3. En la tabla se representa un triángulo ABC y su transformado A´B´C´.
En la celda izquierda la transformación corresponde a un
movimiento por conservar las distancias. La transformación de la
derecha no es un movimiento.
Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto
del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de
transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés,
esta forma consiste en transformar el plano conservando las
distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la
distancia entre sus transformados . Estos tipos de transformaciones
reciben el nombre de movimientos o Isometrías.
Tipos de Movimientos:
Existen cuatro tipos de movimientos en el plano, la Traslación, el Giro
o Rotación, la Simetría Axial y la Simetría con Deslizamiento.
Cualquier movimiento en el plano es, necesariamente, uno de los
cuatro anteriores.
La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un
punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma
dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por
asignarle un sentido, se denomina vector de traslación.
El Giro de centro P y ángulo a es un movimiento en el que los
segmentos que unen P con un punto cualquiera y con su
transformado son de la misma longitud y forman un ángulo igual a a.
Traslaciones y Giros se conocen como movimientos directos por
conservar la orientación de la figuras . En la tabla se representa una
traslación de vector AA´ y un giro de centro P y ángulo 90º.

4. 
En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por
un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro
punto P' , tal que:
Definición de traslación
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios
de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos
trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para
cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

5. 
Más aún se cumple que:
Notas:
La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Una traslación desplaza cada punto de una figura o espacio la misma cantidad en una
determinada dirección.
Una reflexión respecto un eje seguida de otra reflexión respecto a otro eje paralelo al
primero es equivalente a una traslación.

6. 

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no
una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para
representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una
transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.
Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro
coordenadas homogéneas comow = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciones una traslación
puede ser representada por una matriz como:

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en
coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la
dirección del vector desplazamiento

7. 
Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de
traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices
arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.
Generalización

El concepto de traslación también puede generalizarse a un espacio no
euclídeo, concretamente puede definirse análogamente para variedades
riemanninanas de curvatura constante, donde es posible definir la relación
de congruencia para subvariedades de cualquier dimensión sin ambigüedad.

8. 

En Física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una
herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por
sumódulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen
del extremo).1 2 3 Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el
espacio .
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta
noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar
sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En
particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables
de ese modo.
Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta.
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales:
la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su
módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere
indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un
objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en
la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.
Un vector queda definido por sumódulo, dirección y sentido: desde Ahasta B.

9. Conceptos fundamentales
Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar
ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.
Definición









Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman
componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se
representa como (formado mediante el producto cartesiano).
Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector
geométrico(usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ).
Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres
características:1 2 3
módulo: la longitud del segmento
dirección: la orientación de la recta
sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta
En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector,
con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.4
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que
indican su origen y extremo respectivamente.

12. El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector
El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta
soporte.
El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la
característica vectorial representado por el vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

13. Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:
Nombre
Dirección
Sentido
Modulo
Punto de aplicación
Magnitudes vectoriales
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como
la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan
completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen
otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, laaceleración, la fuerza, el campo
eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino
que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en
contraposición a las primeras llamadasescalares.
Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el
nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se
representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los
siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y sudirección, la
cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes
vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas
polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de
coordenadas.5 6
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar
a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la
"punta de flecha" indica su sentido.1 2 3

14. Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de
aplicación y de los versores cartesianos.
Notación
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para
diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos
manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra
que designa su módulo (el cual es un escalar).
Ejemplos:

representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω,
... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras
la notación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe:
para los vectores y
o
para los módulos.

15. Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al
extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los
vectores representados en la Figura 2 en la forma
, ... resultando muy útil
esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad,
se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo
Representación de los vectores.
Clasificación de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos
vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de
acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

16. Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción
pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un
ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos
contrarios.1 En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya
que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de
acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en
un mismo plano).
Componentes de un vector
Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación
lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen unabase
vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por I , J y K , paralelos a
los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial
predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial.
Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

17. Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes
de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector
columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas
operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:
El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo
espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como
el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un
número finito de componentes diferentes de cero.
Componentes del vector.

18. Representación gráfica de
los vectores
Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos
y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria
se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un
triángulo en un extremo).

La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en
símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el
extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene
(origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio,
de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros
vectores.

Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de
distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.
Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones
suma de vectores y producto por un escalar:

19. Suma
de vectores
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como
encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica
como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
1)
Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en
negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas
ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.
2)
Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores
puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

20. 3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que
exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los
vectores.
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado
a u simplifique en un vector cero.
Producto por un escalar
La definición producto por un escalar
produce otro vector; es como modificar el
extremo final del vector u, siempre visualmente.
Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea
modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos
siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que
además de
modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense
centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas,
visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

21. a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden
simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda comocu.
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de
efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.
c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

22. d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.
Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos
vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Método del paralelogramo
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer
gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un
punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de
igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma
es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.
Método del triángulo o método poligonal
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el
origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector
resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo
del último.

23. Método del paralelogramo.
Método del triángulo.
Método analítico para la suma y diferencia
de vectores
Dados dos vectores libres.
El resultado de su suma o de su diferencia se
expresa en la forma
y ordenando las componentes,

24. Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores dados, A y B , así como el ángulo 0 que forman
entre sí, el módulo de
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del
escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es
contrario a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección
tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean P un escalar a y un vector, el producto de P por a se representa Pa y se realiza
multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,
Con la notación matricial sería

25. La simetría axial (también llamada rotacional o radial o cilíndrica) es la simetría alrededor
de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los
semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas
características . También puede decirse que es una isometría indirecta e involutiva.








Dada una recta e se llama simetría axial de eje e al movimiento que transforma a un
punto P en otro punto P' verificando que:
El segmento PP' es perpendicular a .
Los puntos P y P' equidistan del eje .
Dicho de otra forma el eje es la mediatriz del segmento PP'
La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, pues muchas figuras
que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas con
respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.
La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de
otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de
simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en
el espejo.
A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es
decir, A’ es homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las
distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias
entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar
también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.
Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda
claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son
congruentes.

26. Problema axisimétrico respecto a un eje, la situación en todos los semiplanos Π, como el de
la figura es idéntica.
Física
Un cierto número de problemas físicos de interés, especialmente relacionados con la teoría
de campos, los medios continuos o la teoría cuántica son más fáciles de resolver cuando los
datos de partida tiene simetría axial, ya que la solución para ciertas magnitudes incógnitas
también tendrá simetría axial. Eso permite reducir un problema con tres coordenadas
espaciales a un problema de dos variables. Por ejemplo en varias áreas de la resolución de
ciertos problemas requiere estudiar la ecuación de Poisson siguiente:
Cuando la función "fuente" tiene simetría axial, es decir:

27. El problema puede reformularse en términos de dos variables como:
Donde:
Teoría de grupos
Dado un problema geométrico o físico caracterizado por un cierto número de magnitudes
escalares
o propiedades tensoriales
se dice que el problema tiene
simetría axial si existen representaciones Fp,q del grupo SO(2):1
Tales que:
Esta última expresa la condición de que el hecho de rotar el sistema de ejes
deja forminvariantes las cantidades básicas que caracterizan el problema. x cuadrada mas
ye es igual al exito

28. Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto
medio del segmento.
La simetría respecto de un punto llamado simetría central y los puntos
correspondientes, homólogos . En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales
y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.
Ejemplo 1:
Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.
Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.

La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’

29. Simetría central y coordenadas
Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.
Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:
Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).
Coordenadas de los
puntos
Coordenadas de sus
simétricos
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C=(2, -1)
Texto de celda
Texto de celda
C=(-1, 2)
Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto del origen de coordenadas tienen sus
abscisas y ordenadas opuestas.
Las ecuaciones de la simetría central son:
x’ = x , y’ = -y
Composición de simetrías
Con el mismo centro
Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar
otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.
Con distinto centro
La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

30. ROTACION: Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una
imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos
llamar ángulo de giro.
Se escoge un punto O llamado centro de rotación. Con el compás, se toma la medida
desde el centro, hacia el vértice A y con ese radio se traza un arco de circunferencia.
Marcamos el vértice rotado A’.
Para rotar los otros vértices debemos medir el ángulo que corresponde al arco dibujado
con el vértice A y mantenerlo, para que la forma de la figura no cambie. Además debemos
conservar el ángulo de giro. La figura obtenida es congruente con la primera.
Y ¿cómo se busca el centro de rotación? CENTRO de ROTACION: Se toma el punto medio
entre A y A’ y se dibuja allí la simetral. Se toma el punto medio entre B y B’ y se dibuja allí la
simetral. El punto de intersección es O.

31. Rotación en sistemas de Coordendas para ángulos especiales:
Rotar (4,1) con centro de rotación O= (0,0), en 90°, 180°, 270°, 360°.
Las rotaciones requeridas serán:
Y Resumiendo

35. Llamamos homotecia de centro O y razón k a una transformación geométrica
que hace corresponder a cada punto P otro P' por lo que produce una serie de
figuras semejantes de manera que:
-O, P Y P' están alineados.
-Si k>o homotecia directa
-Si k<o homotecia inversa
La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. Dos figuras son
homotéticas si sus segmentos correspondientes son paralelos. Con la homotecia
podremos averiguar si dos figuras son semejantes o no.

36. Las homotecias pueden ser positivas o negativas:
Positiva: directa. Es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se
encuentra después o antes de la figura trazada. Su característica principal es que los
segmentos entre las figuras son paralelas.
Negativa: inversa. Es aquella en la cual el centro de homotecia se encuentra entre la
figura.
Homotecias de centro el origen de coordenadas
En una homotecia en la que su origen sea el centro de coordenadas se puede ver con
facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se
considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente:
x´=kx ; y´=ky
La composición de homotecias pueden tener el mismo centro: otra homotecia con el
mismo centro cuya razón de homotecia es el producto de las razones.