Aquí están 10 ejemplos de variables independientes y dependientes: 1. Horas estudiadas: Variable independiente Calificación en el examen: Variable dependiente 2. Número de pasajeros: Variable independiente Ganancias del autobús: Variable dependiente 3. Temperatura exterior: Variable independiente Consumo de energía en el hogar: Variable dependiente 4. Cantidad de productos vendidos: Variable independiente Ingresos de la tienda: Variable dependiente 5. Edad del paciente: Variable independiente Presión arterial: Variable dependiente 6. Dosis

1. George Pólya
Nació: 13 Dec 1887 in Budapest, Hungary
Murió: 7 Sept 1985 in Palo Alto, California, USA
Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los
siguientes cuatro pasos:
1.- Entender el problema.
2.- Configurar un plan
3.- Ejecutar el plan
4.- Probar el resultado.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos
parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para
resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la
respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta
puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la
respuesta

2. Paso 1: Entender el
Problema.
Paso 2: Configurar
un Plan.
Paso 3: Ejecutar
el Plan.
Paso 4: Mirar hacia
atrás.
{¿Entiendes todo lo que
dice?
1.-Ensayo y Error
(Conjeturar y probar
la conjetura).
2.Usar una variable.
Implementar la o las
estrategias que
escogiste hasta
solucionar
completamente el
problema o hasta que
la misma acción te
sugiera tomar un
nuevo curso.
{¿Es tu solución
correcta? ¿Tu respuesta
satisface lo establecido
en el problema?
{ ¿Puedes replantear el
problema en tus propias
palabras?
3.Resolver un
problema similar
más simple
{No tengas miedo de
{¿Puedes ver cómo extender tu
solución a un caso general?
{¿Distingues cuáles son los
datos?
4.Hacer una figura.
{¿Sabes a qué quieres llegar?
5.Hacer un diagrama
{¿Hay suficiente información?
{¿Hay información extraña?
6.Usar razonamiento
indirecto
{¿Es este problema similar a
algún otro que hayas resuelto
antes?
7.Usar razonamiento
directo
volver a empezar.
Suele suceder que un
comienzo fresco o una
nueva estrategia
conducen al éxito.
{¿Adviertes una solución más
sencilla?

3. 1. La suma de dos números es 18 y la de sus cuadrados es 180, ¿Cuáles son los números?
Entender el problema
Identificación de
variables
Configurar un plan
Ejecutar el plan
Relación de variables
Resolver las funciones o
ecuaciones

4. Entender el problema
Identificación de
variables
h= altura en (m)
t= tiempo en (s)
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones

5. 3. Determina las dimensiones de un rectángulo, si su
perímetro es de 280m y su área es de 4000m2
Entender el problema
Identificación de
variables
Configurar un plan
Relación de variables
Base = x
Altura = y
Perímetro= 280m
Área = 4000m2
P = x+x+y+y = 2x+2y
A = x.y
2x + 2y = 280
(x) ( y) = 4000
y
x
Ejecutar el plan
Resolver las funciones
o ecuaciones

6. 4. La base de un triángulo es 3 veces su altura. Su área es de 150 m2,
¿Cuáles son sus dimensiones de la base y la altura
Entender el problema
Identificación de
variables
Configurar un plan
Relación de variables
b=?
h= ?
Datos
b=3h
Área= 150m2
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones
Fórmulas
3h2 = 300
A = (b x h)/2
1
h2 = 300/3
b=3h
2
Sustituyendo 2 en 1
150 = (3h x h)/2
3h2
= 300
h=
h = 10m
b= 3h = 3(10) = 30m

7. 1. La suma de un número y su reciproco es
Entender el problema
Identificación de
variables
X
1/X
. Hallar los números
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones
X + 1/X = 26/5
X2 + 1 = 26/5 X
X2 - 26/5 X + 1 = 0
5X2 – 26X +5 = 0
Por fórmula general
a= 5 b= -26 C = 5

8. 1.- La altura de un rectángulo es 2 metros mayor que su base. Hallar sus
dimensiones sabiendo que su área es:
a) 80 metros cuadrados
Entender el problema
Identificación de variables
80m2
b=X
h=X+2
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones
X2 + 2X – 80 = 0
(X + 10 ) (X – 8 ) = 0
(X + 10 ) = 0 X1 = - 10
(X – 8 ) = 0 X2 = 8
b=8
h = X + 2 = 8 + 2 = 10

9. b) 48 metros cuadrados cuando cada dimensión se aumenta en 2 metros
Entender el problema
Identificación de variables
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones
X2 + 6X – 40 = 0
( x +10)(x – 4 ) = 0
48m 2
b=X
h=X+2
Cada dimensión aumenta
en 2m.
b = X +2
h=X+2+2=X+4
( x +10) = 0 X1 = - 10
(x – 4 ) = 0 X2 = 4
b= X + 2
h=X+4
Los valores negativos se
descartan
b= X + 2 = 4 + 2 = 6
h=X+4=4+4=8
b= 6
h= 8

10. c) 30 metros cuadrados si se duplica su base
Entender el problema
Identificación de
variables
30 m 2
b = 2X
h=X+2
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones

11. d) Aumenta en 70 metros cuadrados cuando se disminuye su altura en 5
metros y se duplica su base
Entender el problema
Identificación de
variables
70 m 2
b = 2X
h=X+2-5
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones

12. La sala de la casa de Ronaldo es 2 ft más larga que ancha y tiene un área de 168 ft2
.¿Cuáles son las dimensiones de esa habitación?
Entender el problema
Identificación de
variables
168 ft2
a=X
L=X+2
A = 168 ft 2
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o
ecuaciones

13. Problema: A partir de una pieza cuadrada de hoja de lata o cartón, se desea
construir una caja con base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en las
esquinas de 2cm por lado y doblando hacia arriba los lados, si la caja debe tener
98 cm 3 ¿ Cuáles son las dimensiones de la pieza de hoja de lata o cartón qué
deberá usarse?

14. Largo
(cm)
Ancho
(cm)
Área
(cm2)
Altura
(cm)
Volumen
(cm3)
Dimensiones de la
placa (cm2)
1
49
49
2
98
5 X 53 = 265
2
24
48
2
96
6 x 28 = 168
3
16
48
2
96
7 x 20 = 140
4
12
48
2
96
8 x 16 = 128
5
9
45
2
90
9 x 13 = 117
6
8
48
2
96
10 x 12 = 120
7
7
49
2
98
11 x 11 = 121

15. 1.- ¿Qué puedes concluir con los datos de la tabla?
2.-¿Con qué dimensiones de la placa se obtiene un mejor rendimiento?
R= 11cm x 11cm
3.-¿Con qué dimensiones se obtiene mayor volumen?
R= 1cm x 49cm y 7 cm x 7 cm
4.-¿Qué caja recomendarías fabricar?
R= 7 cm x 7 cm
5.- El volumen ¿De qué depende?
R= Del Área
6.- El área ¿De qué depende?
R= Del largo y ancho
7.- Se cumple lo siguiente:
• A mayor área, mayor volumen
R= Si se cumple
• A mayor dimensión de la placa, mayor volumen
R= No se cumple
• A mayor dimensión de la placa, mayor área
R= No se cumple

16. En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto,
llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de
manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del
Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a
cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de
forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
codominio
Dominio
X
Codominio
f(x)

17. Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )
________ Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.
________ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.
________ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.
________ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.
________ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por venderlas
________ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de una
escuela
________ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte
________ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela
________ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela
________ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56 Materias
correspondientes al bachillerato)
________ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela
________ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela

18. VALOR 20%
Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )
___R_____ Asientos en un camión------- Personas en una parada de
autobús.
___f_____ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.
___f_____ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.
___R_____ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.
___f_____ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por
venderlas
___f_____ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de
una escuela
___f_____ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte
___R_____ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela
___R_____ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela
___R_____ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56
Materias correspondientes al bachillerato)
___f_____ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela
___R_____ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela

19. Actividad: De las anteriores situaciones, menciona quien
depende de quien.
EJEMPLO:
1.- Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.
El n de personas depende del n de asientos
Variable independiente: Asientos en un camión
Variable dependiente: N de personas

20. Identifica la variable dependiente e independiente
Número de alumnos: Variable independiente
Bancas en un salón de clases: Variable dependiente
El balón de futbol: Variable independiente
Partido de futbol: Variable dependiente
La televisión en una casa: Variable dependiente
Integrantes de la familia: Variable Independiente
El número de tortas en una tienda: Variable independiente
Ganancias por venderlas: Variable dependiente
El n de padres de familia o tutores: Variable dependiente
N de alumnos de una escuela: Variable independiente
Kilos de corte de café: Variable independiente
Salario pagado por el corte: Variable dependiente
Desayunos del comedor: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente

21. Vendedoras del bachillerato: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente
Maestros del bachillerato: Variable dependiente
Plan de estudios : Variable independiente
(56 Materias correspondientes al bachillerato)
Asignación de áreas verdes: Variable dependiente
Grupos de la escuela: Variable independiente
Baños de la escuela: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente

22. Número de alumnos: Variable independiente
Bancas en un salón de clases: Variable dependiente
f(x) = X
X = Variable independiente
f(x) = variable independiente
F(x) = x
Si x = 4, entonces f(x) = 4
Si x= 10, entonces f(x) = 10
Si f(x) = 5x2
El balón de futbol: Variable independiente
Partido de futbol: Variable dependiente
La televisión en una casa: Variable dependiente
Integrantes de la familia: Variable Independiente

23. Actividad: Construir 10 ejemplos, donde se reflejen claramente la variable
independiente y dependiente
Ejemplo:
1.- Kilowatts consumidos contra el pago de luz
Vi
Vd
2.- Calificaciones obtenidas contra promedio
Vd
Vi
3.- # de faltas a una clase contra aprendizaje obtenido
Vi
Vd