Fenomeni di instabilita'

Progettazione Strutturale Antincendio
Fenomeni di instabilità
Pof. Ing. F. Bontempi
Ing. Mattia Francioli, Ph.D. 1
PROGETTAZIONE STRUTTURALE ANTINCENDIO A.A. 2022/2023

Buckling
Structural Instability, a non-linear problem
δ
Structural
Collapse
Plasticity and crossing of plastic strenght
Fatigue
Instability
Dynamic,
non-linear
phenomena
Euler buckling (can
be treated as static)
Other (e.g. Flutter)

Buckling
Structural Instability, a non-linear problem
δ
Structural
Collapse
Plasticity and crossing of plastic strenght
Fatigue
Instability
Dynamic,
non-linear
phenomena
Euler buckling (can
Other (e.g. Flutter)
Euler buckling (can

FENOMENI DI INSTABILITÀ
Si considera un sistema strutturale in una configurazione di equilibrio: i carichi esterni applicati (la cui entità si ipotizza caratterizzata da un fattore
l) sono equilibrati dalla risposta strutturale.
Al crescere di l, si possono manifestare spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale della struttura scarica:
1. La configurazione di equilibrio si modifica al crescere di l, sviluppando spostamenti che sono piccoli e proporzionali ai carichi; può accadere
che gli spostamenti crescano più rapidamente dei carichi e che diventino eccessivi per alcuni valori di l → INSTABILITÀ LATENTE (spesso
causato da imperfezioni e non rilevabile se tali aspetti non sono esplicitamente modificati);
2. Le perturbazioni a cui la struttura è soggetta (che provocano oscillazioni del sistema strutturale nell’intorno della configurazione di equilibrio)
provocano allontanamenti importanti dalla configurazione originaria → INSTABILITÀ DELL’EQUILIBRIO.
Il più piccolo dei valori di l per cui si verifica uno di questi fenomeni di instabilità è detto carico critico lCR o, nel caso di un singolo carico PCR.
4
Ing. Mattia Francioli, Ph.D.

P
SISTEMI
(STRUTTURA + AZIONI)
CONSERVATIVI
NON
CONSERVATIVI
COMPORTAMENTO
PRE-CRITICO
LINEARE
COMPORTAMENTO
PRE-CRITICO NON
LINEARE
PROBLEMI
EULERIANI
PROBLEMI
CONSERVATIVI
NON EULERIANI
AZIONI NON
CONSERVATIVE
MATERIALE
STRUTTURALE IN
CAMPO PLASTICO
SISTEMI CHE AMMETTONO UNA
POSIZIONE DI EQUILIBRIO
STATICO E CHE HANNO
INSTABILITÀ DINAMICHE
SISTEMI PURAMENTE DINAMICI
(NON HANNO UN EQUILIBRIO
STATICO SOTTO LE AZIONI CHE
LI PORTANO IN INSTABILITÀ)
PLASTICIZZAZIONI OMOGENEE
PLASTICIZZAZIONI LOCALI
APPROCCIO
STATICO
2 TIPI DI
INSTABILITÀ
OGNI ASTA
EULERIANA
A SCATTO
INSTABILITÀ PER ESTRAZIONE DI
ENERGIA DALL’AZIONE (TIPO
FLUTTER)
VIBRAZIONI SPURIE POSSONO
SOVRAPPORSI ALLA SOLUZIONE
FONDAMENTALE, PORTANDOLA
A DIVERGENZA
APPROCCI COMPLESSI
(TRATTAZIONE IN CUI SI ASSUME
IL SISTEMA INCREMENTALMENTE
ELASTICO)
IL CONCETTO DI INSTABILITÀ
DIVENTA DI DIFFICILE
DEFINIZIONE
5

Gran parte dei problemi di instabilità per i sistemi strutturali reali appartiene ad una categoria speciale, in accordo con trattazioni tradizionali. In
questa categoria si definiscono problemi di stabilità semplici o euleriani che sono caratterizzati da due condizioni:
1. Il sistema strutturale ammette configurazione banale, che si amplifica linearmente in maniera limitata al crescere di l, risultando al limite
trascurabile. Il sistema possiede linearità pre-critica (la struttura deve avere materiale elastico lineare e gli effetti delle non linearità
geometriche non sono sentiti in fase pre-critica; in tale modo le equazioni di equilibrio che si devono scrivere nella configurazione deformata
(non banale) si possono scrivere utilizzando approssimazioni analitiche, quali confondere un angolo con la sua tangente);
2. È possibile definire l’energia potenziale totale del sistema strutturale, che è quindi conservativo, e la sua variazione seconda nel passare dalla
configurazione banale a una generica configurazione congruente è funzione lineare del moltiplicatore dei carichi l. La determinazione del
carico critico avviene attraverso la risoluzione di un problema agli autovalori e alle autofunzioni (casi continui) o agli autovettori (casi discreti);
in quest’ultimo caso ci si riconduce ad un problema algebrico tipo:
𝐾𝐸 − 𝜆𝑖𝐾𝐺 𝜓𝑖 = 0
Con
• KE = matrice di rigidezza elastica lineare della struttura (definita positiva);
• KG = matrice di costanti che amplificata per l produce un decremento di rigidezza complessiva della struttura tale da renderla labile secondo gli
N possibili autovettori yi;
• La situazione critica è individuata dal minimo degli autovalori, tutti reali lCRITICO = min(li).
Le componenti di sforzo che influenzano la rigidezza geometrica della struttura (es. azioni assiali nelle aste) si mantengono proporzionali a l.
Con riferimento all’energia potenziale totale, il fatto di considerare nell’espressione analitica dell’energia i termini fino al secondo ordine → teoria
del II ordine.
6

FENOMENI DI INSTABILITÀ – APPROCCIO STATICO
Scrivo l’equilibrio in configurazione deformata (con hp di spostamenti piccoli dal punto di vista geometrico sinq = q); ricavo una rigidezza che
dipende dai carichi e dagli spostamenti, cioè dall’equilibrio, e ricavo il valore del carico che annulla la rigidezza.
L
K
P
M
P
q
Kq = PLq + M
(K – PL) q = M
K* q = M
Se aumenta P, K* diminuisce fino ad
annullarsi per K* = 0 → PCR = K / L
P
q
PCR
I problemi che avvengono per instabilità dell’equilibrio, per cui una configurazione di equilibrio iniziale diventa instabile, avvengono perché avviene
un disturbo, che si manifesta in termini di imperfezioni, o in termini di piccole forze applicate, come un momento che produce un disassamento
dell’elemento per una colonna compressa.
Pmax
Py
Δy
Stability
Response (displacement) parameter Δ
Load
Parameter
P
7

Caso a1 → asta perfetta + piccoli spostamenti
L
Kq
l
q
Kqq - lLq = 0
(Kq - lL) q = 0
lCR = Kq/L
l L/ Kq= 1
lL/Kq
q
1
L’approssimazione a piccoli spostamenti permette di cogliere
solo il valore del carico critico e non permette di cogliere
nulla della fase post-critica. Si trova solo il valore di lCR.
8

Caso a2 → asta perfetta + NO piccoli spostamenti
L
Kq
l
q
Kqq - lLsinq = 0
(Kq – lL/q)sinq = 0
lCR = Kqq/(Lsinq)
l L/ Kq= q/(Lsinq)
lL/Kq
q
1
Rimuovendo l’ipotesi di piccoli spostamenti, osservo la fase
post-critica. Superato l = k/L (prima del quale l’equilibrio è
unico ed ha una configurazione), per ogni valore del carico
sono possibili due configurazioni di equilibrio (ramo dx e
ramo sx): la trave può svergolare a destra o a sinistra.
9

Caso b1 → asta imperfetta + piccoli spostamenti
L
Kq
l
q
lL/Kq
q
1
L’immettere una deformazione iniziale modellata come una
rotazione iniziale q0, determina una direzione preferenziale
di instabilità. Per q elevati domina 1/q, dato che q0 è
costante. Se q cresce, 1/q tende a zero e il tutto tende a 1.
q0
Kq(q – q0) - lLq = 0
Kqq – Kq0 - lLq = 0
(Kq – lL) q = Kq q0
l L/ Kq= 1 – q0 /q
10

Caso b2 → asta imperfetta + NO piccoli spostamenti
L
Kq
l
q
lL/Kq
q
1
L’immettere una deformazione iniziale modellata come una
rotazione iniziale q0, determina una direzione preferenziale
di instabilità. Per q elevati domina 1/q, dato che tende a
1(q/sinq <<<). Per q grandi, q/sinq assume maggiore
importanza, poiché q è monotono crescente, mentre sinq è
confinato (il tutto →∞)
q0
Kq(q – q0) - lLsinq = 0
(q – q0) – (lLsinq)/Kq = 0
l L/ Kq= (q – q0 )/(sinq)
11

Caso b2 → asta imperfetta + NO piccoli spostamenti
L
Kq
l
q
lL/Kq
q
1
q0
Caso b1 → asta imperfetta + piccoli spostamenti
Caso a2 → asta perfetta + NO piccoli spostamenti
Caso a1 → asta perfetta + piccoli spostamenti
12

COLONNA DI EULERO
Si considera l’asta incernierata alla base e con carrello in testa.
Ipotesi di base:
1. L’asta è perfetta dal punto di vista geometrico, ovvero perfettamente rettilinea, perfettamente disposta sulla verticale, con sezione costante;
2. L’asta è costituita da materiale elastico lineare e non esistono imperfezioni di tipo meccanico: l’asta è omogenea e non esistono sforzi iniziali;
3. Il carico P è perfettamente allineato sull’asse verticale dell’asta;
4. Si immagina che l’asta possa deformarsi solo nel piano (x – y).
→ Il problema può essere trattato come IDEALE.
x
y
P
P
l
(a) (b)
Asta di Eulero: (a) configurazione
indeformata, (b) configurazione deformata.
y(x)
13

COLONNA DI EULERO
Seguendo il criterio statico e la teoria del secondo ordine, l’equilibrio è valutato nella configurazione deformata. La funzione y(x) rappresenta
analiticamente la deformata trasversale della colonna, secondo la teoria della linea elastica.
Nella configurazione deformata, alla sezione di ascissa x lungo l’asse della trave, si sviluppa
Mest = P y(x)
Tale momento esterno dovrà essere equilibrato da un momento interno (teoria elementare delle travi)
Mint = E J c(x)
x
y
P
Equilibrio nella configurazione deformata per
un tratto di trave lungo x.
Mest = P y(x)
P
P y(x) = E J c(x)
Nell’ipotesi di linearizzazione
della cinematica, c(x) = - y’’(x)
x
y
d2y/dx2 <0
Relazione fra derivata seconda della linea
elastica e la curvatura.
14

COLONNA DI EULERO
Si ricava quindi
P y(x) = - E J y’’(x)
y’’(x) + P y(x) / (E J) = 0
y’’(x) + a2 y(x) = 0 [con a2 = P / (E J)]
L’integrale generale è
y(x) = A sin(ax) + B cos(ax)
Le costanti A e B si ricavano imponendo le condizioni al contorno, ovvero agli estremi della colonna dove in entrambi i casi sono vincolati gli
spostamenti trasversali:
y(x = 0) = 0 → B = 0
y(x = l) = 0 → A sin(al) = 0
Questo problema è omogeneo e presenta in termini generali soluzioni banali (nulle) e non banali (non identicamente nulle per condizioni
particolari). Infatti, la seconda condizione è verificata in due situazioni:
1. A = 0; sin(al) ≠ 0, a cui corrisponde la condizione banale y(x) = 0 (trave rettilinea indeformata);
2. A ≠ 0; sin(al) = 0 → al = n p n = 1, . . ., ∞ → an = n p / l a cui corrispondono soluzioni non banali tipo yn(x) = A sin(anx) .
Si è escluso il caso n = 0 e a = 0, a cui corrispondono aste scariche. NOTA: A è indeterminata, non è possibile ottenere una valutaizone degli
spostamenti, essendo significativa solo la forma della deformata non banale.
I coefficienti an = n p / l sono gli infiniti autovalori cui sono associati i carichi:
a2
n = n2 p2 / l2 = P / E J → Pn = a2
n E J = n2 p2 E J / l2
15

COLONNA DI EULERO
Dal punto di vista ingegneristico, ha senso particolare il più piccolo di questi carichi, n = 1: si ottiene
PE = p2 E J / l2
A cui è associata la deformata critica yE(x) = A sin(px / l)
x
y
PE = p2 E J / l2
P
l
P2 = 4PE P3 = 9PE P4 = 16PE
(a) (b) (c) (d)
Configurazioni inflesse in equilibrio sono i relativi carichi Pn: (a) n = 1, (b) n = 2, (c) n = 3, (d) n = 4.
Carichi più elevati, crescenti come n2, si
potrebbero raggiungere solo se si potessero
impedire lo sviluppo delle autofunzioni,
ovvero delle deformate precedenti: per
esempio, per n = 3, se si riuscisse a bloccare
la possibilità delle prime due autofunzioni, si
riuscirebbe ad avere una portanza 9 volte più
grande della semplice colonna di Eulero.
Questo risulta essere possibile solo con
l’aggiunta di ulteriori vincoli.
16

FENOMENI DI INSTABILITÀ – ASPETTI REALI
Nella realtà tuttavia si hanno imperfezioni, sia globali che locali.
Imperfezioni globali:
• Aste non perfettamente rettilinee con sez. costante;
• Assenza di perfetta verticalità, con inclinazione accidentale f e fuori piombo D = Lf;
• Linea d’asse incurvata con freccia massima d;
• Insieme dei suddetti.
Imperfezioni locali:
• Imperfezioni su altezza sezione (b);
• Imperfezioni su larghezza sezione (c);
• Imperfezione su posizionamento anima sezione rispetto alle ali (d);
• Imperfezione spessori ali e anima (e);
• Torsione iniziale (f);
• Difetti di squadratura (g)-(h).
Inoltre:
• Il materiale non è elastico lineare: sono presenti disomogeneità di caratteristiche meccaniche legate alla lavorazione (parti diverse possono
avere caratteristiche diverse);
• I carichi non sono perfettamente centrati sull’asse della trave, ho azioni secondarie che rendono lo stato di sollecitazione differente da quello
ideale;
• Sbandamento per instabilità può avvenire su ogni piano.
17

FENOMENI DI INSTABILITÀ – ASPETTI REALI
18

FENOMENI DI INSTABILITÀ – LUNGHEZZA LIBERA DI INFLESSIONE
Il carico critico euleriano di un’asta ideale:
𝑃𝐸 = 𝜒
𝜋2
𝑙2
𝐸𝐽
Con c = (a l / p)2 coefficiente adimensionale che indica l’influenza dei vincoli sul valore del carico critico.
c = 1 → Asta di Eulero;
c = 1/4 → Asta incastrata al piede;
c = 4.4932 / p2 → Asta incastro – appoggio;
𝑃𝐸 =
𝜋2
𝑙0
2 𝐸𝐽
Le diverse condizioni di vincolo possono essere ricondotte al caso di asta di Eulero sostituendo ad l (lunghezza) il valore l0 , detto lunghezza libera di
inflessione, che rappresenta la distanza tra due successivi punti di flesso della deformata critica.
Si ha quindi che
𝑙0 =
1
𝜒
= 𝛽 𝑙
19

FENOMENI DI INSTABILITÀ – SNELLEZZA E CURVA DI STABILITÀ
Facendo riferimento alla tensione critica, si ottiene:
𝜎𝐸 =
𝑃𝐸
𝐴
=
𝜋2
𝑙0
2 𝐸
𝐽
𝐴
=
𝜋2
𝑙0
2 𝐸𝜌2
Con r = (J / A)0.5 raggio giratore di inerzia della sezione e J momento di inerzia della sezione attorno all’asse perpendicolare al piano in cui avviene
lo sbandamento.
l = l0 / r → snellezza colonna. l riassume caratteristiche geometriche (lunghezza, sezione, momento di inerzia) e condizioni di vincolo
(attraverso b) che governano il comportamento dell’asta nei confronti dell’instabilità. La tensione critica diventa quindi:
(tanto più piccola quanto più snella è l’asta).
𝜎𝐸 =
𝜋2
𝜆2
𝐸
s
l
sE
20

Il materiale tuttavia non è indefinitamente elastico (lo è per ipotesi fino sy). La zona bianca, delimitata curva sE e dalla barriera orizzontale che
rappresenta la crisi per schiacciamento plastico, rappresenta tutte le possibili situazioni (combinazioni di sforzo e snellezza). Esiste inoltre un punto
C in cui il collasso della colonna avviene contemporaneamente per schiacciamento per plasticità e per instabilità: uguagliando le due equazioni che
rappresentano le condizioni suddette, si ha:
s = sy
s = p2 E / l2
Si ha l* snellezza di transizione [separa l’intervallo relativo alle aste snelle l > l* (crisi per instabilità euleriana), da quello delle aste tozze l < l*
(crisi per schiacciamento per plasticità)].
l* = p (E / sy)0.5
FENOMENI DI INSTABILITÀ – SNELLEZZA E CURVA DI STABILITÀ
s
l
Collasso per plasticità
C
l*
sy
sE
21

Esercitazione
Calcolo dominio M-N a caldo e thermal buckling con domanda per
dilatazione impedita
22

Risks related with fire hazards in Cultural Heritage sites,
structures and artefacts
Pagina 23
Acciaio: caratteristiche meccaniche
Alessandra Aguinagalde (UNIROMA)
Firenze 15 Febbraio 2019
Reduction factors for the stress-strain relationship of carbon steel at elevated temperatures
(EN 1993-1-2).
A caldo: la poca massa degli elementi strutturali e la grande
conducibilità termica provoca un rapido incremento di temperatura
che innesca fenomeni di decadimento delle proprietà meccaniche.
Corso di Progettazione Strutturale Antincendio A.A. 2020/2021
Francesco Petrini, Alessandra Aguinagalde
(RICHIAMO)
23

Pagina 24
(EN 1993-1-2).
fy,θ
Ea,θ
εy,θ εu,θ
(RICHIAMO)
24

ESERCITAZIONE
Vogliamo definire un metodo semplificato per la verifica A CALDO di elementi strutturali in acciaio soggetti all’azione del fuoco
B-
Bracing system
Beams
Columns
(D-Regions separately studied)
COMBINATIONS (M - N)
BENDING MOMENT (M)
SHEAR (V)
AXIAL
TRACTION
COMPRESSION
(N)
Because of DSV:
Ha senso definire tale metodo per la presso/tenso-flessione, cosicchè lo potremo usare per:
- Flessione pura
- Trazione pura
- Compressione pura (se riusciamo a considerare fenomeni di instabilità)
- Combinazione M-N

26
ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
max(σN+M)2 max(σN+M)crit
N2
N3
Temp
T1=20°C
Colonna in acciaio in cui è
imedito l’allungamento in
testa, sottoposta a sforzo
normale eccentrico in
testa
(vincola solo allungamento)
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
26

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
Assunsioni semplificative
- La temperatura sul materiale strutturale è pari a quella dei gas e fumi nelle vicinanze
- La temperatura all’interno dell’elemento strutturale è uniforme (ELIMINATA PER
SOLLECITAZIONI NON COMPOSTE)
- Si escludono fenomeni di instabilità
- Si Trascura l’aumento di Msd dovuto all’inflessione crescente con la temperatura
- Si trascurano le interazioni iperstatiche con il resto della struttura
- Si trascura l’effetto del tratto di raccordo curvo nel legame costitutivo dell’acciaio
27

COLONNA DI EULERO
Dal punto di vista ingegneristico, ha senso particolare il più piccolo di questi carichi, n = 1: si ottiene
PE = p2 E J / l2
A cui è associata la deformata critica yE(x) = A sin(px / l)
x
y
PE = p2 E J / l2
P
l
P2 = 4PE P3 = 9PE P4 = 16PE
(a) (b) (c) (d)
Configurazioni inflesse in equilibrio sono i relativi carichi Pn: (a) n = 1, (b) n = 2, (c) n = 3, (d) n = 4.
Carichi più elevati, crescenti come n2, si
potrebbero raggiungere solo se si potessero
impedire lo sviluppo delle autofunzioni,
ovvero delle deformate precedenti: per
esempio, per n = 3, se si riuscisse a bloccare
la possibilità delle prime due autofunzioni, si
riuscirebbe ad avere una portanza 9 volte più
grande della semplice colonna di Eulero.
Questo risulta essere possibile solo con
l’aggiunta di ulteriori vincoli.

Traction
σ
ε
εyd
εud ≈ ∞
fyd
-εyd
-fyd
εud ≈ ∞
Compression
Collasso per
plasticizzazione
completa
Collasso per
plasticizzazione
completa
Collasso per
Instabilità
fyd =
= fyd
Capacity =fyd*Area
Capacity = fyd*Area
Capacity = Pcrit
Steel structures. B-Regions – Evaluation of AXIAL CAPACITY
SLENDERNESS
EFFECTIVE LENGTH
BUCKLING
BUCKLING
Collapse due to
Buckling
Collapse due to
complete
plasticization
Collapse due to
complete
plasticization
MAIN ASSUMPTIONS:
1) Perfect EL-PL Constitutive
law;
2) q
3) Infinite ductility (eu = +∞);
Axial load:
Columns and
bracing systems
(frames without
moment resisting
connections)
𝝅𝟐𝑬
𝝀𝟐 = 𝝈𝒚 → 𝝀∗ =
𝝅𝟐𝑬
𝝈𝒚
30

Traction
σ
ε
εyd
εud ≈ ∞
fyd
-εyd
-fyd
εud ≈ ∞
Compression
=fyd
Collapse due to complete
plasticization
Collapse due to
Buckling
λ
Capacity =fyd*Area Capacity =Pcrit
Capacity =fyd*Area
Steel structures. B-Regions – Evaluation of AXIAL CAPACITY
Collapse due to
complete
plasticization
MAIN ASSUMPTIONS:
1) Perfect EL-PL Constitutive
law;
2) q
3) Infinite ductility (eu = +∞);
RESISTANT DOMAIN FOR
COMPRESSED STRUCTURAL
ELEMENTS
Axial load:
Columns and
bracing systems
(frames without
moment resisting
connections)
λ*
31

32
ESERCITAZIONE
P
Psd1
Psd1
Msd1
Msd=Psd1*ecc
T1=20°C
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
testa
ecc
PE(tozza)
σcrit_1
PE(snella)
(tozza) 32

Esercizio:
Verifica Tcrit sezione pressoinflessa
con domanda variabile e thermal
buckling

Pagina 34
(EN 1993-1-2).
fy,θ
Ea,θ
εy,θ εu,θ
(RICHIAMO)
Abbatte il
carico
critico
Abbatte la
resistenza
plastica
34

35
ESERCITAZIONE
P
Psd1
Psd1
Msd1
Msd=Psd1*ecc
T1=20°C
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
testa
ecc
σcrit_1
(snella)
Caso di colonna già snella a freddo
PE1
35

36
ESERCITAZIONE
Psd1
Msd1
T2>T1
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
Temp
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd2
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
PE2
σcrit_2
σcrit_1
Caso di colonna già snella a freddo
36

Pagina 37
(EN 1993-1-2).
fy,θ
Ea,θ
(RICHIAMO)
Abbatte il
carico
critico
Abbatte la
resistenza
plastica
Il carico critico si
abbatte prima della
resistenza plastica!
37

38
ESERCITAZIONE
P
Psd1
Psd1
Msd1
Msd=Psd1*ecc
T1=20°C
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
testa
ecc
PE1
σcrit_1
Caso di colonna tozza a freddo
38

39
ESERCITAZIONE
Psd1
Msd1
T2>T1
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
Temp
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd2
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
σcrit_1
PE2
σcrit_2
39

40
ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
Temp
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd
ΔPsd2
ΔPsd
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
σcrit_1
PE2
σcrit_2
PE3
Può diventare snella a caldo!!
40

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd
ΔPsd2
ΔPsd
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
Può diventare snella a caldo!!
Psd1
Msd1
Mp
Py
-Mp
Mp
Psd2
Psd
PE1
PE2
PE3
IL COLLASSO E’
ANTICIPATO ED
AVVIENE PER
INSTABILITA’
41

Pagina 42
(EN 1993-1-2).
fy,θ
Ea,θ
(RICHIAMO)
Abbatte il
carico
critico
Abbatte la
resistenza
plastica
Il carico critico si
abbatte prima della
resistenza plastica!
100°C<T<400°C
range critico per questo
fenomeno
42

43
ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
400°C>T2>100
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd
σy1 σy1 σy2 σy2
σy3 σy3
N1
σN1 σN2
σN_crit
max(σN+M)1
N2
N3
Temp
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd
ΔPsd2
ΔPsd
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
σcrit_1
PE2
σcrit_2
PE3
Può diventare snella a caldo per
100°C < T < 400°C
400°C>T3>T2
43

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
47

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
Msd aumenta con Psd in maniera
significativa, si dovrà considerare
ad ogni passo Msd=Psd*ecc
49

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit(M variab)
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
Msd aumenta con Psd in maniera
significativa, si dovrà considerare
ad ogni passo Msd=Psd*ecc
La crisi sarà
anticipata
Psd_crit(M kost)
50

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit(M variab)
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
PE2
PE3
51

ESERCITAZIONE
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit(M variab)
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
PE2
PE3
Prossime lezioni con FP a concludere
parte 2 del programma del corso
Metodi numerici avanzati
52

Esemprio applicativo:
Verifica resistenza di un
edificio in acciaio a ritti
pendolari.
(Riccardo Panico)

APPLICAZIONE AD UN EDIFICIO IN ACCIAIO CON VALUTAZIONE DI
SOSTENIBILITA’
• Edificio reale di 17 piani composto da elementi
strutturali interamente in acciaio e ipotizziamo due
scenari d’incendio:
1. Incendio al primo piano e gli elementi
considerati sono l’HEB 700 e i controvento di
diametro 273mm, spessore 20mm.
2. Incendio nell’outrigger e gli alimenti esposti
sono HEB 400 e i controventi di diametro
219,1mm, spessore 16mm.
1) 2)

Dall’analisi agli elementi finiti della struttura

Dominio plastico – buckling delle colonne HEB 700 e 400
• Dal grafico si può constatare che le colonne collassano per plasticizzazione alla temperatura di 400°C e attraverso
l’equazione dell’ISO 834 si determina il tempo che intercorre dall’innesco dell’incendio al crollo dell’edificio che è di
circa 16 minuti.
0,00E+00
5,00E+08
1,00E+09
1,50E+09
2,00E+09
2,50E+09
3,00E+09
3,50E+09
0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 1,00E+07 1,20E+07
Momento
(N*mm)
P agente (N)
Dominio plastico-buckling
Dominio 20°C
Dominio_el
20°C
Domanda 20°C
Dominio 100-
400°C
Domanda 100°C
Domanda 400°C
dominio 450°C
Domanda 450°C

Dominio plastico – buckling dei controventi
• Dal grafico si può constatare che i controventi collassano per instabilità a circa 150°C, tale valore ti temperatura si
raggiunge in15 minuti.
0,00E+00
5,00E+07
1,00E+08
1,50E+08
2,00E+08
2,50E+08
3,00E+08
3,50E+08
4,00E+08
4,50E+08
5,00E+08
0,00E+00 1,00E+06 2,00E+06 3,00E+06 4,00E+06 5,00E+06 6,00E+06
Momento
(N*mm)
P agente (N)
Dominio plastico-buckling
Dominio 20°C
Dominio_el 20°C
Domanda 20°C
Dominio 150°C
Domanda 150°C
Dominio 200°C
Domanda 200°C

METODO PER AUMENTARE LA RESISTENZA DEI SINGOLI ELEMENTI
STRUTTURALI SOTTO INCENDIO
• Per l’ottenimento di una buona prestazione
strutturale sotto incendio è necessario
ottenere un tempo di resistenza che
permetta l’esodo degli occupanti.
• Questo può essere fatto con l’utilizzo di
metodi di protezione passiva come l’uso di
vernici intumescenti.

METODO PER AUMENTARE LA RESISTENZA DEI SINGOLI ELEMENTI
STRUTTURALI SOTTO INCENDIO
• Per l’ottenimento di una buona prestazione
strutturale sotto incendio è necessario
ottenere un tempo di resistenza che
permetta l’esodo degli occupanti.
• Questo può essere fatto con l’utilizzo di
metodi di protezione passiva come l’uso di
vernici intumescenti.
• Nel grafico si riscontrano 4 funzioni dipendenti dal tempo e dalla temperatura:
➢ In rosso (ISO 834) è rappresentata la curva dei gas che si utilizza per semplificare l’acciaio non protetto,
quest’ultimo indicato con la curva arancione.
➢ In verde è rappresento l’acciaio protetto con uno spessore di 15 m di vernice intumescente.
➢ In blu l’acciaio protetto con uno spessore di 30 m di vernice intumescente.

Applicazione delle vernice intumescente sulle COLONNE
• La temperatura di 400°C viene raggiunta:
➢ In circa 56 minuti con una spessore di 15 m di vernice, apportando un miglioramento del 250% rispetto all’acciaio
senza vernice intumescente.
➢ In circa 91 minuti con uno spessore di vernice di 30 m, apportando un miglioramento del 469%.
• Effetti della vernice intumescente
sulle colonne reali:
➢ La temperatura rimane invariata;
➢ Incremento di resistenza in
termini temporali.
16,45
56,86
91,54
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
ISO 834 Vernice int. 0,015 mm Vernice int. 0,03 mm
Tempo
(minuti) Tempo di plasticizzazione

0,00E+00
5,00E+07
1,00E+08
1,50E+08
2,00E+08
2,50E+08
3,00E+08
3,50E+08
4,00E+08
4,50E+08
5,00E+08
0,00E+00 1,00E+06 2,00E+06 3,00E+06 4,00E+06 5,00E+06 6,00E+06 7,00E+06
Momento
(N*mm)
P agente (N)
Dominio plastico-buckling dei controventi
Dominio 20°C
Dominio_el 20°C
Domanda 20°C
Dominio 100-
400°C
Domanda 300°C
Domanda 400°C
Sostituzione dei vincoli
• Per evitare che i controventi esaminati collassino per instabilità si aggiunge una piastra che lega il controvento teso con
il controvento compresso, così facendo la lunghezza libera di inflessione si dimezza.
➢ Facendo collaborare i controventi si porta la temperatura critica a 300°C con conseguente miglioramento del 100%.
➢ Il tempo che porta al collasso l’elemento strutturale è di 15 minuti

Applicazione delle vernice intumescente ai CONTROVENTI
• La temperatura di 300°C viene raggiunta:
➢ In circa 43 minuti con uno spessore di 15 m di vernice con un miglioramento del 187% rispetto all’acciaio senza
vernice.
➢ In circa 72 minuti con uno spessore di 30 m di vernice apportando un miglioramento del 380%.
• Anche con l’aggiunta della piastra in
mezzeria, il tempo del collasso rimane
sempre di 15 minuti.
• Una possibile soluzione per aumentare
la resistenza strutturale dei controventi
all’incendio è l’applicazione della
vernice intumescente.
15,69
43,39
72,46
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
ISO 834 Vernice int. 0,015 mm Vernice int. 0,03 mm
Tempo
(minuti)
Tempo di plasticizzazione

Introduzione all’analisi strutturale al calcolatore per la simulazione dei
fenomeni di buckling e della risposta plastica
63
CAPP 5, 6

Analitico semplificato
Numerico avanzato

METODO SEMPLIFICATO
Francesco Petrini
Psd1
Msd1
T2>T1
T=Tcrit-y>T2
Mp
Py
-Mp
Mp
-Mp
Psd2
Psd_crit(M variab)
T1=20°C
testa
P
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ΔPsd2
ΔPsd_crit
ecc
Psd1
Msd=Psd1*ecc
PE1
PE2
PE3
Metodi numerici avanzati

Introduzione all’analisi strutturale al calcolatore
per l’analisi di buckling
67

CARICHI CRITICI EULERIANI
68
CAPP 5, 6

69
ELEMENTI ISOLATI
𝑷𝒄𝒓 =
𝝅𝟐𝑬𝑰
𝒍𝟎
𝟐
CAPP 5, 6

Pcr= 20000 kN Pcr= 16556.5 kN Pcr= 16458.9 kN Pcr= 16441.3 kN
70
• Caso 1
β=1
E (MPa) b (m) 𝐥𝟎 (m) I (m4) Pcr (kN)
200000 0.1 1 0.00000833 16449.3
CAP 6

16000
16500
17000
17500
18000
18500
19000
19500
20000
20500
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
• Caso 1
β=1
Pcr Straus7
n. elementi Pcr (kN) Errore (%)
1 20000.00 21.585
2 16556.50 0.651
3 16458.90 0.058
4 16441.30 -0.049
71
200000 0.1 1 0.00000833 16449.3
CAP 6

β=2
Pcr= 4143.27 kN Pcr= 4114.4 kN Pcr= 4112.76 kN Pcr= 4112.47 kN
72
• Caso 2
200000 0.1 2 0.00000833 4112.3
CAP 6

β=2
4100
4105
4110
4115
4120
4125
4130
4135
4140
4145
4150
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
Pcr Straus7
1 4143.27 0.752
2 4114.44 0.051
3 4112.76 0.010
4 4112.47 0.003
73
200000 0.1 2 0.00000833 4112.3
• Caso 2
CAP 6

β=0.7
Pcr= 50000 kN Pcr= 34514.7 kN Pcr= 33720.4 kN
Pcr= 33857.7 kN
74
• Caso 3
200000 0.1 0.7 0.00000833 33570.1
CAP 6

β=0.7
33000
35000
37000
39000
41000
43000
45000
47000
49000
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
75
200000 0.1 0.7 0.00000833 33570.1
Pcr Straus7
1 50000.00 48.942
2 34514.70 2.814
3 33857.70 0.857
4 33720.40 0.448
• Caso 3
CAP 6

β=2
Pcr= 4143.27 KN Pcr= 4114.44 KN Pcr= 4112.76 KN Pcr= 4112.47 KN
76
• Caso 5
200000 0.1 2 0.00000833 4112.3
CAP 6

β=2
4100
4105
4110
4115
4120
4125
4130
4135
4140
4145
4150
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
77
Pcr Straus7
n. elementi Pcr (KN) Errore (%)
1 4143.27 0.752
2 4114.44 0.051
3 4112.76 0.010
4 4112.47 0.003
200000 0.1 2 0.00000833 4112.3
• Caso 5
CAP 6

β=1
Pcr= 16666.7 KN Pcr= 16573.1 KN Pcr= 16457.8 KN
Pcr= 16475.4 KN
78
• Caso 6
200000 0.1 1 0.00000833 16449.3
CAP 6

β=1
16400
16450
16500
16550
16600
16650
16700
16750
16800
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
Pcr Straus7
n. elementi Pcr (KN) Errore (%)
1 16666.70 1.321
2 16573.10 0.752
3 16475.40 0.158
4 16457.80 0.051
79
200000 0.1 1 0.00000833 16449.3
• Caso 6
CAP 6

β=0.5
Pcr= 66666.7 kN Pcr= 67238.6 kN Pcr= 66292.3 kN
80
• Caso 4
200000 0.1 0.5 0.00000833 65570.1
CAP 6

β=0.5
Pcr Straus7
1 - -
2 66666.70 0.013
3 67238.60 0.022
4 66292.30 0.008
81
65000
65500
66000
66500
67000
67500
68000
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
200000 0.1 0.5 0.00000833 65570.1
• Caso 4
CAP 6

ΔT = 10°C
α = 0.0000115
𝜺𝑻 = α ∙ΔT = 0.000115
𝝈𝑻 = 𝐸 ∙ 𝜀𝑇 = 23 Mpa
𝑵𝑻 = 𝐴 ∙ σ𝑇 =230 kN
Effetto della temperatura
● Caratteristiche della sezione
▪ B=H=0.1 𝑚
▪ A = 𝐵2 = 0.01 𝑚2
▪ I =
𝐵4
12
= 0.00000833 𝑚4
82
CAP 6

Pcr Straus7
n. elementi λ Pcr (kN)
1 86.95 19998.5
2 72.05 16571.5
3 71.63 16474.9
4 71.55 16456.5
β=1
83
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
• Caso 1
CAP 6

β=2
4110
4115
4120
4125
4130
4135
4140
4145
1 2 3 4
Pcr
(KN)
N° elementi
Pcr Straus7
n. elementi λ Pcr (KN)
1 18.01 4142.3
2 17.88 4112.4
3 17.88 4112.4
4 17.88 4112.4
84
• Caso 2
CAP 6

β=2 Pcr Straus7
n. elementi λ Pcr (KN)
1 217.39 49999.7
2 150.06 34513.8
3 147.20 33856.0
4 146.61 33720.3
30000
32000
34000
36000
38000
40000
42000
44000
46000
48000
50000
1 2 3 4
Pcr
(KN)
N° elementi
85
• Caso 3
CAP 6

β=0.5 Pcr Straus7
1 - -
2 289.95 66688.5
3 292.34 67238.2
4 288.22 66290.6
86
65500
66000
66500
67000
67500
68000
1 2 3 4
Pcr
(KN)
N° elementi
• Caso 4
CAP 6

β=2 Pcr Straus7
1 18.01 4142.3
2 17.88 4112.4
3 17.88 4112.4
4 17.88 4112.4
4110
4115
4120
4125
4130
4135
4140
4145
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
87
• Caso 5
CAP 6

β=2 Pcr Straus7
1 72.46 16665.8
2 72.05 16571.5
3 71.63 16474.9
4 71.55 16456.5
16400
16450
16500
16550
16600
16650
16700
1 2 3 4
Pcr
(kN)
N° elementi
88
• Caso 6
CAP 6

89
CAP 6

90
ULTERIORI ASPETTI SULL’INSTABILITÀ DELLE STRUTTURE

ELEMENTI INTELAIATI
CARATTERISTICHE GEOMETRICHE
H = 4 m
L = 6 m
Traverso IPE 500
Colonna HEA 200
CARATTERISTICHE MECCANICHE
𝐽𝐼𝑃𝐸 500 = 0.000482 𝑚4
𝐽𝐻𝐸𝐴 200 = 0.0000369 𝑚4
𝑘 =
𝐽𝑇
𝐽𝐶
∙
ℎ
𝑙
= 8.7
91
CAP 6

92
𝑃𝑐𝑟 = 415.7 𝑘𝑁
Analogia con caso colonna in cui 𝐹 = 2 𝑘𝑁 e momento di
inerzia della colonna 𝐼𝑥=2 ∙ 𝐼𝑡𝑒𝑙𝑎𝑖𝑜
ELEMENTI INTELAIATI
𝑃𝑐𝑟 = 415.02 𝑘𝑁
CAP 6

93
ELEMENTI INTELAIATI
I carichi critici corrispondenti a deformate simmetriche hanno interesse solo se lo sbandamento laterale risulta impedito. Questo impedimento può essere
fornito da un sistema di controventature nel piano del telaio. (L. Corradi Dell’Acqua (1978), Instabilità delle strutture, Milano, CLUP).
Si analizza il caso di un telaio controventato con un profilo tubolare in acciaio e si studia l’andamento della deformata al variare del diametro.
D(m) Pcr (KN)
0.01 3229.63
0.015 4181.64
0.02 4607.36
0.025 4791.75
0.03 4886.35
0.035 4942.47
0.04 4979.28
0.045 5005.18
0.05 5024.35
CAP 6

94
ELEMENTI INTELAIATI
1500
2000
2500
3000
3500
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Pcr
(kN)
D (m)
Instabilità controvento
Controventi poco rigidi (diametro piccolo) fanno sì che il carico critico corrisponda
ad una deformata antisimmetrica.
Aumentando il diametro e quindi la rigidezza, il fenomeno di instabilità si verifica
per una deformata critica simmetrica, come se lo sbandamento laterale fosse
impedito da un vincolo rigido (k=∞). (L. Corradi Dell’Acqua (1978), Instabilità delle
strutture, Milano, CLUP).
CAP 6

Instabilità delle strutture sotto incendio:
Aspetti introduttivi sul Thermal Buckling
95

96
ANALISI STRUTTURALE IN CASO DI INCENDIO
3.6.1.5 PROCEDURA DI ANALISI DELLA RESISTENZA AL FUOCO (NTC 2018)
L’analisi della resistenza al fuoco può essere così articolata:
- individuazione dell’incendio di progetto appropriato alla costruzione in esame;
- analisi della evoluzione della temperatura all’interno degli elementi strutturali;
- analisi del comportamento meccanico delle strutture esposte al fuoco;
- verifiche di sicurezza.
ANALISI DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DELLE STRUTTURE ESPOSTE AL FUOCO
Il comportamento meccanico della struttura viene analizzato tenendo conto della riduzione della resistenza
meccanica dei componenti. I materiali quando si surriscaldano non mantengono le caratteristiche che hanno a
freddo, ma la loro resistenza viene abbattuta di certi coefficienti.

97
ANALISI STRUTTURALE IN CASO DI INCENDIO
ANALISI NON LINEARI NON STAZIONARIE
N.L. MATERIALE N.L. GEOMETRIA
Le deformazioni della struttura non
possono essere considerate trascurate.
L’equilibrio è scritto nella configurazione
deformata.
Il comportamento del materiale
non è elastico lineare, ma
elastico non lineare o elasto-
plastico.
Nel caso di comportamento N.L. si utilizzano strategie di soluzioni iterative.

98
Analisi non lineari non stazionarie
Le analisi non lineari non stazionarie vengono fatte tramite un procedimento di tipo iterativo con il codice di calcolo.
T = 𝐭𝟏
T = 𝐭𝟐

99
𝑆1 = 𝑃1 − 𝑅1
↓
se 𝑆1 ≪ 10−6 ÷ 10−7
accetto 𝑣1
′
se 𝑆1≫ 10−6
÷ 10−7
stimo nuova rigidezza 𝑲𝟏
CRITERIO DI CONVERGENZA
Analisi non lineari non stazionarie

100
Esempio di procedura con il codice di calcolo
1) Individuazione dell’incendio di progetto appropriato alla costruzione in esame
2) Analisi della evoluzione della temperatura all’interno degli elementi strutturali
3) Analisi del comportamento meccanico delle strutture esposte al fuoco
4) Verifiche di sicurezza

101
INDIVIDUAZIONE DELL’INCENDIO DI PROGETTO APPROPRIATO ALLA COSTRUZIONE IN ESAME
Esempio di procedura il con il codice di calcolo

102
fy
ANALISI DELLA EVOLUZIONE DELLA TEMPERATURA ALL’INTERNO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI
E

103
ANALISI DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DELLE STRUTTURE ESPOSTE AL FUOCO

104
INDIVIDUAZIONE DELL’INCENDIO DI PROGETTO
INCENDIO LEGGE LINEARE
t(s) T(°C)
0.00 0.00
1.00 1.00
2.00 2.00
3.00 3.00
4.00 4.00
5.00 5.00
6.00 6.00
7.00 7.00
8.00 8.00
9.00 9.00
10.00 10.00
… …
497.00 497.00
498.00 498.00
499.00 499.00
500.00 500.00
È stato scelto di implementare una legge di tipo lineare
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500 600
T(°C)
t(s)
INCENDIO
Esempio di analisi non lineare (NLG-NLM) su una colonna incastrata

105

106
Esempio di analisi non lineare (NLG) su una colonna incastrata
CAP 6

107
TABELLA E vs FACTOR
E
T(°C) Factor
20 1.00
100 1.00
200 0.90
300 0.80
400 0.70
500 0.60
600 0.31
700 0.13
800 0.09
900 0.07
1000 0.05
1100 0.0225
1200 0
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Factor
T(°C)

108
TABELLA E vs FACTOR

109
TABELLA fy vs FACTOR
fy
T(°C) Factor
20 1.00
100 1.00
200 1.00
300 1.00
400 1.00
500 0.78
600 0.47
700 0.23
800 0.11
900 0.06
1000 0.04
1100 0.02
1200 0
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Factor
T(°C)

110
TABELLA fy vs FACTOR

111
INCENDIO LEGGE LINEARE
t(s) T(°C)
0.00 0.00
1.00 1.00
2.00 2.00
3.00 3.00
4.00 4.00
5.00 5.00
6.00 6.00
7.00 7.00
8.00 8.00
9.00 9.00
10.00 10.00
… …
497.00 497.00
498.00 498.00
499.00 499.00
500.00 500.00
È stato scelto di implementare una legge di tipo lineare
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500 600
T(°C)
t(s)
INCENDIO

112
Risultati delle analisi a caldo
0
100
200
300
400
500
600
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
R,
Ny,
Pcr
[kN]
T [°C]
Pcr Ny R 2 elem
R 2 elem_IMP 0.01g R 8 elem R 8 elem_IMP 0.01g
0
50
100
150
200
0 20 40 60
R,
Ny,
Pcr
[kN]
T [°C]
CAP 6

113
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 200 400 600 800 1000 1200
Pcr,Ny,R
(kN)
T(°C)
Pcr Ny R 2 elem
R 2 elem_IMP 0.1g R 8 elem R 8 elem_IMP 0.1g
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 50 100 150
Pcr,Ny,R
(kN)
T(°C)
CAP 6

114
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 200 400 600 800 1000 1200
Pcr,Ny,R
(kN)
T(°C)
Pcr Ny
R 2 elem R 2 elem_IMP 0.1g
R 8 elem R 8 elem_IMP 0.1g
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150
Pcr,Ny,R
(kN)
T(°C)
CAP 6

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