El documento presenta 13 problemas resueltos sobre ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos. Los problemas involucran aplicar propiedades de valores absolutos para determinar conjuntos de soluciones. Algunos problemas no tienen solución debido a que el valor absoluto no puede ser menor que cero.

1. ECUACIONES E INECUACIONES CON INTERVALOS 1 - PROBLEMAS DE CLASE:
01. Resolver: |3𝑥 − 9| = 6
Aplicamos la propiedad:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|3𝑥 − 9|⏟
𝑎
= 6⏟
𝑏
Como 6 > 0 entonces:
3𝑥 − 9 = 6 ∨ 3𝑥 − 9 = −6
3𝑥 = 15 ∨ 3𝑥 = 3
𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {5 ; 1}
02. Hallar el conjunto solución de |2𝑥 − 4| = −3
Aplicamos la misma propiedad del ejercicio 1
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Observamos que: |2𝑥 − 4|⏟
𝑎
= −3⏟
𝑏
Pero 𝑏 = −3 y para aplicar la propiedad se debe cumplir
que 𝑏 ≥ 0
Por lo tanto no tiene solución en el conjunto R.
Entonces: conjunto solución: ∅
03. Resolver: |𝑥 − 6| = 0
Aplicamos la misma propiedad del ejercicio 1 y 2
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Observamos que: |𝑥 − 6|⏟
𝑎
= 0⏟
𝑏
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑎:
𝑥 − 6 = 0
Luego: 𝑥 = 6
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {6}
04. Resolver: |3𝑥 − 4| = 2𝑥 + 10
Aplicamos la misma propiedad utilizada anteriormente:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Observamos que: |3𝑥 − 4|⏟
𝑎
= 2𝑥 + 10⏟
𝑏
Hacemos que se cumpla la condición: 𝑏 ≥ 0
2𝑥 + 10 ≥ 0
2𝑥 ≥ −10
𝑥 ≥ −5
Ahora continuamos aplicando la propiedad:
3𝑥 − 4 = 2𝑥 + 10 ∨ 3𝑥 − 4 = −2𝑥 − 10
3𝑥 − 2𝑥 = 10 + 4 ∨ 3𝑥 + 2𝑥 = −10 + 4
𝑥 = 14 ∨ 5𝑥 = −6
𝑥 = 14 ∨ 𝑥 =
−6
5
Ahora graficamos en la recta numérica:
Se observa que como 𝑥 ≥ −5 entonces se produce
intersección en los 2 puntos
−6
5
y 14
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {
−6
5
; 14}
05. Resolver: |4𝑥 − 1| = 2𝑥 − 1
Aplicamos la propiedad
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Observamos que: |4𝑥 − 1|⏟
𝑎
= 2𝑥 − 1⏟
𝑏
Hacemos que se cumpla la condición: 𝑏 ≥ 0
2𝑥 − 1 ≥ 0
2𝑥 ≥ 1
𝑥 ≥
1
2
Ahora continuamos aplicando la propiedad:
4𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1 ∨ 4𝑥 − 1 = −2𝑥 + 1
4𝑥 − 2𝑥 = −1 + 1 ∨ 4𝑥 + 2𝑥 = 1 + 1
2𝑥 = 0 ∨ 6𝑥 = 2
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 =
1
3
Ahora graficamos en la recta numérica:
Se observa que como 𝑥 ≥
1
2
entonces no hay
intersección con ninguno de los 2 puntos por lo tanto el
conjunto solución es el vacío, no tiene solución en R.
06. Hallar las raíces de la ecuación: |3𝑥 − 10| =
|2𝑥 + 5|
Aplicamos la propiedad:
|𝑎| = |𝑏| ⟷ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|3𝑥 − 10|⏟
𝑎
= |2𝑥 + 5|⏟
𝑏
3𝑥 − 10 = 2𝑥 + 5 ∨ 3𝑥 − 10 = −2𝑥 − 5
3𝑥 − 2𝑥 = 5 + 10 ∨ 3𝑥 + 2𝑥 = −5 +
10
𝑥 = 15 ∨ 5𝑥 = 5
𝑥 = 15 ∨ 𝑥 = 1
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {15;1}
07. Resolver: |
3𝑥+2
𝑥−1
| = 10
Aplicamos la propiedad:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|
3𝑥 + 2
𝑥 − 1
|
⏟
𝑎
= 10⏟
𝑏
-5 -
6
5
14
1
2
0 1
3

2. Como 10 > 0 entonces:
3𝑥 + 2
𝑥 − 1
= 10 ∨
3𝑥 + 2
𝑥 − 1
= −10
3𝑥 + 2 = 10(𝑥 − 1) ∨ 3𝑥 + 2 = −10(𝑥 − 1)
3𝑥 + 2 = 10𝑥 − 10 ∨ 3𝑥 + 2 = −10𝑥 + 10
12 = 7𝑥 ∨ 13𝑥 = 8
12
7
= 𝑥 ∨ 𝑥 =
8
13
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {
12
7
;
8
13
}
08. Resolver: ||𝑥 − 3| − 5| = 2
Aplicamos la propiedad:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|| 𝑥 − 3| − 5|⏟
𝑎
= 2⏟
𝑏
Como 2 > 0 entonces:
|𝑥 − 3| − 5 = 2 ∨ |𝑥 − 3| − 5 = −2
|𝑥 − 3| = 7 ∨ |𝑥 − 3| = 3
Otra vez Aplicamos 2 veces la propiedad:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|𝑥 − 3|⏟
𝑎
= 7⏟
𝑏
∨ |𝑥 − 3|⏟
𝑎
= 3⏟
𝑏
Como 7> 0 entonces: como 3 > 0 entonces:
𝑥 − 3 = 7 ∨ 𝑥 − 3 = −7 𝑥 − 3 = 3 ∨ 𝑥 − 3 = −3
𝑥 = 10 ∨ 𝑥 = −4 𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = 0
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {−4 ;0 ; 6 ;10}
09. Hallar las raíces de la ecuación: |3𝑥 − 9| − |2𝑥 − 6| = 4
Sacamos factor común y reducimos la expresión así:
3|𝑥 − 3| − 2|𝑥 − 3| = 4
|𝑥 − 3| = 4
Aplicamos la propiedad:
|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|𝑥 − 3|⏟
𝑎
= 4⏟
𝑏
Como 4 > 0 entonces:
𝑥 − 3 = 4 ∨ 𝑥 − 3 = −4
𝑥 = 7 ∨ 𝑥 = −1
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {−1 ; 7}
10. Resolver: |6𝑥 − 4| < 3
Aplicamos la propiedad: |𝑥| < 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (−𝑏 < 𝑥 < 𝑏)
|6𝑥 − 4|⏟
𝑥
< 3⏟
𝑏
Como se verifica que 3 > 0, entonces:
−3 < 6𝑥 − 4 < 3
1
6
< 𝑥 <
7
6
−3 + 4 < 6𝑥 − 4 + 4 < 3 + 4
1 < 6𝑥 < 7
1
6
<
6𝑥
6
<
7
6
1
6
< 𝑥 <
7
6
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 〈
1
6
;
7
6
〉
11. Hallar el conjunto solución de: |3𝑥 − 2| < 𝑥 + 3
propiedad: |𝑥| < 𝑏 ⟷ 𝑏 > 0 ∧ (−𝑏 < 𝑥 < 𝑏)
|3𝑥 − 2|⏟
𝑥
< 𝑥 + 3⏟
𝑏
verificamos que b > 0, entonces:
𝑥 + 3 > 0
𝑥 > −3
Luego:
−𝑥 − 3 < 3𝑥 − 2 < 𝑥 + 3
−𝑥 − 3 < 3𝑥 − 2 ∧ 3𝑥 − 2 < 𝑥 + 3
−3 + 2 < 3𝑥 + 𝑥 ∧ 3𝑥 − 𝑥 < 3 + 2
−1 < 4𝑥 ∧ 2𝑥 < 5
−1
4
< 𝑥 ∧ 𝑥 <
5
2
Graficamos en la recta los 3 intervalos: x>-3
x>-1/4 ; x<5/2
y observamos la intersección, lo cual nos da
como respuesta que el conjunto solución es:
〈
−1
4
;
5
2
〉
12. Resolver: |3𝑥 − 5| < −2
Como b < 0 y ningún valor absoluto es menor que un
negativo entonces el conjunto solución es vacío, es decir
no tiene solución en R.
13. Hallar el conjunto solución de: |2𝑥 − 3| > 3
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑
|𝑥| > 𝑏 ⟷ 𝑥 > 𝑏 ∨ 𝑥 < −𝑏
2𝑥 − 3 > 3 ∨ 2𝑥 − 3 < −3
2𝑥 > 6 ∨ 2𝑥 < 0
𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 0
Graficamos en la recta y hallamos la
unión:
∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: < −𝛼; 0 > 𝑈 < 3; +𝛼 >