[1] A lógica estuda os princípios da inferência correta, ou seja, o processo de raciocínio que permite partir de premissas para chegar a conclusões. [2] A lógica de primeira ordem é fundamental para a ciência da computação ao ser usada em bancos de dados, linguagens de programação e processadores. [3] Proposições simples e compostas, conectivos e tabelas-verdade são elementos centrais da lógica para representar e avaliar argumentos.

1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
SI11 LÓGICA
MÓDULO I
INTRODUÇÃO
Professor Newton Marquez Alcantara
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2. 1. O que é a Lógica? – Rapidamente, podemos dizer que a Lógica versa sobre os
princípios da inferência correta. Inferência, por sua vez, é o processo que nos permite partir de
coisas, fatos ou afirmações já conhecidas (premissas) e concluir algo novo, ainda não
conhecido.
Exemplo: Premissas: - Pedro, sempre que pode, joga futebol aos domingos
- Hoje é domingo
- O tempo está bom
- Pedro já terminou os trabalhos da Faculdade
Conclusão: - Pedro vai jogar futebol (portanto não adianta convidá-lo para pescar)
O processo mental que nos levou das premissas à conclusão é que é denominado de inferência.
Historicamente, o estudo formal dos princípios da inferência correta começou com os gregos,
culminando em uma obra denominada de Organom que significa “instrumentos da ciência”.
Esta obra, que é considerada o marco inicial desta área do conhecimento, é uma coletânea de
trabalhos do filósofo Aristóteles feita pelos seus alunos após a sua morte.
O nosso objeto de estudo é a lógica de primeira ordem. Este assunto é de fundamental
importância para a Ciência da Computação por estar presente na definição e manipulação de
banco de dados relacionais, linguagens de programação e ser o principal alicerce para o projeto
de processadores.
2. Proposições e Conectivos
2.1. Sentença – É toda estrutura lingüística que exprime um pensamento completo.
Exemplos:
a) A terra é redonda
b) 2 + 2 = 4
c) A lua é feita de queijo verde.
d) Que horas são?
e) Feche a porta!
f) Oba!
As sentenças “a”, “b” e “c” são ditas sentenças declarativas, visto que afirmam ou declaram
algo. A sentença “d” é uma sentença interrogativa, a sentença “e” é uma sentença imperativa
(uma ordem ou comando) e a sentença “f” é uma exclamação.
As sentenças que nos interessam são as sentenças declarativas, também designadas de
proposições. A estas sentenças nós podemos atribuir os valores lógicos de verdade (V) ou
falsidade (F).
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3. Exemplos:
Vv (“a terra é redonda”) = Verdade
Vv (“2 + 2 = 4”) = Verdade
Vv (“a lua é feita de queijo”) = Falsidade
Vv (“o quadrado é uma figura de três lados”) = Falsidade
Observação: Leremos o símbolo “Vv” como “valor verdade”. Portanto, “Vv (‘2 + 2 = 4’) =
Verdade” significa “o valor verdade da proposição “2 + 2 = 4” é a verdade. Já “Vv (‘O Sol é
um planeta’) = Falsidade”, significa “o valor verdade da proposição “O Sol é um planeta” é a
falsidade.
Os valores de verdade e falsidade são representados por “V” e “F” ou “1” e “0”, significando:
Valor lógico de verdade – “V” ou “1”
Valor lógico de falsidade – “F” ou “0”
2.2. Axiomas – Axiomas são afirmações que consideramos verdadeiras sem necessidade de
demonstrar tal fato. Axiomas da Lógica:
Axioma da não Contradição – Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira e
falsa. Ou seja, uma proposição não pode assumir os dois valores (verdade ou falsidade) ao
mesmo tempo.
Axioma do Terceiro Excluído – Uma proposição somente pode ser verdadeira ou falsa, não
havendo uma terceira alternativa.
2.3. Proposições Simples – Uma proposição simples é aquela formada por uma única sentença
declarativa. As proposições simples serão designadas por letras minúsculas como “p”, “q”, “r”,
“s” etc.
Exemplo:
p = “Pedro joga futebol”
q = “Maria é engenheira”
r = “2 + 3 > 1 + 3”
2.4. Proposições Compostas – Uma proposição é dita composta quando é formada por mais
de uma proposição simples unidas por conectivos. Uma proposição composta é designada por
letras Maiúsculas como “P”, “Q”, “R”, “S” etc.
Exemplos:
a) P (p, q) = Pedro é goiano ou Pedro é mineiro.
Temos duas proposições simples, a proposição p = “Pedro é goiano” e a proposição
q = “Pedro é mineiro”. A proposição composta “P(p, q)” é construída com o auxílio do
conectivo “ou”, que é designado pelos símbolos “ + ” ou “  ”. Simbolicamente poderíamos
representar: P (p, q) = p  q ou P (p, q) = p + q
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4. b) Q (p, q) = Maria é carioca e Maria é casada.
Novamente duas proposições simples, a proposição p = “Maria é carioca” e a proposição
q = “Maria é casada”. A proposição composta “Q (p, q)” é construída com o auxílio do
conectivo “e”, que é designado pelos símbolos “ . ” e “  ”. Simbolicamente poderíamos
representar: Q (p, q) = p  q ou Q (p, q) = p . q
c) R (p, q) = Se hoje é quarta-feira, então temos aula de laboratório.
As duas proposições simples, as proposições p = “hoje é quarta-feira” e q = “temos aula de
laboratório” formam a proposição composta “R (p, q)” , construída com o auxílio do conectivo
“se .. então”, que é designado pelo símbolo “ ”. Simbolicamente poderíamos representar:
R (p, q) = p q.
2.5. Conectivos e Tabelas-Verdade – Como visto no Item anterior, conectivos são símbolos
que utilizamos para unir proposições simples de modo a formar proposições compostas. Os
conectivos são definidos com precisão através de tabelas-verdade. Uma tabela-verdade é uma
tabela que, organizadamente, fornece todas as possibilidades de valores verdade para uma
proposição.
2.5.1. Conectivo “não”
Símbolo. Notação V/F: “ ~ ” Notação 1/0: “ ’ ”
Exemplo: Se “p” é uma proposição, leremos “~p” como “não p”. Da mesma forma, leremos
“ p’ ” como “não p”.
Definição - O conectivo “não” quando aplicado a uma proposição inverte o seu valor verdade.
Portanto se Vv(p) = V, Vv(~p) = F e se Vv(p) = F, Vv(~p) = V.
Exemplo:
p = Pedro joga futebol. Então, a sua negação será: ~p = Pedro não joga futebol
q = a terra é quadrada. Então, a sua negação será: q’ = a terra não é quadrada
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p ~p p p’
conectivo “não” V F 1 0
F V 0 1
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5. 2.5.2. Conectivo “e”
Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “ . ”
Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p e q” ou “p conjunção q”.
Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p . q” como “p e q” ou “p conjunção q”.
Definição - “p  q” somente é verdadeiro quando ambas proposições são verdadeiras. Caso
contrário o valor verdade de “p  q” é falso.
Exemplo:
p = A terra é redonda ; q = O Brasil se situa na América do Sul. Então, a proposição composta
P (p, q) = p  q = “a terra é redonda e o Brasil se situa na América do Sul” é verdadeira, ou
seja, Vv (P(p,q)) = V.
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p q pq p q p.q
conectivo “e” V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F F 0 0 0
2.5.3. Conectivo “ou”
Símbolo. Notação V/F: “  ” Notação 1/0: “ + ”
Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p ou q” ou “p disjunção q”.
Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p + q” como “p ou q” ou “p disjunção q”.
Definição - “p  q” somente é falso quando ambas proposições são falsas. Caso contrário o
valor verdade de “p  q” é verdadeiro.
Exemplo:
p = A terra é plana ; q = O Brasil se situa na Europa. Então, a proposição composta
P (p, q) = p  q = “a terra é plana ou o Brasil se situa na Europa” é falsa, ou seja,
Vv (P(p,q)) = F.
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p q pq p q p+q
conectivo “ou” V V V 1 1 1
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
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6. 2.5.4. Conectivo “ ou exclusivo”
Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “”
Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p ou exclusivo q”.
Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p  q” como “p ou exclusivo q”.
Definição - “p  q” é verdadeiro quando as proposições têm valores verdade diferentes.
Quando as proposições têm valores verdade iguais, “p  q” é falso.
Exemplo:
p = 2 < 3 ; q = 2 > 3. Então, a proposição composta P (p, q) = p  q = “ 2 < 3 ou exclusivo
2 > 3” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V.
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p q pq p q pq
conectivo “ou exclusivo” V V F 1 1 0
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
2.5.5. Conectivo “se .. então”
Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ”
Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “se p então q” ou
“p condicional q”.
Definição - “p q” é falsa somente quando “p” é verdadeiro e “q” é falso. Nos outros casos,
“p q” é verdadeiro.
Exemplo:
p = chove ; q = o chão está molhado. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “se
chove então o chão está molhado” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V.
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p q p q P q p q
conectivo “se .. então”
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V V 0 1 1
F F V 0 0 1
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7. 2.5.6. Conectivo “se e somente se”
Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ”
Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p se e somente se q” ou
“p bicondicional q”.
Definição - “p q” é verdadeira quando as proposições têm valores verdade iguais. Quando
as proposições têm valores verdade diferentes, “p q” é falsa.
Exemplo:
p = 2 + 3 = 5 ; q = 3 + 2 = 5. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “2 + 3 = 5 se
e somente 3 + 2 = 5” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V.
Notação V/F Notação 1/0
Tabela-Verdade que define o p q p q P q p q
conectivo “se e somente se”
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F V 0 0 1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1 – Responda:
a) O que é a lógica?
b) O que é uma proposição simples?
c) O que é uma proposição composta?
d) O que são os conectivos?
e) Quais são os dois axiomas da Lógica de Primeira Ordem? Enuncie os mesmos.
2) Seja p = “2 + 2 = 6” ; q = “4 x 3 = 12” ; r = “3 - 2 = 1”. Observe o exemplo abaixo:
Ex: Calcular o valor verdade de P (p, q) = p q.
Solução: Sabemos que Vv (p) = F pois 2 + 2 = 4. Também sambemos que Vv (q) = V. Logo,
Vv (P(p,q)) = Vv (p q) = Vv (F V) = F, pela 3ª linha da tabela verdade que define o
conectivo “
Agora, calcule você mesmo os seguintes valores verdade:
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8. a) Vv (Q), onde Q (p,q) = q p
b) Vv (R), onde R (p,q) = p  q
c) Vv (S), onde S (q, r) = r  q
d) Vv (T), onde T (r) = ~r
e) Vv (U), onde U (p) = ~p
f) Vv (X), onde X (p,r) = p + r
g) Vv (Y), onde Y (p,q) = p q
h) Vv (Z), onde Z (q,r) = r . q
i) Vv (A), onde A (p,r) = r . p
j) Vv (B), onde B (q,r) = r  q
Respostas para conferência
Exercício 1. Vide a parte inicial deste módulo ou as notas de aula.
Exercício 2.
a) Vv (Q) = F
b) Vv (R) = V
c) Vv (S) = F
d) Vv (T) = F
e) Vv (U) = V
f) Vv (X) = V
g) Vv (Y) = V
h) Vv (Z) = V
i) Vv (A) = F
j) Vv (B) = V
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