Matemática Unidad II

1. PLANO NUMÉRICO
Matemática unidad II

2. ¿QUE ES UN PLANO NUMÉRICO?
El plano numérico/cartesiano o sistema de ejes coordenados es un sistema de
referencia conformado por dos líneas numeradas se interceptan. Recibe este
nombre en honor al matemático y filósofo René Descartes (1596-1650).
Sus Características son:
Los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí.
Las escalas de los ejes son iguales.
Los números positivos están a la derecha del origen en el eje de las x y por arriba
del origen en el eje de las y.
Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
Es bidimensional.

3. PARTES DEL PLANO CARTESIANO
(EJEMPLO)

4. PLANO NUMÉRICO
(DISTANCIA)
La distancia entre dos puntos en el
plano cartesiano puede ser
encontrada al aplicar la fórmula de
la distancia y sustituir las
coordenadas de los dos puntos
dados. A su vez, la fórmula de la
distancia es derivada al usar el
teorema de Pitágoras en el plano
cartesiano, en donde, la distancia
representa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo.

5. PUNTO MEDIO
El mismo procedimiento que se utilizó para
calcular el punto medio en una recta
numérica podría extenderse al caso del
plano cartesiano. Dados dos puntos
cualesquiera 𝑃1(𝑥1,𝑦1) y 𝑃2(𝑥2,𝑦2) en el
plano cartesiano, encontrar el punto medio
significa encontrar las coordenadas de un
punto 𝑃𝑚 en el segmento que une a 𝑃1
con 𝑃2, tal que la distancia entre 𝑃1 y 𝑃𝑚
es igual a la distancia entre 𝑃2 y 𝑃𝑚, es
decir, 𝑃𝑚 es un punto equidistante a 𝑃1 y
𝑃2 y que se encuentra sobre el segmento
que une 𝑃1 con 𝑃2.

6. POSICIÓN RELATIVA DEL PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
EN EL PLANO CARTESIANO
• Si nos concentramos solo en las
coordenadas en x de los puntos p1 y
p2, es decir en x1 y x2, podemos pensar
el caso de dos puntos sobre la recta
numérica, por lo que podemos
encontrar un punto medio entre las
coordenadas en x de los puntos. Al
punto medio entre x1 y x2 le
llamaremos xm y su valor lo calculamos
como, 𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2 2 Figura 23. Posición
del punto medio en el eje X.

7. POSICIÓN DEL PUNTO
MEDIO EN EL EJE Y.
Ya tenemos la coordenada en x del
punto medio, ahora solo falta
encontrar la coordenada en y. Esto
se realiza de manera similar,
considerando sólo las
coordenadas en y de los puntos 𝑃
1 y 𝑃1, es decir y1 y y2. Al punto
medio entre y1 y y2 le llamaremos
ym y su valor lo calculamos como:
𝑦𝑚 =𝑦1+𝑦2 2

8. COORDENADAS DEL PUNTO
MEDIO DE UNA RECTA.
Al calcular el punto medio de cada
par de coordenadas (en x y en y),
hemos obtenido las coordenadas
de un punto que se encuentra a la
misma distancia en x y en y, de los
puntos 𝑃1 y 𝑃2, por lo que la
fórmula para calcular las
coordenadas del punto medio 𝑃𝑚
es, 𝑃𝑚 =(𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦1+𝑦2 2 )

9. PLANO NUMÉRICO
(ECUACIONES Y TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS,
ELIPSES, HIPÉRBOLA)
Lamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea
recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje;
mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa
superficie cónica con un plano. las diferentes posiciones de dicho plano nos
determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia
es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

10. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de
cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por
supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia
entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es
constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica
podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y
obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

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12. ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos
puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la
explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x,
situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un
punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x,
y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF
y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF
+ PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

13. HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos
es constante. Estos dos puntos fijos se llaman
focos de la hipérbola
Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente
ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' =
(– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y)
de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las
distancias entre PF y PF' es igual al doble de la
distancia que hay entre el centro de coordenadas y
la intersección de la hipérbola con el eje x.
Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a

14. PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los
puntos del plano que
equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija
llamada directriz
ecuación analítica de la
parábola: Supongamos que el
foco esté situado en el punto
(0,c) y la directriz es la recta y =
– c, por lo tanto el vértice está
en su punto medio (0,0), si
tomamos un punto cualquiera
P = (x , y) de la parábola y un
punto Q = (x, – c) de la recta
debe de cumplirse que: PF =
PQ

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