2. Matriks
– Matriks adalah susunan bilangan dakam
bentuk baris dan kolom, biasanya
dilambangkan dalam huruf capital.
Banyaknya baris dan kolom dalam
matriks disebut
dengan ordo. Urutan yang perlu
diingat adalah baris kemudian
kolom. Matriks dalam ilustrasi di
bawah ini memiliki ordo 2x3,
karena memiliki dua baris dan tiga
kolom.
3. Bentuk
Matriks
Matriks Baris
A = [ 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 ]
Matriks Kolom
A = [
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑛
]
Matriks Bujur Sangkar
A = [
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
… … …
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛
]
Matriks Diagonal
A = [
𝑎11
0
0
𝑎22
0
0
… … …
0 𝑎𝑛2 𝑎𝑚𝑛
]
Matriks yang jumlah kolom dan
barisnya sama. Matriks bujur
sangkar orde n x n.
Matriks yang bujur sangkar yang
semua elemennya sama dengan
nol, kecuali elemen pada
diagonal utamanya.
Bentuk umunya : 1 x n
Bentuk umunya : m x 1
4. Matriks Satuan dan Matriks Identitas
A = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
Matriks Nol
A = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
]
Matriks Simetris
A = [
3
0
0
8
−5
−2
−5 −2 7
4 1 4
4
1
4
−2
]
Matriks Segitiga Atas
A = [
1
0
−2
4
3
0
0 0 5
0 0 0
8
−2
1
1
]
Jika matriks diagonalnya,
seluruh elemennya sama
dengan satu.
Jika matriks diagonalnya,
seluruh elemennya sama
dengan satu.
Sebuah matriks bujur sangkar
yang semua elemen dibawah
diagonal utamanya sama
dengan nol.
5. Matriks Segitiga Bawah
A = [
1
−4
0
8
0
0
−2 3 5
0 1 2
0
0
0
2
]
Sebuah matriks bujur sangkar
yang semua elemen diatas
diagonal utamanya sama
dengan nol.
Tranpose Matriks
Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom
pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.
6. Sifat – Sifat Penjumlahan Matriks
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks dengan ordo yang sama, yaitu m x n
maka pada penjumlahan matriks berlaku sifat – sifat sebagai berikut :
Sifat komutatif
(A + B) + C = A+ (B+C)
Invers penjumlahan matriks A adalah –A, sehingga
A + B = B + A
Sifat asosiatif
A + (-A) = (-A) + A = 0
7. Pengurangan Matriks
– Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dan matriks B. Jika matriks C
adalah matriks pengruangan dari A dengan B, maka matriks C dapat diperoleh dengan
mengurangkan setiap elemen pada matriks A yang terletak dengan elemen pada
matriks B.
A - B = A + (-B)
Sama halnya dengan syarat penjumlahan matriks, dua atau lebih matriks hanya dapat
dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama.
8. Perkalian Matriks
Sifat – sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) Dengan Matriks
Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo mxn, serta k1 dan k2 adalah bilangan
real, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
a. k1 (A + B) = k1.A + k1.B
b. (k1 + k2 ) A = k1.A + k2.A
c. k1(k2.A) = (k1.k2) .A
9. Sifat – sifat perkalian
matriks
Sifat Asosiatif
(A x B ) x C = A x ( B x C)
Sifat Distributif
Distributif kiri = A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
Distributif kiri = (A + B) x C = (A x C) + (B x C)
10. Perkalian Matriks dengan
Matriks
Syarat agar dua buah matriks dapat dikalikan adalah matriks pertama harus memiliki
jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris dengan matriks kedua.
Contoh :
Diketahui matriks A =
6 3
4 8
, B =(
1
2
). Tentukan matriks A x B ?
=
11. Determinan Matriks
– Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Matriks persegi
adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk
matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.
Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A
bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan
suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya.
12. Determinan Matriks Ordo
2x2
Elemen a dan d Diagonal utama
Elemen b dan c Diagonal kedua
Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-
elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
13. Determinan Matriks Ordo
3x3
adalah matriks berordo 3x3. Terdapat beberapa cara yang bisa dilakukan
untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan
laplace (kofaktor).
Aturan Sarrus
Tuliskan kembali kolom 2 dan 3
di sebelah matriks A
Kalikan elemen-elemen matriks
tersebut sesuai dengan pola
garis putus-putus yang
digambarkan. Perhatikan
urutan serta tanda (+) dan (-
)nya.
14. Metode Laplace ( Kofaktor)
– Evaluasi determinan akan memberikan sebuah nilai numerik tunggal, yang dapat ditentukan dengan
ekspasnsi Laplace. Metode ini memerlukan minor dan kofaktor dari determinan.
Determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian
dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah
satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1.
Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.
15. – Langkah kedua, mencari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan
Aij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-
j.
Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian
dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.
A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.
16. – A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom
ke-2.
A13 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.
20. Aturan Cramer untuk Sistem 3 ×
3
Aturan Cramer dapat diperluas untuk sistem persamaan linear 3 × 3,
dengan menggunakan pola yang sama dengan sistem 2 × 2. Diberikan
sistem umum 3 × 3,
Solusi-solusi dari sistem tersebut adalah x = Dx/D, y = Dy/D, dan z = Dz/D,
dimana Dx, Dy, dan Dz dibentuk dengan mengganti koefisien variable-
variabel yang bersangkutan dengan konstanta, dan D adalah determinan
dari matriks koefisien (D ≠ 0).
21. Penerapan Aturan Cramer untuk
Sistem 3 × 3
Diberikan suatu sistem persamaan linear 3 × 3
Solusi dari sistem tersebut adalah (x, y, z), dimana
