Fernando Aranguren Sección HS0143

1. 07-02-2003
Números
reales
Unidad II
Fernando Aranguren
SECCION HS0143

2. Conjuntos:
En el campo de las matemáticas, se puede entender el concepto de conjunto
como aquella colección de elementos, pertenecientes a la misma categoría, y cuya
agrupación puede ser considerada o identificada en sí misma como un objeto. Los
números también pueden formar conjuntos, constituyendo aquellos que se conocen
dentro de las matemáticas como los conjuntos numéricos, y que están constituidos por
grupos de números, que comparten características específicas entre sí. Entre ellos se
encuentran el conjunto de los Números Naturales (representado por la N y conformada
por aquellos elementos abstractos que permiten contar los elementos de un conjunto);
los Números Enteros (nombrado por la letra Z, y definido como el conjunto de números
naturales, el cero y sus inversos negativos); los Números Racionales (denotado por
tradición con la letra Q, y considerado como todo número que puede representarse
como el cociente de dos números); los Números Reales (identificados por la letra R, en
donde se encuentran incluidos tanto los números racionales como irracionales).
Operaciones con Conjuntos:
También conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos los siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
 Unión o reunión de conjuntos. Es la operación que nos permite unir dos o más
conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de
conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego
se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo:

3.  Intersección de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto,
sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos
no comunes A y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar la
operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo:
 Diferencia de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto,
en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por
todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para
esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -
Ejemplo:
 Diferencia de simétrica de conjuntos. Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar
la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo:

4.  Complemento de un conjunto. Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el
conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto
formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a
los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el
complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que
se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se
hace la operación de complemento.
Ejemplo:
Números Reales:
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, Enteros, Racionales e
Irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los
aquellos que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se
encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
 Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se
especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Primeros elementos del conjunto de números naturales. = 1, 2, 3, 4…

5.  Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…
 Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los
números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de
números enteros.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
8
2
,
−7
5
,
2
3
,
17
−1
 Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni
de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales. = √3, π, ℮, ø

6. Desigualdad Matemática:
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los signos desigual que ≠, mayor que >, menor que
<, menor igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de
valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Valor Absoluto:
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente
del signo que le proceda, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo
correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto
de x:
Ejemplo: |x|=x si x≥ 0

7. Desigualdades con valor absoluto:
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor
absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la
expresión ∣x+5∣>2 es una desigualdad con valor absoluto que contiene un signo
“mayor que”.
Ejercicios:
Propiedad Conmutativa:
a- 3 (4x) = (4x) 3 b- -10 x (-5) = -5 x (-10)
12 = 12 50 = 50
Propiedad Asociativa:
a- 8 (2 x 3) = (8 x 2) x 3 b- -4 (6 x 9) = (-4 x 6) x 9
8 x 6 = 16 x 3 -4 x 54 = -24 x 9
48 = 48 -216 = -216
Propiedad modulativa:
a- -38 x 1 = -38
b- b- 24 x 0 = 24

8. Propiedad distributiva:
a- 8 ( x -2 ) = 14 b- 2(x+1)
8x -16 =14 2(x+1) = 2x + 2∙1=2x +2
8x= 14 + 16
8x= 30
x= 30/8 = 15/4
Inecuasiones:
a- 2 (x+1) – 3(x-2) < x +6 b- -X2
+ 4x - 7 < 0
2x + 2 – 3 x + 6 < x +6 X2
+ 4x + 7 >
-x + 8 < x + 6 (1)2
– 4 (1) + 7 > 0
2 < 2x 1 – 4 + 7 > 0
1 < x 4 > 0
Desigualdades:
a- ∣3x − 4∣ + 9 > 5 b- ∣5x + 6∣ + 4 < 1
∣3 x− 4 ∣> 5 −9 ∣5x + 6∣ < 1 − 4
∣3x − 4∣ > − 4 ∣5x + 6∣ < − 3

9. Bibliografía:
 Definición de conjunto:
https://economipedia.com/definiciones/numeros-
reales.html
 Operaciones en conjunto: Conoce3000
 números reales: Números reales - Qué es,
definición y concepto | 2023 | Economipedia
 Desigualdades: Desigualdad matemática - Qué es,
definición y concepto | 2023 | Economipedia
 Valor absoluto: Valor absoluto - Qué es, definición
y concepto | 2023 | Economipedia
 Desigualdades: Resolver Desigualdades con Valor
Absoluto - Neurochispas