LECCIÓN Nº 13, 14 y 15 AMORTIZACION.pdf

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Pág. EDUCA INTERACTIVA
91
AMORTIZACION
OBJETIVO:
¾ El propósito de este capitulo es aprender los principales sistemas de amortización de
deudas y combinarlos para crear nuevos modelos.
¾ Se examinaran los métodos para calcular el valor de las cuotas de amortización, las
tasas de interés, los saldos insolutos y los plazos, además de elaborar cuadros de
amortización.
¾ Se podrán comprender, analizar y manejar los sistemas de amortización que ofrecen
las instituciones financieras.
Introducción
Amortización es el proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y los
intereses que generan, se extinguen progresivamente por medio de pagos periódicos o
servicios parciales, que pueden iniciarse conjuntamente con la percepción del stock de
efectivo recibido (flujos anticipados), al vencimiento de cada período de pago (flujos
vencidos), o después de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos), De cada
pago, cuota u servicio, una parte se aplica a cubrir el interés generado por la deuda y el
resto a disminuir el saldo insoluto. Se infiere que si el pago parcial efectuado es tan
pequeño que no puede cubrir ni siquiera el interés generado por el saldo insoluto,
entonces la diferencia no cubierta es capitalizada.
A partir del día siguiente al vencimiento de cada cuota, si ésta no hubiese sido
amortizada completamente, la parte no amortizada de ella, entrará en mora generando
diariamente un interés de mora, independientemente del interés de compensatorio que
genera el saldo insoluto.
Cuando un préstamo está en mora, cada pago, hasta donde alcance, debe aplicarse para
cancelar la deuda en el siguiente orden:
¾ Interés de mora.
¾ Interés compensatorio.
¾ Principal vencido
Si quedase algún remanente, la diferencia será aplicada para cubrir:
¾ Intereses no vencidos pero devengados hasta la fecha del pago.
¾ Principal por vencer
LECCIÓN Nº 13, 14 y 15

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EDUCA INTERACTIVA Pág. 92
Contablemente, amortizar es el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo,
cargando este importe a gastos. En el presente texto Universitario tomaremos el
concepto financiero de amortización y no el contable.
Los problemas de amortización involucran:
¾ El impone de los pagos periódicos que pueden ser uniformes o irregulares
¾ El número de pagos cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares.
¾ La tasa de interés que puede ser fija, variable o implícita.
¾ La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de
servicio de la deuda o de reembolsos de préstamos.
1. Tabla de reembolso de préstamos o servicio de la deuda.
Conjuntamente con el desembolso inicial del préstamo, cuando éste se otorga en partes,
o con su desembolso total, se emite una tabla referencial de reembolso, llamada así
porque su elaboración supone:
a) La invariabilidad de la tasa de interés durante todo el plazo del crédito.
b) La cancelación de las cuotas exactamente el día de su vencimiento.
c) El desembolso del crédito en una única armada.
Las tres suposiciones generalmente no se cumplen en la práctica por algunos de los
motivos siguientes:
a) En nuestro país las tasas son variables pudiendo incrementarse o disminuir durante
el plazo del crédito
b) Los prestatarios pueden pagar sus cuotas con algunos días de atraso o anticiparse
en sus pagos. En el primer caso serán penalizados con una tasa de mora, En el
segundo, podrá descontarse la cuota con la tasa vigente, tantos días como falten
para su vencimiento.
c) Un crédito aprobado por una institución financiera puede ser desembolsado en
partes por la entidad financiadora.
Por los motivos expuestos es necesario preparar tablas definitivas que contemplen las
variaciones ocurridas durante el plazo de vigencia del préstamo.
Elementos de la tabla de reembolso.- Una tabla de reembolso puede tener diferentes
formatos, de acuerdo con los criterios de la empresa que otorga los préstamos. Sin
embargo, éstas generalmente adoptan los modelos 1, 2, o una combinación de ambos.
Deuda
extinguida
Modelo 1
Servicio Cuota interès Cuota capital Deuda residual
Nro. Fecha
Deuda
extinguida
Modelo 2
Cuota Interés Amortización Saldo insoluto
Nro. Fecha
Nro. o fecha. Indica el número del servicio o cuota, o su fecha de vencimiento.

93
Servicio o cuota Suma de la cuota interés y de la cuota capital. El servicio puede
incluir la cuota total o solo la cuota capital, de acuerdo como haya
sido pactado el préstamo.
Cuota interés Importe devengado por la aplicación de la tasa periódica del
préstamo sobre la deuda residual.
Cuota capital Importe calculado de acuerdo al sistema de reembolso pactado. Al
vencimiento de cada cuota disminuye la deuda residual.
Deuda residual Saldo del préstamo original en cualquier momento. En el momento
0 la deuda residual es igual al importe recibido en préstamo.
Deuda extinguida Importe acumulado de las cuotas capitales vencidas. Al
vencimiento de todos los servicios será igual al importe original del
préstamo.
2. Sistemas de repago de préstamos
Para reembolsar un préstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad
financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas
de repago, limitados solamente por el principio de equivalencia financiera, por medio del
cual, la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de interés o
combinación de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crédito original. Los
principales sistemas de repago de préstamos son:
Aritméticamente
Geométricamente
Periódicamente
Suma de dìgitos
Anticipadas
Diferidas
Cuotas constantes
Sistema de repago Modalidad
Vencidas
Vencidas en periodos variables.
Amortizacion constante
( Alemán )
Interes constante
( Inglés )
Cuotas crecientes
Reajuste de deudas
Combinados
¾ Cuota constante
Calculada con el FRC. Se compone de la cuota interés y la cuota capital. La primera es
generada por la deuda residual y la segunda está constituida por la diferencia de la cuota
constante y la cuota interés, tiene por objeto disminuir el capital adeudado. A medida que
devenga cada servicio, la cuota capital experimenta un incremento geométrico de razón
(1 + i) cuyo importe es igual al decremento que experimenta la cuota interés.
¾ Amortización constante.

Se calcula dividiendo el importe del préstamo original entre el número de servicios.
Este sistema origina en cada servicio una cuota interés decreciente
aritméticamente.
¾ Interés constante.
Al vencimiento de cada servicio se paga solo el interés devengado por la deuda
residual y en el último servicio, además del interés, se amortiza el capital original.
¾ Cuotas crecientes.
Que crecen de acuerdo con una ley predeterminada: progresión aritmética,
geométrica, series escaladas, etc.
¾ Reajuste de deudas.
Se realiza sobre la base de un factor de indexación.
¾ Sistemas combinados.
Agrupa algunos de los descritos anteriormente o incluso otros sistemas.
3. Cuotas constantes vencidas.
En el sistema de repago por medio de cuotas constantes, conocido también como
método francés, las cuotas son calculadas con el FRC según lo explicado en los capítulos
de anualidades. El desarrollo práctico de este sistema lo explicaremos con el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 1.- Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/. 10000
desembolsado el 8 de marzo, el mismo que debe ser cancelado con 12 cuotas
constantes cada 30 días aplicando una TEM del 5%. Grafique el comportamiento de la
amortización e interés de cada cuota.
Solución
R = R = P x FRC 0.05 ; 12
P = 10000 R = 10000 x FRC 0.05 ; 12
n = 12 Meses. R = S/. 1128.25
TEM = 0,05
30 1 S/. 1.128,25 500,00 628,25 9371,75 628,25
30 2 S/. 1.128,25 468,59 659,67 8712,08 1287,92
30 3 S/. 1.128,25 435,60 692,65 8019,43 1980,57
30 4 S/. 1.128,25 400,97 727,28 7292,15 2707,85
30 5 S/. 1.128,25 364,61 763,65 6528,50 3471,50
30 6 S/. 1.128,25 326,42 801,83 5726,67 4273,33
30 7 S/. 1.128,25 286,33 841,92 4884,75 5115,25
30 8 S/. 1.128,25 244,24 884,02 4000,73 5999,27
30 9 S/. 1.128,25 200,04 928,22 3072,52 6927,48
30 10 S/. 1.128,25 153,63 974,63 2097,89 7902,11
30 11 S/. 1.128,25 104,89 1023,36 1074,53 8925,47
30 12 S/. 1.128,25 53,73 1074,53 0,00 10000,00
S/. 13.539,05 3539,05 10000,00
Calendario de pagos.
Amortización Saldo insoluto
Deuda
extinguida
Dias Periodo Cuota Interés

95
Del cuadro observamos que:
¾ Las amortizaciones tienen un crecimiento geométrico de razón (1 + i).
¾ En cada cuota, el incremento de la amortización es igual al decremento del interés.
S/,
Periodo ( n )
INTERESES
AMORTIZACION
Cuota ( R )
4. Amortizaciones constantes.
Se obtiene la amortización constante dividiendo la deuda original entre el número de
cuotas pactadas para su reembolso. La amortización constante origina en cada cuota un
interés y cuotas decrecientes en progresión aritmética.
Ejemplo 2. De acuerdo a los datos del problema 1, grafique el comportamiento de la
amortización e interés de cada cuota.
Solución.
a) Calculo de la amortización constante.
Amortizacion
constante
Préstamo
Número de cuotas
10000
12
Amortizacion
constante
= 833,33
30 1 S/. 1.333,33 500,00 833,33 9166,67 833,33
30 2 S/. 1.291,67 458,33 833,33 8333,33 1666,67
30 3 S/. 1.250,00 416,67 833,33 7500,00 2500,00
30 4 S/. 1.208,33 375,00 833,33 6666,67 3333,33
30 5 S/. 1.166,67 333,33 833,33 5833,33 4166,67
30 6 S/. 1.125,00 291,67 833,33 5000,00 5000,00
30 7 S/. 1.083,33 250,00 833,33 4166,67 5833,33
30 8 S/. 1.041,67 208,33 833,33 3333,33 6666,67
30 9 S/. 1.000,00 166,67 833,33 2500,00 7500,00
30 10 S/. 958,33 125,00 833,33 1666,67 8333,33
30 11 S/. 916,67 83,33 833,33 833,33 9166,67
30 12 S/. 875,00 41,67 833,33 0,00 10000,00
S/. 13.250,00 3250,00 10000,00
Deuda
extinguida
En la tabla referencial de reembolso se observa que:
¾ Las amortizaciones son constantes.

¾ Los intereses y cuotas decrecen en progresión aritmética.
S/,
Periodo ( n )
Cuota ( R )
INTERESES
AMORTIZACION
5. Interés constante.
También conocido como el método ingles, los pagos al vencimiento de cada cuota
incluyen sólo el interés devengado por el saldo insoluto, permaneciendo la deuda original
sin variación hasta el vencimiento de la última cuota, la cual incluyen además del interés
generado en el último periodo, la devolución total del préstamo. Este sistema es usado
generalmente cuando las empresas se financian con la emisión de bonos, pagando
durante el plazo pactado sólo los intereses y rescatando el capital en la fecha del
vencimiento de la obligación.
Ejemplo 3. De acuerdo a los datos del problema 1, grafique el comportamiento del
interés constante.
30 1 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 2 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 3 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 4 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 5 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 6 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 7 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 8 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 9 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 10 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 11 S/. 500,00 500,00 0,00 10000,00 0,00
30 12 S/. 10.500,00 500,00 10000,00 0,00 10000,00
S/. 16.000,00 6000,00 10000,00
Deuda
extinguida

97
S/,
1
0
Periodo ( n )
INTERESES
A
M
O
R
T
I
Z
A
C
I
O
N
6. Plan de cuotas crecientes basada en la suma de los dígitos del año.
En una tabla de reembolso, un digito es el número de una cuota. Es decir, a la primera
cuota le corresponde el digito 1; a la segunda, el 2, etc. En un sistema que emplea la
suma de dígitos, se forma una razón para cada cuota, cuyo numerador es igual al digito
de su respectiva cuota y el denominador en una cifra fija igual a la suma de los dígitos del
préstamo. La razón establecida en cada cuota multiplicada por el importe original del
préstamo constituye la proporción que se amortizará en cada cuota. El interés devengado
por el saldo insoluto en cada periodo de renta y su amortización respectiva constituyen el
importe de cada cuota del préstamo.
Ejemplo 4. De acuerdo a los datos del problema 1, grafique el comportamiento de la
suma de los dígitos al año.
Solución.
n - t
SDA
n ( n + 1 )
2
P
SDA
Amortizacion
12 (12 + 1)
2
SDA = 78
SDA
1 1/78 0,0128205 S/. 628,21 500,00 128,21 9871,79 128,21
2 2/78 0,0256410 S/. 750,00 493,59 256,41 9615,38 384,62
3 3/78 0,0384615 S/. 865,38 480,77 384,62 9230,77 769,23
4 4/78 0,0512821 S/. 974,36 461,54 512,82 8717,95 1282,05
5 5/78 0,0641026 S/. 1.076,92 435,90 641,03 8076,92 1923,08
6 6/78 0,0769231 S/. 1.173,08 403,85 769,23 7307,69 2692,31
7 7/78 0,0897436 S/. 1.262,82 365,38 897,44 6410,26 3589,74
8 8/78 0,1025641 S/. 1.346,15 320,51 1025,64 5384,62 4615,38
9 9/78 0,1153846 S/. 1.423,08 269,23 1153,85 4230,77 5769,23
10 10/78 0,1282051 S/. 1.493,59 211,54 1282,05 2948,72 7051,28
11 11/78 0,1410256 S/. 1.557,69 147,44 1410,26 1538,46 8461,54
12 12/78 0,1538462 S/. 1.615,38 76,92 1538,46 0,00 10000,00
S/. 14.166,67 4166,67 10000,00
Factor
Periodo Proporción Cuota Interés
Deuda
extinguida

S/,
0 N
AMORTIZACION
INTERESES
7. Plan de Cuotas Diferidas.
7.1 Sin pago de intereses.
En este sistema el cliente no paga interés ni capital durante los periodos diferidos,
capitalizándose el interés al préstamo al vencimiento de cada cuota diferida. Al
término de los periodos el principal capitalizado servirá como base para calcular la
cuota fija, considerando sólo el número de cuotas insolutas que restan en el
horizonte temporal pactado.
Ejemplo 5. De acuerdo a los datos del problema 1, grafique el comportamiento del, plan
de cuotas diferidas.
Prestamo 10000
Periodo de
Gracia
4
TEM 5%
Periodo de Pago 8
1 0,00 500,00 0,00 10500,00
2 0,00 525,00 0,00 11025,00
3 0,00 551,25 0,00 11576,25
4 0,00 578,81 0,00 12155,06
5 1880,65 607,75 1272,90 10882,16 1272,90
6 1880,65 544,11 1336,55 9545,62 2609,45
7 1880,65 477,28 1403,37 8142,24 4012,82
8 1880,65 407,11 1473,54 6668,70 5486,36
9 1880,65 333,44 1547,22 5121,49 7033,58
10 1880,65 256,07 1624,58 3496,91 8658,16
11 1880,65 174,85 1705,81 1791,10 10363,96
12 1880,65 89,55 1791,10 0,00 12155,06
15045,23 2890,16 12155,06
Calendario de Pagos
Periodo Cuota Interes Amortización Saldo
Deuda
Extinguida
La cuota se calcula del siguiente modo:

99
R = P ( 1 + i ) k
FRC i ; n
R = 10000 ( 1 + 0.05) 4
FRC 0.05 ; 8
R = 10000 x 1.21550625 x 0.154721813
R = 1880.65
7.2 Con pago de intereses durante el periodo de gracia.
Prestamo 10000
Periodo de
Gracia
4
TEM 5%
Periodo de Pago 8
1 500,00 500,00 0,00 10000,00
2 500,00 500,00 0,00 10000,00
3 500,00 500,00 0,00 10000,00
4 500,00 500,00 0,00 10000,00
5 1547,22 500,00 1047,22 8952,78 1047,22
6 1547,22 447,64 1099,58 7853,20 2146,80
7 1547,22 392,66 1154,56 6698,64 3301,36
8 1547,22 334,93 1212,29 5486,36 4513,64
9 1547,22 274,32 1272,90 4213,46 5786,54
10 1547,22 210,67 1336,55 2876,91 7123,09
11 1547,22 143,85 1403,37 1473,54 8526,46
12 1547,22 73,68 1473,54 0,00 10000,00
14377,75 2377,75 10000,00
Calendario de Pagos
Periodo Cuota Interes Amortización Saldo
Deuda
Extinguida
La cuota se calcula del siguiente modo:
R = P x FRC i ; n
R = 10000 FRC 0.05 ; 8
R = 10000 x 0.154721813
R = 1547.22

Práctica Nro. 06
Nota: Los siguientes problemas deben ser resueltos por los estudiantes, cualquier
consulta lo realizaran por correo del Docente:
Cuotas constantes.
1. Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/. 5000 desembolsado
el 23 de agosto y amortizable en 6 cuotas constantes cada fin de bimestre. Utilice una
TNM del 3%.
Respuesta: R = S/. 1016.81.
2. Calcule la cuota constante y prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo
de S/. 8000 reembolsable en 8 cuotas con vencimiento cada 45 días. Utilice una TNA
del 24% capitalizable mensualmente.
Respuesta: R = SI. 1 140,37.
3. La Universidad solicita una entidad financiera un préstamo de S/. 20000 para ser
reembolsado en 2 años con una TEM del 2% y cuotas constantes trimestrales
vencidas. La suma de las amortizaciones deben ser: en el primer año igual al 40% del
préstamo y durante el segundo año igual al 60% del préstamo. Calcule el importe de
las cuotas constantes durante el primer y segundo año.
Respuesta: Primer año: R1 = S/. 3049,62; segundo año: R2 = S/. 3472,68.
Cuota constante cuando el préstamo se desembolsa en partes
4. Calcule la cuota constante de un préstamo de S/. 6000 reembolsable en 6 cuotas
constantes mensuales vencidas con una TNA del 24% capitalizable mensualmente. El
préstamo ha sido desembolsado de acuerdo al siguiente cronograma: 31 de agosto,
S/. I000; 6 de setiembre, S/. 3000; 22 de setiembre, S/. 2000.
Respuesta: R = S/. 1063,89.
5. Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/. 9000 reembolsable
en 6 cuotas constantes trimestrales vencidas con una TNA del 18% capitalizable
bimestralmente. El cronograma de desembolsos es el siguiente: 24 de setiembre, S/.
4000; 15 de noviembre, S/. 2000; 20 de enero, S/. 3000. Compruebe su respuesta
efectuando su análisis a valor presente.
Respuesta: R1 = 1154,71; R2 = 1829,36; P = S/. 8779,99.
Cuota constante cuando existen variaciones de tasas
6. Un préstamo de S/ 7000 fue otorgado por una institución financiera el día 14 de abril
para ser amortizado en 4 cuotas constantes pagaderas cada fin de trimestre
aplicando una TEA del 20%. En la fecha de vencimiento de la primera cuota se
conocen las variaciones de la TEA a partir de las siguientes fechas: 26 de abril, 19%;
26 de mayo, 21 %; 13 de junio, 22%. Calcule el importe de las cuotas constantes.
Respuesta: R = S/. 1972,53.
7. Un préstamo de S/. 5000 otorgado a una TEA del 18% para ser amortizado en 8
cuotas constantes trimestrales vencidas, sufre una disminución de la TEA al 16%
faltando 24 días para el vencimiento de la cuarta cuota. ¿Cuál será el importe de esa
cuota a su vencimiento?
Respuesta: R4 = S/. 742,57.
8. Una maquinaria con un precio al contado de $ 10000 es vendido con una cuota inicial
de $ 2000 y 10 cuotas mensuales constantes con vencimiento cada 30 días. El 3 de
marzo, fecha en que se firmó el contrato de crédito, la TAMEX fue del 8% y
posteriormente varió a partir del: 16 de mayo al 7,5%; 16 de agosto al 7%; 16 de
octubre al 6,5% y 16 de diciembre al 6%. Prepare la tabla de reembolso definitiva.

101
Cuotas constantes diferidas
9. Calcule la cuota constante de un préstamo de $ 30000 otorgado por un organismo
internacional a una empresa estatal para ejecutar un proyecto social. El crédito
debe ser amortizado en 5 años con cuotas constantes semestrales vencidas a una
TEA del 12%. El plazo total incluye dos períodos diferidos.
Respuesta: R = S/. 5374,47
10. Un préstamo de S/. 10000 es otorgado a una TEM del 4% para ser reembolsado en
el plazo de dos años con cuotas bimestrales constantes vencidas, el plazo total
incluye 3 cuotas diferidas. Calcule el importe de la cuota constante considerando
que el préstamo se desembolsó en dos armadas: la primera de S/. 7000 Y .la
segunda de S/. 3000, transcurridos 37 días después del primer desembolso.
Respuesta: R = S/. 2010,13
11. Una persona requiere un financiamiento por el cual puede pagar 8 cuotas
constantes bimestrales vencidas de S/. 3000 empezando dentro de 4 meses
contados a partir de hoy. Calcule el importe del préstamo que puede solicitar, el
mismo que devengará una TNA del 36% con capitalización bimestral.
Respuesta: P = S/. I7574, 89
12. Una empresa recibe un préstamo de S/. 29000 para cancelar en el plazo de 4 años
con cuotas uniformes cada fin de trimestre. La TET será: 4% durante los dos
primeros años, 5% el tercer año y 6% el cuarto año. La primera cuota vencerá al
finalizar el sexto mes. Calcule el importe de las cuotas constantes y la TET
promedio aplicada al préstamo durante los 4 años de vigencia. Compruebe su
respuesta.
Respuesta: R1 = S/. I870,77; R2 = S/. I948,79; R3 = I994,26; TET = 4,2999431
%.
Amortizaciones constantes.
13. Prepare una tabla de reembolso para un préstamo de S/. 5000 que será
reembolsado con 8 amortizaciones constantes trimestrales vencidas y una TEM del
4%. El primer desembolso de S/. 3000 se efectuó el 9 de marzo, el segundo
desembolso de S/. 1500 fue el 14 de abril y el último desembolso de S/. 500 fue el
18 de junio. Las variaciones de tasas se produjeron en las siguientes fechas: el 30
de marzo, 3,5%; el 24 de abril, 3% y el 6 de junio, 3,9%.
Respuesta:
Interés Constante.
14. Una empresa ha comprado bonos por un importe de S/. 10000 emitidos por una
empresa de Leasing, los mismos que rinden una TEM del 3% con intereses
pagaderos al final de cada trimestre calendario. La adquisición se efectuó el 14 de
marzo. Prepare la tabla de reembolso considerando que los bonos deben redimirse
al cabo de dos años.
Cuota 1 2 3 4 5 6 7 8
Interés 399.72 531.189 462.60 385.50 308.40 231.30 154.20 77.10
Amortización 562.50 633.93 633.93 633.93 633.93 633.93 633.93 633.93
Total 962.22 1165.82 1096.53 1019.43 942.33 865.23 788.13 711.03

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