En esta presentación aprenderás paso por paso a resolver un problema de optimización. Comenzaremos el problema obteniendo la ecuación que liga las dos incognitas que aparecen y posteriormente hallando la función que se debe optimizar. Finalmente eliminaremos una de las incognitas de la función a optimizar utilizando la ecuación que las liga y obtendremos los máximos y mínimos de dicha función mediante su derivada. Puedes encontrar más problemas en http://fdet.es/

1. En este vídeo vas a aprender a resolver un problema de
optimización.
Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: Optimización
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Problemas resueltos: optimización
Enunciado:
Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin
tapadera, que tenga una capacidad de 125 m3 . Halla el radio de la base y la altura
que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

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En primer lugar debemos realizar un dibujo del problema
h
r
Notaremos por h a la altura del cilindro y por r al
radio.
Sabemos por lo que dice el problema que el
volumen es 125 m3.
Recordamos que el volumen de un cilindro viene determinado por la fórmula
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ

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Si sustituimos los valores del problema, se tiene que:
𝜋𝑟2
ℎ = 125
Nos dicen que la superficie ha de ser mínima.
Si abrimos el cono se tiene que:
h
2𝜋𝑟
r

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Observamos que el enunciado nos indica que no tiene tapadera, por eso sólo nos
aparece la circunferencia de la base.
La superficie del cilindro vendrá dada por la suma de la superficie del rectángulo
obtenido y la de la circunferencia, por lo tanto tendremos que:
𝑆 = 𝑆 𝑅 + 𝑆 𝐶
Usando las fórmula para hallar la superficie del rectángulo y de una circunferencia
tenemos que:
𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 𝜋𝑟2
Esta superficie ha de ser mínima.

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Por tanto tenemos que:
𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 𝜋𝑟2
mínima, cumpliendo 𝜋𝑟2
ℎ = 125
Por lo tanto despejando h de la ecuación anterior , obtenemos:
ℎ =
125
𝜋𝑟2
A continuación sustituimos en la expresión que hay que minimizar:
𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 𝜋𝑟2 = 2𝜋𝑟
125
𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟2
Y denotamos por f(r) a la función obtenida.

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Derivando la función obtenida llegamos a:
𝑓´ 𝑟 =
−250
𝑟2 + 2𝜋𝑟
De donde igualando a cero obtenemos:
−250
𝑟2 + 2𝜋𝑟 = 0 -250 + 2𝜋𝑟3
= 0
Y por lo tanto
𝑟 =
3 250
2𝜋
=
5
3
𝜋
≈ 3,414

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A continuación estudiamos si el punto obtenido es un máximo o mínimo, para ello
representamos en la recta real dichos puntos y estudiamos el signo de la función
derivada en los intervalos obtenidos.
Para obtener los signos basta con evaluar f´(r) en un punto del intervalo
correspondiente, para ello basta con observar que
5
3
𝜋
≈ 3,414 …
- +
5
3
𝜋

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De esta forma tenemos que:
f(r) es monótona creciente en
5
3
𝜋
, ∞
f(r) es monótona decreciente en −∞,
5
3
𝜋
Por lo tanto f(r) tiene un mínimo en r=
5
3
𝜋
, y por lo tanto al sustituir se tiene que
ℎ =
125
𝜋𝑟2 =
125
𝜋
5
3
𝜋
2 =
5
3
𝜋2
𝜋
=
5
3
𝜋
Así para que la superficie sea mínima con un volumen de 125 𝑚3 tiene que tener
un radio de r=
5
3
↑𝜋
m. y una altura de h=
5
3
𝜋
m