1. Republica bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Sede – Barcelona
Estadística I
BACHILLER:
Gabriela Lisbeth Silva Velasquez
C.I: 26.916.636
Sección: ESIYV20162
Barcelona, 20 de febrero del 2017
2. Las medidas de tendencia central
Concepto: Son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán
sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central
porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los
valores intermedios. Estas medidas son utilizadas con gran frecuencias como
medidas descriptivas de poblaciones o muestras.
Importancia: Nos permiten fijar, establecer y/o proyectar limites y valores hacia
los que tiende a ubicarse la variable que se esta evaluando. Por otra parte las
medidas de dispersión permiten ver el rango entre el cual pudiese moverse la
variable. Y la importancia de ambas es que permite fijar los valores de las
variables para lograr una mejor administración de los procesos: Productivos,
administrativos, de servicios, etc., en cualquier área donde se puedan generar y
tomar datos: educativos, de salud, comercio, producción, economía, etc.
3. Tipos de promedios:
estadísticos y matemáticos .
La media aritmética es la medida de
posición utilizada con más frecuencia. Si se
tienen valores de observaciones, la media
aritmética es la suma de todos y saca uno
de los valores dividida entre el total de
valores.
La mediana, es el valor que ocupa la
posición central en un conjunto de datos,
que deben estar ordenados, de esta manera
la mitad de las observaciones es menor que
la mediana y la otra mitad es mayor que la
mediana, resulta muy apropiada cuando se
poseen observaciones extremas.
La moda es el valor de un conjunto de
datos que aparece con mayor frecuencia.
No depende de valores extremos, pero es
más variables que la media y la mediana.
La media geométrica es una cantidad arbitraria
de números de la raíz del producto de todos los
números, es recomendada para datos de
progresión geométrica, para promediar
razones, interés compuesto y números índices.
La media armónica es una medida de
tendencia central que se define como el
número de elementos dividido por la suma de
sus inversos. La media armónica de una
cantidad finita de números es igual al
recíproco, o inverso, de la media aritmética de
los recíprocos de dichos números
La media cuadrática, valor cuadrático medio o
RMS es una medida estadística de la magnitud
de una cantidad variable.
4. Cálculo y aplicación
La media aritmética:
La media aritmética se utiliza con
frecuencia en campos como la
economía , la sociología y la historia
, a pesar de que se utiliza en casi
todos los campos académico, hasta
cierto punto. Por ejemplo, el PIB per
cápita da una aproximación de la
renta media aritmética de la
población de un país.
5. Cálculo y aplicación
Promedio geométrico:
Es útil para encontrar el promedio de
porcentajes, razones, índices, porcentajes de
interés devengado o tasas de crecimiento, como
en ventas por ejemplo. Se utiliza con
más frecuencia para calcular la tasa de
crecimiento porcentual promedio de series de
datos a través del tiempo.
Si el crecimiento de las ventas en un negocio fue
en los tres últimos años de 3%, 18% y 25%,
¿cuál ha sido el crecimiento anual de sus ventas?
1.03 x 1.18 x 1.25 = 1.5193
La parte decimal de este número, pasada a
porcentaje, nos dice que las ventas del negocio a
partir del valor donde comenzó la medición, han
aumentado en total, en tres años, 51.93%
Nota: El 3% de una base, sumado a la
base, se escribe en forma decimal
como: 1.03 el 18% sería 1.18, etc. el
“1” representa el dato inicial, o base, a
partir del cual comienza la aplicación
de los porcentajes sucesivos
6. Cálculo y aplicación
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza
otra fórmula de la moda que
da un valor aproximado de
ésta:
Ejemplo ilustrativo:Determinar la moda del conjunto de
datos 2, 4, 6, 8, 8 y 10
Solución:
Mo = 8, porque es el dato que ocurre con mayor
frecuencia. A este conjunto de datos se le llama unimodal
7. Cálculo y aplicación
Cálculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a
mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de
medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de
puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones
centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados:
La mediana se encuentra en el intervalo donde
la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de
la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el
que se encuentre
Li es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
8. Cálculo a partir de series simples
y agrupadas de las medidas de
dispersión
Series simples
Rango: En una serie tanto simple como
en los datos agrupados está dado por la
diferencia existente entre el mayor valor
y el menor. Es una medida grosera de
dispersión y habitualmente no se lo
utiliza. No es demasiado explicativo.
Sea la serie simple: 1 2 2 3 7
Será 7 – 1 = 6
Varianza: Se obtiene realizando el cociente de la
sumatoria de los desvíos cuadráticos de cada uno de
los valores con respecto a la media y la cantidad de
valores que poseemos.
Sea la serie simple anterior:1 2 2 3 7
y la media correspondiente a esta serie X = 3
(1-3)² + (2-3)² + (2-3)² + (3-3)² + (7-3)²
5
9. Cálculo a partir de series simples
y agrupadas de las medidas de
dispersión
Series agrupadas
Se emplea la siguiente ecuación:
Ejemplo : Calcular la desviación media en base a la siguiente tabla
sobre las calificaciones de un estudiante en 12 asignaturas evaluadas
sobre 10.
Solución:
Se calcula la media aritmética.
10. Cálculo y aplicación a partir de
series numéricas las medidas
de posición.
Cuartiles: Hay 3 cuartiles que
dividen a una distribución en 4
partes iguales: primero,
segundo y tercer cuartil.
(Q1, Q2, Q3)
Aquel valor de una serie que
supera al 25% de los datos y es
superado por el 75% restante.
Formula de Q1 para series de
Datos Agrupados en clase.
Deciles: Hay 9 deciles que la
dividen en 10 partes iguales:
(primero al noveno decil).
(D1, D2, … D9)
El primer decil es aquel valor
de una serie que supera a 1/10
parte de los datos y es
superado por las 9/10 partes
restantes (respectivamente,
hablando en porcentajes,
supera al 10% y es superado
por el 90% restante),
Percentiles: Hay 99
percentiles que dividen a
una serie en 100 partes
iguales: (primero al
noventa y nueve percentil).
Cuartiles
(Q1, Q2, Q3)
El P99 (noventa y nueve
percentil) supera al 99% de
los datos y es superado a su
vez por el 1% restante.
11. Ejercicios
Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3,
4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
SOLUCIÓN:
Ordenamos la serie de números: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8
Moda: Mo = 5
Mediana: Me= 5+5/2 = 10/2 Me = 5
Media aritmética X= 2+2+3+3+4+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+6+6+8+8/20 = 99/20 = 4.95
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 14, 18. Calcular la
moda, la mediana y la media aritmética.
SOLUCIÓN:
Ordenamos la serie de números: 13, 14, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 19
Moda: Mo = 15
Mediana: Me= 15
Media aritmética X= 13+14+15+15+15+16+18+18+19/9 = 143/9 = 15.88
12. Ejercicios
Los datos que se dan a continuación
corresponden a los pesos en Kg. de ochenta
personas: (a) Obténgase una distribución de
datos en intervalos de amplitud 5, siendo el
primer intervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el
porcentaje de personas de peso menor que 65
Kg. (c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o
igual que 70 Kg. pero menor que 85?
SOLUCIÓN: (a) Como se trata de efectuar una
distribución de datos agrupados, debemos
obtener primero los intervalos correspondientes,
situando los datos en sus lugares respectivos:
(b) Observando la columna de
frecuencias acumuladas se deduce que
existen N3 = 26 individuos cuyo peso es
menor que 65 Kg., que en términos de
porcentaje corresponden a: 100 32,5% 80
26⋅ = (c) El número de individuos con
peso comprendido entre 70 y 85 Kg. es:
n5 + n6 + n7 = 14 + 7 + 3 = 24 lo que es
equivalente a: N7 – N4 = 80 – 56 = 24
15. Conclusión
Se puede establecer como conclusión sobre el tema de tendencia central, que es el
conjunto de mecanismos que se tiene para el estudio de los métodos y procedimientos
donde se dan los datos tabulados que ayudan a dar inferencias científicas partiendo de
tales datos. Estos datos sirven para que todas las ramas de la ciencia donde se necesita
llegar a dar conclusiones sobre situaciones; por medio de los datos se forman grupos
describiéndolos con solo un número. Para tal fin no se utilizan los extremos sino que un
valor más típico, el cual se encuentra en el centro. Este centro sirve para poder llegar
a un punto medio donde se ubicaría el promedio o punto central de los datos descritos
para poder establecer resultados como se puede ver a lo largo dela historia como es el
caso de Mendel.
