1. Diseño de compensadores
1
Objetivo
Conocer y aplicar una técnica para el
diseño de compensadores con el uso de las
características de la respuesta a la
frecuencia.
Tomada del libro de K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna
Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany
Rodríguez García
2. Diseño de compensadores
2
Se deben considerar primeramente las
especificaciones de diseño y compararlas
con las especificaciones que tiene el sistema
original. Esto permite determinar el tipo de
compensador para cada caso.
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3. Diseño de compensadores
3
Al final del diseño se podrán calcular los
valores de las resistencias y capacitancias del
circuito con amplificadores operacionales.
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4. Diseño de compensadores
4
Se toman en consideración las especificaciones
dadas.
En frecuencia
Características
En Tiempo del Sistema
• Márgenes de
ganancia y
• Factor de fase.
• Sobrepaso amortiguamie
nto relativo • Pico de
• Tiempos resonancia.
• Frecuencias
• Ancho de
banda
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5. Diseño de compensadores
5
Compensador en serie
E(s) C(s)
Gc(s) G(s)
E(s) C(s)
G1(s)
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6. Compensador de Adelanto de Fase
6
Se toma la función de transferencia
ecuación 1
1
Ts + 1 s+
GC (s ) = KCα = KC T
αTs + 1 s+
1 Ec 1
αT
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/αT )cero y polo respectivamente
Recordando que (1/T) < (1/αT ) y para esto α < 1
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7. Compensador de Adelanto de Fase
7
Se sustituye:
K Cα = K Ec. 2
y la ec. 1 se reescribe como
Ts + 1
GC (s ) = K Ec. 3
αTs + 1
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8. Compensador de Adelanto de Fase
8
La F. T. L. A. del sistema compensado
queda como la ec. 4
Ts + 1
GC (s )G (s ) = K G (s )
αTs + 1 Ec. 4
Donde
Gc(s) es la f. t. del compensador.
G(s) es la f. t. de la planta a compensar.
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9. Compensador de Adelanto de Fase
9
Recordando que éste no modifica el ess,
entonces las características a cambiar
serán las que se relacionan
directamente con el transitorio. Sin
embargo es posible abatir el error
aumentando o disminuyendo la ganancia
del sistema.
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10. Compensador de Adelanto de Fase
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Para modificar el error agregando ganancia se
debe tener en cuenta el tipo de sistema. Y
entonces se utiliza la constante de error de
estático correspondiente (KP, KV, Ka).
Una vez definido esto se usan las ecuaciones
siguientes.
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11. Compensador de Adelanto de Fase
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K P = lim s →0 G1 (s ) = lim s →0 KG (s )
KV = lim s →0 sG1 (s ) = lim s →0 sKG (s )
K a = lim s →0 s G1 (s ) = lim s →0 s KG (s )
2 2
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12. Compensador de Adelanto de Fase
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Una vez que se tienen las
características en el dominio de la
frecuencia y se ha modificado la
ganancia del sistema (en su caso), se
procede de la siguiente manera:
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13. Compensador de Adelanto de Fase
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2. Se construyen los diagramas de Bode del
sistema con la ganancia modificada.
G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5
3. Se calcula el ángulo de adelanto de fase
necesario para cumplir con la especificación.
Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 6
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14. Compensador de Adelanto de Fase
14
4. Se determina el factor de atenuación α usando la
ec. 7.
1−α
senΦ m = Ec. 7
1+α
5. Calcular la ganancia a atenuar utilizando la ec. 8:
G1 ( jω ) = −20 log
1 Ec. 8
α
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15. Compensador de Adelanto de Fase
15
6. En el diagrama de Bode obtenido en el punto 2, se
localiza dicha ganancia y se ubica la frecuencia a
la cual se produce. Esta frecuencia será la nueva
frecuencia de cruce de ganancia ( ωm ).
Esta frecuencia permitirá definir el valor de las
singularidades del compensador.
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16. Compensador de Adelanto de Fase
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7. Determine la posición del cero y del polo del
compensador.
1 1 1 ωm
ωm = ωz = = ωm α ωp = =
αT T αT α
8. Se ajusta la ganancia del compensador.
K Cα = K
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17. Compensador de Adelanto de Fase
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9. Se arma la función de transferencia del
compensador de acuerdo a la ec. 1.
10. Verificar si el sistema compensado cumple las
especificaciones.
11. Se calculan los valores de las resistencias y
capacitancias del circuito.
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18. Compensador de Adelanto de Fase
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R4 R2 R1C1s + 1
Gc ( s ) =
R3 R1 R2C2 s + 1
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19. Compensador de Atraso de Fase
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Se toma la función de transferencia
ecuación 1
1
s+
Ts + 1
GC (s ) = K C β = KC T β >1 Ec. 1
βTs + 1 s+
1
βT
Observe la semejanza con el de adelanto pero cambia la
condición.
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/βT )cero y polo respectivamente
Recordando que (1/T) < (1/βT ) y para esto β > 1
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20. Compensador de Atraso de Fase
20
Definiendo:
KC β = K Ec. 2
La ec. 1 se reescribe como
Ts + 1
GC (s ) = K Ec. 3
βTs + 1
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21. Compensador de Atraso de Fase
21
La F. T. L.A. del sistema compensado es
Ts + 1
GC (s )G (s ) = K G (s )
βTs + 1 Ec. 4
Ts + 1 Ts + 1
GC (s )G (s ) = KG (s ) = G1 (s )
βTs + 1 βTs + 1
Donde
Gc(s) es la f. t. del compensador.
G(s) es la f. t. de la planta a compensar.
Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany
Rodríguez García
22. Compensador de Atraso de Fase
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Al igual que el compensador de
adelanto, será necesario iniciar con
la modificación de la ganancia para
disminuir el error en estado estable.
Para ello referirse a la sección
correspondiente.
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23. Compensador de Atraso de Fase
23
2. Construye los diagramas de Bode del sistema
con la ganancia modificada.
G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5
3. De la especificación calcula el ángulo que se
requiere para cumplir.
θ1 (ωm ) = −180° + Φ m Ec. 6
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24. Compensador de Atraso de Fase
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4. En el diagrama de Bode identifica este ángulo y
determina la frecuencia donde se produce. Esta
frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de
ganancia (ωm ).
5. Determina cuanto vale la magnitud en ese valor
de frecuencia.
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25. Compensador de Atraso de Fase
25
6. Determine el factor de atenuación β. Para ello se
localiza la magnitud en ωm.
G1 ( jωm ) = 20 log β Ec. 7
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26. Compensador de Atraso de Fase
26
7. Determine la posición del cero y del polo del
compensador.
ωm ωm ωz
≤ ωz ≤ ωp =
10 2 β
8. Se obtiene la ganancia del compensador.
K Cα = K
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27. Compensador de Atraso de Fase
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9. Se arma la función de transferencia del
compensador de acuerdo a la ec. 1.
10. Verificar si el sistema compensado cumple las
especificaciones.
11. Se calculan los valores de las resistencias y
capacitancias del circuito.
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28. Compensador de Atraso de Fase
28
R4 R2 R1C1s + 1
Gc ( s ) =
R3 R1 R2C2 s + 1
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29. Compensador de Atraso-Adelanto
29
Se toma la función de
transferencia de la ecuación 1
1 1
s+ s+
GC (s ) = K C
T1 T2
α <1y β >1 Ec 1
1 1
s+ s+
αT1 βT2
Kc es la ganancia
(1/T) y (1/βT) cero y polo respectivamente de atraso
(1/T) y (1/αT) cero y polo respectivamente de adelanto
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30. Compensador de Atraso-Adelanto de Fase
30
Al igual que el compensador de
adelanto, será necesario iniciar con
la modificación de la ganancia para
disminuir el error en estado estable.
Para ello referirse a la sección
correspondiente.
Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany
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31. Compensador de Atraso-Adelanto
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2. Dibuje los diagramas de Bode del sistema con la
ganancia modificada.
G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 2
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32. Compensador de Atraso-Adelanto
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3. Se diseña de la parte de atraso:
a. Se calcula el ángulo necesario para cumplir la
especificación de margen de fase
Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 3
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33. Compensador de Atraso-Adelanto
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b. Se busca en los D. B. la frecuencia en que se
produce la fase. Esta frecuencia será la nueva
frecuencia de cruce de ganancia (ωm).
c. Se obtiene el valor del factor de atenuación β,
utilizando la ec. 4:
β −1
senΦ m =
β +1
Ec. 4
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34. Compensador de Atraso-Adelanto
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d. Determine la posición del cero y del polo del
compensador de acuerdo al procedimiento
del compensador de atraso.
ωm ωm ωz
≤ ωz ≤ ωp =
10 2 β
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35. Compensador de Atraso-Adelanto
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4. Diseñe la red de adelanto.
a) En el diagrama de Bode se identifica el valor de
la ganancia en la frecuencia de cruce de
ganancia (ωm).
b) Se calcula un punto igual a P=(ωm, -G(ωm,)).
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Rodríguez García
36. Compensador de Atraso-Adelanto
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c. Trazamos una recta con pendiente igual a 20
dB/déc que pase por la atenuación necesaria y
la frecuencia de cruce de ganancia.
d. La frecuencia del cero es igual a la frecuencia
de cruce con la línea de -20 dB.
e. La frecuencia del polo es igual a la frecuencia
de cruce con la línea de 0 dB.
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37. Compensador de Atraso-Adelanto
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5. Se obtiene la ganancia del compensador
K Cα = K
6. Verificar si el sistema compensado cumple las
especificaciones.
Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany
Rodríguez García
38. Compensador de Atraso-Adelantoe
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7. Se arma la función de transferencia del
compensador de acuerdo a la ec. 1.
8. Verificar si el sistema compensado cumple las
especificaciones.
9. Se calculan los valores de las resistencias y
capacitancias del circuito.
Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García