Ejercicios de la ecuación de la circunferencia

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1. (2.a)Hallarlaecuaciónde la circunferenciaque pasapor los puntos: A = ( 0,4), B = ( 1, 2) y C = (3, 2).
Primero, hallamos los puntos medios R y S.

     0;4 1;2 1;6 1
;3
2 2 2 2
A B
R
  
     
 

     
 
1;2 3;2 4;4
2;2
2 2 2
B C
S

   
: , :Hallo los vectores de posición a y b así
     1;2 0;4 1; 2a AB B A      
     3;2 1;2 2; 0b BC C B     
, : ,
( ) :
Luego hallo los vectores perpendiculares a y b llamados
también vectores normales n así
 
   
   
1; 2 2;1
2;0 0;2
a a
b b


   
  
Teniendo en cuenta éstos vectores normales n , construimos las rectas L1 y L2 , así:
 L1 : R + t ( n ) , t Є
L1:
1
;3
2
 
 
 
+ t  2;1
 L2 : S + s ( n ) , s Є
L2 :  2;2 + s  0;2
Luego, hallo P0 el punto de intersección de L1  L2 .
2. (3. a) Hallarlospuntosde intersecciónde lacircunferenciaconcentro en el origen y de radio 5 con
la recta L1 : x – y + 5 = 0 .
 Según los datos, graficamos la circunferencia y luego graficamos la recta L1 , teniendo en
cuenta sus interceptos con los ejes X e Y.

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Intercepto con el EJE X
( -5 ; 0)
Intercepto con el EJE Y
( 0 ; 5)
3. (5 . b ) Hallarla ecuaciónde la circunferenciacon centro en el EJE X y que pasa por (4, 6) y (1, 3).
Según datos del enunciado, sea O = ( x ; 0 ) el punto central de la circunferencia, y que pasa
por los puntos: A = (4 ; 6) y B = (1 ; 3), entonces, sabemos que : la distancia del punto A al
punto O (centro de la circunferencia) mide = que la distancia del punto B al punto O . Así:
d( A ; O ) = d( B ; O )
AO BO
   O A O B  
       ;0 4;6 ;0 1;3x x  
   4 ; 6 1 ; 3x x   
       
2 2 2 2
4 6 1 3x x     
2 2
2 *4 16 36 2 *1 1 9x x x x      
6 10 52x  
6 42x  
7x 
Entonces, O = ( 7 ; 0 )
Luego, hallamos el radio. Así:
Radio = d( A ; O )
= AO
=    7;0 4;6

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=  3 ; 6
=    
2 2
3 6 
= 9 36
Radio = 45
Luego:
C : (x - 7)2
+ (y – 0 )2
= 45
4. (5 . f ) Hallarla ecuaciónde lacircunferenciade radio50 y corta enel EJE X una cuerda de longitud
igual a 28 unidades, y que pasa por ( 0 ; 8).
Sea:
 El punto O el centro de la circunferencia,
 El punto A = ( 0 ; 8 )
 M el punto medio de la cuerda DE
 DE la cuerda que se intersecta en el EJE X
 Entonces trazamos la mediatriz OM (que pasa por el centro de la circunferencia
O ) bisecando a la cuerda DE
 Si : O D = 50 unidades
DM = 14 unidades
Entonces: OM = 48 unidades (por teorema de Pitágoras)
 Luego, En el AOB .
Si : OA = 50 unidades
OB = 40 unidades.
Entonces AB = 30 unidades.
Por lo tanto: C1 : ( x - 30 )2
+ ( y - 48 )2
= 2 500 ó
C2 : ( x + 30 )2
+ ( y - 48 )2
= 2 500
5. (14) Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia 2 2
6 4 12 0x y x y     que
biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y + x - 6 = 0 .
 Hallo “O “ (el punto central de la circunferencia).
C1 : x 2
+ y 2
- 6x + 4 y - 12 = 0

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C1 : ( x2
- 6 x + 32
) + ( y2
+ 4y + 22
) – 12 – 9 – 4 = 0
C1 : ( x – 3 )2
+ ( y + 2 )2
= 2 5
 O = ( 3 ; - 2 )
Sea :
r : radio
D : diámetro
Si : r = 5  D = 10
 Grafico la cuerda, teniendo en cuenta la gráfica de la recta L1 : 3y + x – 6 = 0
Construyo la recta L2 (la cual forma la recta del diámetro) que pase por el punto O y el
punto M.
Como la recta L2 de la diagonal biseca (según enunciado) la cuerda (corta a la cuerda en
dos segmentos iguales) entonces L2  L1 .
Entonces, si :
 L1 : 3y + x – 6 = 0

 
 
  2
;
1;3
3; 1
n A B
n
n IV cuadrante por donde pasa L



  
Reemplazo n

en L2
Sea L2 la recta de la diagonal que tiene como ecuación general a :
L2 : Ax + By + C = 0
L2 : 3 x - y + C = 0
Hallamos el término independiente C.
L2 : 3 (3) - ( - 2 ) + C = 0
9 + 2 + C = 0
C = - 11
Luego :
L2 : 3 x - y = 11

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6. (15. a) Hallar laecuaciónde la circunferenciacuyodiámetro esel segmento de la recta 4x – 3y +12
= 0 situado entre los ejes coordenados.
Hallo los interceptos de la recta L1 : 4x – 3y +12 = 0
 Sea : D ( PQ ) el diámetro de la circunferencia.
   
 
   
2 2
2 2 2
0;4 3;0
3;4
3 4
25
5
5
,
2
,
.
3
;2
2 2
, .
PQ Q P
es el diámetro
Luego r
Hallo el punto Medio del diámetro el cual será
el punto central de lacircunferencia
P Q
M
Luego reeplazoen laecuación de la circunferencia
x h y k r
x
 
  

 



  
   
 
   
 
 
2 2
2
2
2
3 5
2
2 2
3 25
2
2 4
y
x y
   
      
   
 
    
 
7. (17) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en las rectas L1 : x +y = 4 , L2 : 5x + 2y
= -1 , y de radio 3 .

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Graficamos las rectas L1 y L2 (teniendoencuentasusinterceptos coordenados) yhallamos
L1  L2 por sustitución.
L1 : x +y = 4
L1 : y = 4 – x
ReemplazandoenL2
L2 : 5x + 2y = -1
5x + 2( 4 – x) = -1
5x +8 – 2 x = - 1
3x = - 9
 X = - 3 ; y = 7
Reemplazamosenlaecuaciónde lacircunferencia.
   
2 2 2
x h y k r   
   
   
2 2 2
2 2
3 7 3
3 7 9
x y
x y
   
   
8. (21) Hallar el valor de k para que la ecuación C 1 : x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0 , representa una
circunferencia de radio 4 .

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   
   
2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
: 8 10 0
8 10
8 4 10 5 16 25
4 5 41
: 41 4
41 16
25
C x y x y k
x x y y k
x x y y k
x y k
Hallamos k
Pero k
k
k
    
    
        
     
  
  

9. (22) El punto ( 8 ; 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia C1 : x2
+ y2
– 12 x - 4y = 0.
Hallar la longitud de dicha cuerda.
 Hallamosel puntocentral O y el radiode lacircunferenciaC1 :x2
+ y2
– 12 x - 4y = 0
   
2 2
2 2 2 2
2 2
12 4 0
12 6 4 2 36 4
6 2 40
: (6;2)
x y x y
x x y y
x y
Entonces O
   
      
   

radio = 40
 Graficamos
 Trazo la recta L1 que pase por el punto O y el punto M. Como M espuntomediode la
cuerdaPQ , entonces larecta L1 bisecalacuerdaen dossegmentosde igual longitud.
 Hallod (O;M)
L1

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 
   
 
 
2 2
;
8;6 6;2
2;4
2 4
; 20
d O M OM
M O
d O M

 
 

 

 Luego,hallamos “b” enel OMQ, por el Teoremade Pitágoras.
   
 
2 2 2
2 2
2
2
40 20
40 20
20
2 5
, " "
2
2 2 5
4 5
r a b
b
b
b
b
Pero la longitud dela cuerda PQ es dos veces b
PQ b
PQ
PQ
 
 
 





10. (23 ) Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x - 24y – 55 = 0 , y cuyo centro
es el de la circunferencia x2 + y2 – 8x – 4y = 0 .
 Hallamosel puntocentral “ O ” de C1 : x2
+ y2
– 8x – 4y = 0
C1 : (x2
– 8x + 42
) + (y2
– 4y + 22
) = 20
C1 : (x - 4)2
+ (y - 2)2
= 20
Entonces: O = ( 4 ; 2)
 Sea L1 : 7x - 24y – 55 = 0
Hallo d (O ; L1 )
   
2 2
7 4 24 2 55 28 48 55 75 75
3
2549 576 6257 24
    
    

= radio

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Luego:
Hallola ecuaciónde lacircunferenciaC2 , teniendoencuenta el puntoO= ( 4 ; 2) y lad (O
; L1 ) .
C2 : (x - 4)2
+ (y - 2)2
= 32
C2 : (x - 4)2
+ (y - 2)2
= 9
11. (25) Hallar la máxima distancia del punto (10; 7) a la circunferencia x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.
 Halloel puntocentral “O” de la circunferencia ysu radio.
C : x2
+ y2
– 4x – 2y – 20 = 0
   
   
     
     
2 2 2 2 2 2
2 2
22 2
2 2 2
4 2 2 1 20 2 1
2 1 25
2 1 25
2 1 5
x x y y
x y
x y
x y
       
   
   
   
 r = 5
 O = ( 2 ; 1)
Sea: A = (10 ; 7) y
B , un punto ϵ a la circunferencia,el cual esel máslejanoal puntoA.

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Luego:
   
 
   
 
 
 
2 2
; ;
; 5
5
10;7 2;1 5
8;6 5
8 6 5
64 36 5
; 10 5
; 15
d B A d O A r
d B A OA
A O
d B A
d B A unidades de longitud
 
 
  
  
 
  
  
 

12. (27) Hallar la distancia del punto ( 4 ; 26 ) a la circunferencia x2
+ y2
+ 10y = 6x + 15 .
 Halloel puntocentral “O” de la circunferencia ysu radio.
C : x2
+ y2
+10y = 6x + 15
   
   
     
     
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
22 2
2 2 2
x y 10y 6x 15
x 6 3 y 10y 5 15 3 5
3 5 15 9 25
3 5 49
3 5 49
3 5 7
x
x y
x y
x y
x y
   
       
     
   
   
   
 r = 7
 O = ( 3 ; - 5)
Sea: A = (4 ; 26) y
B , un punto ϵ a la circunferencia,el cual esel máscercanoal puntoA.

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Luego:
   
 
   
 
 
2 2
; ;
; 7
7
4;26 3; 5 7
1; 31 7
1 31 7
1 961 7
; 962 7
d B A d O A r
d B A OA
A O
d B A
 
 
  
   
 
  
  
 