2. Hermann Minkowski
Il matematico lituano Hermann Minkowski è il fautore di quello che è il piano sulla quale si può rappresentare geometricamente la relatività
ristretta. Minkowski fu professore al politecnico di Zurigo nello stesso periodo in cui Albert Einstein vi era studente. Fu qui, probabilmente, che
entrò a contatto con la relatività ristretta. Nel piano di Minkowski si riassumono le formule di Lorentz e le teorie relativistiche di Einstein; questo
esclusivamente se si parla di sistemi di riferimento inerziali.
3. La storia di
Minkowski
Minkowski nasce in Lituania da una famiglia ebrea ma vive prevalentemente in Germania. Il suo genio
si mostro in giovane età quandoa diciotto anni fu premiato dall'Accademiadelle scienze di Parigi per
un suo lavoro sulle forme quadratichearitmetiche. Uno degli aspetti più importanti delle sue scoperte
sono le rappresentazioni di varie entità fisiche o matematiche; prima tra tutte la dimostrazione
geometrica della relatività ristretta e delle formule di Lorentz. La sua idea, come quella dei suoi
contemporanei, era la stessa teorizzata da d'Alembert nella seconda metà del 700 dove sosteneva che il
tempo era legato allo spazio. Con le formule di Lorentz e il piano di Minkowski abbiamoinfatti
affiancato alle tre dimensioni spaziali anche una dimensione temporale ct.
4. La vita
accademica
Minkowski insegna nel politecnico di Zurigo dal 1902 al 1909, anno in cui
morì all'età di 44 anni. In questo periodo ha avuto un gran impatto sulla
fisica del tempo infatti tra i suoi studenti era presente Albert Einstein che
avvicinò Minkowski alla teoria della relatività.
5. Il contesto storico
Ci troviamotra la finedell'ottocento e l'iniziodel 900; questo è un momento di grande progresso culturale e sociale. Infattinegli anni
50 di quel secolo si tennerole prime esposizioni universali che miseroin contatto tutte le comunità culturali sociali del mondo. Questo
non solo creò un grande miglioramentonei rapporti socio-economicidei vari paesi ma fece iniziareun momento estremamente
favorevolenel progresso che si basa principalmentesulla fiducia nel progresso. Sono qui che si hannomolte invenzionie scoperte in
ambitoscientificoe nascita di correntiartistichee filosofiche.Per quanto riguarda l'ambitoscientificosi ricordanole scoperte dei raggi x
nel 1895, dell'elettrone e dei tubi catodici nel 97 e anche le ricerchedi MarieCurie sulle radiazioninel 1903. Dal punto di vista artistico
si hanno grandi innovazioninell'ambitodell'architetturadata anche le innovazioninell'ambitosiderurgico si riescono a costruire strutture
completamentein ferro,come la torre Eiffelo a qusto periodo risale il primo prefabbricatodella storia, il Cristal Palacedi Londra.Un
altro evento importantesarà l'ultima esposizioneche avvennein Americamentrein Europa scoppiava la grande guerra dove fu
inauguratoil canaledi Panama.
6. Struttura matematica
Il piano ha come coordinate lo spazio in x e il tempo come y; ma per mettere anche come ordinata una lunghezza viene
messa ct. Sul piano sono presenti varie curve:
• Due iperboli, dette iperboli di calibrazione, che non sono altro che la formula dell'IST(invariate spazio temporale)
• Due rette che delimitano il nuovo sistema di riferimento e che hanno un inclinazione rispetto agli assi iniziali dipendente
dalla velocità relativa tra i sistemi di riferimento. Quella più vicina all'asse delle x è detta x' mentre l'altra è detta ct'.
• La bisettrice del primo e terzo quadrante che sta ad indicare la velocità della luce.
7. Le iperboli di
calibrazione
La relatività ristretta ci ha insegnato che lo spazio e il tempo non sono assoluti ma dipendono
dal punto di osservazione dell'evento.Di conseguenza un unita di spazio di uno dei sistemi di
riferimento non corrisponde con l'unità di spazio dell'altro sistema. Di conseguenza abbiamo
bisogno di un valore costante che ci permette di connettere i due sistemi. La relatività
presenta due invariabili importanti: quella che lega l'energiacon la quantità di moto e quella
che lega lo spazio e il tempo. Nel piano di Minkowski usiamo la seconda che viene chiamata
IST, ovveroinvariante spazio temporale; la cui formula è la seguente.
IST=x2-y2=x'2-y'2
Di conseguenza ponendo l'IST=1troveremo l'unitàdel nuovosistema di riferimento che sarà
la distanza tra l'origine e il punto di intersezione tra l'iperbole e la retta che rappresenta il
nuovoasse x'.
8. L'inclinazione delle rette
Le rette, come abbiamo detto, sono inclinatein base alla velocità relativatra i due sistemi. In particolareprendiamoin considerazioneil
valore β che è uguale al rapportotra la velocità relativa tra i sistemi di riferimentoe la velocità della luce; questo valore non è altro
che la tangentedell'angolo tra la retta delle x e quella di x' e tra quella di ct e quella di ct'. Dalla definizionedi β possiamo capireche
se i due sistemi si muovono con velocità relativatendente a 0 le retteche definisconoil nuovo sistema tendono a quelle vecchie e di
conseguenza non si vedono le dilatazionie contrazionispaziotemporalidettatedalla relativitàristretta.Questo è il motivo per cui ci si
pose il problema solo nella seconda parte 1800 perché gli esperimentiavvenivanoa velocità trascurabili rispetto a quella della luce.
Soltanto una volta scoperte le forze elettrichee magnetichesi capi che i conti della relativitàgalileiana non ridavanoe si cerco una
risposta. Nel piano di Minkowski è presenteanche la bisettriceche segna un limite,infattidato che β è una velocità fratto c non potrà
mai essere maggiore di 1 quindi la retta x' non potrà mai essere superiore alla bisettricee ct' minore.
9. Come calcolare le lunghezze
Il paino di Minkowski unisce due piani cartesiani che rappresentano due sistemi di riferimento; tuttavia questi sistemi non
sono propriamente uguale e di conseguenza vediamo un sistema in maniera normale e uno distorto con gli assi inclinati.
Questo crea una difficolta nel calcolare le lunghezze nel nuovo sistema dato che misurando il segmento con le misure degli
assi normali troviamo la lunghezza nel vecchio sistema. Ora entrano in campo le iperboli di calibrazione che. Come visto
precedentemente, ci indicano la nuova unità del sistema di riferimento con gli assi inclinati. Di conseguenza per calcolare
una lunghezza dovremo misurarla nel vecchio sistema per poi dividerla per la nuova unità
10. La posizione di
un punto
Per calcolare le nuove coordinate di un punto suddividiamo l'incarico in due parti:
l'individuazione dei segmenti sugli assi che identificano le coordinate e nellaseconda parte il
calcolo delle loro lunghezze tramite la nuova unità del sistema di riferimento.
Per la prima parte dobbiamo capire come trovare le proiezionidel punto scelto sui nuoviassi
cartesiani; per fare ciò dobbiamo tracciare una retta parallela ad un asse e passante per il
punto e la proiezione di quest'ultimo sarà l'intersezione della retta parallela con l'altro asse:
prendiamo in considerazione la proiezione su x', per trovarla faremo la paralleladi ct'
passante per il punto e individueremo il punto di intersezione con x', quella sarà la nostra
immagine su x'.
Per calcolare le coordinate basta applicare il calcolo delle lunghezze ai segmenti che uniscono
le proiezionisugli assi con l'origine.
11. Precisazione
Dal punto di vista matematico noi parliamo di puntiin un sistema ma nel piano di
Minkowski ciò che rappresentano i puntinon sono altro che degli eventi presi in
considerazione che avvengono in un determinato spazio e in un determinato tempo.
Un segmento non è un semplice segmento ma è il punto di collegamentotra due
eventi o lo spostamentodi un evento. Se in un segmento x è costanteallora avremo
due eventi che, nel primo sistema di riferimento, avvengono nello stesso punto
spaziale a diversi tempi. Nel caso ct è costanteall'ora avremo due eventi che, sempre
nel primo sistema di riferimento, sono simultaneima avvengono su luoghidiversi.
12. Pratica
Per capire meglio il funzionamento del piano ecco una sua riproduzione creata da me stesso dove presento tre importanti usi
del piano di Minkowski:
• Le coordinate di un punto nei due sistemi di riferimento
• La dilatazione temporale
• La contrazione spaziale
Creato da Francesco Fellone
