Aplicações em EDO

1. Felipe Camargo Natale
Aplicações de Equações Diferenciais
Itajubá - MG, Brasil
17 de Novembro de 2016

2. Felipe Camargo Natale
Aplicações de Equações Diferenciais
Documento que descreve aplicações de equa-
ções diferenciais relacionados a Engenharia
de Computação.
Universidade Federal de Itajuba – UNIFEI
Instituto de Matemática e Computação - IMC
Programa de Graduação em Engenharia da Computação
Itajubá - MG, Brasil
17 de Novembro de 2016

3. Lista de ilustrações
Figura 1 – Forma de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 2 – Cancelamento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 3 – Estrutura básica de um DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Figura 4 – Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 5 – Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 6 – Transformada Inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Sumário
Glossário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Funcionamento do cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Processador Digital de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Análise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Séries de fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. 4
Glossário
DSP - Digital Signal Processor é o processador digital de Sinais.
PSD - Processador Digital de Sinais.
Joseph Fourier - Matemático e Físico Francês.
DFT - Discrete Fourier Transform é a Transformada Discreta de Fourier.
A/D - Filtro Analógico-Digital.
D/A - Filtro Digital-Analógico.

6. 5
Introdução
Atualmente, existem inúmeras técnicas para o tratamento dos sinais de áudio para
ruídos. Na maioria das aplicações da área de telecomunicações há interferência inerente
a cada uma das partes dos sistema. A transformada discreta de fourier é uma das ferra-
mentas mais importantes do processamento digital de sinais. A DFT consegue calcular
o espectro de frequência de um sinal. Isso é uma análise direta da informação codificada
na frequência, fase e amplitude dos componentes senoidais. Por exemplo, a fala humana
e a audição usa sinais com esse tipo de codificação. A DFT, consegue também, encontrar
a resposta em frequência do sistema da resposta em impulso do sistema e vice versa. A
transformada de fourier é uma generalização da série de fourier aplicada a todos os sinais.
A Transformada Discreta de Fourier pode ser usada para inúmeras finalidades
dentre elas o cancelamento de ruído em headsets. Os headsets com cancelamento de
ruído usam a transformada de fourier para cancelar o ruído externo. O headset possui
um microphone que captura o ruído externo. A frequência desse ruído é detectada pela
análise de fourier e uma onda com fase contrária é emitida e os sinais se cancelam. Todo
esse processamento é realizado por processadores digitais de sinais, que são responsáveis
por identificar a onda e produzir uma similar de fase oposta.

7. 6
1 Funcionamento do cancelamento
Figura 1: Forma de onda
Os fones utilizam uma tecnologia que emite ondas sonoras, com fases opostas, que
são projetadas contra as ondas sonoras que formam os ruídos. Como mostra a imagem
acima, cada fase corresponde ao ponto em que a onda atinge o máximo amplitude.
1. Utilizando microfones internos, o fone de ouvido capta toda a onda sonora
proveniente do ambiente externo.
2. Processadores avançados analisam estas ondas a fim de gerar ondas idênticas,
porém, com fases opostas.
3. Por fim, utilizando um alto-falante interno, o fone de ouvido emite um sinal com
fase oposta às ondas externas analisadas. Quando a onda projetada pelo fone de ouvido
se encontra com a onda de ruído do ambiente, ocorre o cancelamento do ruído.
4. O cancelamento só acontece, pois esse sinal produzido pelo fone de ouvido é
gerado utilizando fases opostas às ondas sonoras que vêm de fontes externas.
Figura 2: Cancelamento de onda

8. 7
2 Processador Digital de Sinais
A aplicação da transformada de Fourier se encontra nos processadores digitais de
Sinais. Os PDS são responsáveis por identificar a onda externa, através da análise de
fourier e gerar uma onda semelhante de fase contrária para cancelar o ruído.
Ao modificarmos um sinal analógico alterando a forma de onda, frequência e intro-
duzir retardos, nada mais fazemos do que aplicar algum tipo de processamento que pode
ser calculado apartir de procedimentos convencionais da matemática. Assim, o trabalho de
um sinal analógico, também envolve processamento que faz uso de recursos matemáticos.
Com microprocessadores cada vez mais modernos podemos substituir circuitos
analógicos por equivalentes digitais. Assim a figura ilustra a ideia básica de um processador
digital de sinais.
Figura 3: Estrutura básica de um DSP
Um sinal é convertido para a forma digital pelo conversor analógico/digital. Essa
forma de onda passa a ser uma sequência de valores numéricos expressos na forma digital,
que é aplicado a um processador. O processador trabalha a forma de onda em forma
numérica fazendo os cálculos e transformações de acordo com o que se deseja, seja filtrando
o sinal ou cancelando.
Se é um filtro,por exemplo, o processador é programado para aplicar a transfor-
mada de Fourier ao sinal e eliminar em proporções as componentes harmônicas. Para
recuperar o sinal em sua forma analógica original basta agregar à saída deste conjunto
um conversor digital para analógico ou D/A.
No caso do cancelamento de ruído, o processador é programado para aplicar a
transformada de Fourier, identificar a forma de onda e produzir uma semelhante de fase
oposta, cancelando assim o ruído.

9. 8
3 Análise de Fourier
A transformada de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática que permite a
análise de ondas no domínio da frequência.
3.1 Séries de fourier
Para entender a importância da transformada de Fourier, é importante retroceder
um pouco e apreciar o poder da série de Fourier apresentada por Joseph Fourier. Qualquer
função periódica g(x) integravel no domínio D = [-pi,pi] pode ser escrita como uma soma
infinita de senos e cossenos como:
Figura 4: Série de Fourier
Onde e𝚤𝜃
= cos(𝜃) + 𝚥 sin(𝜃).
Esta idéia de que uma função poderia ser dividida em suas freqüências constituintes
(isto é, em senos e cossenos de todas as freqüências) é poderosa e forma a espinha dorsal
da transformada de Fourier.
3.2 Transformada de Fourier
A transformada de Fourier pode ser vista como uma extensão da série de Fourier
acima para funções não-periódicas. Se x(t) é um sinal contínuo e integrável, então sua
transformada de Fourier, X (f) é dada por:
Figura 5: Transformada de Fourier
E a inversa da transformada é dada por:
Importância no processamento de sinal. Primeiro e acima de tudo, uma transfor-
mada de Fourier de um sinal diz-lhe quais freqüências estão presentes em seu sinal e em
que proporções.

10. Capítulo 3. Análise de Fourier 9
Figura 6: Transformada Inversa de Fourier
Sabendo quais são essas frequências e suas proporções o processador apenas aplica
uma onda similar de fase oposta ao ruído cancelando-o.

11. 10
4 Conclusão
As aplicações das equações diferenciais são inúmeras. Em engenharia da compu-
tação é amplamente utilizada em processamento digital de sinais e envolvem uma gama
enorme de soluções, como:
∙ Filtragem Digital
∙ Processamento de Sinais
∙ Processamento de Dados
∙ Processamento de Som
Em conjunto com processadores digitais de sinais as EDOs constituem poderosas
ferramentas de análise de sinais.
O processamento digital de sinais propriamente dito, é uma tecnologia, uma ciên-
cia, uma série de conceitos abstratos que se traduz na aplicação de algoritmos computa-
cionais para a realização de operações específicas sobre dados digitais.
Os algoritmos de processamento digital de sinais podem ser executados em DSPs,
desenvolvidos especialmente para otimizar o desempenho desses algoritmos e permitir
operações em tempo real.
No curso de graduação em Engenharia de Computação da Universidade Federal
de Itajubá, as equações diferenciais são amplamente usadas em matérias como: ELT004
- Sistemas de Controle, onde a transformada de laplace é utilizada para modelagem de
sistemas dinâmicos; e ELT006 - Processamento Digital de Sinais, para análise de sinais
utilizando transformada de Fourier.

12. 11
Referências bibliográficas
DSP Guide. Disponível em <http://www.dspguide.com/>. Acesso em: 10 nov.
2016, 20:30
Processamento digital de Sinais. Disponível em <https://www.embarcados.com.br/
processamento-digital-de-sinais-dsp-parte-2/>. Acesso em: 10 nov. 2016, 20:10
Funcionamento HeadSet. Disponível em <https://biosom.com.br/blog/tecnologia/
como-funciona-fone-de-ouvido-com-cancelamento-de-ruido/>. Acesso em: 10 nov. 2016,
19:30
Funcionamento DSPs. Disponível em <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/
microcontroladores/142-texas-instruments/5868-mic065>. Acesso em: 10 nov. 2016, 19:30