4. ● Trigonometri terdiri atas 2 kata bahasa Yunani, yaitu
“trigonos” dan “metros”. “Trigonos” berarti segitiga
dan “metros” berarti ukuran.
● Dengan demikian, trigonometri berarti menentukan
ukuran-ukuran segitiga yakni menentukan panjang
sisi, besar sudut, garis tinggi, garis bagi, garis berat,
luas, dan perbandingan sisi.
● Konsep trigonometri dipakai dalam menyelesaikan
masalah matematika maupun dalam kehidupan
sehari-hari, seperti dalam menentukan tinggi gedung
atau menara, lebar sungai dan arah sebuah pesawat.
5. 2. Perbandingan Trigonometri
a. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.
b. Perbandingan trigonometri dalam semua kuadran.
c. Perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus.
d. Perbandingan trigonometri sudut berelasi.
11. ● Perbandingan trigonometri di semua kuadran biasa
disebut dengan trigonometri dalam koordinat
Cartesius, yakni perluasan dari perbandingan
trigonometri dalam segitiga siku-siku.
● Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku
hanya menggunakan sudut lancip, tetapi
perbandingan trigonometri dalam koordinat
Cartesius berlaku untuk sembarang sudut.
16. Tanda-tanda Perbandingan
Trigonometri
Kuadran II Kuadran I
sin ϴ = y (+) : r (+) = + sin ϴ = y (+) : r (+) = +
cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +
tan ϴ = x (-) : y (+) = - tan ϴ = x (+) : y (+) = +
Kuadran III Kuadran IV
sin ϴ = y (-) : r (+) = - sin ϴ = y (-) : r (+) = -
cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +
tan ϴ = x (-) : y (-) = + tan ϴ = x (+) : y (-) = -
20. Kuadran II Kuadran I
(180° – α) dan α (90° – α) dan α
(90° + α) dan α (360° + α) dan α
Kuadran III Kuadran IV
(270° – α) dan α (360° – α) dan α
(180° + α) dan α (270° + α) dan α
(–α) dan α
21. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran I)
1.Sudut (90° – α) dan α
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
tan (90° – α) = cot α
cot (90° – α) = tan α
sec (90° – α) = csc α
csc (90° – α) = sec α
22. 2.Sudut (360° + α) dan α
sin (360° + α) = sin α
cos (360° + α) = cos α
tan (360° + α) = tan α
cot (360° + α) = cot α
sec (360° + α) = sec α
csc (360° + α) = csc α
23. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran II)
1.Sudut (180° – α) dan α
sin (180° – α) = sin α
cos (180° – α) = - cos α
tan (180° – α) = - tan α
cot (180° – α) = - cot α
sec (180° – α) = - sec α
csc (180° – α) = csc α
24. 2.Sudut (90° + α) dan α
sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = - sin α
tan (90° + α) = - cot α
cot (90° + α) = - tan α
sec (90° + α) = - csc α
csc (90° + α) = sec α
25. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran III)
1.Sudut (270° – α) dan α
sin (270° – α) = - cos α
cos (270° – α) = - sin α
tan (270° – α) = cot α
cot (270° – α) = tan α
sec (270° – α) = - csc α
csc (270° – α) = - sec α
26. 2.Sudut (180° + α) dan α
sin (180° + α) = - sin α
cos (180° + α) = - cos α
tan (180° + α) = tan α
cot (180° + α) = cot α
sec (180° + α) = - sec α
csc (180° + α) = - csc α
27. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran IV)
1.Sudut (360° – α) dan α
sin (360° – α) = - sin α
cos (360° – α) = cos α
tan (360° – α) = - tan α
cot (360° – α) = - cot α
sec (360° – α) = sec α
csc (360° – α) = - csc α
28. 2.Sudut (270° + α) dan α
sin (270° + α) = - cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = - cot α
cot (270° + α) = - tan α
sec (270° + α) = csc α
csc (270° + α) = - sec α
29. 3.Sudut (–α) dan α → sudut negatif
sin (–α) = - sin α
cos (–α) = cos α
tan (–α) = - tan α
cot (–α) = - cot α
sec (–α) = sec α
csc (–α) = - csc α
30. ● Kesimpulan 1 (menentukan kedudukan
trigonometri):
Untuk sudut (90° ± α) = kebalikan
Untuk sudut (180° ± α) = tetap
Untuk sudut (270° ± α) = kebalikan
Untuk sudut (360° ± α) = tetap
● Kesimpulan 2 (menentukan positif atau negatif):
Ditentukan dengan letak sudut berada pada kuadran
I (semua positif), II (sin positif), III (tan positif), dan
IV (cos positif).
31. Untuk Sudut > 360°
● Gunakan K . 90° + α
1.K genap untuk kedudukan trigonometri tetap dan K
ganjil untuk kedudukan trigonometri berlawanan.
2.Menentukan sisa dari K : 4
3.Sisa dari K : 4 adalah penentu letak sudut pada
kuadran akhir.
4. α (untuk 0° ≤ α ≤ 90°)
32. Contoh Soal 1
1.sin 135° = sin (180 – 45)°
= sin 45°
= ½ √2
atau = sin (90 + 45)°
= cos 45°
= ½ √2
46. ● Persamaan trigonometri sederhana adalah
persamaan yang nilai sin x, cos x, atau tan x sudah
diketahui. Unuk mendapatkan semua sudut yang
memenuhi persamaan trigonometri sederhana, maka
kita harus mengingat nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus dan pasangan
sudut-sudut di berbagai kuadran. Misalnya α sudut
di kuadran I, maka pasangan sudut di kuadran
lainnya adalah:
II = 180º – α III = 180º + α IV = 360º – α
48. ● Berikut rumus umum penyelesaian persamaan
trigonometri:
sin x = sin α, maka x1 = α + k.360º
atau x2 = (180º – α) + k.360º
cos x = cos α,maka x1 = α + k.360º
atau x2 = (– α) + k.360º
tan x = tan α, maka x = a + k.180º (k = 0, ±1, ±2, ...)
49. Contoh Soal 3
1.Tentukan nilai x dari sin x = ½ (0° ≤ x ≤ 360°)
sin x = ½ → sin x = sin 30°
Karena sin x bernilai positif, maka x berada pada
posisi di kuadran I atau II
Maka, nilai x yang memenuhi adalah 30° atau 180°-
30° = 150°
x = {30°, 150°} atau {1/6 η, 5/12 η}
50. 2.Tentukan nilai x dari tan x = - √3 (0° ≤ x ≤ 360°)
tan x = - √3 → tan x = - tan 60°
Karena tan x bernilai negatif, maka x berada pada
posisi di kuadran II atau IV
Maka, nilai x yang memenuhi adalah 180°- 60° =
120° atau 360°- 60° = 300°
x = {120°, 300°} atau {2/3 η, 5/3 η}
51. 3.Tentukan nilai x dari sin 3x = ½ √3 (0° ≤ x ≤ 360°)
sin 3x = ½ √3 → sin 3x = sin 60°
3x1 = 60° + k.360° → x1 = 20° + k.120°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 20°, 140°, 260°
3x2 = (180 - 60)° + k.360° → x2 = 40° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 40°, 160°, 280°
x = {20°, 40°, 140°, 160°, 260°, 280°}
atau {1/9 η, 2/9 η, 7/9 η, 8/9 η, 13/9 η, 14/9 η}
52. 4.Tentukan nilai x dari cos 5x = -½ √2 (0° ≤ x ≤ 180°)
cos 5x = -½ √2 → cos 5x = cos 135°
5x1 = 135° + k.360° → x1 = 27° + k.72°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 27°, 99°, 171°
5x2 = -135° + k.360° → x2 = -27° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 45°, 117°
x = {27°, 45°, 99°, 117°, 171°}
atau {3/20 η, 1/4 η, 11/20 η, 13/20 η, 19/20 η}
54. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri:
y = a sin bx
y = sumbu y
a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)
b = jumlah gelombang sepanjang 360°
x = sumbu x
55. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri:
y = a sin b (x ± c)°
y = sumbu y
a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)
b = jumlah gelombang sepanjang 360°
c = pergeseran (apabila - maka bergeser ke kanan
sebanyak c°, dan apabila + maka bergeser ke kiri
sebanyak c°)
x = sumbu x
56. Langkah-langkah Menggambar Grafik
1.Menentukan titik potong sumbu x, maka y = 0
2.Menentukan titik potong sumbu y, maka x = 0
3.Menentukan titik maksimum untuk menentukan titik
puncak atas pada grafik.
4.Menentukan titik minimum untuk menentukan titik
puncak bawah pada grafik.
5.Menggambar grafik.
57. Contoh soal 4
1.Gambarlah grafik untuk persamaan y = sin 3x, untuk
0°≤ x ≤ 360°.
2.Gambarlah grafik untuk persamaan y = 2 cos (x –
30)°, untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
58. 1.y = sin 3x (0°≤ x ≤ 360°)
Langkah 1:
Menentukan tipot sumbu x → y = 0
y = sin 3x → 0 = sin 3x → sin 3x = sin 0°
3x1 = 0° + k.360° → x1 = 0° + k.120°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 0°, 120°, 240°, 360°
3x2 = (180 - 0)° + k.360° → x2 = 60° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 60°, 180°, 300°
Tipot sumbu x = {(0°,0) ; (60°,0) ; (120°,0) ;
(180°,0) ; (240°,0) ; (300°,0) ; (360°,0)}
60. Langkah 3:
Menentukan titik maksimum
untuk y = sin 3x adalah 1
y = sin 3x → 1 = sin 3x → sin 3x = sin 90°
3x = 90° + k.360° → x = 30° + k.120°
Nilai x yang memenuhi adalah 30°, 150°, 270°
Titik maksimum = {(30°,1) ; (150°,1) ; (270°,1)}
61. Langkah 4:
Menentukan titik minimum
untuk y = sin 3x adalah -1
y = sin 3x → -1 = sin 3x → sin 3x = sin 270°
3x = 270° + k.360° → x = 90° + k.120°
Nilai x yang memenuhi adalah 90°, 210°, 330°
Titik maksimum = {(90°,-1) ; (210°,-1) ; (330°,-1)}
62. Langkah 5: Gambar grafiknya
y
1
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x
-1
63. 2.y = 2 cos (x - 30)° (0°≤ x ≤ 360°)
Langkah 1:
Menentukan tipot sumbu x → y = 0
y = 2 cos (x - 30)° → 0 = 2 cos (x - 30)° → cos (x -
30)° = 0 → cos (x - 30)° = cos 90°
x1 – 30° = 90° + k.360° → x1 = 120° + k.360°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 120°
x2 – 30° = - 90° + k.360° → x2 = - 60° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 300°
Tipot sumbu x = {(120°,0) ; (300°,0)}
64. Langkah 2:
Menentukan titik potong sumbu y → x = 0
y = 2 cos (x– 30)°
y = 2 cos (– 30)°
y = 2 cos 30° = 2 . ½ √3 = √3
Tipot sumbu y = {0°,√3}
65. Langkah 3:
Menentukan titik maksimum
untuk y = 2 cos (x– 30)° adalah 1
y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . 1 = 2 → 2 = 2 cos (x–
30)° → cos (x– 30)° = 1 → cos (x– 30)° = cos 0°
x - 30° = 0° + k.360° → x = 30° + k.360°
Nilai x yang memenuhi adalah 30°
Titik maksimum = {(30°,1)}
66. Langkah 4:
Menentukan titik maksimum
untuk y = 2 cos (x– 30)° adalah -1
y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . -1 = 2 → -2 = 2 cos (x–
30)° → cos (x– 30)° = -1 → cos (x– 30)° = cos 180°
x - 30° = 180° + k.360° → x = 210° + k.360°
Nilai x yang memenuhi adalah 210°
Titik maksimum = {(210°,1)}
67. Langkah 5: Gambar grafiknya
y
2
√3
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x
-2
71. C
b a
A c B
Pada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturan
sinus, yakni:
2 2 2
a = b + c – 2bc cos A
2 2 2
b = a + c – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
73. Rumus 1: Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut
C
b a
A c B
Luas = 1/2 . a . b . sin C
= 1/2 . a . c . sin B
= 1/2 . b . c . sin A
74. Rumus 2: Jika diketahui 3 sisi (masih dengan
gambar segitiga yang sama seperti slide
sebelumnya)
Luas = √s . (s – a) . (s – b) . (s – c)
s = 1/2 . keliling segitiga
= 1/2 . (a + b + c)
75. Rumus 3: Jika diketahui 1 sisi dan 2 sudut (masih dengan
gambar segitiga yang sama seperti slide sebelumnya)
a2 . sin B . sin C
Luas =
2 . sin A
b2 . sin A . sin C
=
2 . sin B
c2 . sin A . sin B
=
2 . sin C