Espelhos+esféricos

FÍSICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

Tópicos de óptica
geométrica:
espelhos esféricos
O tópico vai nos apresentar o estudo dos diop-tros
curvos refletores. Serão também apresentados os
elementos e raios notáveis para espelhos esféricos,
nas faces côncava e convexa.
Os espelhos curvos são dioptros curvos cujo
poder refletor
Wre
Wi
é aproximadamente igual a 1.
Existem vários tipos de superfícies curvas mas, geral-mente,
os espelhos curvos são aplicados a cilindros,
parábolas, esferas.
Os espelhos cilíndricos são usados em parques
de diversões porque são anamórficos, isto é, distor-cem
as imagens.
Os espelhos parabólicos são usados em holofo-tes,
faróis, refletores de lanternas etc.
O nosso estudo será restrito aos espelhos apli-cados
às calotas esféricas, ou seja, às seções de uma
esfera; se a parte espelhada estiver na face interna da
calota será um espelho esférico côncavo e se estiver
na face externa será um espelho esférico convexo.
Elementos dos espelhos
Os principais elementos dos espelhos esféri-cos
são:
•• Centro de curvatura (C) – é o centro da es-fera
que deu origem à calota onde aplicamos
o espelho.
•• Raio de curvatura (R) – é o raio da esfera que
deu origem à calota.
•• Abertura ( ) – é o ângulo formado pelos raios
de curvatura limítrofes do espelho; no estudo
que faremos, admitiremos apenas espelhos
de pequena abertura, isto é, 10° (essa
restrição é chamada condição gaussiana, e
nos permite obter imagens nítidas).
•• Vértice (V) – é o ponto médio da calota.
1 EM_V_FIS_019

2
EM_V_FIS_019
•• Eixo principal (Ep) – é a reta que passa pelo
centro de curvatura e pelo vértice; para
cada espelho existe um e apenas um eixo
principal.
•• Eixos secundários (Es) – são todas as retas
que passam pelo centro de curvatura; para
cada espelho existem infinitos eixos secun-dários.
•• Foco principal ou apenas foco (F) – admiti-da
a condição gaussiana, é o ponto do eixo
principal, médio entre o centro de curvatura
e o vértice.
•• Focos secundários (Fs): são os pontos mé-dios
dos eixos secundários entre o centro
de curvatura e a calota esférica, admitida a
condição gaussiana.
•• Distância focal (f): é a distância entre o foco
e o vértice; dentro da nossa aproximação
f =
R
2
.
•• Plano focal ( f) – é o plano que contém todos
os focos do espelho.
Raios notáveis
Como para determinação de um ponto necessi-tamos
de no mínimo duas retas, para a determinação
de um ponto luminoso necessitamos de no mínimo
dois raios luminosos.
Vamos, então, conceituar três raios para a cons-trução
das imagens:
1) O raio incidente cuja direção passa pelo cen-tro
de curvatura: o raio refletido terá direção
passando pelo centro de curvatura.
côncavo
convexo
Realmente, como a figura planificada representa
uma circunferência, a reta que passar pelo centro es-tará
perpendicular à curva (perpendicular à tangente
à curva nesse ponto); como essa perpendicular é a
normal ao espelho no ponto de incidência, o ângulo
de incidência é 0° e pela 2.ª lei da reflexão, o ângulo
de reflexão deve valer 0°.
2) O raio incidente cuja direção é paralela ao
eixo principal: o raio refletido terá direção
passando pelo foco.
côncavo convexo
Observe que, pelo princípio da reversibilidade,
podemos também dizer que se o raio luminoso inci-dente
tem direção passando pelo foco, ele emerge
paralelo ao eixo principal.
3) Um raio incidente oblíquo qualquer: o raio
refletido terá direção passando pelo foco
secundário correspondente.
A construção do raio refletido é, neste caso,
um pouco mais trabalhosa; traça-se, inicialmente, o
eixo secundário paralelo ao raio incidente (existindo
infinitos eixos secundários, sempre existirá um de-les
cuja direção é paralela a este raio); levanta-se o
plano focal (perpendicular ao eixo principal); como o

plano focal contém todos os focos do espelho e o eixo
secundário contém um foco secundário, a interseção
do plano focal com o eixo secundário determinará o
foco secundário.
Es
Fs
C
F
C
Fs
F
f
côncavo convexo
Vale também a observação feita no caso ante-rior:
se o raio luminoso incidente tem direção pas-sando
por um foco secundário, ele emerge paralelo
ao eixo secundário correspondente (princípio da
reversibilidade dos raios).
Construção de imagens
Para a construção das imagens em espelhos
esféricos utilizamos sempre dois dos raios notáveis
vistos no módulo anterior. Geralmente os usados são
o 1.º e o 2.º raios, reservando-se o 3.º para poucas
construções.
Imagem de um ponto luminoso
Se o ponto está fora do eixo principal:
P
C F
P’
espelho
côncavo
Como o feixe incidente é divergente, P é ponto
objeto real (POR) e como o feixe emergente é conver-gente,
P’ é ponto imagem real (PIR).
espelho
convexo
C F
P’
P
019
FIS_objeto real (POR) e como o feixe emergente também
V_é divergente, P’ é ponto imagem virtual (PIV).
EM_3 Se o ponto está sobre o eixo principal: nesse
caso usamos o 3.º raio notável.
objeto real (POR) e como o feixe emergente é conver-gente,
P’ é ponto imagem real (PIR).
objeto real (POR) e como o feixe emergente também
é divergente, P’ é ponto imagem virtual (PIV).
Das construções acima concluímos que, se o
ponto está fora do eixo principal, a sua imagem estará
fora do eixo principal e vice-versa.
Imagem de um objeto luminoso
Construímos a imagem dos pontos extremos
desse objeto. Como no caso mais geral o objeto está
sobre e perpendicular ao eixo principal, basta cons-truir
a imagem do ponto exterior ao eixo e traçar a
perpendicular ao eixo.
•• Objeto no infinito: conjuga um feixe de raios
paralelos (objeto impróprio).
espelho
côncavo
P
F P’
C
P’ é PIR e está localizada sobre o foco.
P’ é PIV e está localizada sobre o foco.
Es

4
EM_V_FIS_019
Objeto real longe, •• mas a uma distância
finita:
A
B
C
B’
A’
F
espelho côncavo
A’B’ é imagem real, invertida, menor que o obje-to
e localizada entre o centro de curvatura e o foco.
A’B’ é imagem virtual, direita, menor que o ob-jeto
e localizada entre o foco e o espelho.
Para espelhos convexos, para qualquer distân-cia
finita do objeto real, teremos sempre uma imagem
virtual, direita e menor.
•• Objeto real sobre o centro de curvatura:
A’B’ é imagem real, invertida, de mesmo tamanho
que o objeto e localizada sobre o centro de curvatura.
•• Objeto real entre o centro de curvatura e
o foco:
espelho côncavo
B’
A’
A
B
C F
A’B’ é imagem real, invertida, maior que o objeto
e localizada entre o centro de curvatura e o infinito.
•• Objeto real sobre o foco:
A
B
C F
espelho
côncavo
B’ é imagem imprópria (no infinito).
•• Objeto real entre o foco e o espelho:
A’B’ é imagem virtual, direita e maior que o
objeto.
Das figuras constata-se que todos os casos vis-tos
para os espelhos côncavos podem ser adaptados
para espelhos convexos, bastando trocar as palavras
real por virtual; por exemplo, o quarto caso, para es-pelho
convexo seria: objeto virtual entre o centro de
curvatura e o foco – imagem virtual, invertida, maior
que o objeto e localizada entre o centro de curvatura
e o infinito.
Podemos notar, também, que se as naturezas do
objeto e da imagem são iguais, essa imagem estará
invertida em relação ao objeto; se as naturezas são
diferentes, a imagem estará direita em relação ao
objeto.
`` Exemplo:
(PUC) A figura abaixo representa o espelho retrovisor
(convexo) que permite a um motorista de ônibus ver o
interior do veículo. O centro do espelho, que é esférico,
está no ponto C e a posição dos olhos do motorista no
ponto M (modelo aproximado da situação real). Apenas
a região hachurada corresponde ao espelho.

a) Represente graficamente, na figura, a posição M’ da
imagem dos olhos do motorista.
b) O motorista verá a imagem de seus próprios olhos?
`` Solução:
a)
b) Não; os raios que nos permitem construir a imagem
podem ser traçados admitindo-se, como espelho,
toda a calota esférica; mas como não há raios
emergentes da imagem para M passando pelo es-pelho,
ele não vê a imagem do próprio olho.
Equações dos espelhos
Tomando-se um caso qualquer e denominando-se:
o – tamanho linear do objeto AB;
i – tamanho linear da imagem A’B’;
p – distância do objeto ao espelho;
p’ – distância da imagem ao espelho;
x – distância do objeto ao foco;
x’ – distância da imagem ao foco;
f – distância focal.
i
Como o triângulo ABV é semelhante ao triân-gulo
A’B’V seus lados homólogos são proporcionais
e podemos escrever:
i
o
= p’
1
019
p
FIS_V_EM_5 Admitindo-se a condição gaussiana, o arco AgV
tende a uma reta; os triângulos Ag V F e A’ B’ F são
semelhantes e podemos escrever :
io
=
p’ - f
f
e substituindo-se pela equação ante-rior
vem p’
p
= p’ - f
f
e substituindo-se pela equação
anterior vem p’ f = p p’ – p f e dividindo-se todos os
termos por p p’ f
1
p =
1
f
-
1
p’
ou
1
= p
f
+
1
p’
conhecida como equação de Gauss; nessa equação
adotamos uma convenção de sinais: sinal + para os re-ais
e sinal – para os virtuais, isto é, se o objeto é real p 0
e se o objeto é virtual p 0 ; se a imagem é real p’ 0
e se a imagem é virtual p’ 0; consideramos f 0
para os espelhos côncavos e f 0 para os espelhos
convexos.
Demonstra-se também por semelhança de tri-ângulos
que:
x’
f
=
f
x
ou f2 = x . x’, chamada equação de Newton.
Definimos aumento ou amplificação linear
transversal como a razão entre o tamanho linear da
imagem e o tamanho linear do objeto, isto é:
A =
i
o ou A = p’
p
-
a amplificação linear é considerada positiva quando
a imagem é direita e negativa quando a imagem é
invertida.
`` Exemplos
(UFMT) A um objeto colocado a 90cm de um espelho
esférico, de pequena abertura, corresponde uma imagem
que é real e situada a 60cm do espelho. Baseado nesses
dados, deduza a distância focal e reconheça a natureza
do espelho.
`` Solução:
Como o objeto é “colocado” ele é real; sendo a sua ima-gem
também real, o espelho só pode ser côncavo.
Aplicando-se a equação de Gauss
1
p
=
1
f
+ 1
p’
vem
1
90
=
1
f
+
1
60
( f 0, p 0 e p’ 0) f = 36cm.
f = 36cm e o espelho é côncavo.
(MACK-SP) Um objeto real se encontra a 20cm de um
espelho esférico côncavo, de 30cm de raio de curvatura.
A distância entre o objeto e sua imagem fornecida pelo
espelho é de:

6
EM_V_FIS_019
a) 60cm
b) 40cm
c) 30cm
d) 20cm
e) 10cm
`` Solução: B
B’
A’
A
B
C F
Aplicando-se a equação de Gauss:
1
f
=
1
p
+
1
p’ vem:
1
f
=
1
20
+
1
p’
( f 0, p 0 e p’ 0); como f =
R
2
1
15
=
1
20
+
1
p’
⇒ p’ = 60cm.
O que está sendo pedida é a distância B’B que, obser-vada
na figura vale p’ – p e, portanto, B’B = 60 – 20
= 40cm.
1. (UGF) Em cada uma das situações abaixo estão re-presentados
quatro raios de luz que são refletidos por
espelhos ocultos por placas retangulares.
I II III
As formas desses espelhos são:
espelho
convexo
espelho
côncavo
dois espelhos
planos
Observando a trajetória dos raios incidentes e refletidos,
conclui-se que, em I, II e III, estão colocados, respecti-vamente,
os espelhos:
a) convexo, planos e côncavo.
b) côncavo, planos e convexo.
c) planos, côncavo e convexo.
d) convexo, côncavo e planos.
e) côncavo, convexo e planos.
`` Solução: A
O feixe incidente da figura I provoca por reflexão um feixe
divergente: prestando atenção na numeração dos raios
nota-se que esse espelho é convexo, pois não havendo
inversão da posição relativa dos raios estaria caracterizada
uma imagem virtual; na figura II observa-se que o feixe
incidente paralelo conjuga um feixe emergente também
paralelo, caracterizando espelho plano. Na figura III, o
feixe também provoca, por reflexão, um feixe divergen-te:
prestando atenção na numeração dos raios nota-se
que esse espelho é côncavo, pois havendo inversão
da posição relativa dos raios estaria caracterizada uma
imagem real.
2. (PUC) A figura mostra um ponto luminoso colocado
sobre o eixo de um espelho côncavo. Sabendo que
a imagem também se encontra sobre o mesmo eixo,
determine sua posição graficamente.
`` Solução:
Vamos usar dois dos raios notáveis.
1.º O raio que incide passando pelo centro de curvatura;
após reflexão, sai pelo centro de curvatura.
2.º Como o raio paralelo ao eixo principal coincide com
o próprio eixo principal, vamos usar um raio oblíquo
qualquer; após reflexão ele sai pelo foco secundário
pertencente ao eixo secundário paralelo ao raio
incidente.

(Comcitec) Um objeto real pontual P se encontra 3. sobre o eixo
principal de um espelho convexo, como mostra a figura.
Determine a posição da imagem.
`` Solução:
4. (Cescea) Na figura, E é um espelho côncavo, O o centro
de curvatura e F é o foco.
Quando um raio de luz incide sobre E, passando por O
(não coincidindo com OF), ele:
a) reflete e passa por F.
b) reflete e passa por O.
c) reflete e sai paralelo ao eixo.
d) reflete e sai perpendicular ao eixo.
e) reflete e passa por um ponto entre F e V.
`` Solução: B
Como esse raio incidente tem direção passando pelo centro
de curvatura, ele sofre reflexão passando pelo centro de
curvatura.
5. (Unicamp) A figura mostra um ponto objeto P e um
ponto imagem P’, conjugados por um espelho côncavo
de eixo O1 O2:
O1 O2
.
C V
019
FIS_V_EM_P
7 P’
a) Localize graficamente o espelho côncavo.
b) Indique a natureza da imagem P’ (se é real ou vir-tual).
`` Solução:
O1 O2
.
.
Traça-se uma linha reta (1º) que passe pelos pontos P
e P’. A sua interseção com O1 O2 determina o ponto C
(centro de curvatura do espelho). Levanta-se a perpen-dicular
a O1 O2 (2º) que passa por P’. Marca-se sobre
essa perpendicular o ponto P’’, simétrico de P’ em relação
a O1 O2. Traça-se uma linha reta (3º) que passe pelos
pontos P e P’’. A sua interseção com O1 O2 determina o
vértice do espelho (V).
b) A imagem P’ obtida é real, pois o feixe emergente é
convergente.
6. (FMIt) As figuras abaixo mostram diagramas de reflexão
em espelhos convexos, que podem estar corretos ou
incorretos. Assinale a opção certa.
a) Apenas I está correto.
b) Apenas II está correto.
c) Apenas III está correto.
d) II e III estão corretos.
e) Todos estão corretos.
`` Solução: D
O diagrama da figura I está errado, pois isso aconteceria
se o espelho fosse côncavo. No espelho convexo o raio
refletido proveniente de um raio incidente paralelo ao eixo
principal tem direção passando pelo foco, mas este se
situa atrás e não na frente do espelho, evidenciando que
o diagrama da figura III é correto. Na figura II nota-se que
o ângulo de incidência está igual ao ângulo de reflexão,
tornando-a uma figura correta.

8
EM_V_FIS_019
7. (Cesgranrio) Um raio luminoso incide perpendicular-mente
sobre um espelho convexo, conforme a figura
abaixo.
Portanto, esse raio:
a) é absorvido pelo espelho.
b) reflete-se passando pelo foco.
c) reflete-se rasante ao espelho.
d) reflete-se perpendicularmente ao espelho.
e) reflete-se fazendo 45º com o espelho.
`` Solução: D
Sendo o raio incidente perpendicular à calota, ele se
reflete voltando perpendicularmente ao espelho.
8. (UGF) Para que um espelho esférico forme imagem de
um ponto com características de ponto, é necessário:
a) que o ponto objeto esteja muito próximo do espelho.
b) que os raios incidentes se afastem do eixo principal.
c) que o ponto objeto esteja localizado no infinito.
d) que os raios incidentes sejam muito inclinados e
pouco afastados do eixo principal.
e) que os raios incidentes tenham pouca inclinação e
pouco afastamento do eixo principal.
`` Solução: E
Matematicamente, a formação do ponto só acontecerá
para raios próximos do eixo principal e com pequenos
ângulos de incidência; somente nesta condição podemos
aproximar o seno de um ângulo à sua tangente (aproxi-mação
de Gauss).
9. (UFPA) Um objeto linear real forma, num espelho esféri-co,
uma imagem direita e três vezes maior que o objeto.
Sabendo que a distância entre o objeto e a imagem é de
80cm, podemos afirmar que o espelho é:
a) côncavo e a distância focal é de 15cm.
b) côncavo e a distância focal é de 30cm.
c) convexo e a distância focal é de 30cm.
d) convexo e a distância focal é de 15cm.
e) convexo e a distância focal é de 7,5cm.
`` Solução: B
Como a imagem é direita e maior, sendo o objeto real, o
espelho só pode ser côncavo e na situação abaixo
C F
A
A’
B B’
Como
i
o =
p’
p
3o
o =
p’
p ou p’ = 3p
A distância entre o objeto e a imagem é BB’ e nota-se,
pela figura, que BB’ = p + p’ e, portanto, 80 = p + 3 p
ou p = 20cm e, consequentemente, p’ = 60cm.
1
f
=
1
p
+
1
p’
vem:
1
f
=
1
20
-
1
60
( f 0, p 0 e p’ 0) f = 30cm.
f = 30cm e o espelho é côncavo.
10. (Mackenzie) Um pequeno lápis de altura L se encontra
sobre o eixo principal de um espelho esférico côncavo,
de distância focal f, a uma distância p do vértice do
mesmo. A imagem desse lápis terá altura:
a) L
f
f - p
b) L p - f
f
c) L
p - f
f
2
f
p - f
d) L
e) L
f
p - f
2
`` Solução: A
Usando-se
i
o
=
p’
p
vem:
L’
L
=
p’
p
ou p’ =
pL’
L
;
1
f
=
1
p
+
1
p’
vem
1
f
=
1
p
+
1
p’
( f 0, p 0 e p’ 0 ou p’ 0)
e substituindo-se p’ vem
1
f
=
1
p
1
pL’
ou
1
f
=
L’ L
pL’
p L’ = f L’ ± f L ⇒

p L’ – f L’ = ± f L ⇒ L‘ = ±
f
p - f ( )
Temos, então, duas possibilidades:
L’ = L
f
p - f
para uma imagem real ou
L’ = L
f
f - p
para uma imagem virtual.
(Cesgranrio) Um objeto é colocado 11. sobre o centro
de curvatura de um espelho côncavo. Nessas condições, a
imagem é:
a) real, invertida e menor que o objeto.
b) real, invertida e maior que o objeto.
c) real, invertida e de mesmo tamanho que o objeto.
d) real e não-invertida.
e) imprópria (no infinito).
`` Solução: C
1
f
=
1
p
+
1
p’
(p 0, f 0, p’ 0 ) e sendo p = 2f vem:
1
1
1
1
1
=
+
=
ou p’ = 2f.
f
2f
p’
2f
p’
12. (Unicamp) Uma das primeiras aplicações militares da
óptica ocorreu no século III a.C. quando Siracusa esta-va
sitiada pelas forças navais romanas. Na véspera da
batalha, Arquimedes ordenou que 60 soldados polissem
seus escudos retangulares de bronze, medindo 0,5m
de largura por 1,0m de altura. Quando o primeiro navio
romano se encontrava a, aproximadamente, 30m da
praia para atacar, à luz do sol nascente, foi dada a ordem
para que os soldados se colocassem formando um arco
e empunhassem seus escudos, como representado es-quematicamente
na figura abaixo. Em poucos minutos,
as velas do navio estavam ardendo em chamas. Isso foi
repetido para cada navio, e assim não foi dessa vez que
Siracusa caiu. Uma forma de entendermos o que ocorreu
consiste em tratar o conjunto de espelhos como um
espelho côncavo. Suponha que os raios do sol cheguem
paralelos ao espelho e sejam focalizados na vela do navio.
Qual deve ser o raio do espelho côncavo para que a
intensidade do sol concentrado seja máxima?
`` Solução:
Para que a intensidade de luz concentrada seja máxima
é preciso que a distância de 300m seja a da distância
focal (admitida a condição gaussiana, o ponto de con-vergência
dos raios que incidem paralelamente e , f =
R
2
); podemos então escrever: 30 =
R
2
ou R = 60m .
Observe que, se fizermos a conta do ângulo central, pelo
comprimento do arco e do raio, verificamos que este
sistema não é gaussiano, mas o problema pede que se
considere um espelho côncavo.
(Elite) Construa os raios refletidos correspondentes aos
raios incidentes dados.
1.
2.
3.
019
4. (Cescea) Na figura, E é um espelho côncavo, O é o
FIS_centro de curvatura e F é o foco.
V_EM_9 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

10
EM_V_FIS_019
Quando um raio de luz incide sobre E, passando por O
(não coincidindo com OF), ele:
a) reflete e passa por F.
b) reflete e passa por O.
c) reflete e sai paralelo ao eixo.
d) reflete e passa por V.
e) n.d.a.
5. (OMEC) O plano focal de um espelho de Gauss é:
a) um plano frontal que contém o foco principal do
espelho.
b) um plano que contém o centro de curvatura, o vér-tice
e o foco do espelho.
c) um plano perpendicular ao eixo principal, passando
pelo centro de curvatura.
d) um plano que contém o eixo principal e todos os
focos secundários.
e) n.d.a.
6. (OMEC) Um raio incidente qualquer RI sobre um
espelho esférico determina, no plano focal, um foco
secundário Fs. Quanto ao raio refletido RR, podemos
afirmar que:
a) é paralelo ao eixo secundário que passa por Fs.
b) é perpendicular ao eixo secundário que passa por Fs.
c) é paralelo ao eixo principal.
d) passará pelo centro de curvatura.
e) n. d. a.
7. (Fafica) Coloca-se um espelho côncavo voltado para uma
estrela. A imagem da estrela será formada:
a) no centro do espelho.
b) no vértice do espelho.
c) no foco do espelho.
d) no foco ou no centro, de acordo com a distância.
e) n. d. a.
8. (PUC)
A partir da figura dada, que representa um espelho
esférico convexo, seu eixo principal e dois raios de luz
incidentes, pode-se concluir que os pontos I, II e III são,
desse espelho, respectivamente, o:
a) foco, centro de curvatura e vértice.
b) vértice, foco e centro de curvatura.
c) foco, vértice e centro de curvatura.
d) vértice, centro de curvatura e foco.
e) centro de curvatura, foco e vértice.
9. (EMC) Um objeto real dá, em espelho esférico, imagem vir-tual
e menor que o objeto. Logo, podemos concluir que:
a) o objeto está situado entre o foco e o centro de
curvatura.
b) o objeto está situado entre o foco e o vértice do
espelho.
c) o objeto está situado no foco.
d) o objeto está situado no infinito.
e) o objetivo pode estar situado em qualquer posição
antes da vértice.
10. (EMC) Um espelho esférico tem 80cm de raio de cur-vatura.
Uma seta, situada perpendicularmente ao eixo
principal do espelho, dá imagem cujo comprimento é
a metade do comprimento da seta-objeto. Logo, a dis-tância
entre a seta e o centro de curvatura do espelho,
sendo a imagem real, vale:
a) 80cm
b) 40cm
c) 60cm
d) 120cm
e) n.d.a.
11. (EMC) Uma seta luminosa encontra-se entre o foco e o
vértice de um espelho esférico convexo. Nessa situação:
a) a imagem da seta está no foco.
b) o feixe refletido é constituído de raios paralelos.

c) a imagem da seta está no centro de curvatura do
espelho.
d) a imagem da seta está situada atrás do espelho,
sendo, portanto, virtual.
e) um objeto real não pode se encontar na posição
mencionada no enunciado.
12. (PUC) A imagem que um espelho esférico convexo
fornece de um objeto real é sempre:
a) real, invertida e menor.
b) virtual, direita e maior.
c) real, invertida e maior.
d) virtual, direita e menor.
e) virtual, invertida e menor.
13. (UFF) De um objeto real, um espelho esférico forma
imagem virtual, direita e maior quando o objeto está
colocado:
a) no foco do espelho.
b) entre o foco e o espelho.
c) no centro óptico do espelho.
d) entre o foco e o centro óptico do espelho.
e) entre o centro óptico e o infinito.
14. (PUC) Com referência a espelhos esféricos, assinale a
proposição errada:
a) Se o objeto e a imagem têm a mesma natureza, isto
é, são ambos reais ou ambos virtuais, a imagem é
invertida.
b) Se o objeto e a imagem têm naturezas opostas, isto
é, um é real e o outro é virtual, a imagem é direita.
c) Espelho convexo nunca fornece imagem real em cor-respondência
a um objeto real.
d) A imagem de um objeto real fornecida por um es-pelho
côncavo é sempre real.
e) Objeto real entre o foco e o centro de curvatura de
um espelho côncavo tem imagem real e invertida.
15. (PUC) Considere as seguintes afirmações:
I. Objetos reais diante de espelho convexo têm sem-pre
imagens virtuais.
II. Espelho côncavo só fornece imagem real.
III. I magens reais de objetos reais são sempre invertidas.
Dessas afirmações:
a) todas são corretas.
b) apenas a I e a II são corretas.
c) apenas a II é correta.
d) apenas a II e a III são corretas.
e) apenas a I e a III são corretas.
16. (PUC) Coloca-se diante de um espelho côncavo um
objeto real, como indica a figura.
Assinale a opção que caracteriza corretamente a imagem
formada pelo espelho.
Posição Natureza Sentido
a) 1 real invertida
b) 1 real direita
c) 2 real direita
d) 3 virtual direita
e) 3 virtual invertida
1. (EMC) Um objeto real pontual se encontra no eixo de
um espelho côncavo, como mostra a figura.
Em qual das posições se encontra a imagem?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2. (Unisinos) No dia 24/04/90 foi colocado em órbita o
telescópio Hubble. Entre os instrumentos de observação,
monitoração e análise, estão dois espelhos de 2,4m e
0,3m de diâmetro.
A respeito dos espelhos esféricos, afirma-se que:
11 EM_V_FIS_019

12
EM_V_FIS_019
I. Todo raio de luz que incide no espelho passando pelo
seu centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo.
II. Todo raio de luz que incide no vértice do espelho
reflete-se, simetricamente, em relação ao eixo prin-cipal
do espelho.
III. Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo
principal do espelho reflete-se passando pelo cen-tro
de curvatura do espelho.
Das afirmativas:
a) somente a I é correta.
b) somente a II é correta.
c) somente I e II são corretas.
d) somente I e III são corretas.
e) I, II e III são corretas.
3. (PUC) A partir da figura abaixo, que representa um es-pelho
esférico côncavo, seu eixo principal e dois raios de
luz incidentes, dentro das condições de Gauss, pode-se
concluir que os pontos I, II e III são, desse espelho,
respectivamente:
a) foco, centro de curvatura e vértice.
b) vértice, foco e centro de curvatura.
c) foco, vértice e centro de curvatura.
d) vértice, centro de curvatura e foco.
e) centro de curvatura, foco e vértice.
4. (UFPA) A respeito das propriedades fundamentais dos
espelhos esféricos, quais das afirmações abaixo são
corretas?
I. Todo raio de luz que incide passando pelo centro
de curvatura do espelho volta sobre si mesmo.
II. Todo raio de luz incidente paralelo ao eixo principal
do espelho origina um raio refletido que passa pelo
centro do espelho.
III. Todo raio de luz que incide no vértice do espelho
gera um raio refletido que é simétrico do incidente
relativamente ao eixo principal.
5. (UFF) Os carros importados costumam usar como re-trovisor
externo, do lado direito, um espelho convexo no
lugar de um espelho plano. Dentre as afirmativas abaixo,
assinale a que explica tal fato.
a) os espelhos convexos dão imagem menor.
b) os espelhos convexos são mais baratos.
c) o espelho convexo, de mesmo tamanho que um es-pelho
plano, fornece, para o motorista, um campo
visual maior.
d) os espelhos convexos são mais fáceis de serem cons-truídos.
e) n.d.a.
6. (EsFAO) O foco principal de um espelho esférico de pe-quena
abertura é o ponto de encontro de raios refletidos
(ou seus prolongamentos), provenientes:
a) do centro de curvatura do espelho.
b) do ponto médio entre o centro de curvatura e o
vértice do espelho.
c) do infinito, paralelamente ao eixo de simetria do
espelho.
d) do vértice do espelho.
e) n.d.a.
7. (EFOMM) Entre três espelhos, de mesmo contorno, um
plano, um côncavo e um convexo:
a) o plano é o que tem campo visual menor.
b) o côncavo é o que tem campo visual maior.
c) os três têm o mesmo campo visual.
d) o convexo tem o campo visual maior.
e) n.d.a.
8. (UFRS) Um feixe de raios paralelos incide sobre a
porção central de um espelho côncavo esférico, de
grande raio de curvatura, convergindo, após a reflexão,
para o ponto P.
O raio de curvatura vale, aproximadamente:

VP
4
a) .
VP
2
b) .
c) VP.
3VP
2
d) .
e) 2VP.
9. (Vunesp) Isaac Newton foi o criador do telescópio refle-tor.
O mais caro desses instrumentos até hoje fabricado
pelo homem, o telescópio espacial Hubble (1,6 bilhão de
dólares), colocado em órbita terrestre em 1990, apresen-tou
em seu espelho côncavo, entre outros, um defeito
de fabricação que impede a obtenção de imagens bem
definidas das estrelas distantes (O Estado de S.Paulo,
01/08/91, p. 14). Qual das figuras abaixo representa o
correto funcionamento do espelho refletor?
a)
b)
c)
d)
e)
10. (ITA) Um espelho esférico côncavo, com raio de cur-vatura
R, recebe um raio de luz paralelo ao seu eixo
R 3
019
principal e distante
desse eixo, como mostra a
FIS_2
V_figura abaixo, que não está em escala.
EM_13 O raio refletido:
a) passa pelo vértice do espelho.
b) passa pelo foco do espelho.
c) reflete-se segundo um ângulo que independe do
ângulo de incidência.
d) passa pelo centro de curvatura do espelho.
e) n.d.a.
11. (UFRJ) Uma fonte luminosa puntiforme desloca-se
em movimento retilíneo e uniforme sobre uma traje-tória
coincidente com o eixo principal de um espelho
côncavo de pequena abertura, cujo raio de curvatura
é R e distância focal F. Para um percurso do objeto de
um ponto situado a uma distância de vinte vezes o raio
de curvatura até o centro de curvatura C do espelho,
pode-se afirmar que:
a) a imagem do objeto desloca-se com velocidade
constante no sentido de C.
b) a imagem do objeto é real e desloca-se sobre o eixo
principal também em movimento uniforme fazendo
um percurso igual a R – F.
c) a imagem do objeto é virtual e desloca-se em movi-mento
acelerado sobre o eixo principal do espelho.
d) a imagem do objeto é real e desloca-se em movi-mento
acelerado no sentido de C.
e) n.d.a.
12. (Unicamp) Do lado externo da porta de um elevador,
existe, fixo, um espelho convexo que permite ao ascen-sorista
acompanhar a movimentação de um passageiro
de 1,6m de altura que se encontra a 3,0m do vértice do
espelho. O raio de curvatura do espelho é igual a 4,0m.
Com base nesses dados, calcule:
a) A distância entre o passageiro e sua imagem forne-cida
por esse espelho.
b) A altura da imagem do referido passageiro.
13. (UERJ) Um objeto é colocado perpendicularmente ao
eixo principal de um espelho esférico convexo. Notamos
que, nesse caso, a altura da imagem é i1. Em seguida, o
mesmo objeto é aproximado do espelho, formando uma

14
EM_V_FIS_019
nova imagem, cuja altura é i2. Quando aproximamos o
objeto, a imagem:
a) se aproxima do espelho, sendo i1 i2.
b) se aproxima do espelho, sendo i1 i2.
c) se aproxima do espelho, sendo i1 = i2.
d) se afasta do espelho, sendo i1 i2.
e) se afasta do espelho, sendo i1 i2.
14. (UERJ) A distância entre uma lâmpada e a sua imagem
projetada em um anteparo por um espelho esférico
vale 36cm. A imagem é cinco vezes maior que o objeto.
Podemos afirmar que:
I. O espelho é côncavo.
II. A imagem é real e invertida.
III. A distância focal do espelho é igual a 7,5cm.
a) I, II e III estão certas.
b) Apenas I está certa.
c) Apenas II está certa.
d) Apenas I e II estão certas.
e) Apenas II e III estão certas.
15. (FUVEST) Um automóvel cujo velocímetro não funciona,
é munido de um espelho retrovisor esférico e convexo,
com raio de curvatura 1,00m. Ao percorrer uma rua
em que a velocidade máxima permitida é de 40km/h,
o motorista põe em funcionamento seu cronômetro, no
instante em que ele passa junto a um guarda de 1,80m
de altura.
Quando a imagem do guarda no espelho tem 10mm
de altura, o motorista observa que o cronômetro marca
10,5.
Pergunta-se se o motorista incorreu em multa.
16. (EsFAO) A distância mínima entre seu olho e um obje-to,
para vê-lo nitidamente, é 24cm. Tendo um espelho
côncavo de distância focal igual a 16cm, e querendo
se olhar nele, a que distância mínima do espelho você
deverá colocar seu olho para vê-lo ampliado?
a) 6cm
b) 8cm
c) 10cm
d) 12cm
e) 14cm
17. (CESGRANRIO) A distância entre uma lâmpada e sua
imagem projetada em um anteparo por um espelho
esférico é 30cm. A imagem é quatro vezes maior que o
objeto. Podemos afirmar que:
a) o espelho é convexo.
b) a distância da lâmpada ao espelho é 40cm.
c) a distância do espelho ao anteparo é 10cm.
d) a distância focal do espelho é de 7cm.
e) o raio de curvatura do espelho é de 16cm.
18. (PUC) Uma pessoa quer se barbear a 60cm de um
espelho esférico. Para isso, deseja uma imagem direita
e aumentada de 50%. Qual o raio R de curvatura do
espelho?
19. (UFRJ) Um técnico de laboratório deseja produzir um
pequeno espelho de ampliação para uso odontológico.
O espelho será utilizado a 2,0cm de um dente a ser
observado e fornecerá uma imagem direita e duas vezes
ampliada.
Determine se o espelho deve ser côncavo ou convexo
e calcule a sua distância focal.
20. (UFF) A imagem I de uma fonte puntiforme P foi obtida
através de um espelho côncavo colocado à direita da fon-te,
cujo centro de curvatura se encontra no ponto C.
a) Calcule a distância da fonte ao vértice do espelho
côncavo.
b) Substituindo-se o espelho côncavo por um conve-xo,
cujo vértice se encontra no ponto C, e sabendo-se
que a distância entre P e I não se altera, calcule
a distância da fonte ao centro de curvatura desse
espelho convexo.

1.
2.
3.
4. B
5. A
6. E
O eixo secundário é paralelo ao raio incidente, não ao
raio refletido.
7. C
8. B
9. E
10. B
11. E
15 EM_V_FIS_019

16
EM_V_FIS_019
12. D
13. B
14. D
15. E
16. A
1. E
2. C
3. E
4. I e III são verdadeiras.
5. C
6. C
7. D
8. E
9. D
10. A
O exemplo não obedece às condições de graus e
deve ser resolvido aplicando as leis da reflexão e
trigonometria.
11. D
12. Para objeto real em espelho esférico convexo:
a) Sendo R = 4,0m f = –2,0m; p = 3,0m e o =1,6m;
aplicando-se a equação de Gauss –
1
2
=
1
3
+
1
p’
ou
-1
p’
=
1
3
–
1
2
onde p’= –1,2m; a distância d,
entre o objeto e a imagem é d = p – p’ = 3 – (–1,2)
= 4,2m e, portanto, d = 3 + 1,2 = 4,2.
b) Usando-se
i
o
=
p’
p
, que usamos sempre em módulo,
teremos: i = 0,64m.
13. A
14. A
15. Neste caso, a distância p, entre o guarda (objeto) e o
espelho é o Δ S percorrido pelo carro no tempo de 10,5s;
aplicando-se:
vem ou ;
usando-se Gauss teremos – ou
donde S = 89,5m; admitindo-se
velocidade constante teremos ou
v = 8,52m/s; mudando-se a unidade v = 30,69km/h;
o motorista não incorreu em multa.
16. B
17. E
18. Para uma pessoa se barbear usando um espelho que
produza aumento no tamanho da imagem, só poderá ser
com um espelho esférico côncavo, dando imagem virtual
direita e maior, isto é, estando o rosto dessa pessoa entre
o foco e o espelho.
Então, p = 60cm e i = 1,5o p’ = –1,5p ou p’= –90cm;
usando Gauss, ou onde
f = 180cm; sabendo-se que f =
R
2
R = 360cm.
19. Notamos que o dente é um objeto real e querendo uma
imagem ampliada, só podemos usar um espelho esférico
côncavo (para espelhos convexos, a imagem de objeto
real é menor); como i = –20 p’ = –2 p ou para p
= 2,0cm p’= –4,0cm; aplicando Gauss,
ou donde f = 4,0cm.

20.
a) O espelho está além de I, pois o objeto p se en-contra
antes do centro de curvatura e, portanto a
imagem é real.
Como PI vale sempre 30cm, pelo desenho, agora,
p = p’+ 30cm, mas também p = 20 + 2f e p’ = 2f – 10;
usando-se Gauss,
e resolvendo (20 + 2f) (2f – 10) = f (2f – 10) + f (20 + 2f)
ou f = 20cm e, portanto, p = 60cm.
b)
Agora, p = 20cm, p’ = –10cm e é um espelho convexo,
portanto ou
f = –20cm; a distância PC’ será d = 20 +2 IfI = 60cm.
17 EM_V_FIS_019

18
EM_V_FIS_019

19 EM_V_FIS_019

20
EM_V_FIS_019

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