Réseau de préférences Conditionnelles et logique possibiliste

JIAF 2013
Université de Toulouse
Auteurs :
• Didier DUBOIS
• Henri PRADE
• Fayçal TOUAZI
Juin 2013

Plan de la présentation
Logique possibiliste
CP-net vs logique possibiliste
CP-nets et leur codage
Discussion finale
3
2
4
6
Introduction1
Approximation des CP-nets5

Apports de l’article
3
Introduction
Approximation des CP-nets Discussion finale
Logique possibiliste CP-nets et leurs codage
CP-nets vs. Logique possibiliste
• L’expression et le traitement de préférences
• Étudier la traduction des CP-net en logique
possibiliste.
• Fournir des preuves de traduction dans le
cas général.
• Discuter les difficultés de traduction

Rappels sur la logique possibiliste
4
Introduction
• Extension pondérée de la logique classique
𝜙, 𝛼𝑖 avec 𝜙 une proposition et 1 > 𝛼 > 0
• 𝜙, 𝛼𝑖 est interprétée comme 𝑁 𝜙 ≥ 𝛼
𝑁(𝜙) = 1 − Π(¬ 𝜙)
𝑁(𝜙 ∧ 𝜓) = min(𝑁 𝜙 , 𝑁 𝜓 ) (axiome de N)
Π(𝜙 ∨ 𝜓) = max(Π 𝜙 , Π 𝜓 ) (axiome de Π)
• 𝒦 ={ 𝜙1, 𝛼𝑖 ,…, 𝜙 𝑛, 𝛼𝑖 } une base possibiliste
Sémantique : 𝜋 𝒦(𝜔) = min(𝜋(𝜙𝑖, 𝛼𝑖))
𝜋 𝜙𝑖, 𝛼𝑖 =
1 𝑠𝑖 𝜔 ⊨ 𝜙𝑖
1 − 𝛼𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Rappels sur les CP-nets (1/2)
5
Introduction
• Un CP-net 𝒩 est un graphe orienté sur un
ensemble de variables 𝑉 = {𝑋1, ,𝑋 𝑛}
• Une préférence CP-net est de la forme :
𝑢𝑖: 𝑥𝑖 > ¬𝑥𝑖
• A chaque variable une table CPT est associée
• Deux interprétations sont comparables s’il existe
une séquence de ﬂips entre elles (principe
Ceteris Paribus) .

Exemple 1:
Rappels sur les CP-nets (2/2)
6
Introduction

7
Introduction
Codage de CP-net en logique possibiliste (1/2)
• 𝑢𝑖: 𝑥𝑖 > ¬𝑥𝑖 est traduit par (¬𝑢𝑖 ∨ 𝑥𝑖, 𝛼)
• Chaque CPT est codée par la paire de formules :
(¬𝑢𝑖 ∨ 𝑥𝑖, 𝛼) et 𝑢𝑖 ∨ ¬𝑥𝑖, 𝛼 ≡ ( ¬𝑢𝑖 ∨ 𝑥𝑖 ∧ 𝑢𝑖 ∨ ¬𝑥𝑖), 𝛼
• Le CP-net est alors traduit par une base possibiliste
K, la conjonction de tous les formules de CPT
• Les poids 𝛼< 1 sont supposés incomparables sauf
priorités des variables pères sur leurs ﬁls :
(𝑢𝑖, 𝛼𝑖) et (¬𝑢𝑖 ∨ 𝑥𝑖, 𝛼𝑗) alors 𝛼𝑖 > 𝛼𝑗

8
Introduction
Codage de CP-net en logique possibiliste (2/2)

Ordre sur les vecteurs (1/3)
9
Introduction
• Pour chaque base et chaque interprétation 𝜔 un
vecteur 𝑣(𝜔) est déﬁni en accord avec les
distributions de possibilité 𝜋(𝜙 𝑖,𝛼 𝑖)associées aux
formules pondérées de la base:
∀𝑖 = 1 … 𝑛, 𝑣𝑖 = 𝜋 𝜙 𝑖,𝛼 𝑖
=
1
1 − 𝛼𝑖
• Soit 𝒦 = P, 𝛼 , 𝑄, 𝛽 , 𝜔 = 𝑃 𝑄, le vecteur associé est :
𝑣 𝜔 = (1,1 − 𝛽)
• Comparer les interprétations revient a comparer
les

10
Introduction
• Pareto
𝜔 ≻ 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑡𝑜 𝜔′ ssi ∀𝑖 = 1 … 𝑛, 𝑣𝑖 ≥ 𝑣𝑖
′
, ∃𝑗, 𝑣𝑗 > 𝑣𝑗
′
• Pareto Symétrique
𝜔 ≻ 𝑃𝑆 𝜔′ ssi ∃ 𝜎 une permutation sur les composantes de 𝑣(ω′)
telle que: 𝑣(ω) ≻Pareto 𝑣σ(ω′)
Exemple 2:
Soit deux interprétations 𝜔, 𝜔′ avec : 𝑣(ω) =(1,3,4),
𝑣(ω′)=(0,4,1), leurs vecteurs associés respectivement avec :
𝑣σ(ω′)= (0,1,4). On a 𝑣(ω) ≻Pareto 𝑣σ(ω′) ⇒ 𝜔 ≻ 𝑃𝑆 𝜔′

11
Introduction
• Min : 𝜔 ≻min 𝜔′ssi min({ 𝑣𝑖} U { 𝑣𝑖
′
})⊆ { 𝑣′𝑖}{ 𝑣𝑖} ≡ 𝜋 𝒦 𝜔 > 𝜋 𝒦(𝜔′)
• Discrimin :
Soit 𝔇= {i |𝑣𝑖 ≠ 𝑣i
′
} (ensemble discriminant)
𝜔 ≻ 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛 𝜔′ssi min{𝑣𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
} > min{𝑣′𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
} (ordre total)
ssi min({𝑣𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
} ∪ {𝑣′𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
})⊆ ({𝑣′𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
}{𝑣𝑖∈𝔇(𝑣,𝑣′)
}
Exemple 3:
Soit deux interprétations 𝜔, 𝜔′ avec 𝑣(𝜔)= (1,3,4,2), 𝑣(𝜔′)=
(1,3,3,7), l'ensemble discriminant est 𝔇( 𝑣, 𝑣′) = {3,4}.
• On a 𝑣(𝜔′) ≻ 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛 𝑣(𝜔) mais 𝑣(𝜔) =min 𝑣(𝜔′)

12
Introduction

13
Introduction
Leximin
Discrimin Pareto Symétrique
Pareto
Min
: Signifie raffiné par

CP-nets vs. Logique possibiliste (1/3)
14
Introduction
Proposition 1:
Soit 𝑋𝑖 un nœud dans un CP-net 𝒩. Soit (Σ,≻Σ), la base
possibiliste associée. Si le CP-net contient la préférence∶
𝑢𝑖: 𝑥𝑖 > ¬𝑥𝑖, la préférence entre les interprétations qui diffèrent
par un seul ﬂip de 𝑋𝑖 dans le contexte 𝑢𝑖, dépend uniquement de
la variable 𝑋𝑖 et de ses fils.
• On distingue trois cas élémentaires de CP-net :
 Deux pères et un fils
 Un père et deux fils
 Un père, un ﬁls et un petit-fils

15
Introduction

• a :
 L’ordre Pareto symétrique Leximin capturent exactement l’ordre
CP-net
 Les ordres min ne capture pas exactement l’ordre CP-net
• b :
 Les ordres Min et Pareto symétrique ne capturent pas
exactement l’ordre CP-net
 L’ordre Leximin capture exactement l’ordre CP-net
• c :
 L’ordre Pareto symétrique capture exactement l’ordre CP-net
 Les ordres min et Leximin ne capturent pas exactement l’ordre
CP-net
16
Introduction

• Approximation par en-dessous :
On a montré que le codage possibiliste avec l’ordre Symétrique
Pareto nous permet d’approximer les CP-net par en-dessous
Il était affirmé dans des travaux précédents que les CP-nets sont
exactement représentables en utilisant l’ordre Symétrique Pareto
dans le cas général, ce qu’est faux (cas un père et deux fils).
Approximation des CP-nets en logique possibiliste (1/2)
17
Introduction

• Approximation par au-dessus :
On a montré que le codage possibiliste avec l’ordre Leximin nous
permet d’approximer les CP-net par au-dessus
Il était affirmé dans des travaux précédents que les CP-nets sont
exactement représentables en utilisant l’ordre Leximin dans le cas
général, ce qu’est faux (cas un père un fils et un petit-fils).
Approximation des CP-nets en logique possibiliste (1/2)
18
Introduction

• Les CP-nets peuvent être approximés en logique possibliste,
mais une traduction exacte semble difficile à obtenir
• Problèmes de traduction des CP-nets en logique possibiliste :
 Est-ce que les CP-nets utilisent des informations implicites
non décrites dans la syntaxe de leur formalisme ?
 exemple : pas de transitivité des priorités père-fils
 est-ce qu’une interprétation qui satisfait plus de nœuds qu’une autre
lui est préférée ?
 Est-il possible de coder simplement ces informations en
poslog ?
 Existe-t-il des ordres sur les interprétations en poslog mieux
adaptés à la traduction logique des CP-nets?
Discussion finale (1/3)
19
Introduction

20
Introduction
CP-net A CP-net B
𝜔 = 𝑥 𝑦 𝑠𝑡 ¬ préférence de deux fils ¬ préférence d’un fils et petit-fils
𝜔′ = 𝑥 𝑦𝑠 𝑡 ¬ préférence de deux fils ¬ préférence d’un fils et petit-fils
𝜔′′ = 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 ¬ préférence d’un père ¬ préférence d’un père

Le CP-net donne la priorité d’un père sur 2 fils, mais pas la
priorité d’un père sur un fils et un petit-fils
21
Introduction
CP-net A CP-net B
𝜔 = 𝑥 𝑦 𝑠𝑡 𝑣 𝜔 = (1,1 − 𝛼2, 1 − 𝛼3, 1) 𝑣 𝜔 = (1,1 − 𝛼2, 1,1 − 𝛼4)
𝜔′ = 𝑥 𝑦𝑠 𝑡 𝑣 𝜔′ = (1,1 − 𝛼2, 1,1 − 𝛼4) 𝑣 𝜔′ = (1,1 − 𝛼2, 1 − 𝛼3, 1)
𝜔′′ = 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑣 𝜔′′ = (1 − 𝛼1, 1,1,1) 𝑣 𝜔′′ = (1 − 𝛼1, 1,1,1)
Poids symbolique 𝛼1 > 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4 𝛼1 > 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4
Décision CP-net 𝜔 ≻ 𝒩 𝜔′′, 𝜔′ ≻ 𝒩 𝜔′′ et 𝜔 ∼ 𝒩 𝜔′ 𝜔 ∼ 𝒩 𝜔′′, 𝜔′ ∼ 𝒩 𝜔′′ et 𝜔 ∼ 𝒩 𝜔′
Décision Logique
Possibiliste
𝜔 ≻𝑙𝑒𝑥 𝜔′′, 𝜔′ ≻𝑙𝑒𝑥 𝜔′′ et
𝜔 ∼𝑙𝑒𝑥 𝜔′
𝜔 ≻𝑙𝑒𝑥 𝜔′′, 𝜔′ ≻𝑙𝑒𝑥 𝜔′′ et
𝜔 ∼𝑙𝑒𝑥 𝜔′

Conclusion et perspectives
22
Introduction
• Avantages de la logique possibiliste avec des poids
symboliques pour la représentation des préférences:
- Formalisme plus expressif que les CP-nets
- Cohérence avec l'ordre de Pareto
- Transitivité des priorités entre variables de décision
Travaux futurs
• Trouver une représentation logique exacte des CP-net
• Comparer avec un codage des préférences des CP-nets sous
la forme Π(𝑢 ∧ 𝑥𝑖) > Π(𝑢 ∧ ¬𝑥𝑖)
• Vers la représentation des CP-théories (Wilson) en logique
possibiliste

Exemple (2/2)
28
incomparables incomparables
incomparables
incomparables

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