑𝒃
4𝑎2
− 9𝑏2
− 2𝑎 − 3𝑏 = (2𝑎 − 3𝑏)(2𝑎 + 3𝑏) − 1(2𝑎 + 3𝑏)
= (2𝑎 + 3𝑏){(2𝑎 − 3𝑏) − 1}
= (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑎 − 3𝑏 − 1)
Answer.17. 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
+ 𝟐𝒃𝒄 − 𝒄𝟐
.𝑎2
− 𝑏2
+ 2𝑏𝑐 − 𝑐2
= 𝑎2
− (𝑏2
− 2𝑏𝑐 + 𝑐2)
= 𝑎2
− (𝑏 − 𝑐)2
= {𝑎 − (𝑏 − 𝑐)}{𝑎 + (𝑏 − 𝑐)}
= (𝑎 − 𝑏 + 𝑐) (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
− 𝟒𝒃𝟐
+ 𝟒𝒂 + 𝟏
4𝑎2
− 4𝑏2
+ 4𝑎 + 1 = (4𝑎2
+ 4𝑎 + 1) − 4𝑏2
= (2𝑎 + 1)2
− (2𝑏)2
= (2𝑎 + 1 + 2𝑏)(2𝑎 + 1 − 2𝑏)
= (2𝑎 + 2𝑏 + 1)(2𝑎 − 2𝑏 + 1)
Answer.19. 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
− 𝟗𝒄𝟐
.𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 9𝑐2
= (𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2) − (3𝑐)2
= (𝑎 + 𝑏)2
− (3𝑐)2
= (𝑎 + 𝑏 − 3𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 3𝑐)
Answer.20. 𝟏𝟎𝟖𝒂𝟐
− 𝟑(𝒃 − 𝒄)𝟐
108𝑎2
− 3(𝑏 − 𝑐)2
= 3{36𝑎2
− (𝑏 − 𝑐)2}
= 3{6𝑎 − (𝑏 − 𝑐)}{6𝑎 + (𝑏 − 𝑐)}
= 3(6𝑎 − 𝑏 + 𝑐)(6𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
Answer.21. (𝒂 + 𝒃)𝟑
− 𝒂 − 𝒃
(𝑎 + 𝑏)3
− 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 + 𝑏)3
− 1(𝑎 + 𝑏 )
= (𝑎 + 𝑏){(𝑎 + 𝑏)2
− 1}
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏 + 1)(𝑎 + 𝑏 − 1)
Answer.22. 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝒛𝟐
− 𝟐𝒙𝒚
.𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
− 2𝑥𝑦 = (𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥𝑦) − 𝑧2

= (𝑥 − 𝑦)2
− 𝑧2
= (𝑥 − 𝑦 − 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)
Answer.23. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
− 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐
.𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
− 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 𝑏2
= (𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2) − (𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
= (𝑥 + 𝑦)2
− (𝑎 − 𝑏)2
= {(𝑥 + 𝑦) − (𝑎 − 𝑏)}{(𝑥 + 𝑦) + (𝑎 − 𝑏)}
= 𝑥 + 𝑦 − 𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦 + 𝑎 − 𝑏)
Answer.24. 𝟐𝟓𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏 − 𝟑𝟔𝒚𝟐
25𝑥2
− 10𝑥 + 1 − 36𝑦2
= (25𝑥2
− 10𝑥 + 1) − (6𝑦)2
= (5𝑥 − 1)2
− (6𝑦)2
= (5𝑥 − 1 − 6𝑦)(5𝑥 − 1 + 6𝑦)
Answer.25. 𝒂 − 𝒃 − 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
a – 𝑏 − 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑎 − 𝑏 − 1(𝑎2
− 𝑏2)
= (𝑎 − 𝑏) − 1(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
= (𝑎 − 𝑏)(1 − 𝑎 − 𝑏)
Answer.26. 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 + 𝟒𝒄𝟐
.𝑎2
− 𝑏2
− 4𝑎𝑐 + 4𝑐2
= (𝑎2
− 4𝑎𝑐 + 4𝑐2) − 𝑏2
= (𝑎 − 2𝑐)2
− 𝑏2
= (𝑎 − 2𝑐 − 𝑏)(𝑎 − 2𝑐 + 𝑏)
Answer.27. 𝟗 − 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐
9– 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 − 𝑏2
= (3)2
− (𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
= (3)2
− (𝑎 − 𝑏)2
= {3 − (𝑎 − 𝑏)}{3 + (𝑎 − 𝑏)}
= (3 − 𝑎 + 𝑏)(3 + 𝑎 − 𝑏)
Answer.28. 𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟓
.𝑥3
− 5𝑥2
− 𝑥 + 5 = 𝑥2(𝑥 − 5) − 1(𝑥 − 5)
= (𝑥 − 5)(𝑥2
− 1)
= (𝑥 − 5)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
Answer.29. 𝟏 + 𝟐𝒂𝒃 − (𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐)
1+2𝑎𝑏 − (𝑎2
+ 𝑏2) = 1 − {(−2𝑎𝑏} + (𝑎2
+ 𝑏2)}
= 1 − (𝑎 − 𝑏)2
= {1 − (𝑎 − 𝑏)}{1 + (𝑎 − 𝑏)}
= (1 − 𝑎 + 𝑏)(1 + 𝑎 − 𝑏)
Answer.30. 𝟗𝒂𝟐
+ 𝟔𝒂 + 𝟏 − 𝟑𝟔𝒃𝟐
9𝑎2
+ 6𝑎 + 1 − 36𝑏2
= (9𝑎2
+ 6𝑎 + 1) − (6𝑏)2
= (3𝑎 + 1)2
− (6𝑏)2
= (3𝑎 + 1 − 6𝑏)(3𝑎 + 1 + 6𝑏)
Answer.31. 𝒙𝟐
−𝒚𝟐
+ 𝟔𝒚 − 𝟗
.𝑥2
−𝑦2
+ 6𝑦 − 9 = 𝑥2
− (𝑦2
− 6𝑦 + 9)
= 𝑥2
−(𝑦 − 3)2
= {𝑥 − (𝑦 − 3)}{𝑥 + (𝑦 − 3)}
= (𝑥 − 𝑦 + 3)(𝑥 + 𝑦 − 3)

Answer.32. 𝟒𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚
4𝑥2
− 9𝑦2
− 2𝑥 − 3𝑦 = (2𝑥)2
− (3𝑦)2
− 1(2𝑥 + 3𝑦)
= (2𝑥 − 3𝑦)(2𝑥 + 3𝑦) − 1(2𝑥 + 3𝑦)
= (2𝑥 + 3𝑦)(2𝑥 − 3𝑦 − 1)
Answer.33. 𝟗𝒂𝟐
+ 𝟑𝒂 − 𝟖𝒃 − 𝟔𝟒𝒃𝟐
9𝑎2
+ 3𝑎 − 8𝑏 − 64𝑏2
= (3𝑎)2
− (8𝑏)2
+ 3𝑎 − 8𝑏
= (3𝑎 − 8𝑏)(3𝑎 + 8𝑏) + 1(3𝑎 − 8𝑏)
= (3𝑎 − 8𝑏)(3𝑎 + 8𝑏 + 1)
Answer.34. 𝒙𝟐
+
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟑
.𝑥2
+
1
𝑥2 − 3 = (𝑥2
+
1
𝑥2 − 2. 𝑥.
1
𝑥
) − 1
= (𝑥 +
1
𝑥
)
2
− 12
= (𝑥 +
1
𝑥
− 1) (𝑥 +
1
𝑥
+ 1)
Answer.35. 𝒙𝟐
− 𝟐 +
𝟏
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
.𝑥2
− 2 +
1
𝑥2 − 𝑦2
= (𝑥2
− 2 +
1
𝑥2
) − (𝑦)2
= (𝑥 −
1
𝑥
)
2
− (𝑦)2
= (𝑥 −
1
𝑥
− 𝑦)(𝑥 −
1
𝑥
+ 𝑦)
Answer.36. 𝒙𝟒
+
𝟒
𝒙𝟒
.𝑥4
+
4
𝑥4 = 𝑥4
+
4
𝑥4 + 2. 𝑥2
.
2
𝑥2 − 2. 𝑥2
.
2
𝑥2
= (𝑥4
+
4
𝑥4 + 2. 𝑥2
.
2
𝑥2
) − 4
=(𝑥2
+
2
𝑥2
) − (2)2
= (𝑥2
+
2
𝑥2 − 2) (𝑥2
+
2
𝑥2 + 2)
Answer.37. 𝒙𝟖
− 𝟏
.𝑥8
− 1 = (𝑥4)2
− 12
= (𝑥4
− 1)(𝑥4
+ 1)
= (𝑥2
− 1)(𝑥2
+ 1)(𝑥4
+ 1 + 2. 𝑥2
. 1 − 2. 𝑥2
. 1)
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2
+ 1) {(𝑥2
+ 1)2
− (√2𝑥)
2
}
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2
+ 1)(𝑥2
+ 1 − √2𝑥)(𝑥2
+ 1 + √2𝑥)
Answer.38. 𝟏𝟔𝒙𝟒
− 𝟏
16𝑥4
− 1 = (4𝑥2
)2
− 12
= (4𝑥2
− 1)(4𝑥2
+ 1)
= (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(4𝑥2
+ 1)
Answer.39. 𝟖𝟏𝒙𝟒
− 𝒚𝟒
81𝑥4
− 𝑦4
= (9𝑥2)2
− (𝑦2)2
= (9𝑥2
− 𝑦2
)(9𝑥2
+ 𝑦2
)
= (3𝑥 − 𝑦)(3𝑥 + 𝑦)(9𝑥2
+ 𝑦2
)
Answer.40. 𝒙𝟒
− 𝟔𝟐𝟓
.𝑥4
− 625 = (𝑥2)2
− (25)2
= (𝑥2
− 25)(𝑥2
+ 25)
= (𝑥 − 5)(𝑥 + 5)(𝑥2
+ 25)

EXERCISE – 3C
Answer.1. 𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑𝟎
.𝑥2
+ 11𝑥 + 30 = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6𝑥 + 30
= 𝑥(𝑥 + 5) + 6(𝑥 + 5)
= (𝑥 + 5)(𝑥 + 6)
Answer.2. 𝒙𝟐
+ 𝟏𝟖𝒙 + 𝟑𝟐
.𝑥2
+ 18𝑥 + 32 = 𝑥2
+ 16𝑥 + 2𝑥 + 32
= 𝑥(𝑥 + 16) + 2(𝑥 + 16)
= (𝑥 + 16)(𝑥 + 2)
Answer.3. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 − 𝟔𝟗
.𝑥2
+ 20𝑥 − 69 = 𝑥2
+ 23𝑥 − 3𝑥 − 69
= 𝑥(𝑥 + 23) − 3(𝑥 + 23)
= (𝑥 + 23)(𝑥 − 3)
Answer.4. 𝒙𝟐
+ 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟓𝟎
.𝑥2
+ 19𝑥 − 150 = 𝑥2
+ 25𝑥 − 6𝑥 − 150
= 𝑥(𝑥 + 25) − 6(𝑥 + 25)
= (𝑥 + 25)(𝑥 − 6)
Answer.5. 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟗𝟖
.𝑥2
+ 7𝑥 − 98 = 𝑥2
+ 14𝑥 − 7𝑥 − 98
= 𝑥(𝑥 + 14) − 7(𝑥 + 14)
= (𝑥 + 14)(𝑥 − 7)
Answer.6. 𝒙𝟐
+ 𝟐√𝟑𝒙 − 𝟐𝟒
.𝑥2
+ 2√3𝑥 − 24 = 𝑥2
+ 4√3𝑥 − 2√3𝑥 − 24
= 𝑥(𝑥 + 4√3) − 2√3(𝑥 + 4√3)
= (𝑥 + 4√3)(𝑥 − 2√3)
Answer.7. 𝒙𝟐
− 𝟐𝟏𝒙 + 𝟗𝟎
.𝑥2
− 21𝑥 + 90 = 𝑥2
− 15𝑥 − 6𝑥 + 90
= 𝑥(𝑥 − 15) − 6(𝑥 − 15)
= (𝑥 − 15)(𝑥 − 6)
Answer.8. 𝒙𝟐
− 𝟐𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝟎
.𝑥2
− 22𝑥 + 120 = 𝑥2
− 12𝑥 − 10𝑥 + 120
= 𝑥(𝑥 − 12) − 10(𝑥 − 12)
= (𝑥 − 12)(𝑥 − 10)
Answer.9. 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟑
.𝑥2
− 4𝑥 + 3 = 𝑥2
− 3𝑥 − 𝑥 + 3
= 𝑥(𝑥 − 3) − 1(𝑥 − 3)
= (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
Answer.10. 𝒙𝟐
+ 𝟕√𝟔𝒙 + 𝟔𝟎
.𝑥2
+ 7√6𝑥 + 60 = 𝑥2
+ 5√6𝑥 + 2√6𝑥 + 60
= 𝑥(𝑥 + 5√6) + 2√6(𝑥 + 5√6)
= (𝑥 + 5√6)(𝑥 + 2√6)
Answer.11. 𝒙𝟐
+ 𝟑√𝟑𝒙 + 𝟔

.𝑥2
+ 3√3𝑥 + 6 = 𝑥2
+ 2√3𝑥 + √3𝑥 + 6
= 𝑥(𝑥 + 2√3) + √3(𝑥 + 2√3)
= (𝑥 + 2√3)(𝑥 + √3)
Answer.12. 𝒙𝟐
+ 𝟔√𝟔𝒙 + 𝟒𝟖
.𝑥2
+ 6√6𝑥 + 48 = 𝑥2
+ 4√6𝑥 + 2√6𝑥 + 48
= 𝑥(𝑥 + 4√6) + 2√6(𝑥 + 4√6)
= (𝑥 + 4√6)(𝑥 + 2√6)
Answer.13. 𝒙𝟐
+ 𝟓√𝟓𝒙 + 𝟑𝟎
.𝑥2
+ 5√5𝑥 + 30 = 𝑥2
+ 3√5𝑥 + 2√5𝑥 + 30
= 𝑥(𝑥 + 3√5) + 2√5(𝑥 + 3√5)
= (𝑥 + 3√5)(𝑥 + 2√5)
Answer.14. 𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟖𝟎
.𝑥2
− 24𝑥 − 180 = 𝑥2
− 30𝑥 + 6𝑥 − 180
= 𝑥(𝑥 − 30) + 6(𝑥 − 30)
= (𝑥 − 30)(𝑥 + 6)
Answer.15. 𝒙𝟐
− 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝟓
.𝑥2
− 32𝑥 − 105 = 𝑥2
− 35𝑥 + 3𝑥 − 105
= 𝑥(𝑥 − 35) + 3(𝑥 − 35)
= (𝑥 − 35)(𝑥 + 3)
Answer.16. 𝒙𝟐
− 𝟏𝟏𝒙 − 𝟖𝟎
.𝑥2
− 11𝑥 − 80 = 𝑥2
− 16𝑥 + 5𝑥 − 80
= 𝑥(𝑥 − 16) + 5(𝑥 − 16)
= (𝑥 − 16)(𝑥 + 5)
Answer.17. 𝟔 − 𝒙 − 𝒙𝟐
.6 − 𝑥 − 𝑥2
= −𝑥2
− 3𝑥 + 2𝑥 + 6
= −𝑥(𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 3)
= (−𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
= (2 − 𝑥)(𝑥 + 3)
Answer.18. 𝒙𝟐
− √𝟑𝒙 − 𝟔
.𝑥2
− √3𝑥 − 6 = 𝑥2
− 2√3𝑥 + √3𝑥 − 6
= 𝑥(𝑥 − 2√3) + √3(𝑥 − 2√3)
= (𝑥 − 2√3)(𝑥 + √3)
Answer.19. 𝟒𝟎 + 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐
.40 + 3𝑥 − 𝑥2
= −𝑥2
+ 8𝑥 − 5𝑥 + 40
=−𝑥(𝑥 − 8) − 5(𝑥 − 8)
= (𝑥 − 8)(−𝑥 − 5)
= (8 − 𝑥)(𝑥 + 5)

Answer.20. 𝒙𝟐
− 𝟐𝟔𝒙 + 𝟏𝟑𝟑
.𝑥2
− 26𝑥 + 133 = 𝑥2
− 19𝑥 − 7𝑥 + 133
= 𝑥(𝑥 − 19) − 7(𝑥 − 19)
= (𝑥 − 19)(𝑥 − 7)
Answer.21. 𝒙𝟐
− 𝟐√𝟑𝒙 − 𝟐𝟒
.𝑥2
− 2√3𝑥 − 24 = 𝑥2
− 4√3𝑥 + 2√3𝑥 − 24
= 𝑥(𝑥 − 4√3) + 2√3(𝑥 − 4√3)
= (𝑥 − 4√3)(𝑥 + 2√3)
Answer.22. 𝒙𝟐
− 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟐𝟎
.𝑥2
− 3√5𝑥 − 20 = 𝑥2
− 4√5𝑥 + √5𝑥 − 20
= 𝑥(𝑥 − 4√5) + √5(𝑥 − 4√5)
= (𝑥 − 4√3)(𝑥 + √5)
Answer.23. 𝒙𝟐
+ √𝟐𝒙 − 𝟐𝟒
.𝑥2
+ √2𝑥 − 24 = 𝑥2
+ 4√2𝑥 − 3√2𝑥 − 24
= 𝑥(𝑥 + 4√2) − 3√2(𝑥 + 4√2)
= (𝑥 + 4√2)(𝑥 − 3√2)
Answer.24. 𝒙𝟐
− 𝟐√𝟐𝒙 − 𝟑𝟎
.𝑥2
− 2√2𝑥 − 30 = 𝑥2
− 5√2𝑥 + 3√2𝑥 − 30
= 𝑥(𝑥 − 5√2) + 3√2(𝑥 − 5√2)
= (𝑥 − 5√2)(𝑥 + 3√2)
Answer.25. 𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟏𝟓𝟔
.𝑥2
− 𝑥 − 156 = 𝑥2
− 13𝑥 + 12𝑥 + 156
= 𝑥(𝑥 − 13) + 12(𝑥 − 13)
= (𝑥 − 13)(𝑥 + 12)
Answer.26. 𝒙𝟐
− 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝟓
.𝑥2
− 32𝑥 − 105 = 𝑥2
− 35𝑥 + 3𝑥 − 105
= 𝑥(𝑥 − 35) + 3(𝑥 − 35)
= (𝑥 − 35)(𝑥 + 3)
+ 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖
9𝑥2
+ 18𝑥 + 8 = 9𝑥2
+ 12𝑥 + 6𝑥 + 8
= 3𝑥(3𝑥 + 4) + 2(3𝑥 + 4)
= (3𝑥 + 4)(3𝑥 + 2)
Answer.28. 𝟔𝒙𝟐
+ 𝟏𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
6𝑥2
+ 17𝑥 + 12 = 6𝑥2
+ 9𝑥 + 8𝑥 + 12
= 3𝑥(2𝑥 + 3) + 4(2𝑥 + 3)
= (2𝑥 + 3)(3𝑥 + 4)
Answer.29. 𝟏𝟖𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎
18𝑥2
+ 3𝑥 − 10 = 18𝑥2
+ 15𝑥 − 12𝑥 − 10
= 3𝑥(6𝑥 + 5) − 2(6𝑥 + 5)
= (6𝑥 + 5)(3𝑥 − 2)
Answer.30. 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟏

2𝑥2
+ 11𝑥 − 21 = 2𝑥2
+ 14𝑥 − 3𝑥 − 21
= 2𝑥(𝑥 + 7) − 3(𝑥 + 7)
= (𝑥 + 7)(2𝑥 − 3)
Answer.31. 𝟏𝟓𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟖
15𝑥2
+ 2𝑥 − 8 = 15𝑥2
+ 12𝑥 − 10𝑥 − 8
= 3𝑥(5𝑥 + 4) − 2(5𝑥 + 4)
= (5𝑥 + 4)(3𝑥 − 2)
Answer.32. 𝟐𝟏𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 − 𝟔
21𝑥2
+ 5𝑥 − 6 = 21𝑥2
+ 14𝑥 − 9𝑥 − 6
= 7𝑥(3𝑥 + 2) − 3(3𝑥 + 2)
= (3𝑥 + 2)(7𝑥 − 3)
Answer.33. 𝟐𝟒𝒙𝟐
− 𝟒𝟏𝒙 + 𝟏𝟐
24𝑥2
− 41𝑥 + 12 = 24𝑥2
− 32𝑥 − 9𝑥 + 12
= 8𝑥(3𝑥 − 4) − 3(3𝑥 − 4)
= (3𝑥 − 4)(8𝑥 − 3)
Answer.34. 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟒𝒙 + 𝟖
3𝑥2
− 14𝑥 + 8 = 3𝑥2
− 12𝑥 − 2𝑥 + 8
= 3𝑥(𝑥 − 4) − 2(𝑥 − 4)
= (𝑥 − 4)(3𝑥 − 2)
+ 𝟑𝒙 − 𝟗𝟎
2𝑥2
+ 3𝑥 − 90 = 2𝑥2
+ 15𝑥 − 12𝑥 − 90
= 𝑥(2𝑥 + 15) − 6(2𝑥 + 15)
= (2𝑥 + 15)(𝑥 − 6)
Answer.36. √𝟓𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟑√𝟓
√5𝑥2
+ 2𝑥 − 3√5 = √5𝑥2
+ 5𝑥 − 3𝑥 − 3√5
= √5𝑥(𝑥 + √5) − 3(𝑥 + √5)
= (𝑥 + √5)(√5𝑥 − 3)
Answer.37. 𝟐√𝟑𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟓√𝟑
2√3𝑥2
+ 𝑥 − 5√3 = 2√3𝑥2
+ 6𝑥 − 5𝑥 − 5√3
= 2√3𝑥(𝑥 + √3) − 5(𝑥 + √3)
= (𝑥 + √3)(2√3𝑥 − 5)
Answer.38. 𝟕𝒙𝟐
+ 𝟐√𝟏𝟒𝒙 + 𝟐
7𝑥2
+ 2√14𝑥 + 2 = 7𝑥2
+ √14𝑥 + √14𝑥 + 2
= √7𝑥(√7𝑥 + √2) + √2(√7𝑥 + √2)
= (√7𝑥 + √2)(√7𝑥 + √2)
Answer.39. 𝟔√𝟑𝒙𝟐
− 𝟒𝟕𝒙 + 𝟓√𝟑
6√3𝑥2
− 47𝑥 + 5√3 = 6√3𝑥2
− 45𝑥 − 2𝑥 + 5√3
= 3√3𝑥(2𝑥 − 5√3) − 1(2𝑥 − 5√3)
= (2𝑥 − 5√3)(3√3𝑥 − 1)
Answer.40. 𝟓√𝟓𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑√𝟓

5√5𝑥2
+ 20𝑥 + 3√5 = 5√5𝑥2
+ 15𝑥 + 5𝑥 + 3√5
= 5𝑥(√5𝑥 + 3) + √5(√5𝑥 + 3)
= (√5𝑥 + 3)(5𝑥 + √5)
Answer.41. √𝟑𝒙𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖√𝟑
.√3𝑥2
+ 10𝑥 + 8√3 = √3𝑥2
+ 6𝑥 + 4𝑥 + 8√3
= √3𝑥(𝑥 + 2√3) + 4(𝑥 + 2√3)
= (𝑥 + 2√3)(√3𝑥 + 4)
Answer.42. √𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + √𝟐
.√2𝑥2
+ 3𝑥 + √2 = √2𝑥2
+ 2𝑥 + 𝑥 + √2
= √2𝑥(𝑥 + √2) + 1(𝑥 + √2)
= (𝑥 + √2)(√2𝑥 + 1)
+ 𝟑√𝟑𝒙 + 𝟑
2𝑥2
+ 3√3𝑥 + 3 = 2𝑥2
+ 2√3𝑥 + √3𝑥 + 3
= 2𝑥(𝑥 + √3) + √3(𝑥 + √3)
= (𝑥 + √3)(2𝑥 + √3)
Answer.44. 𝟏𝟓𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐𝟖
15𝑥2
− 𝑥 − 28 = 15𝑥2
− 21𝑥 + 20𝑥 − 28
= 3𝑥(5𝑥 − 7) + 4(5𝑥 − 7)
= (5𝑥 − 7)(3𝑥 + 4)
− 𝟓𝒙 − 𝟐𝟏
6𝑥2
− 5𝑥 − 21 = 6𝑥2
− 14𝑥 + 9𝑥 − 21
= 2𝑥(3𝑥 − 7) + 3(3𝑥 − 7)
= (3𝑥 − 7)(2𝑥 + 3)
− 𝟕𝒙 − 𝟏𝟓
2𝑥2
− 7𝑥 − 15 = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3𝑥 − 15
= 2𝑥(𝑥 − 5) + 3(𝑥 − 5)
= (𝑥 − 5)(2𝑥 + 3)
Answer.47. 𝟓𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 − 𝟐𝟏
5𝑥2
− 16𝑥 − 21 = 5𝑥2
− 21𝑥 + 5𝑥 − 21
= 𝑥(5𝑥 − 21) + 1(5𝑥 − 21)
= (5𝑥 − 21)(𝑥 + 1)
− 𝟏𝟏𝒙 − 𝟑𝟓
6𝑥2
− 11𝑥 − 35 = 6𝑥2
− 21𝑥 + 10𝑥 − 35
= 3𝑥(2𝑥 − 7) + 5(2𝑥 − 7)
= (2𝑥 − 7)(3𝑥 + 5)
− 𝟑𝒙 − 𝟐𝟎
9𝑥2
− 3𝑥 − 20 = 9𝑥2
− 15𝑥 + 12𝑥 − 20
= 3𝑥(3𝑥 − 5) + 4(3𝑥 − 5)
= (3𝑥 − 5)(3𝑥 + 4)
Answer.50. 𝟏𝟎𝒙𝟐
− 𝟗𝒙 − 𝟕
10𝑥2
− 9𝑥 − 7 = 10𝑥2
− 14𝑥 + 5𝑥 − 7
= 2𝑥(5𝑥 − 7) + 1(5𝑥 − 7)

= (5𝑥 − 7)(2𝑥 + 1)
Answer.51. 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 +
𝟕
𝟏𝟔
.𝑥2
− 2𝑥 +
7
16
=
16𝑥2 − 32𝑥 + 7
16
=
16𝑥2 − 28𝑥 − 4𝑥 + 7
16
=
4𝑥 ( 4𝑥 − 7 )− 1 ( 4𝑥 − 7 )
16
=
( 4𝑥 − 7 )( 4𝑥 − 1 )
16
= (
4𝑥 − 7
16
) (4𝑥 − 1)
= (
𝑥
4
−
7
16
) (4𝑥 − 1)
Answer.52.
𝟏
𝟑
𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟗
.
1
3
𝑥2
− 2𝑥 − 9 =
𝑥2 − 6𝑥 − 27
3
=
𝑥2 − 9𝑥 + 3𝑥 − 27
3
=
𝑥 ( 𝑥 − 9 ) + 3 ( 𝑥 − 9 )
3
=
( 𝑥 − 9 ) ( 𝑥 + 3 )
3
= (
𝑥 + 3
3
) (𝑥 − 9)
= (1 +
𝑥
3
) (𝑥 − 9)
Answer.53. 𝒙𝟐
+
𝟏𝟐
𝟑𝟓
𝒙 +
𝟏
𝟑𝟓
.𝑥2
+
12
35
𝑥 +
1
35
=
35𝑥2 + 12𝑥 + 1
35
=
35𝑥2 + 7𝑥 + 5𝑥 + 1
35
=
7𝑥 ( 5𝑥+ 1 ) + 1 ( 5𝑥+ 1 )
35
=
( 5𝑥+ 1 ) ( 7𝑥 + 1 )
35
= (5𝑥 + 1) (
7𝑥 + 1
35
)
= (5𝑥 + 1) (
𝑥
5
+
1
35
)
Answer.54. 𝟐𝟏𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 +
𝟏
𝟐𝟏
21𝑥2 − 2𝑥 +
1
21
= 21𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 +
1
21
= 21𝑥 (𝑥 −
1
21
) − 1(𝑥 −
1
21
)
= (𝑥 −
1
21
) (21𝑥 − 1)
Answer.55.
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟎
.
3
2
𝑥2
+ 16𝑥 + 10 =
3
2
𝑥2
+ 𝑥 + 15𝑥 + 10
=
𝑥
2
(3𝑥 + 2) + 5(3𝑥 + 2)
= (3𝑥 + 2) (
𝑥
2
+ 5)

Answer.56.
𝟐
𝟑
𝒙𝟐
−
𝟏𝟕
𝟑
𝒙 − 𝟐𝟖
.
2
3
𝑥2 −
17
3
𝑥 − 28 =
2𝑥2
− 17𝑥− 84
3
=
2𝑥2 − 24𝑥 +7𝑥 − 84
3
=
2𝑥 ( 𝑥 − 12 ) + 7 ( 𝑥 − 12 )
3
=
( 𝑥 − 12 ) ( 2𝑥 +7 )
3
= (
𝑥 − 12
3
)(2𝑥 + 7)
= (
𝑥
3
−
1
4
) (2𝑥 + 7)
Answer.57.
𝟑
𝟓
𝒙𝟐
−
𝟏𝟗
𝟓
𝒙 + 𝟒
.
3
5
𝑥2 −
19
5
𝑥 + 4 =
3𝑥2
− 19𝑥 + 20
5
=
3𝑥2 − 15𝑥 − 4𝑥 + 20
5
=
3𝑥 ( 𝑥 − 5 ) − 4 ( 𝑥 − 5 )
5
=
( 𝑥 − 5 ) ( 3𝑥 − 4 )
5
= (
𝑥 − 5
5
)(3𝑥 − 4)
= (
𝑥
5
− 1) (3𝑥 − 4)
− 𝒙 +
𝟏
𝟖
2𝑥2
− 𝑥 +
1
8
=
16𝑥2 − 8𝑥 + 1
8
=
16𝑥2 − 4𝑥 − 4𝑥 + 1
8
=
4𝑥 ( 4𝑥 − 1 ) − 1( 4𝑥 − 1)
8
= (
4𝑥 − 1
8
)(4𝑥 − 1)
= (
𝑥
2
−
1
8
) (4𝑥 − 1)
Answer.59. 𝟐(𝒙 + 𝒚)𝟐
− 𝟗(𝒙 + 𝒚) − 𝟓
L𝑒𝑡 (𝑥 + 𝑦) = 𝑎
2(𝑥 + 𝑦)2
− 9(𝑥 + 𝑦) − 5 = 2𝑎2
− 9𝑎 − 5
= 2𝑎2
− 10𝑎 + 𝑎 − 5
= 2𝑎(𝑎 − 5) + 1(𝑎 − 5)
= (𝑎 − 5)(2𝑎 + 1)
⸫ 2(𝑥 + 𝑦)2
− 9(𝑥 + 𝑦) − 5 = (𝑥 + 𝑦 − 5){2(𝑥 + 𝑦) + 1} [∵ 𝑎 = (𝑥 + 𝑦) ]
= (𝑥 + 𝑦 − 5)(2𝑥 + 2𝑦 + 1)
Answer.60. 𝟗(𝟐𝒂 − 𝒃)𝟐
− 𝟒(𝟐𝒂 − 𝒃) − 𝟏𝟑
L𝑒𝑡 (2𝑎 − 𝑏) = 𝑝
9(2𝑎 − 𝑏)2
− 4(2𝑎 − 𝑏) − 13 = 9𝑝2
− 4𝑝 − 13
= 9𝑝2
− 13𝑝 + 9𝑝 − 13
= 𝑝(9𝑝 − 13) + 1(9𝑝 − 13)
= (9𝑝 − 13)(𝑝 + 1)
⸫ 9(2𝑎 − 𝑏)2
− 4(2𝑎 − 𝑏) − 13 = {9(2𝑎 − 𝑏) − 13}{(2𝑎 − 𝑏) + 1} [∵ 𝑝 = (2𝑎 − 𝑏) ]
= (18𝑎 − 9𝑏 − 13)(2𝑎 − 𝑏 + 1)
Answer.61. 𝟕(𝒙 − 𝟐𝒚)𝟐
− 𝟐𝟓(𝒙 − 𝟐𝒚) + 𝟏𝟐

L𝑒𝑡 (𝑥 − 2𝑦) = 𝑎
7(𝑥 − 2𝑦)2
− 25(𝑥 − 2𝑦) + 12 = 7𝑎2
− 25𝑎 + 12
= 7𝑎2
− 21𝑎 − 4𝑎 + 12
= 7𝑎(𝑎 − 3) − 4(𝑎 − 3)
= (𝑎 − 3)(7𝑎 − 4)
⸫ 7(𝑥 − 2𝑦)2
− 25(𝑥 − 2𝑦) + 12 = (𝑥 − 2𝑦 − 3){7(𝑥 − 2𝑦) − 4} [∵ 𝑎 = (𝑥 − 2𝑦) ]
= (𝑥 − 2𝑦 − 3)(7𝑥 − 14𝑦 − 4)
Answer.62. 𝟏𝟎 (𝟑𝒙 +
𝟏
𝒙
)
𝟐
− (𝟑𝒙 +
𝟏
𝒙
) − 𝟑
L𝑒𝑡 (3𝑥 +
1
𝑥
) = 𝑎
10 (3𝑥 +
1
𝑥
)
2
− (3𝑥 +
1
𝑥
) − 3 = 10𝑎2
− 𝑎 − 3
= 10𝑎2
− 6𝑎 + 5𝑎 − 3
= 2𝑎(5𝑎 − 3) + 1(5𝑎 − 3)
= (5𝑎 − 3)(2𝑎 + 1)
⸫ 10 (3𝑥 +
1
𝑥
)
2
− (3𝑥 +
1
𝑥
) − 3 = {5 (3𝑥 +
1
𝑥
) − 3}{2 (3𝑥 +
1
𝑥
) + 1}[∵ 𝑎 = (3𝑥 +
1
𝑥
)]
= (15𝑥 +
5
𝑥
− 3) (6𝑥 +
2
𝑥
+ 1)
Answer.63. 𝟔 (𝟐𝒙 −
𝟑
𝒙
)
𝟐
+ 𝟕(𝟐𝒙 −
𝟑
𝒙
) − 𝟐𝟎
L𝑒𝑡 (2𝑥 −
3
𝑥
) = 𝑎
6(2𝑥 −
3
𝑥
)
2
+ 7 (2𝑥 −
3
𝑥
) − 20 = 6𝑎2
+ 7𝑎 − 20
= 6𝑎2
+ 15𝑎 − 8𝑎 − 20
= 3𝑎(2𝑎 + 5) − 4(2𝑎 + 5)
= (2𝑎 + 5)(3𝑎 − 4)
⸫ 6 (2𝑥 −
3
𝑥
)
2
+ 7 (2𝑥 −
3
𝑥
) − 20 = {2 (2𝑥 −
3
𝑥
) + 5}{3 (2𝑥 −
3
𝑥
) − 4}[∵ 𝑎 = (2𝑥 −
3
𝑥
)]
= (4𝑥 −
6
𝑥
+ 5) (6𝑥 −
9
𝑥
− 4)
Answer.64. (𝒂 + 𝟐𝒃)𝟐
+ 𝟏𝟎𝟏(𝒂 + 𝟐𝒃) + 𝟏𝟎𝟎
L𝑒𝑡 (𝑎 + 2𝑏) = 𝑝
.(𝑎 + 2𝑏)2
+ 101(𝑎 + 2𝑏) + 100 = 𝑝2
+ 101𝑝 + 100
= 𝑝2
+ 100𝑝 + 𝑝 + 100
= 𝑝(𝑝 + 100) + 1(𝑝 + 100)
= (𝑝 + 100)(𝑝 + 1)
⸫ (𝑎 + 2𝑏)2
+ 101(𝑎 + 2𝑏) + 100 = {(𝑎 + 2𝑏) + 100}{(𝑎 + 2𝑏) + 1} [∵ 𝑝 = (𝑎 + 2𝑏) ]
= (𝑎 + 2𝑏 + 100)(𝑎 + 2𝑏 + 1)
Answer.65. 𝟒𝒙𝟒
+ 𝟕𝒙𝟐
− 𝟐
L𝑒𝑡 𝑥2
= 𝑦
4𝑥4
+ 7𝑥2
− 2 = 4𝑦2
+ 7𝑦 − 2
= 4𝑦2
+ 8𝑦 − 𝑦 − 2
= 4𝑦(𝑦 + 2) − 1(𝑦 + 2)
= (𝑦 + 2)(4𝑦 − 1)
⸫ 4𝑥4
+ 7𝑥2
− 2 = (𝑥2
+ 2)(4𝑥2
− 1)
= (𝑥2
+ 2){(2𝑥)2
− 12}
= (𝑥2
+ 2)(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

Answer.66. {(𝟗𝟗𝟗)𝟐
− 𝟏}
.{(999)2
− 1} = {(999)2
− (1)2
}
= (999 − 1)(999 + 1)
= 998 × 1000
= 998000

EXERCISE – 3D
Formula Used -: (𝒙 + 𝒚 + 𝒛)𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝒛 + 𝟐𝒛𝒙
Answer.1.
(i) (𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝟓𝒄)𝟐
.(𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐)2
= (𝑎)2
+ (2𝑏)2
+ (5𝑐)2
+ 2(𝑎)(2𝑏) + 2(2𝑏)(5𝑐) + 2(5𝑐)(𝑎)
= 𝑎2
+ 4𝑏2
+ 25𝑐2
+ 4𝑎𝑏 + 20𝑏𝑐 + 10𝑎𝑐
(ii)(𝟐𝒂 − 𝒃 + 𝒄)𝟐
.(2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)2
= (2𝑎)2
+ (−𝑏)2
+ (𝑐)2
+ 2(2𝑎)(−𝑏) + 2(−𝑏)(𝑐) + 2(𝑐)(2𝑎)
= 4𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 4𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑐
(iii) (𝒂 − 𝟐𝒃 − 𝟑𝒄)𝟐
.(𝑎 − 2𝑏 − 3𝑐)2
= (𝑎)2
+ (−2𝑏)2
+ (−3𝑐)2
+ 2(𝑎)(−2𝑏) + 2(−2𝑏)(−3𝑐) + 2(−3𝑐)(𝑎)
= 𝑎2
+ 4𝑏2
+ 9𝑐2
− 4𝑎𝑏 + 12𝑏𝑐 − 6𝑎𝑐
Answer.2.
(i) (𝟐𝒂 − 𝟓𝒃 − 𝟕𝒄)𝟐
.(2𝑎 − 5𝑏 − 7𝑐)2
= (2𝑎)2
+ (−5𝑏)2
+ (−7𝑐)2
+ 2(2𝑎)(−5𝑏) + 2(−5𝑏)(−7𝑐) + 2(−7𝑐)(2𝑎)
= 4𝑎2
+ 25𝑏2
+ 49𝑐2
− 20𝑎𝑏 + 70𝑏𝑐 − 28𝑎𝑐
(ii) (−𝟑𝒂 + 𝟒𝒃 − 𝟓𝒄)𝟐
.(−3𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐)2
= (−3𝑎)2
+ (4𝑏)2
+ (−5𝑐)2
+ 2(−3𝑎)(4𝑏) + 2(4𝑏)(−5𝑐) + 2(−5𝑐)(−3𝑎)
= 9𝑎2
+ 16𝑏2
+ 25𝑐2
− 24𝑎𝑏 − 40𝑏𝑐 + 30𝑎𝑐
(iii)(
𝟏
𝟐
𝒂 −
𝟏
𝟒
𝒃 + 𝟐)
𝟐
.(
1
2
𝑎 −
1
4
𝑏 + 2)
2
= (
1
2
𝑎)
2
+ (−
1
4
𝑏)
2
+ (2)2
+ 2 (
1
2
𝑎) (−
1
4
𝑏) + 2 (−
1
4
𝑏) (2) + 2(2) (
1
2
𝑎)
=
𝑎2
4
+
𝑏2
16
+ 4 −
𝑎𝑏
4
− 𝑏 + 2𝑎
Answer.3. 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟔𝒛𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙𝒚 − 𝟐𝟒𝒚𝒛 − 𝟏𝟔𝒛𝒙
4𝑥2
+ 9𝑦2
+ 16𝑧2
+ 12𝑥𝑦 − 24𝑦𝑧 − 16𝑧𝑥 = (2𝑥)2
+ (3𝑦)2
+ (−4𝑧)2
+ {2(2𝑥)(3𝑦)} +
{2(3𝑦)(−4𝑧)} + {2(−4𝑧)(2𝑥)}
= {(2𝑥) + (3𝑦) + (−4𝑧)}2
= (2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧)2
= (2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧)(2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧)
+ 𝟏𝟔𝒚𝟐
+ 𝟒𝒛𝟐
− 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚𝒛 − 𝟏𝟐𝒛𝒙
9𝑥2
+ 16𝑦2
+ 4𝑧2
− 24𝑥𝑦 + 16𝑦𝑧 − 12𝑧𝑥 = (−3𝑥)2
+ (4𝑦)2
+ (2𝑧)2
+ {2(−3𝑥)(4𝑦)} +
{2(4𝑦)(2𝑧)} + {2(2𝑧)(−3𝑥)}
= {(−3𝑥) + (4𝑦) + (2𝑧)}2
= (−3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧)2
= (−3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧)(−3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧)
Answer.5. 𝟐𝟓𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
+ 𝟗𝒛𝟐
− 𝟐𝟎𝒙𝒚 − 𝟏𝟐𝒚𝒛 + 𝟑𝟎𝒛𝒙
25𝑥2
+ 4𝑦2
+ 9𝑧2
− 20𝑥𝑦 − 12𝑦𝑧 + 30𝑧𝑥 = (5𝑥)2
+ (−2𝑦)2
+ (3𝑧)2
+ {2(5𝑥)(−2𝑦)} +
{2(−2𝑦)(3𝑧)} + {2(3𝑧)(5𝑥)}
= {(5𝑥) + (−2𝑦) + (3𝑧)}2
= (5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)2
= (5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)(5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)
Answer.6. 𝟏𝟔𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
+ 𝟗𝒛𝟐
− 𝟏𝟔𝒙𝒚 − 𝟏𝟐𝒚𝒛 + 𝟐𝟒𝒛𝒙
16𝑥2
+ 4𝑦2
+ 9𝑧2
− 16𝑥𝑦 − 12𝑦𝑧 + 24𝑧𝑥 = (4𝑥)2
+ (−2𝑦)2
+ (3𝑧)2
+ {2(4𝑥)(−2𝑦)} +
{2(−2𝑦)(3𝑧)} + {2(3𝑧)(4𝑥)}
= {(4𝑥) + (−2𝑦) + (3𝑧)}2
= (4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)2

= (4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)(4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)
Answer.7. (i) (𝟗𝟗)𝟐
(99)2
= (100 − 1)2
= (100)2
+ (1)2
− 2 × 100 × 1
= 10000 + 1 − 200
= 9801
(ii) (𝟗𝟗𝟓)𝟐
(995)2
= (1000 − 5)2
= (1000)2
+ (5)2
− 2 × 1000 × 5
= 1000000 + 25 − 10000
= 990025
(iii) (𝟏𝟎𝟕)𝟐
(107)2
= (100 + 7)2
= (100)2
+ (7)2
+ 2 × 100 × 7
= 10000 + 49 + 1400
= 11449

EXERCISE -3E
Formulae Used: (i) (𝒙 + 𝒚)𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑
+ 𝟑𝒙𝒚(𝒙 + 𝒚)
(ii)(𝒙 − 𝒚)𝟑
= 𝒙𝟑
− 𝒚𝟑
− 𝟑𝒙𝒚(𝒙 − 𝒚)
Answer.1.
(i) (𝟑𝒙 + 𝟐)𝟑
.(3𝑥 + 2)3
= (3𝑥)3
+ (2)3
+ 3(3𝑥)(2)(3𝑥 + 2)
= 27𝑥3
+ 8 + 18𝑥(3𝑥) + 18𝑥(2)
= 27𝑥3
+ 8 + 54𝑥2
+ 36𝑥
(ii) (𝟑𝒂 +
𝟏
𝟒𝒃
)
𝟑
.(3𝑎 +
1
4𝑏
)
3
= (3𝑎)3
+ (
1
4𝑏
)
3
+ 3(3𝑎) (
1
4𝑏
) (3𝑎 +
1
4𝑏
)
= 27𝑎3
+
1
64𝑏3 +
9𝑎
4𝑏
(3𝑎) +
9𝑎
4𝑏
(
1
4𝑏
)
= 27𝑎3
+
1
64𝑏3 +
27𝑎2
4𝑏
+
9𝑎
16𝑏2
(iii) (𝟏 +
𝟐
𝟑
𝒂)
𝟑
.(1 +
2
3
𝑎)
3
= (1)3
+ (
2
3
𝑎)
3
+ 3(1) (
2
3
𝑎) (1 +
2
3
𝑎)
= 13
+
8
27
𝑎3
+ 2𝑎(1) + 2𝑎 (
2
3
𝑎)
= 1 +
8
27
𝑎3
+ 2𝑎 +
4
3
𝑎2
= 1 +
8
27
𝑎3
+
4
3
𝑎2
+ 2𝑎
Answer.2.
(i)(𝟓𝒂 − 𝟑𝒃)𝟑
(5𝑎 − 3𝑏)3
= (5𝑎)3
− (3𝑏)3
− 3(5𝑎)(3𝑏)(5𝑎 − 3𝑏)
= 125𝑎3
− 27𝑏3
− 45𝑎𝑏(5𝑎) + 45𝑎𝑏(3𝑏)
= 125𝑎3
− 27𝑏3
− 225𝑎2
𝑏 + 135𝑎𝑏2
(ii)(𝟑𝒙 −
𝟓
𝒙
)
𝟑
.(3𝑥 −
5
𝑥
)
3
= (3𝑥)3
− (
5
𝑥
)
3
− 3(3𝑥) (
5
𝑥
) (3𝑥 −
5
𝑥
)
= 27𝑥3
−
125
𝑥3 − 45(3𝑥) + 45 (
5
𝑥
)
= 27𝑥3
−
125
𝑥3 − 135𝑥 +
225
𝑥
(iii)(
𝟒
𝟓
𝒂 − 𝟐)
𝟑
.(
4
5
𝑎 − 2)
3
= (
4
5
𝑎)
3
− (2)3
− 3 (
4
5
𝑎) (2) (
4
5
𝑎 − 2)
=
64
125
𝑎3
− 8 −
24
5
𝑎 (
4
5
𝑎) +
24
5
𝑎(2)
=
64
125
𝑎3
− 8 −
96
25
𝑎2
+
48
5
𝑎
Answer.3. 𝟖𝒂𝟑
+ 𝟐𝟕𝒃𝟑
+ 𝟑𝟔𝒂𝟐
𝒃 + 𝟓𝟒𝒂𝒃𝟐
8𝑎3
+ 27𝑏3
+ 36𝑎2
𝑏 + 54𝑎𝑏2
= (2𝑎)3
+ (3𝑏)3
+ 3(2𝑎)(3𝑏)(2𝑎) + 3(2𝑎)(3𝑏)(3𝑏)

= (2𝑎)3
+ (3𝑏)3
+ 3(2𝑎)(3𝑏)(2𝑎 + 3𝑏)
= (2𝑎 + 3𝑏)3
= (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑎 + 3𝑏)(2𝑎 + 3𝑏)
Answer.4. 𝟔𝟒𝒂𝟑
− 𝟐𝟕𝒃𝟑
− 𝟏𝟒𝟒𝒂𝟐
𝒃 + 𝟏𝟎𝟖𝒂𝒃𝟐
64𝑎3
− 27𝑏3
− 144𝑎2
𝑏 + 108𝑎𝑏2
= (4𝑎)3
− (3𝑏)3
− 3(4𝑎)(3𝑏)(4𝑎) + 3(4𝑎)(3𝑏)(3𝑏)
= (4𝑎)3
− (3𝑏)3
− 3(4𝑎)(3𝑏)(4𝑎 − 3𝑏)
= (4𝑎 − 3𝑏)3
= (4𝑎 − 3𝑏)(4𝑎 − 3𝑏)(4𝑎 − 3𝑏)
Answer.5. 𝟏 +
𝟐𝟕
𝟏𝟐𝟓
𝒂𝟑
+
𝟗𝒂
𝟓
+
𝟐𝟕𝒂𝟐
𝟐𝟓
1 +
27
125
𝑎3
+
9𝑎
5
+
27𝑎2
25
= (1)3
+ (
3
5
𝑎)
3
+ 3(1) (
3
5
𝑎) (1) + 3(1) (
3
5
𝑎) (
3
5
𝑎)
= (1)3
+ (
3
5
𝑎)
3
+ 3(1) (
3
5
𝑎) (1 +
3
5
𝑎)
= (1 +
3
5
𝑎)
3
= (1 +
3
5
𝑎) (1 +
3
5
𝑎) (1 +
3
5
𝑎)
Answer.6. 𝟏𝟐𝟓𝒙𝟑
− 𝟐𝟕𝒚𝟑
− 𝟐𝟐𝟓𝒙𝟐
𝒚 + 𝟏𝟑𝟓𝒙𝒚𝟐
125𝑥3
− 27𝑦3
− 225𝑥2
𝑦 + 135𝑥𝑦2
= (5𝑥)3
− (3𝑦)3
− 3(5𝑥)(3𝑦)(5𝑥) + 3(5𝑥)(3𝑦)(3𝑦)
= (5𝑥)3
− (3𝑦)3
− 3(5𝑥)(3𝑦)(5𝑥 − 3𝑦)
= (5𝑥 − 3𝑦)3
= (5𝑥 − 3𝑦)(5𝑥 − 3𝑦)(5𝑥 − 3𝑦)
Answer.7. 𝒂𝟑
𝒙𝟑
− 𝟑𝒂𝟐
𝒃𝒙𝟐
+ 𝟑𝒂𝒃𝟐
𝒙 − 𝒃𝟑
.𝑎3
𝑥3
− 3𝑎2
𝑏𝑥2
+ 3𝑎𝑏2
𝑥 − 𝑏3
= 𝑎3
𝑥3
− 𝑏3
− 3𝑎2
𝑏𝑥2
+ 3𝑎𝑏2
𝑥
= (𝑎𝑥)3
− (𝑏)3
− 3(𝑎𝑥)(𝑏)(𝑎𝑥) + 3(𝑎𝑥)(𝑏)(𝑏)
= (𝑎𝑥)3
− (𝑏)3
− 3(𝑎𝑥)(𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏)
= (𝑎𝑥 − 𝑏)3
= (𝑎𝑥 − 𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏)
Answer.8.
𝟔𝟒
𝟏𝟐𝟓
𝒂𝟑
−
𝟗𝟔
𝟐𝟓
𝒂𝟐
+
𝟒𝟖
𝟓
𝒂 − 𝟖
.
64
125
𝑎3
−
96
25
𝑎2
+
48
5
𝑎 − 8 =
64
125
𝑎3
− 8 −
96
25
𝑎2
+
48
5
𝑎
= (
4
5
𝑎)
3
− (2)3
− 3 (
4
5
𝑎) (2) (
4
5
𝑎) + 3 (
4
5
𝑎) (2)(2)
= (
4
5
𝑎)
3
− (2)3
− 3 (
4
5
𝑎) (2) (
4
5
𝑎 − 2)
= (
4
5
𝑎 − 2)
3
= (
4
5
𝑎 − 2) (
4
5
𝑎 − 2) (
4
5
𝑎 − 2)
Answer.9. 𝒂𝟑
− 𝟏𝟐𝒂(𝒂 − 𝟒) − 𝟔𝟒

.𝑎3
− 12𝑎(𝑎 − 4) − 64 = (𝑎)3
− (4)3
− 3(𝑎)(4)(𝑎 − 4)
= (𝑎 − 4)3
= (𝑎 − 4)(𝑎 − 4)(𝑎 − 4)
Answer.10.
(i) (𝟏𝟎𝟑)𝟑
(103)3
= (100 + 3)3
= (100)3
+ (3)3
+ 3 × 100 × 3 × (100 + 3)
= 1000000 + 27 + (900 × 103)
= 1000027 + 92700
= 1092727
(ii) (𝟗𝟗)𝟑
(99)3
= (100 − 1)3
= (100)3
− (1)3
− 3 × 100 × 1 × (100 − 1)
= 1000000 − 1 − (300 × 99)
= 999999 − 29700
= 970299

EXERCISE – 3F
Formulae Used: (i) (𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑) = (𝒙 + 𝒚)(𝒙𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)
(ii) (𝒙𝟑
− 𝒚𝟑) = (𝒙 − 𝒚)(𝒙𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
)
Answer.1. 𝒙𝟑
+ 𝟐𝟕
.𝑥3
+ 27 = (𝑥)3
+ (3)3
= (𝑥 + 3)(𝑥2
− 3𝑥 + 9)
Answer.2. 𝟐𝟕𝒂𝟑
+ 𝟔𝟒𝒃𝟑
.27𝑎3
+ 64𝑏3
= (3𝑎)3
+ (4𝑏)3
=(3𝑎 + 4𝑏)(9𝑎2
− 12𝑎𝑏 + 16𝑏2
)
Answer.3. 𝟏𝟐𝟓𝒂𝟑
+
𝟏
𝟖
.125𝑎3
+
1
8
= (5𝑎)3
+ (
1
8
)
3
= (5𝑎 +
1
8
) (25𝑎2
−
5𝑎
2
+
1
4
)
Answer.4. 𝟐𝟏𝟔𝒙𝟑
+
𝟏
𝟏𝟐𝟓
.216𝑥3
+
1
125
= (6𝑥)3
+ (
1
5
)
3
= (6𝑥 +
1
5
) (36𝑥2
−
6𝑥
5
+
1
25
)
Answer.5. 𝟏𝟔𝒙𝟒
+ 𝟓𝟒𝒙
.16𝑥4
+ 54𝑥 = 2𝑥(8𝑥3
+ 27)
= 2𝑥{(2𝑥)3
+ (3)3
}
= 2𝑥(2𝑥 + 3)(4𝑥2
− 6𝑥 + 6)
Answer.6. 𝟕𝒂𝟑
+ 𝟓𝟔𝒃𝟑
.7𝑎3
+ 56𝑏3
= 7(𝑎3
+ 8𝑏3)
= 7{(𝑎)3
+ (2𝑏)3
}
= 7(𝑎 + 2𝑏)(𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 4𝑏2
)
Answer.7. 𝒙𝟓
+ 𝒙𝟐
.𝑥5
+ 𝑥2
= 𝑥2
(𝑥3
+ 1)
= 𝑥2
{(𝑥)3
+ (1)3
}
= 𝑥2
(𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
Answer.8. 𝒂𝟑
+ 𝟎. 𝟎𝟎𝟖
.𝑎3
+ 0.008 = (𝑎)3
+ (0.2)3
= (𝑎 + 0.2)(𝑎2
− 0.2𝑎 + 0.04)
Answer.9. 𝟏 − 𝟐𝟕𝒂𝟑
.1 − 27𝑎3
= (1)3
− (3𝑎)3
= (1 − 3𝑎)(1 + 3𝑎 + 9𝑎2
)
Answer.10. 𝟔𝟒𝒂𝟑
− 𝟑𝟒𝟑
.64𝑎3
− 343 = (4𝑎)3
− (7)3
= (4𝑎 − 7)(16𝑎2
+ 28𝑎 + 49)

Answer.11. 𝒙𝟑
− 𝟓𝟏𝟐
.𝑥3
− 512 = (𝑥)3
− (8)3
= (𝑥 − 8)(𝑥2
+ 8𝑥 + 64)
Answer.12. 𝒂𝟑
− 𝟎. 𝟎𝟔𝟒
.𝑎3
− 0.064 = (𝑎)3
− (0.4)3
= (𝑎 − 0.4)(𝑎2
+ 0.4𝑎 + 0.16)
Answer.13. 𝟖𝒙𝟑
−
𝟏
𝟐𝟕𝒚𝟑
.8𝑥3
−
1
27𝑦3 = (2𝑥)3
− (
1
3𝑦
)
3
= (2𝑥 −
1
3𝑦
) (4𝑥2
+
2𝑥
3𝑦
+
1
9𝑦2
)
Answer.14.
𝒙𝟑
𝟐𝟏𝟔
− 𝟖𝒚𝟑
.
𝑥3
216
− 8𝑦3
= (
𝑥
6
)
3
− (2𝑦)3
= (
𝑥
6
+ 2𝑦) (
𝑥2
36
+
2𝑥𝑦
6
+ 4𝑦2)
= (
𝑥
6
+ 2𝑦) (
𝑥2
36
+
𝑥𝑦
3
+ 4𝑦2)
Answer.15. 𝒙 − 𝟖𝒙𝒚𝟑
.𝑥 − 8𝑥𝑦3
= 𝑥(1 − 8𝑦3
)
= 𝑥{(1)3
− (2𝑦)3
}
= 𝑥(1 − 2𝑦)(1 + 2𝑦 + 4𝑦2
)
Answer.16. 𝟑𝟐𝒙𝟒
− 𝟓𝟎𝟎𝒙
.32𝑥4
− 500𝑥 = 4𝑥(8𝑥3
− 125)
= 4𝑥{(2𝑥)3
− (5)3
}
= 4𝑥(2𝑥 − 5)(4𝑥2
+ 10𝑥 + 25)
Answer.17. 𝟑𝒂𝟕
𝒃 − 𝟖𝟏𝒂𝟒
𝒃𝟒
3𝑎7
𝑏 − 81𝑎4
𝑏4
= 3𝑎4
𝑏(𝑎3
− 27𝑏3
)
= 3𝑎4
𝑏{(𝑎)3
− (3𝑏)3
}
= 3𝑎4
𝑏(𝑎 − 3𝑏)(𝑎2
+ 3𝑎𝑏 + 9𝑏2
)
Answer.18. 𝒙𝟒
𝒚𝟒
− 𝒙𝒚
.𝑥4
𝑦4
− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥3
𝑦3
− 1)
= 𝑥𝑦{(𝑥𝑦)3
− (1)3
}
= 𝑥𝑦(𝑥𝑦 − 1)(𝑥2
𝑦2
+ 𝑥𝑦 + 1)
Answer.19. 𝟖𝒙𝟐
𝒚𝟑
− 𝒙𝟓
8𝑥2
𝑦3
− 𝑥5
= 𝑥2(8𝑦3
− 𝑥3)
= 𝑥2
{(2𝑦)3
− (𝑥)3
}
= 𝑥2
(2𝑦 − 𝑥)(4𝑦2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑥2
)
Answer.20. 𝟏𝟎𝟐𝟗 − 𝟑𝒙𝟑
.1029 − 3𝑥3
= 3(343 − 𝑥3
)
= 3{(7)3
− (𝑥)3}

= 3(7 − 𝑥)(49 + 7𝑥 + 𝑥2
)
Answer.21. 𝒙𝟔
− 𝟕𝟐𝟗
.𝑥6
− 729 = (𝑥2
)3
− (9)3
= (𝑥2
− 9){(𝑥2)2
+ 9𝑥2
+ 81)}
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥4
+ 9𝑥2
+ 81)
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3){(𝑥4
+ 9𝑥2
+ 9𝑥2
+ 81) − (3𝑥)2}
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3){(𝑥2
+ 9)2
− (3𝑥)2}
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥2
+ 3𝑥 + 9)(𝑥2
− 3𝑥 + 9)
Answer.22. 𝒙𝟗
− 𝒚𝟗
.𝑥9
− 𝑦9
= (𝑥3)3
− (𝑦3)3
= (𝑥3
− 𝑦3){(𝑥3)2
+ 𝑥3
𝑦3
+ (𝑦3)2}
= {(𝑥)3
− (𝑦)3
}(𝑥6
+ 𝑥3
𝑦3
+ 𝑦6
)
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
)(𝑥6
+ 𝑥3
𝑦3
+ 𝑦6
)
Answer.23. (𝒂 + 𝒃)𝟑
− (𝒂 − 𝒃)𝟑
L𝑒𝑡 (𝑎 + 𝑏) = 𝑥 𝑎𝑛𝑑 (𝑎 − 𝑏) = 𝑦
.(𝑥3
− 𝑦3) = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
)
N𝑜𝑤, 𝑝𝑢𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑜𝑓 𝑥 𝑎𝑛𝑑 𝑦
. 𝑅𝐻𝑆 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
)
= {(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 − 𝑏)}{(𝑎 + 𝑏)2
+ (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 𝑏)2
}
= (𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏){𝑎2
+ 𝑏2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
+ 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏}
= (2𝑏)(3𝑎2
+ 𝑏2
)
S𝑜,
.(𝑎 + 𝑏)3
− (𝑎 − 𝑏)3
= 2𝑏(3𝑎2
+ 𝑏2
)
− 𝒃𝟑
− 𝟒𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙
8𝑎3
− 𝑏3
− 4𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 = (2𝑎)3
− (𝑏)3
− 2𝑥(2𝑎 − 𝑏)
= (2𝑎 − 𝑏)(4𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2) − 2𝑥(2𝑎 − 𝑏)
= (2𝑎 − 𝑏)(4𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 2𝑥)
Answer.25. 𝒂𝟑
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
+ 𝒃𝟑
− 𝟖
.𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
− 8 = {𝑎3
+ 𝑏3
+ 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)} − (2)3
= (𝑎 + 𝑏)3
− (2)3
= (𝑎 + 𝑏 − 2)[(𝑎 + 𝑏)2
+ 2(𝑎 + 𝑏) + 4]
Answer.26. 𝒂𝟑
−
𝟏
𝒂𝟑 − 𝟐𝒂 +
𝟐
𝒂
.𝑎3
−
1
𝑎3 − 2𝑎 +
2
𝑎
= (𝑎3
−
1
𝑎3
) − (2𝑎 +
2
𝑎
)
= (𝑎 −
1
𝑎
) (𝑎2
+ 1 +
1
𝑎2
) − 2 (𝑎 −
1
𝑎
)
= (𝑎 −
1
𝑎
) (𝑎2
+ 1 +
1
𝑎2 − 2)
= (𝑎 −
1
𝑎
) (𝑎2
− 1 +
1
𝑎2
)
Answer.27. 𝟐𝒂𝟑
+ 𝟏𝟔𝒃𝟑
− 𝟓𝒂 − 𝟏𝟎𝒃
2𝑎3
+ 16𝑏3
− 5𝑎 − 10𝑏 = 2(𝑎3
+ 8𝑏3
) − 5(𝑎 + 2𝑏)
= 2(𝑎 + 2𝑏)(𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 4𝑏2) − 5(𝑎 + 2𝑏)
= (𝑎 + 2𝑏){2(𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 4𝑏2) − 5}
= (𝑎 + 2𝑏)(2𝑎2
− 4𝑎𝑏 + 8𝑏2
− 5)
Answer.28. 𝒂𝟔
+ 𝒃𝟔
.𝑎6
+ 𝑏6
= (𝑎2)3
+ (𝑏2)3

= (𝑎2
+ 𝑏2
){(𝑎2)2
− 𝑎2
𝑏2
+ (𝑏2)2
}
= (𝑎2
+ 𝑏2
)(𝑎4
− 𝑎2
𝑏2
+ 𝑏4
)
Answer.29. 𝒂𝟏𝟐
− 𝒃𝟏𝟐
.𝑎12
− 𝑏12
= (𝑎6)2
− (𝑏6)2
= (𝑎6
− 𝑏6)(𝑎6
+ 𝑏6)
= [(𝑎3)2
−(𝑏3)2][(𝑎2)3
+ (𝑏2)3]
= (𝑎3
− 𝑏3)(𝑎3
+ 𝑏3)[(𝑎2
+ 𝑏2
)(𝑎4
− 𝑎2
𝑏2
+ 𝑏4
)]
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
)(𝑎2
+ 𝑏2
)(𝑎4
− 𝑎2
𝑏2
+ 𝑏4
)
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2
+ 𝑏2)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎4
− 𝑎2
𝑏2
+ 𝑏4)
Answer.30. 𝒙𝟔
− 𝟕𝒙𝟑
− 𝟖
L𝑒𝑡 𝑥3
= 𝑎
.𝑥6
− 7𝑥3
− 8 = 𝑎2
− 7𝑎 − 8
= 𝑎2
− 8𝑎 + 𝑎 − 8
= 𝑎(𝑎 − 8) + 1(𝑎 − 8)
= (𝑎 + 1)(𝑎 − 8)
S𝑜, 𝑥6
− 7𝑥3
− 8 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 8)
= (𝑥3
+ 1)(𝑥3
− 8) [∵ 𝑎 = 𝑥3
]
= [(𝑥)3
+ (1)3][(𝑥)3
− (2)3
]
= (𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 𝑥 + 4)
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 4)
Answer.31. 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟕
.𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 + 7 = (𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 1) + 8
= [𝑥3
− 13
− 3𝑥(𝑥 − 1)] + (2)3
= (𝑥 − 1)3
+ (2)3
= [(𝑥 − 1) + 2][(𝑥 − 1)2
− (𝑥 − 1) × (2) + (2)2
]
= (𝑥 + 1)[(𝑥2
− 2𝑥 + 1) − 2𝑥 + 2 + 4]
= (𝑥 + 1)(𝑥2
− 4𝑥 + 7)
Answer.32. (𝒙 + 𝟏)𝟑
+ (𝒙 − 𝟏)𝟑
.(𝑥 + 1)3
+ (𝑥 − 1)3
= [(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)][(𝑥 + 1)2
− (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2]
= (2𝑥)[(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) − 𝑥2
+ 1 + (𝑥2
− 2𝑥 + 1)]
= 2𝑥[𝑥2
+ 2𝑥 + 1 − 𝑥2
+ 1 + 𝑥2
+ 1 − 2𝑥]
= 2𝑥(𝑥2
+ 3)
Answer.33. (𝟐𝒂 + 𝟏)𝟑
+ (𝒂 − 𝟏)𝟑
.(2𝑎 + 1)3
+ (𝑎 − 1)3
= [(2𝑎 + 1) + (𝑎 − 1)][(2𝑎 + 1)2
− (2𝑎 + 1)(𝑎 − 1) + (𝑎 − 1)2]
= (3𝑎)[(4𝑎2
+ 4𝑎 + 1) − 2𝑎2
+ 2𝑎 − 𝑎 + 1 + (𝑎2
+ 1 − 2𝑎)]
= 3𝑎[4𝑎2
+ 4𝑎 + 1 − 2𝑎2
+ 𝑎 + 1 + 𝑎2
+ 1 − 2𝑎]
= 3𝑎(3𝑎2
+ 3𝑎 + 3)
= 9𝑎(𝑎2
+ 𝑎 + 1)
Answer.34. 𝟖(𝒙 + 𝒚)𝟑
− 𝟐𝟕(𝒙 − 𝒚)𝟑
8(𝑥 + 𝑦)3
− 27(𝑥 − 𝑦)3
= {2(𝑥 + 𝑦)}3
− {3(𝑥 − 𝑦)}3
= {2(𝑥 + 𝑦) − 3(𝑥 − 𝑦)}[{2(𝑥 + 𝑦)}2
+ {2(𝑥 + 𝑦)}{3(𝑥 − 𝑦)} +
{3(𝑥 − 𝑦)}2
]
= [2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 + 3𝑦][{4(𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2)} + 6(𝑥2
− 𝑦2) +
{9(𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
)}]
= (−𝑥 + 5𝑦)[4𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 4𝑦2
+ 6𝑥2
− 6𝑦2
+ 9𝑥2
− 18𝑥𝑦 + 9𝑦2
]
= (−𝑥 + 5𝑦)(19𝑥2
− 10𝑥𝑦 + 7𝑦2)

Answer.35. (𝒙 + 𝟐)𝟑
+ (𝒙 − 𝟐)𝟑
.(𝑥 + 2)3
+ (𝑥 − 2)3
= [(𝑥 + 2) + (𝑥 − 2)][(𝑥 + 2)2
− (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + (𝑥 − 2)2]
= (2𝑥)[(𝑥2
+ 4𝑥 + 4) − 𝑥2
+ 4 + (𝑥2
− 4𝑥 + 4)]
= 2𝑥[𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 𝑥2
+ 4 + 𝑥2
− 4𝑥 + 4]
= 2𝑥(𝑥2
+ 12)
Answer.36. (𝒙 + 𝟐)𝟑
− (𝒙 − 𝟐)𝟑
.(𝑥 + 2)3
− (𝑥 − 2)3
= [(𝑥 + 2) − (𝑥 − 2)][(𝑥 + 2)2
+ (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + (𝑥 − 2)2]
= (4)[(𝑥2
+ 4𝑥 + 4) + 𝑥2
− 4 + (𝑥2
− 4𝑥 + 4)]
= 4[𝑥2
+ 4𝑥 + 4 + 𝑥2
− 4 + 𝑥2
− 4𝑥 + 4]
= 4(3𝑥2
+ 4)
Answer.37. Prove that :
𝟎.𝟖𝟓×𝟎.𝟖𝟓×𝟎.𝟖𝟓+𝟎.𝟏𝟓×𝟎.𝟏𝟓×𝟎.𝟏𝟓
𝟎.𝟖𝟓×𝟎.𝟖𝟓−𝟎.𝟖𝟓×𝟎.𝟏𝟓+𝟎.𝟏𝟓×𝟎.𝟏𝟓
= 𝟏
L.H.S.⇒
0.85×0.85×0.85+0.15×0.15×0.15
0.85×0.85−0.85×0.15+0.15×0.15
=
(0.85)3+(0.15)3
0.85×0.85−0.85×0.15+0.15×0.15
=
(0.85+0.15){(0.85)2−0.85×0.15+(0.15)2
(0.85)2−0.85×0.15+(0.15)2
= (0.85 + 0.15)
= 1
= R.H.S
H𝑒𝑛𝑐𝑒, 𝐿. 𝐻. 𝑆 = 𝑅. 𝐻. 𝑆
Answer.38. Prove that :
𝟓𝟗×𝟓𝟗×𝟓𝟗−𝟗×𝟗×𝟗
𝟓𝟗×𝟓𝟗+𝟓𝟗×𝟗+𝟗×𝟗
= 𝟓𝟎
L.H.S.⇒
59×59×59−9×9×9
59×59+59×9+9×9
=
(59)3
−(9)3
59×59+59×9+9×9
=
(59−9){(59)2+59×9+(9)2}
59×59+59×9+9×9
= (59 − 9)
= 50
= R.H.S
H𝑒𝑛𝑐𝑒, 𝐿. 𝐻. 𝑆 = 𝑅. 𝐻. 𝑆

EXERCISE – 3G
Formula Used : (𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑
+ 𝒛𝟑
− 𝟑𝒙𝒚𝒛) = (𝒙 + 𝒚 + 𝒛)(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
− 𝒙𝒚 − 𝒚𝒛 − 𝒛𝒙)
Answer.1. (𝒙 + 𝒚 − 𝒛)(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙)
.(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥) = {𝑥 + 𝑦 + (−𝑧)}{𝑥2
+ 𝑦2
+ (−𝑧)2
− 𝑥𝑦 − 𝑦(−𝑧) − (−𝑧)𝑥}
= {𝑥3
+ 𝑦3
+ (−𝑧)3
− 3𝑥𝑦(−𝑧)}
= (𝑥3
+ 𝑦3
− 𝑧3
+ 3𝑥𝑦𝑧)
Answer.2. (𝒙 − 𝒚 − 𝒛)(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
+ 𝒙𝒚 − 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙)
.(𝑥 − 𝑦 − 𝑧)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥) = {𝑥 + (−𝑦) + (−𝑧)}{𝑥2
+ (−𝑦)2
+ (−𝑧)2
− 𝑥(−𝑦) − (−𝑦)(−𝑧) −
(−𝑧)𝑥}
= {𝑥3
+ (−𝑦)3
+ (−𝑧)3
− 3𝑥(−𝑦)(−𝑧)}
= (𝑥3
− 𝑦3
− 𝑧3
− 3𝑥𝑦𝑧)
Answer.3. (𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑)(𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝟔𝒚 − 𝟑𝒙 + 𝟗)
.(𝑥 − 2𝑦 + 3)(𝑥2
+ 4𝑦2
+ 9 + 2𝑥𝑦 + 6𝑦 − 3𝑥) = {𝑥 + (−2𝑦) + 3}{𝑥2
+ (−2𝑦)2
+ 32
− 𝑥(−2𝑦) −
(−2𝑦)(3) − 3(𝑥)}
= {𝑥3
+ (−2𝑦)3
+ (3)3
− 3𝑥(−2𝑦)(3)}
= (𝑥3
− 8𝑦3
+ 27 + 18𝑥𝑦)
Answer.4. (𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟒)(𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚𝟐
+ 𝟏𝟓𝒙𝒚 + 𝟐𝟎𝒚 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔)
.(3𝑥 − 5𝑦 + 4)(9𝑥2
+ 25𝑦2
+ 15𝑥𝑦 + 20𝑦 − 12𝑥 + 16) = {3𝑥 + (−5𝑦) + 4}{(3𝑥)2
+ (−5𝑦)2
+ 42
− 3𝑥(−5𝑦) −
(−5𝑦)(4) − 4(3𝑥)}
= {(3𝑥)3
+ (−5𝑦)3
+ (4)3
− 3(3𝑥)(−5𝑦)(4)}
= (27𝑥3
− 125𝑦3
+ 64 + 180𝑥𝑦)
Answer.5. 𝟏𝟐𝟓𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝟔𝟒𝒄𝟑
− 𝟔𝟎𝒂𝒃𝒄
125𝑎3
+ 𝑏3
+ 64𝑐3
− 60𝑎𝑏𝑐 = (5𝑎)3
+ (𝑏)3
+ (4𝑐)3
− 3 × (5𝑎) × (𝑏) × (4𝑐)
= (5𝑎 + 𝑏 + 4𝑐)[(5𝑎)2
+ (𝑏)2
+ (4𝑐)2
− (5𝑎)(𝑏) − (𝑏)(4𝑐) − (4𝑐)(5𝑎)]
= (5𝑎 + 𝑏 + 4𝑐)(25𝑎2
+ 𝑏2
+ 16𝑐2
− 5𝑎𝑏 − 4𝑏𝑐 − 20𝑐𝑎)
Answer.6. 𝒂𝟑
+ 𝟖𝒃𝟑
+ 𝟔𝟒𝒄𝟑
− 𝟐𝟒𝒂𝒃𝒄
𝑎3
+ 8𝑏3
+ 64𝑐3
− 24𝑎𝑏𝑐 = (𝑎)3
+ (2𝑏)3
+ (4𝑐)3
− 3 × (𝑎) × (2𝑏) × (4𝑐)
= (𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐)[(𝑎)2
+ (2𝑏)2
+ (4𝑐)2
− (𝑎)(2𝑏) − (2𝑏)(4𝑐) − (4𝑐)(𝑎)]
= (𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐)(𝑎2
+ 4𝑏2
+ 16𝑐2
− 2𝑎𝑏 − 8𝑏𝑐 − 4𝑐𝑎)
Answer.7. 𝟏 + 𝒃𝟑
+ 𝟖𝒄𝟑
− 𝟔𝒂𝒃𝒄
1 + 𝑏3
+ 8𝑐3
− 6𝑎𝑏𝑐 = (1)3
+ (𝑏)3
+ (2𝑐)3
− 3 × (1) × (𝑏) × (2𝑐)
= (1 + 𝑏 + 2𝑐)[(1)2
+ (𝑏)2
+ (2𝑐)2
− (1)(𝑏) − (𝑏)(2𝑐) − (2𝑐)(1)]
= (1 + 𝑏 + 2𝑐)(1 + 𝑏2
+ 4𝑐2
− 𝑏 − 2𝑏 − 2𝑐)
Answer.8. 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟕𝒃𝟑
+ 𝟖𝒄𝟑
− 𝟏𝟎𝟖𝒂𝒃𝒄
216 + 27𝑏3
+ 8𝑐3
− 108𝑎𝑏𝑐 = (6)3
+ (3𝑏)3
+ (2𝑐)3
− 3 × (6) × (3𝑏) × (2𝑐)
= (6 + 3𝑏 + 2𝑐)[(6)2
+ (3𝑏)2
+ (2𝑐)2
− (6)(3𝑏) − (3𝑏)(2𝑐) − (2𝑐)(6)]
= (6 + 3𝑏 + 2𝑐)(36 + 9𝑏2
+ 4𝑐2
− 18𝑏 − 6𝑏𝑐 − 12𝑐)
Answer.9. 𝟐𝟕𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
+ 𝟖𝒄𝟑
+ 𝟏𝟖𝒂𝒃𝒄
27𝑎3
− 𝑏3
+ 8𝑐3
+ 18𝑎𝑏𝑐 = (3𝑎)3
+ (−𝑏)3
+ (2𝑐)3
− 3 × (3𝑎) × (−𝑏) × (2𝑐)
= (3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐)[(3𝑎)2
+ (−𝑏)2
+ (2𝑐)2
− (3𝑎)(−𝑏) − (−𝑏)(2𝑐) − (2𝑐)(3𝑎)]
= (3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐)(9𝑎2
+ 𝑏2
+ 4𝑐2
+ 3𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 − 6𝑐𝑎)

+ 𝟏𝟐𝟓𝒃𝟑
− 𝟔𝟒𝒄𝟑
+ 𝟏𝟐𝟎𝒂𝒃𝒄
8𝑎3
+ 125𝑏3
− 64𝑐3
+ 120𝑎𝑏𝑐 = (2𝑎)3
+ (5𝑏)3
+ (−4𝑐)3
− 3 × (2𝑎) × (5𝑏) × (−4𝑐)
= (2𝑎 + 5𝑏 − 4𝑐)[(2𝑎)2
+ (5𝑏)2
+ (−4𝑐)2
− (2𝑎)(5𝑏) − (5𝑏)(−4𝑐) − (−4𝑐)(2𝑎)]
= (2𝑎 + 5𝑏 − 4𝑐)(4𝑎2
+ 25𝑏2
+ 16𝑐2
− 10𝑎𝑏 + 20𝑏𝑐 + 8𝑐𝑎)
Answer.11. 𝟖 − 𝟐𝟕𝒃𝟑
− 𝟑𝟒𝟑𝒄𝟑
− 𝟏𝟐𝟔𝒂𝒃𝒄
8 − 27𝑏3
− 343𝑐3
− 126𝑎𝑏𝑐 = (2)3
+ (−3𝑏)3
+ (−7𝑐)3
− 3 × (2) × (−3𝑏) × (−7𝑐)
= (2 − 3𝑏 − 7𝑐)[(2)2
+ (−3𝑏)2
+ (−7𝑐)2
− (2)(−3𝑏) − (−3𝑏)(−7𝑐) − (−7𝑐)(2)]
= (2 − 3𝑏 − 7𝑐)(4 + 9𝑏2
+ 49𝑐2
+ 6𝑏 − 21𝑏𝑐 + 14𝑐)
Answer.12. 𝟏𝟐𝟓 − 𝟖𝒙𝟑
− 𝟐𝟕𝒚𝟑
− 𝟗𝟎𝒙𝒚
125 − 8𝑥3
− 27𝑦3
− 90𝑥𝑦 = (5)3
+ (−2𝑥)3
+ (−3𝑦)3
− 3 × (5) × (−2𝑥) × (−3𝑦)
= (5 − 2𝑥 − 3𝑦)[(5)2
+ (−2𝑥)2
+ (−3𝑦)2
− (5)(−2𝑥) − (−2𝑥)(−3𝑦) − (−3𝑦)(5)]
= (5 − 2𝑥 − 3𝑦)(25 + 4𝑥2
+ 9𝑦2
+ 10𝑥 − 6𝑥𝑦 + 15𝑦)
Answer.13. 𝟐√𝟐𝒂𝟑
+ 𝟏𝟔√𝟐𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
− 𝟏𝟐𝒂𝒃𝒄
2√2𝑎3
+ 16√2𝑏3
+ 𝑐3
− 12𝑎𝑏𝑐 = (√2𝑎)
3
+ (2√2𝑏)
3
+ (𝑐)3
− 3(√2𝑎)(2√2𝑏)(𝑐)
= (√2𝑎 + 2√2𝑏 + 𝑐) [(√2𝑎)
2
+ (2√2𝑏)
2
+ (𝑐)3
− (√2𝑎)(2√2𝑏) − (2√2𝑏)𝑐 − 𝑐(√2𝑎)]
= (√2𝑎 + 2√2𝑏 + 𝑐)(2𝑎2
+ 8𝑏2
+ 𝑐2
− 4𝑎𝑏 − 2√2𝑏𝑐 − √2𝑎𝑐)
Answer.14. 𝟐𝟕𝒙𝟑
− 𝒚𝟑
− 𝒛𝟑
− 𝟗𝒙𝒚𝒛
27𝑥3
− 𝑦3
− 𝑧3
− 9𝑥𝑦𝑧 = (3𝑥)3
+ (−𝑦)3
+ (−𝑧)3
− 3 × (3𝑥) × (−𝑦) × (−𝑧)
= (3𝑥 − 𝑦 − 𝑧)[(3𝑥)2
+ (−𝑦)2
+ (−𝑧)2
− (3𝑥)(−𝑦) − (−𝑦)(−𝑧) − (−𝑧)(3𝑥)]
= (3𝑥 − 𝑦 − 𝑧)(9𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 3𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 3𝑧𝑥)
Answer.15. 𝟐√𝟐𝒂𝟑
+ 𝟑√𝟑𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
− 𝟑√𝟔𝒂𝒃𝒄
2√2𝑎3
+ 3√3𝑏3
+ 𝑐3
− 3√6𝑎𝑏𝑐 = (√2𝑎)
3
+ (√3𝑏)
3
+ (𝑐)3
− 3(√2𝑎)(√3𝑏)(𝑐)
= (√2𝑎 + √3𝑏 + 𝑐) [(√2𝑎)
2
+ (√3𝑏)
2
+ (𝑐)3
− (√2𝑎)(√3𝑏) − (√3𝑏)𝑐 − 𝑐(√2𝑎)]
= (√2𝑎 + √3𝑏 + 𝑐)(2𝑎2
+ 9𝑏2
+ 𝑐2
− √6𝑎𝑏 − √3𝑏𝑐 − √2𝑎𝑐)
Answer.16. 𝟑√𝟑𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
− 𝟓√𝟓𝒄𝟑
− 𝟑√𝟏𝟓𝒂𝒃𝒄
3√3𝑎3
− 𝑏3
− 5√5𝑐3
− 3√15𝑎𝑏𝑐 = (√3𝑎)
3
+ (−𝑏)3
+ (−√5𝑐)
3
− 3(√3𝑎)(−𝑏)(−√5𝑐)
= (√3𝑎 − 𝑏 − √5𝑐) [(√3𝑎)
2
+ (−𝑏)2
+ (−√5𝑐)
3
− (√3𝑎)(−𝑏) − (−𝑏)(−√5𝑐) − (−√5𝑐)(√3𝑎)]
= (√3𝑎 − 𝑏 − √5𝑐)(3𝑎2
+ 𝑏2
+ 5𝑐2
+ √3𝑎𝑏 − √5𝑏𝑐 + √15𝑎𝑐)
Answer.17. (𝒂 − 𝒃)𝟑
+ (𝒃 − 𝒄)𝟑
+ (𝒄 − 𝒂)𝟑
𝐿𝑒𝑡(𝑎 − 𝑏) = 𝑥, (𝑏 − 𝑐) = 𝑦 𝑎𝑛𝑑 (𝑐 − 𝑎) = 𝑧,
(𝑎 − 𝑏)3
+ (𝑏 − 𝑐)3
+ (𝑐 − 𝑎)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) + (𝑐 − 𝑎) = 0
= 3𝑥𝑦𝑧 [∵ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0 ⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
) = 3𝑥𝑦𝑧]
= 3(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑎)
Answer.18. (𝒂 − 𝟑𝒃)𝟑
+ (𝟑𝒃 − 𝒄)𝟑
+ (𝒄 − 𝒂)𝟑
𝐿𝑒𝑡(𝑎 − 3𝑏) = 𝑥, (3𝑏 − 𝑐) = 𝑦 𝑎𝑛𝑑 (𝑐 − 𝑎) = 𝑧,
(𝑎 − 3𝑏)3
+ (3𝑏 − 𝑐)3
+ (𝑐 − 𝑎)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑎 − 3𝑏) + (3𝑏 − 𝑐) + (𝑐 − 𝑎) = 0
= 3𝑥𝑦𝑧 [∵ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0 ⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3) = 3𝑥𝑦𝑧]
= 3(𝑎 − 3𝑏)(3𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑎)

Answer.19. (𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)𝟑
+ (𝟐𝒃 − 𝟓𝒄)𝟑
+ (𝟓𝒄 − 𝟑𝒂)𝟑
𝐿𝑒𝑡(3𝑎 − 2𝑏) = 𝑥, (2𝑏 − 5𝑐) = 𝑦 𝑎𝑛𝑑 (5𝑐 − 3𝑎) = 𝑧,
(3𝑎 − 2𝑏)3
+ (2𝑏 − 5𝑐)3
+ (5𝑐 − 3𝑎)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (3𝑎 − 2𝑏) + (2𝑏 − 5𝑐) + (5𝑐 − 3𝑎) = 0
= 3𝑥𝑦𝑧 [∵ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0 ⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3) = 3𝑥𝑦𝑧]
= 3(3𝑎 − 2𝑏)(2𝑏 − 5𝑐)(5𝑐 − 3𝑎)
Answer.20. (𝟓𝒂 − 𝟕𝒃)𝟑
+ (𝟕𝒃 − 𝟗𝒄)𝟑
+ (𝟗𝒄 − 𝟓𝒂)𝟑
𝐿𝑒𝑡(5𝑎 − 7𝑏) = 𝑥, (7𝑏 − 9𝑐) = 𝑦 𝑎𝑛𝑑 (9𝑐 − 5𝑎) = 𝑧,
(5𝑎 − 7𝑏)3
+ (7𝑏 − 9𝑐)3
+ (9𝑐 − 5𝑎)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (5𝑎 − 7𝑏) + (7𝑏 − 9𝑐) + (9𝑐 − 5𝑎) = 0
= 3𝑥𝑦𝑧 [∵ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0 ⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3) = 3𝑥𝑦𝑧]
= 3(5𝑎 − 7𝑏)(7𝑏 − 9𝑐)(9𝑐 − 5𝑎)
Answer.21. 𝒂𝟑(𝒃 − 𝒄)𝟑
+ 𝒃𝟑(𝒄 − 𝒂)𝟑
+ 𝒄𝟑(𝒂 − 𝒃)𝟑
𝐿𝑒𝑡𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑥, 𝑏(𝑐 − 𝑎) = 𝑦 𝑎𝑛𝑑 𝑐(𝑎 − 𝑏) = 𝑧,
[𝑎(𝑏 − 𝑐)]3
+ [𝑏(𝑐 − 𝑎)]3
+ [𝑐(𝑎 − 𝑏)]3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 𝑎(𝑏 − 𝑐) + 𝑏(𝑐 − 𝑎) + 𝑐(𝑎 − 𝑏) = 0
= 3𝑥𝑦𝑧 [∵ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0 ⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
) = 3𝑥𝑦𝑧]
= 3𝑎𝑏𝑐(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑎)(𝑎 − 𝑏)
Answer.22.
(i) (−𝟏𝟐)𝟑
+ 𝟕𝟑
+ 𝟓𝟑
𝐿𝑒𝑡 𝑥 = (−12), 𝑦 = 7 𝑎𝑛𝑑 𝑧 = 5
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0
⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
) = 3𝑥𝑦𝑧
⇒ (−12)3
+ 73
+ 53
= 3 × (−12) × (7) × (5)
⇒ (−12)3
+ 73
+ 53
= −108
(ii) (𝟐𝟖)𝟑
+ (−𝟏𝟓)𝟑
+ (−𝟏𝟑)𝟑
𝐿𝑒𝑡 𝑥 = 28 , 𝑦 = (−15) 𝑎𝑛𝑑 𝑧 = (−13)
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 0
⇒ (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
) = 3𝑥𝑦𝑧
⇒ (28)3
+ (−15)3
+ (−13)3
= 3 × (28) × (−15) × (−13)
⇒ (28)3
+ (−15)3
+ (−13)3
= 16380
Answer.23. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑
− 𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
− 𝒄𝟑
= 𝟑(𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄)(𝒄 + 𝒂)
𝐿. 𝐻. 𝑆 ⇒ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
− 𝑎3
− 𝑏3
− 𝑐3
= [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐]3
− 𝑎3
− 𝑏3
− 𝑐3
= (𝑎 + 𝑏)3 + 𝑐3 + 3(𝑎 + 𝑏)𝑐 × [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐] − 𝑎3 − 𝑏3
− 𝑐3
= 𝑎3 + 𝑏3
+ 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) + 𝑐3 + 3(𝑎 + 𝑏)𝑐 × [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐] − 𝑎3 − 𝑏3
− 𝑐3
= 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) + 3(𝑎 + 𝑏)𝑐 × [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐]
= 3(𝑎 + 𝑏)[𝑎𝑏 + 𝑐(𝑎 + 𝑏) + 𝑐2]
= 3(𝑎 + 𝑏)[𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐2]
= 3(𝑎 + b)[𝑎(𝑏 + 𝑐) + 𝑐(𝑏 + 𝑐)]
= 3(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑐)
= 𝑅. 𝐻. 𝑆
Answer.24. 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 𝑎𝑛𝑑 𝑎, 𝑏 , 𝑐 𝑎𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑙 𝑛𝑜𝑛 − 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝑎2
𝑏𝑐
+
𝑏2
𝑎𝑐
+
𝑐2
𝑎𝑏
= 3
𝐿. 𝐻. 𝑆 ⇒
(𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3)
𝑎𝑏𝑐

⇒
3𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐
[∵ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0 ⇒ (𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
) = 3𝑎𝑏𝑐]
⇒ 3
⇒ 𝑅. 𝐻. 𝑆
Answer.25. 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9 𝑎𝑛𝑑 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 35
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 9 ⇒ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 81
⇒ (𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2) + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) = 81
⇒ 35 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) = 81
⇒ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) = 23
⸫ (𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎)
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)[(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)]
= 9 × (35 − 23)
= 9 × 12
= 108

MULTIPLE CHOICE QUESTION (MCQ)
Answer.1. 𝐿𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 𝑘𝑥
𝑆𝑖𝑛𝑐𝑒, (𝑥 + 1) 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
f(−1) = 0
⇒2(−1)2
+ 𝑘(−1) = 0
⇒ 2 − 𝑘 = 0
⇒ 𝑘 = 2
𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕 𝑶𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ (𝒄)
Answer.2. (249)2
−(248)2
= (249 − 248)(249 + 248)
= (1)(497)
= 497
𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕 𝑶𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ (𝒅)
Answer.3.
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= −1 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
= −𝑥𝑦
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥𝑦 = 0
(𝑥3
− 𝑦3
) = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥𝑦)
= (𝑥 − 𝑦) × 0
= 0
Answer.4. 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎)
= 0 × (𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎) [∵ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0]
= 0
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 = 0
⸫ 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
= 3𝑎𝑏𝑐
Answer.5. (3𝑥 +
1
2
) (3𝑥 −
1
2
) = 9𝑥2
− 𝑝
{(3𝑥)2
− (
1
2
)
2
} = 9𝑥2
− 𝑝
(9𝑥2
−
1
4
) = 9𝑥2
− 𝑝
𝑆𝑜, 𝑝 =
1
4
Answer.6. (𝑥 + 3)3
= 𝑥3
+ 33
+ 3 × (𝑥2) × 3 + 3 × 𝑥 × (32
)
= 𝑥3
+ 27 + 9𝑥2
+ 27𝑥
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑥 = 2
Answer.7. (𝑥 + 𝑦)3
− (𝑥3
+ 𝑦3)
= (𝑥 + 𝑦)3
− {(𝑥 + 𝑦)(𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
)}
= (𝑥 + 𝑦){(𝑥 + 𝑦)2
− (𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
)}
= (𝑥 + 𝑦){𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 𝑦2}
= (𝑥 + 𝑦)(3𝑥𝑦)
𝑆𝑜, 3𝑥𝑦 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟.

Answer.8. (25𝑥2
− 1) + (1 + 5𝑥)2
= 25𝑥2
− 1 + 1 + 25𝑥2
+ 10𝑥
= 50𝑥2
+ 10𝑥
= 10𝑥(5𝑥 + 1)
𝑆𝑜, 10𝑥 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟.
Answer.9. 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 20𝑥 + 5𝑘
𝑆𝑖𝑛𝑐𝑒, (𝑥 + 5) 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟.
𝑝(−5) = 0
⇒(−5)3
− 20(−5) + 5𝑘 = 0
⇒−125 + 100 + 5𝑘 = 0
⇒5𝑘 = 25
⇒𝑘 = 5
𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕 𝑶𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ (𝒃)
Answer.10. 𝐿𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 10𝑥2
+ 𝑚𝑥 + 𝑛
(𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥 = −2
(𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1
𝑁𝑜𝑤, 𝑓(−2) = 0 𝑎𝑛𝑑 𝑓(1) = 0 [∵ (𝑥 + 2) 𝑎𝑛𝑑 (𝑥 − 1) 𝑎𝑟𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠.]
𝑆𝑜, 𝑓(−2) = 0
⇒ (−2)3
+ 10 × (−2)2
+ (−2)𝑚 + 𝑛 = 0
⇒ −8 + 40 − 2𝑚 + 𝑛 = 0
⇒ 2𝑚 − 𝑛 = 32 … (𝒊)
𝐴𝑛𝑑, 𝑓(1) = 0
⇒(1)3
+ 10 × (1)2
+ 𝑚 + 𝑛 = 0
⇒1 + 11 + 𝑚 + 𝑛 = 0
⇒𝑚 + 𝑛 = −11 … (𝒊𝒊)
𝐴𝑑𝑑𝑖𝑛𝑔 (𝑖) 𝑎𝑛𝑑 (𝑖𝑖),
⇒2𝑚 − 𝑛 + 𝑚 + 𝑛 = 32 − 11
⇒3𝑚 = 21
⇒𝑚 = 7 … (𝒊𝒊𝒊)
𝑼𝒔𝒊𝒏𝒈 (𝒊𝒊) 𝒂𝒏𝒅 (𝒊𝒊𝒊),
⇒7 + 𝑛 = −11
⇒𝑛 = −18
∴ 𝑚 = 7 𝑎𝑛𝑑 𝑛 = −18
Answer.11. (𝟏𝟎𝟒 × 𝟗𝟔) = ?
(104 × 96) = (100 + 4) × (100 − 4)
= (100)2
− (4)2
= 10000 − 16
= 9984
Answer.12. (𝟑𝟎𝟓 × 𝟑𝟎𝟖) = ?
(305 × 308) = 305 × (300 + 8)
= (305 × 300) + (305 × 8)
= (91500 + 2440)
= 93940
Answer.13. (𝟐𝟎𝟕 × 𝟏𝟗𝟑) = ?
(207 × 193) = 207 × (200 − 7)

= (207 × 200) − (207 × 7)
= (41400 − 1449)
= 39951
+ 𝒃𝟐
+ 𝟒𝒂𝒃 + 𝟖𝒂 + 𝟒𝒃 + 𝟒
4𝑎2
+ 𝑏2
+ 4𝑎𝑏 + 8𝑎 + 4𝑏 + 4 = (2𝑎)2
+ (𝑏)2
+ (2)2
+ 2(2𝑎)(𝑏) + 2(𝑏)(2) + 2(2)(2𝑎)
= (2𝑎 + 𝑏 + 2)2
𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕 𝑶𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ (𝒂)
Answer.15. (𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟐𝟏) = ?
(𝑥2
− 4𝑥 − 21) = 𝑥2
− 7𝑥 + 3𝑥 − 21
= 𝑥(𝑥 − 7) + 3(𝑥 − 7)
= (𝑥 − 7)(𝑥 + 3)
Answer.16. (𝟒𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟑) = ?
(4𝑥2
+ 4𝑥 − 3) = 4𝑥2
+ 6𝑥 − 2𝑥 − 3
= 2𝑥(2𝑥 + 3) − 1(2𝑥 + 3)
= (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 1)
+ 𝟏𝟕𝒙 + 𝟓 = ?
6𝑥2
+ 17𝑥 + 5 = 6𝑥2
+ 15𝑥 + 2𝑥 + 5
= 3𝑥(2𝑥 + 5) + 1(2𝑥 + 5)
= (2𝑥 + 5)(3𝑥 + 1)
Answer.18. 𝐿𝑒𝑡 𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑓(𝑥)
𝑓(−1) = {(−1)3
+ 2(−1)2
− (−1) − 2}
= (−1 + 2 + 1 − 2)
= 0
Answer.19. 𝟑𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐 = ?
3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 𝑥2(3𝑥 + 2) + 1(3𝑥 + 2)
= (3𝑥 + 2)(𝑥2
+ 1)
Answer.20. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
⇒𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 = 0
⇒𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
= 3𝑎𝑏𝑐
(
𝑎2
𝑏𝑐
+
𝑏2
𝑎𝑐
+
𝑐2
𝑎𝑏
) =
1
𝑎𝑏𝑐
(𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3)
=
1
𝑎𝑏𝑐
(3𝑎𝑏𝑐)
= 3
Answer.21. (𝑥3
+ 𝑦3
+ 𝑧3
− 3𝑥𝑦𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 − 𝑧𝑥)
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑥 + 2𝑧𝑥 − 3𝑥𝑦 − 3𝑦𝑧 − 3𝑧𝑥)

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)[(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑥 + 2𝑧𝑥) − 3(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥)]
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)[(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2
− 3(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥)]
= 9 × [(9)2
− 3 × (23)]
= 9 × (81 − 69)
= 9 × 12
= 108
𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕 𝑶𝒑𝒕𝒊𝒐𝒏 ∶ (𝒂)
Answer.22. (
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
) = −1
⇒
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
= −1
⇒
𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
= −1
⇒𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑎𝑏 = 0
(𝑎3
− 𝑏3) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
= (𝑎 − 𝑏) × 0
= 0

RS Aggarwal Class 9 Solutions Chapter-3.pdf

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Ähnlich wie RS Aggarwal Class 9 Solutions Chapter-3.pdf

Ähnlich wie RS Aggarwal Class 9 Solutions Chapter-3.pdf (20)

RS Aggarwal Class 9 Solutions Chapter-3.pdf