Este documento presenta una serie de ejercicios sobre la transformada de Laplace. Los ejercicios cubren conceptos como la definición de la transformada de Laplace, su inversa, transformadas de derivadas y funciones básicas, teoremas de traslación, propiedades operacionales y la resolución de problemas de valor inicial mediante esta transformada. En total contiene 57 ejercicios para practicar el cálculo y aplicación de la transformada de Laplace.

1. |UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA UNIDAD IV
TRANSFORMADA DE LAPLACE
I. DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En los ejercicios 1 – 10 aplique la definición de la transformada de Laplace para
determinar L ( ){ }f t
1) ( ) t
etf 2
= 6) ( )
3
, 0 , 5
, 51
t
t te
f t
t
≥ ≠
= 
=
2) ( ) at
f t e= 7) ( )
1,
10,
1
1
≥
<<


−
=
t
t
tf
3) ( ) 7=tf 8) ( ) t
ettf 32
=
4) ( ) ttf = 9) ( ) 43 −−
= t
etf
5) ( ) 2
5ttf −= 10) ( ) cos( )f t t t=
En los problemas del 11 al 20 usar tablas de transformadas ó el teorema de
transformadas de algunas funciones básicas, para determinar L ( ){ }tf
11) ( ) 2 5
5 t
f t +
= 16) ( ) ( )
2t t
f t e e−
= +
12) ( ) 2
5 4 3f t t t= + + 17) ( ) (3 ) cos(4 )f t sen t t= −
13) ( )
cosh( )
t
t
f t
e
= 18) ( )
[ ]
2
1
cos( )
f t
t
−
=
14) ( ) cosh (9 )f t t= 19) ( ) [ ]
3
( )f t sen t=
15) ( ) ( ) cos(2 )f t sen t t= 20) ( ) 7 t
f t =

2. II. TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS.
En los ejercicios del 1 al 20 usar tablas de transformadas inversas ó el teorema de
transformadas inversas para obtener L ( ){ }1
F s−
1) ( ) 4
1
F s
s
= 11) ( )
25
1
−
=
s
sF
2) ( ) ( )213
5 −−
+= sssF 12) ( )
17
1
2
+
=
s
sF
3) ( )
1
32
2
+
−
=
s
s
sF 13) ( ) 2
6
49
s
F s
s
=
−
4) ( )
2
4
+
=
s
sF 14) ( ) 2
3
7
s
F s
s
−
=
+
5) ( )
9
3
2
+
=
s
s
sF 15) ( )
ss
s
sF
4
1
2
−
+
=
6) ( ) 2
15
25
F s
s
=
+
16) ( )
20
1
2
−+
=
ss
sF
7) ( ) 2
6 10 3
4 4
s
F s
s s
−
= −
+ −
17 ( )
( ) ( )
3
3 3
s
F s
s s
−
=
+ −
8) ( ) 2
2
5
s
F s
s
−
=
+
18) ( )
( )( )54
1
2
+−
+
=
sss
s
sF
9) ( ) 3
2
32
s
ss
sF
−+
= 19) ( )
( )1
1
22
+
−
=
ss
s
sF
10) ( ) ( )
4
3
1
s
s
sF
+
= 20) ( )
( )( )41
36
22
++
+
=
ss
s
sF
En los problemas 21 al 30 usar la transformada de Laplace para resolver el problema
de valor inicial respectivo.
2

3. 21) ( )1 , 0 0
dy
y y
dt
− = =
22) ( )2 0 , 0 3
dy
y y
dt
+ = = −
23) ( )4
6 , 0 2t
y y e y′ + = =
24) ( )2cos(5 ) , 0 0y y t y′ − = =
25) ( ) ( )5 4 0 , 0 1 , 0 0y y y y y′′ ′ ′+ + = = =
26) ( ) ( )3
4 6 3 , 0 1 , 0 1t t
y y e e y y−
′′ ′ ′− = − = = −
27) ( ) ( )2 ( 2 ) , 0 10 , 0 0y y sen t y y′′ ′+ = = =
28) ( ) ( )9 , 0 0 , 0 0t
y y e y y′′ ′+ = = =
29) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 , 0 0 , 0 0 , 0 1t
y y y y e y y y−
′′′ ′′ ′ ′ ′′+ − − = = = =
30) ( ) ( ) ( )2 2 (3 ) , 0 0 , 0 0 , 0 1y y y y sen t y y y′′′ ′′ ′ ′ ′′+ − − = = = =
III. TEOREMAS DE TRASLACION
En los ejercicios 1 - 6, determinar L ( ){ }tf
1) 3
( ) cos(2 )t
f t e t= 2) 3 2
( ) cos(5 )t
f t e t−
= 3) 7 2 4
( ) 3 t
f t t+
=
4) 4
cos( )
( )
5 t
t
f t − +
= 5) 6 2
( ) cos (2 )t
f t e t= 6) 3
( ) cosh(2 )t
f t e t= +
En los problemas 7 – 28, determinar L ( ){ }sF1−
7) ( ) 2
1
6 10
F s
s s
=
− +
8) ( )
( )
32
2 1
1
s
F s
s s
−
=
+
9) ( )
52
1
2
++
=
ss
sF 10) ( )
( )
( )
2
4
1
2
s
F s
s
+
=
+
3

4. 11) ( )
346
52
2
++
+
=
ss
s
sF 12) ( )
62
1
2
++
−
=
ss
s
sF
13) ( ) 2
2 1
s
F s
s s
=
+ +
14) ( ) 2
10 3
25
s
F s
s
−
=
−
15) ( ) 2
44
5
ss
s
sF
+−
= 16) ( )
( )
3
3
2 3
F s
s
=
+
17) ( ) 12−
= ssF 10) 18) ( )
2
3
s
e
F s
s
−
=
19) ( ) 3
1
s
s
sF
+
= 20) ( ) ( )
2
1 22
+
+
=
−
s
e
sF
s
21) ( ) 2
3 2
2 10
s
F s
s s
+
=
+ +
22) ( ) 2
1
s
e
F s
s
π−
=
+
23) ( ) 2 2
5 6 3
6 2 2 8 10
s
F s
s s s s
= − +
− − + +
24) ( )
42
2
+
=
−
s
se
sF
sπ
25) ( )
( ) ( )
2
2
9 2
1 3
s s
F s
s s
+ +
=
− +
26) ( )
( )1
s
e
F s
s s
−
=
+
27) ( )
( )( )152
102
2
2
++−
+
=
sss
ss
sF 28) ( )
( )
2
2
1
s
e
F s
s s
−
=
−
En los problemas 29 al 35 expresar cada función en términos de la función escalón
unitario. Además, hallar L ( ){ }f t
29)
( )
5
5
4
4
0
,
,
,
1
0
1
≥
<
<
≤
≤





=
t
t
t
tf
30)
( )
( ) , 0 2
0 , 2
sen t t
f t
t
π
π
≤ <
= 
≥
31)
( )
3
30
,
,
2
2
≥
<≤



−
=
t
t
tf
32)
( )
2
20
,
,
0 ≥
<≤



=
t
tt
tf
4

5. 33)
( )
30 , 0 2
( ) , 3
2
t
f t
sen t t
π
π
≤ <
=
≥
34)
35)
( )
1
1
0
,
,0
2
<
≥
≤



=
t
tt
tf
En los ejercicios 36 – 51, determinar L ( ){ }tf
36) ( ) 7t
f t te−
= 37) ( ) 4
( 6 )t
f t te sen t−
=
38) ( ) (7 )f t t sen t= 39) ( ) 4
cos (5 )t
f t te t−
=
40) ( ) 2
(4 )f t t sen t= 41) ( ) ( )
22
1t
f t e t= −
42) ( )
cosh ( )
t
t
f t
e
= 43) ( ) 2
cos (3 )t
f t e t=
44) ( ) 5
cos (2 )t
f t te t= 45) ( ) ( ) ( )313 −+= tuttf
46) ( ) ( )2
2t
f t e u t−
= − 47) ( ) ( )cos(2 )f t t u t π= −
48) ( ) ( ) ( )113 −+= tuttf 49) ( ) ( ) ( )
3 1
1 1t
f t t e u t−
= − −
50) ( ) ( )5
5t
f t t e u t−
= − 51) ( ) ( )
2
f t sen t u t
π 
= − ÷
 
En los problemas 52 al 57 usar la transformada de Laplace para resolver el problema
de valor inicial respectivo.
52) ( )1 , 0 0t
y y te y′ − = + =
53) ( ) ( )3 2
4 4 , 0 0 , 0 0t
y y y t e y y′′ ′ ′− + = = =
54) ( ) ( )3
4 4 , 0 1 , 0 0y y y t y y′′ ′ ′− + = = =
5

6. 55) ( ) ( )2 20 51 0 , 0 2 , 0 0y y y y y′′ ′ ′+ + = = =
56) ( ) ( )cos( ) , 0 0 , 0 0t
y y e t y y′′ ′ ′− = = =
57) ( ) ( )2 5 1 , 0 0 , 0 4y y y t y y′′ ′ ′− + = + = =
IV. OTRAS PROPIEDADES OPERACIONALES
En los ejercicios del 1 al 3, determinar F(s).
1) L { }cos (2 )t t 2) L { }2
s ( )t enh t 3) L { }2
s (6 )t
te en t
En los ejercicios del 4 al 9, determinar la transformada de Laplace dada, sin evaluar la
integral.
4) L  { }0
(
t
sen d∫ T T ) T 7) L { }0
t
e d∫
t - T
T T
5) L { }0
cos(
t
d∫
-T
e T ) T 8) L { }∫
t
dt
0
TeT T-
6) L  { }0
( (
t
t d−∫ sen T ) cos T) T 9) L { }0
(
t
t d∫ sen T ) T
En los ejercicios 10 al 13, evaluar la transformada de Laplace indicada
10) L { }t
e 2
1 −
∗ 11) L { }t
tet ∗2
12) L { }2
( )t
e sen t∗
13) Si L ( ){ } ( )tfsF =−1
, determinar L ( ) ( ){ }4/ 21
+−
ssFS
En los ejercicios 14 -20 usar la definición de convolución (o la definición de la
transformada de una integral) para determinar ( )tf
14) L  ( )





+
−
1
11
ss
18) L  ( )( ) 





−+
−
21
11
ss
15) L ( ) 





−
−
1
1
3
1
ss
19) L - 1

( )
22
1
4 5s s
 
 
 
+ +  
6

7. 16) L  ( )





+
−
1
1
2
1
ss
20) L 
( ) 







+
−
22
1
4s
s
En los ejercicios que siguen usar el teorema de la transformada de una función
periódica para hallar la transformada de Laplace de la función cuya gráfica se
muestra.
7
21)
22)
23)
24)
25)
Rectificación de media onda de sen(t)
Rectificación de onda completa de sen(t)

8. En los ejercicios 27 al 36, utilizar la transformada de Laplace para resolver los
problemas de valor inicial.
27) ( ) ( )4 1 , 0 0 , 0 1y y y y′′ ′− = = =
28) ( ) ( )3 4 0 , 0 1 , 0 1y y y y y′′ ′ ′+ − = = =
29) ( ) ( )5 6 1 , 0 1 , 0 0y y y y y′′ ′ ′+ + = = =
30) ( ) ( )4 3cos(5 ) , 0 0 , 0 3y y t y y′′ ′+ = = =
31) ( ) ( )9 , 0 1 , 0 2t
y y e y y−
′′ ′+ = = =
32) ( ) ( )3
4 4 , 0 1 , 0 0y y y t y y′′ ′ ′− + = = =
33) ( ) ( ) ( )2 2 (3 ) , 0 0 , 0 0 , 0 1y y y y sen t y y y′′′ ′′ ′ ′ ′′+ − − = = = =
34) ( ) ( ) ( )5 6 1 , 0 0 , 0 1y y y u t y y′′ ′ ′− + = − = =
35) ( ) ( ) ,00, ==+′ ytfyy donde ( )
1
1
0
,
,
1
1 <



≥
≤
−
=
t
t
tf
36) ( ) ( ) ( ), 0 0 , 0 1y y f t y y′′ ′+ = = = , donde ( )
π
π
π
π
2
2
0
,
,
,
0
1
0
≥
<
<





≤
≤
=
t
t
t
tf
En los ejercicios 37 al 42, resolver la ecuación integral o integrodiferencial
correspondiente.
8
26)

9. 37) ( ) ( ) tdfttf
t
=−+∫0
( TTT)
38) ( ) 1(
0
=+∫
t
dftf T)T
39) ( ) ( )0
cos( )
t
f t t e f d−
= + −∫
T
t T T
40) ( ) TT))t-T dfttf
t
∫−+=
0
3
((
3
8
1
41) ( ) ( ) ( )0
1 ( ) 0
t
y t sen t y d′ = − − =∫ T T , y 0
42) ( ) ( ) ( ) 00,196
0
==++ ∫ ydyty
dt
dy t
TT
En los problemas que siguen usar la transformada de Laplace para resolverlos.
43) Obtener la carga en el capacitor de un circuito en serie RC, cuando
( ) faradiosCohmsRq 08.0,5.2,00 === y ( )tE es la que aparece en
figura siguiente:
44)Determinar la carga ( )tq en el capacitor de un circuito RC en serie, cuando
( ) 50,00 == Rq ohmios, 01.0=C faradios y ( )tE es la mostrada en la
gráfica siguiente.
9

10. 45)Por la ley de Kirchhoff para voltajes se puede demostrar que la ecuación
diferencial que expresa la carga instantánea, ( )tq , del capacitor de un circuito
en serie LRC es ( )tEq
cdt
dq
R
dt
qd
L =++
1
2
2
determinar la carga
instantánea cuando L = 1 henrio, R = 20 ohms, C = 0.005 faradios, ( )tE = 150
voltios, ( ) 00,0 => qt e ( ) 00 =i .
46)Obtener la carga y la corriente instantáneas, en un circuito en serie, en el que
L = 1 henrio, R = 20 ohns, C = 0.01 faradios, E (t) = 120 sen10t voltios, q (0) =
0 coulombs e i(0) = 0 amperios. Además, determinar la corriente de estado
estable.
10