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5Séquence 1 – MA01
> Fonctions :
variation
composée
continuité
© Cned – Académie en ligne

7Sommaire séquence 1 – MA01
Sens de variation
Exercices d’apprentissage (Série 1)
Fonctions composées
Continuité d’une fonction sur un intervalle
Continuité et équations du type f(x) = λ
Fonctions et calculatrices
Exercices d’apprentissage (Série 2)
AA
ABB
AC
D
E
F
AG
Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................9
Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................29
Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................30
Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................28

Cours
Sens de variationA
ᕡ Fonction croissante (ou décroissante) sur I
Soit u une fonction définie sur un intervalle I.
̈ u est croissante sur I signifie que, pour deux réels quelconques a et b de I, l’inégalité impli-
que l’inégalité .
̈ u est décroissante sur I signifie que, pour deux réels quelconques a et b de I, l’inégalité
implique l’inégalité .
Soit u une fonction définie sur un intervalle I.
̈ u est monotone sur I signifie que u est soit croissante sur I, soit décroissante sur I.
̈ • Si on remplace par , on dit que u est strictement croissante sur I.
• Si on remplace par , on dit que u est strictement décroissante sur I.
̈ On peut donc parler de la stricte monotonie d’une fonction u sur un intervalle I.
̈ Étudier les variations d’une fonction u, c’est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction u
est monotone.
ᕢ Somme de deux fonctions
Les deux fonctions u et v étant définies sur un même intervalle I, leur somme est la fonction
définie sur I par :
.
Énoncé
Pour tout x non nul, on pose et .
Soit f la fonction définie sur par .
³ Indiquer le sens de variation de u et de v sur chacun des intervalles et .
· Que peut-on dire du sens de variation de f sur ?
Que peut-on dire du sens de variation de f sur ?
Propriété ᕡ
̈ Si deux fonctions u et v sont croissantes sur un intervalle I, alors leur somme est croissante
sur I.
̈ Si deux fonctions u et v sont décroissantes sur un intervalle I, alors leur somme est
décroissante sur I.
̈ Pour tout réel k, les fonctions u et ont le même sens de variation sur I.
a b<
u a( ) u b( )≤
a b<
u a( ) u b( )≥
u a( ) u b( )≤ u a( ) u b( )<
u a( ) u b( )≥ u a( ) u b( )>
u v+
u v+( ) x( ) u x( ) v x( )+=
u v+
u v+
u k+
u x( ) x2= v x( )
2
x
--=
‫*ޒ‬ f x( ) u x( ) v x( )+=
] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
Définition ᕡ
Définition ᕢ
Remarques
Exemple ᕡ

Séquence 1 – MA0110
Solution
³ Les fonctions u et v sont des fonctions usuelles dont le sens de variation est connu.
La fonction u est : • décroissante sur .
• croissante sur .
La fonction v est : • décroissante sur .
• décroissante sur .
· ̈ Sur l’intervalle :
Les fonctions u et v étant toutes les deux décroissantes, la fonction somme f sera décroissante.
̈ Sur l’intervalle :
La fonction u est croissante alors que la fonction v est décroissante. La propriété ᕡ ne nous permet
pas de conclure.
̈ Une calculatrice ou un grapheur peut nous permettre de conjecturer le sens de variation de f sur
.
Voici la courbe Ꮿ, représentative de f, obtenue à l’aide d’un grapheur (voir figure 1) :
Fig. 1
On conjecture que f est décroissante sur et croissante sur .
̈ Si deux fonctions varient en sens contraires sur I, on ne peut pas, à priori, prévoir le sens de varia-
tion de la somme.
ᕣ Produit d’une fonction par un réel
Soit u une fonction déﬁnie sur un intervalle I et k un réel.
La fonction ku est déﬁnie sur I par :
.
x 0 x 0
0
Conclusion
̈ Sur f est décroissante.
̈ Sur on ne peut rien conclure.
∞– + ∞ ∞– + ∞
u x( ) v x( )
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
]0 ; + ∞[
O
–1
1
3
–1 1 2
Ꮿ y = x2
+ 2/x
i
j
y
x
S
Ꮿ
]0 ; 1] 1 ; +∞[[
ku( ) x( ) k u x( )× ku x( )= =
Remarques

Pour , la fonction ku est la fonction nulle .
Si , alors la fonction ku est constante sur I.
➠ Cas particulier
̈ .
Toute fonction u et sa fonction « opposée » varient en sens contraires sur I.
ᕤ Produit de deux fonctions positives
Les deux fonctions u et v étant définies sur un même intervalle I, leur produit uv est la fonction définie
sur I par :
.
̈ La propriété ᕣ ne s’applique que pour des fonctions positives.
̈ Si deux fonctions (positives ou non) varient en sens contraires sur I, on ne peut pas à priori prévoir
le sens de variation du produit.
ᕥ Inverse d’une fonction de signe constant
La fonction v étant non nulle sur un intervalle I, la fonction inverse est la fonction définie sur I par :
.
̈ La fonction v ne doit pas s’annuler sur I (donc ou sur I).
̈ v et varient donc en sens contraires sur I.
Énoncé
Soit f la fonction définie, pour , par : .
Connaissant les variations sur ‫ޒ‬ de la fonction v qui à x associe , déterminer les variations de f sur
chacun des intervalles où elle est définie.
Solution
On pose : et .
Propriété ᕢ
̈ Si , alors les deux fonctions u et ku ont le même sens de variation sur I.
̈ Si , alors les deux fonctions u et ku varient en sens contraires sur I.
Propriété ᕣ
̈ Si deux fonctions u et v sont positives et croissantes sur un intervalle I, alors leur produit uv est
une fonction croissante sur I.
̈ Si deux fonctions u et v sont positives et décroissantes sur un intervalle I, alors leur produit uv
est une fonction décroissante sur I.
Propriété ᕤ
̈ Si v garde un signe constant et est croissante sur un intervalle I, alors l’inverse est
décroissante sur I.
̈ Si v garde un signe constant et est décroissante sur un intervalle I, alors l’inverse est crois-
sante sur I.
k 0= x 0‫ۋ‬
k 0>
k 0<
k 0=
k 1–=
u–
uv( ) x( ) u x( ) v x( )× u x( )v x( )= =
1
v
--
1
v
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞ x( )
1
v x( )
----------=
1
v
--
1
v
--
v x( ) 0< v x( ) 0>
1
v
--
x 0≠ f x( )
1
x2
-----=
x2
v x( ) x2= f x( )
1
x2
-----=
Remarque
Remarque
Remarques
Remarques
Exemple ᕢ

On sait que la fonction v est décroissante sur et croissante sur .
La fonction est définie sur et sur . D’où :
̈ f est croissante sur .
̈ f est décroissante sur .
Voici d’ailleurs les courbes représentatives des deux fonctions v et f, obtenues à l’aide d’un grapheur
(voir figure 2).
ᕦ Les fonctions trinômes
Les fonctions trinômes sont les fonctions f de la forme , avec .
Les fonctions trinômes peuvent être définies sur ‫.ޒ‬
La courbe représentative d’une fonction trinôme est toujours une parabole. Les paraboles peuvent
être classées en deux catégories : celles dont les branches sont « tournées vers le haut » et celles dont
les branches sont « tournées vers le bas ».
Le sommet S de la parabole a pour coordonnées .
Fig. 2
Signe de a
Allure de la
parabole
Sens de
variation de f
] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
f
1
v
--= ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
] ∞ ; 0[–
]0 ; + ∞[
O
1
–1 1
ᏼ
ᏼ y = x2
courbe d'équation y = x2
O
1
–1 1
Ꮿ
Ꮿ y = 1 / x2
courbe d'équation y = 1
x2
x ax2 bx c+ +‫ۋ‬ a 0≠
a 0> a 0<
S
S
x
mini
∞–
b
2a
------– + ∞
f x( )
x
maxi
∞–
b
2a
------– + ∞
f x( )
b
2a
------– ; f
b
2a
------–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎝ ⎠
⎛ ⎞

Soit f la fonction définie sur par : .
On veut déterminer le sens de variation de f sur et sur .
Méthode 1
On peut écrire .
Expliquer brièvement pourquoi le fait d’avoir posé ne permettra pas de répondre à la ques-
tion posée.
Méthode 2
On peut écrire .
̈ Quel est le sens de variation de la fonction w définie par sur chacun des intervalles
et ?
̈ En déduire les variations de la fonction f.
Soit f la fonction définie, pour , par : .
³ Vérifier que, pour , .
· Déterminer le sens de variation de f sur et sur .
Soit f la fonction définie, pour et , par : .
³ Déterminer le sens de variation de la fonction sur chacun des intervalles
et .
· Déterminer le sens de variation de la fonction sur chacun des intervalles
et .
» Déterminer le sens de variation de f sur les trois intervalles , , .
Soit f la fonction trinôme définie sur ‫ޒ‬ par : .
³ Pourquoi peut-on affirmer que f est croissante sur ?
· Déterminer le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬
ᕡ Étude d’un exemple
Énoncé
Soient u et v les deux fonctions définies sur ‫ޒ‬ par et .
³ Soit f la fonction « u suivie de v ». Déterminer l’expression définie par .
· Soit g la fonction « v suivie de u ». Déterminer l’expression définie par .
Solution
³ On a .
Posons .
Exercices d’apprentissage (série 1)B
‫*ޒ‬ f x( )
x2 1–
x2
--------------=
] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
f x( ) x2 1–( )
1
x2
-----× u x( )v x( )= =
f uv=
f x( ) 1
1
x2
-----– 1 w x( )–= =
w x( )
1
x2
-----=
] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
x 3–≠ f x( )
x 5+
x 3+
-----------=
x 3–≠ f x( ) 1
2
x 3+
-----------+=
] ∞ ; 3– [– ] 3– ; + ∞[
x 2–≠ x 1–≠ f x( )
2
x 1+
-----------
1
x 2+
-----------+=
u : x
2
x 1+
-----------‫ۋ‬
] ∞ ; 1– [– ] 1– ; + ∞[
v : x
1
x 2+
-----------‫ۋ‬
] ∞ ; 2– [– ] 2– ; + ∞[
] ∞ ; 2– [– ] 2– ; 1– [ ] 1– ; + ∞[
f x( ) x2 3x 4–+=
0 ; + ∞[[
Fonctions composéesC
u x( ) x2= v x( ) 2x 1+=
f x( ) f x( ) v u x( )( )=
g x( ) g x( ) u v x( )( )=
f x( ) v u x( )( ) v x2( )= =
X x2=
Exercice ᕡ
Exercice ᕢ
Exercice ᕣ
Exercice ᕤ
Exemple ᕣ

On a alors d’où .
Ainsi
· On a .
Posons .
On a alors d’où .
Ainsi
On présente souvent les résultats à l’aide de la disposition suivante :
ᕢ Définition et notation
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et v une fonction définie sur un intervalle J. On suppose
de plus que, pour tout x de I, appartienne à J.
La fonction composée « u suivie de v » est la fonction f définie sur I par .
Disposition et notation
̈
.
̈ On note , ce qui se lit « f égal v rond u ».
Dans l’écriture , c’est la fonction écrite à droite qui est la première.
Énoncé
Soit u la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et v la fonction définie sur par
.
On pose .
Trouver sur quel intervalle f est définie et calculer .
Solution
On peut écrire :
Pour que existe, il faut avoir .
Or . Il faut donc avoir , soit .
Posons .
Pour , on a bien . On peut alors calculer .
.
D’après ce qui précède, on a .
« u suivie de v » « v suivie de u »
v X( ) 2X 1+= v x2( ) 2x2 1+=
f x( ) 2x2 1 sur ‫.ޒ‬+=
g x( ) u v x( )( ) u 2x 1+( )= =
X 2x 1+=
u X( ) X2= u 2x 1+( ) 2x 1+( )2=
g x( ) 2x 1+( )2 sur ‫.ޒ‬=
x
u
x2
X
v
2X 1+
x
f
2x2 1+
x
v
2x 1+
X
u
X2
x
g
2x 1+( )2
u x( )
f x( ) v u x( )( )=
x
u
u x( )
X
v
v X( )
x
f
f x( ) v u x( )( )=
f v Ⴆ u=
v Ⴆ u
v uႦ
2e fonction 1re fonction
u x( ) x 2+= 0 ; + ∞[[
v x( ) x=
f v Ⴆ u=
f x( )
x ‫ޒ‬∈
u
x 2+
X 0 ; +∞[[∈
v
X
X X 0≥
X x 2+= x 2+ 0≥ x 2–≥
I 2 ; + ∞[–[=
x I∈ u x( ) 0 ; + ∞[[∈ v u x( )( )
La fonction f v Ⴆ u est définie sur I 2 ; +∞[–[==
f x( ) x 2+=
Remarque
Définition ᕣ
Remarque
Exemple ᕤ

ᕣ Sens de variation d’une fonction composée
Soit u et v deux fonctions telles que :
Considérons le cas où u est croissante sur I et v décroissante sur J. Cherchons quel est alors le sens de
variation de sur I.
Soit a et b deux réels de I tels que .
Comme u est croissante sur I, on a : .
Les réels et sont tous les deux dans J.
Comme v est décroissante sur J, on a : .
Ainsi la fonction est décroissante sur I.
En considérant d’autres cas, on pourrait démontrer la propriété suivante que l’on va admettre.
Énoncé
La fonction u est définie sur par .
La fonction v est définie sur par .
³ Vérifier que est bien définie sur I.
· Déterminer le sens de variation de f sur I.
Solution
³ On donne , d’où .
On peut écrire :
.
Pour , on a bien .
La fonction est bien définie sur .
On obtient .
· La fonction affine u est décroissante sur I.
La fonction est décroissante sur J, donc la fonction est croissante sur J.
Ainsi .
Propriété ᕥ
Si u est ... sur I et si v est ... sur J alors est ... sur I
croissante croissante croissante
croissante décroissante décroissante
décroissante croissante décroissante
décroissante décroissante croissante
u est définie sur un intervalle I
v est définie sur un intervalle J
v Ⴆ u est définie sur I.⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
f v Ⴆ u=
a b<
u a( ) u b( )≤
u a( ) u b( )
v u a( )( ) v u b( )( )≥
f v Ⴆ u=
v Ⴆ u
I = ] ∞ ; 2[– u x( ) x– 2+=
J = ]0 ; + ∞[ v x( )
3
x
--–=
f v Ⴆ u=
x 2< 0 x– 2+<
x ∈ ] ∞ ; 2[–
u
x– 2+
X ∈ ]0 ; + ∞[
v 3
X
---–
x I∈ u x( ) J∈
f v Ⴆ u= I = ] ∞ ; 2[–
f x( )
3
x– 2+
-----------------–=
x
3
x
--‫ۋ‬ v : x
3
x
--–‫ۋ‬
la fonction f v Ⴆ u est décroissante sur ] ∞ ; 2[–=
Exemple ᕥ

ᕡ Idée intuitive : exemples graphiques
Voici les courbes représentatives de six fonctions (voir figure 3).
Fig. 3
On observe que certaines courbes peuvent être tracées « d’un seul trait ». Pour d’autres courbes il est
nécessaire de « lever le crayon ».
Les fonctions représentées en , et sont dites continues sur ‫.ޒ‬
Les fonctions représentées en , et ne sont pas continues sur ‫.ޒ‬
̈ La fonction représentée en est continue sur .
ᕢ Définition et propriétés
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est une fonction continue sur I lorsque sa courbe représentative peut se tracer d’un
trait continu, c’est-à-dire « sans lever le crayon ».
Propriété ᕦ (admise)
On admet que les fonctions « usuelles » sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble
de définition.
Continuité d’une fonction sur un intervalleD
O
1
–1
–1
1
a
O
1
–1
–1
1
b
O
1
–1
–1
1
c
O
1
–1
–1
1
d
O
1
–1
–1
1
e
O
1
–1
–1
1
f
a e f
b c d
b ]0 ; + ∞[
c 0 ; + ∞[[
d ] ∞ ; 1[–
Remarques
Définition ᕤ

Illustrons cette propriété en donnant quelques exemples dans le tableau suivant :
On peut aussi énoncer une propriété qui peut être utile pour reconnaître si une fonction est continue
ou non sur I.
ᕣ La fonction « partie entière »
Étudions maintenant le cas d’une fonction définie sur ‫ޒ‬ et qui présente une infinité de points de dis-
continuité.
Pour tout réel x, on peut trouver un entier relatif n, et un seul, vérifiant .
Ainsi, x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs.
Donnons quelques exemples :
; ; ; ; .
Soit x un réel quelconque. Le seul entier relatif n vérifiant est appelé partie entière de x.
Notations
Voici la courbe représentative de la fonction pour (voir figure 4).
f est définie par Intervalle(s) où f est continue
‫ޒ‬
‫ޒ‬
et
et
‫ޒ‬
‫ޒ‬
Propriété ᕧ
Si u et v sont deux fonctions continues sur un même intervalle I, alors leur somme et leur pro-
duit uv sont continus sur I.
x ax b+‫ۋ‬
x ax2 bx c+ +‫ۋ‬
x x‫ۋ‬ 0 ; + ∞[[
x
a
x
--‫ۋ‬ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[
x
a
x b+
-----------‫ۋ‬ ] ∞ ; b– [– ] b– ; + ∞[
x x‫ۋ‬
x ax3
‫ۋ‬
u v+
n x n 1+<≤
2– 2– 1–<≤ 2– 1 4,– 1–<≤ 1 2 2<≤ 4– π– 3–<≤ 1–
2
3
--– 0<≤
n x n 1+<≤
n x n 1+<≤
n E x( ) partie entière de x= =
n int x( ) partie entière de x= =
E : x E x( )‫ۋ‬ 5– x 5<≤
Définition ᕥ

Fig. 4
On observe que : • pour , on a ;
• pour , on a ;
• pour , on a ;
etc...
On peut dire que pour tout , on a .
La fonction E est une fonction constante par intervalles. En effet, sur tout intervalle de la forme
, la courbe Ꮿ est un segment horizontal fermé à gauche et ouvert à droite.
Pour toutes les valeurs entières de x, la courbe Ꮿ présente une discontinuité : la courbe fait, pour tou-
tes ces valeurs, un « saut » égal à 1.
Pour obtenir la courbe de la fonction E sur TI 82 (ou TI 83), on peut procéder comme suit :
̈ On se place en mode « DOT ».
Pour ce faire on tape :
̈ On écrit la fonction partie entière, notée int sur TI, dans .
Pour ce faire on tape :
En conclusion :
̈ la fonction E est continue sur .
̈ la fonction E n’est pas continue sur .
̈ la fonction E est continue sur tout intervalle de la forme avec n
entier relatif.
O
1
–1
–1
1 2 3 4 5 x
–2–3–4–5
–2
–3
–4
–5
2
3
4
y
Ꮿ y = E (x)
Ꮿ
courbe obtenue
à l’aide d’un
grapheur.
x 0 ; 1[[∈ E x( ) 0=
x 1 ; 2[[∈ E x( ) 1=
x 1 ; 0[–[∈ E x( ) 1–=
x n ; n 1[+[∈ E x( ) n=
n ; n 1[+[
0 ; 1[[
0 ; 2[[
n ; n 1[+[
mode ̄ ̄ ̄ ̄ ̈ Enter
Y1
Y= math ̈ 4 X T θ, ,
5 pour une TI 83.
Remarque

̈ On fait apparaître la courbe en faisant .
̈ Le paragraphe F de cette séquence est uniquement consacré aux calculatrices.
Attention !
̈ Sur l’écran tous les segments apparaissent de la manière suivante alors qu’en réalité ils sont
de la forme .
̈ Si on se place en mode « CONNECTED » au lieu de se placer en mode « DOT », observer ce qui se
passe.
ᕤ Image d’un intervalle par une fonction continue
Énoncé
Voici la courbe représentative de la fonction f définie sur ‫ޒ‬ par (voir figure 5).
Fig. 5
Déterminer, d’après une lecture graphique, les images par f des quatre intervalles suivants :
.
Solution
D’après le graphique, on obtient :
.
Une explication graphique
plus détaillée est donnée sur
la figure 6.
Fig. 6
On note que dans les quatre cas l’image d’un intervalle est un intervalle et que deux intervalles dis-
tincts peuvent avoir la même image .
Trace
[[
f x( ) x2 2x 3–+=
O
1
–1
–1
1 2
–2–3–4
–2
–3
–4
i
j
I1 0 ; 1[ ]= I2 3 ; 1––[ ]= I3 2 ; 0–[ ]= I4 1 ; 1–[ ]=
O
1
–1
I3
J3
–1
1 2–2–3–4
–2
–3
–4
f I1( ) J1 3 ; 0–[ ]= =
f I2( ) J2 4 ; 0–[ ]= =
f I3( ) J3 4 ; 3––[ ]= =
f I4( ) J4 4 ; 0–[ ]= =
f I2( ) f I4( ) 4– ; 0[ ]= =( )
Exemple ᕦ

On admet la propriété suivante :
On peut noter que l’image par f d’un intervalle peut être différent de et de
.
Dans l’exemple ᕦ, on a :
; ; ;
et .
ᕡ Cas d’une fonction « quelconque » sur I
Fig. 7
Sur la ﬁgure 7, on a tracé la courbe Ꮿ représentative d’une fonction f continue sur .
On se donne quatre nombres réels α, β, γ et δ et on cherche si ces nombres possèdent des antécé-
dents, dans I, par f.
La droite d’équation coupe la courbe Ꮿ en deux points : ainsi le nombre α possède deux
antécédents dans I. On peut aussi dire que l’équation possède deux solutions dans I.
On peut faire de même pour β, γ et δ.
Rassemblons les résultats observés sur le graphique dans un tableau.
Propriété ᕨ
L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.
Équation Nombre de solutions dans I Remarque
2
3
1
0
I a ; b[ ]= f a( ) ; f b( )[ ]
f b( ) ; f a( )[ ]
f I1( ) f 0( ) ; f 1( )[ ]= f I2( ) f 1–( ) ; f 3–( )[ ]= f I4( ) f 1–( ) ; f 1( )[ ]=
f I3( ) f 2–( ) ; f 0( )[ ]≠ f I3( ) f 0( ) ; f 2–( )[ ]≠
Continuité et équations du type f x( ) λ=E
O
1
1
y = α
y = β
y = γ
y = δ
f(a)
f(b)
a
b
β
α
δ
γ
Ꮿ I
f(I)
I a ; b[ ]=
y α=
f x( ) α=
f x( ) α=
f x( ) β=
f x( ) γ=
f x( ) δ= δ f I( )∉
Remarque

ᕢ Cas d’une fonction continue et
strictement monotone sur I
Point de vue graphique
On va examiner le cas où f est strictement croissante sur I puis le cas où f est strictement décroissante
sur .
Pour tout réel λ appartenant à , il existe un réel x, et un seul, dans I tel que .
On peut aussi dire que pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans I.
̈ On s’intéresse uniquement aux fonctions continues sur I.
̈ La lettre grecque λ se lit « lambda ».
Tableau de variation et stricte monotonie sur I
Le fait que f soit continue et strictement monotone sur se traduit dans un tableau de
variation par une ﬂèche oblique qui « monte » si f est strictement croissante et qui « descend » si f
est strictement décroissante.
Propriété des valeurs intermédiaires
On peut observer que pour toute valeur intermédiaire λ comprise entre et , on peut trouver
un réel x unique entre a et b tel que x ait pour image λ.
On peut aussi dire que x est l’unique antécédent de λ dans I.
f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I
Fig. 8 Fig. 9
f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I
I a ; b[ ]=
O
1
y = λ
f(a)
f(b)
a
bx
f(I)
λ
O 1
1
y = λ
f(a)
f(b)
a
b
x
f(I)
λ
f I( ) f x( ) λ=
λ f I( )∈ f x( ) λ=
x a x b
λf x( )
f a( )
f b( )
x a x b
λf x( )
f a( )
f b( )
I a ; b[ ]=
f a( ) f b( )
Remarques

On peut énoncer la propriété suivante.
On est amené assez souvent à utiliser cette propriété dans un cas particulier (Voir figures 8 et 9).
Supposons que et soient de signes contraires, ce qui est bien vrai sur les figures 8 et 9.
La valeur est alors une valeur intermédiaire entre et . On peut ainsi dire que l’équa-
tion admet une solution unique dans I.
Énoncé
Voici le tableau de variation d’une fonction f définie sur ‫.ޒ‬
³ Quel est le nombre de solutions de l’équation ?
· Quel est le nombre de solutions de l’équation ?
» Quel est le nombre de solutions de l’équation ?
¿ Quel est le nombre de solutions de l’équation ?
Solution
³ La valeur minimale de f est égale à pour .
L’équation n’a donc pas de solution dans ‫.ޒ‬
· La valeur minimale de f est égale à pour .
L’équation a donc une solution qui est .
» ̈ Sur , f est continue et strictement décroissante.
On a .
Comme , l’équation admet une solution unique dans .
̈ Sur , f est continue et strictement croissante.
On a .
̈ Pour tout , on a .
L’équation ne peut pas avoir de solution dans .
En conclusion, l’équation admet deux solutions dans ‫.ޒ‬
Propriété ᕩ
(dite propriété des valeurs intermédiaires)
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.
̈ Pour tout réel , il existe un réel x, et un seul, dans I tel que .
Autre énoncé
̈ Pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans I.
Propriété µ
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle .
Si , alors l’équation admet une solution unique dans I.
x 3
2 4
1
λ f I( )∈ f x( ) λ=
λ f I( )∈ f x( ) λ=
f a( ) f b( )
λ 0= f a( ) f b( )
f x( ) 0=
I a ; b[ ]=
f a( ) f b( )× 0< f x( ) 0=
∞– 2– + ∞
f x( )
1–
f x( ) 2–=
f x( ) 1–=
f x( ) 0=
f x( )
3
2
--=
1– x 2–=
f x( ) 2–=
1– x 2–=
f x( ) 1–= x 2–=
] ∞ ; 2]––
f ] ∞ ; 2]––( ) 1 ; 2[–[=
0 1 ; 2[–[∈ f x( ) 0= ] ∞ ; 2]–
2 ; 3–[ ]
f 2 ; 3–[ ]( ) 1 ; 4–[ ]=
0 1 ; 4–[ ]∈ f x( ) 0= 2 ; 3–[ ]
x 3 ; + ∞[[∈ f x( ) 1>
f x( ) 0= 3 ; + ∞[[
f x( ) 0=
Exemple ᕧ

¿ ̈ Pour les mêmes raisons que ci-dessus, l’équation admet une solution unique dans
et une solution unique dans .
̈ Sur , f est continue et strictement décroissante.
On a .
En conclusion, l’équation admet trois solutions dans ‫.ޒ‬
ᕣ Recherche d’une solution approchée
de l’équation
Énoncé
Soit f la fonction déﬁnie sur ‫ޒ‬ par .
³ Prouver que f est strictement décroissante sur ‫.ޒ‬
· Montrer que l’équation admet une solution unique, notée α, dans ‫.ޒ‬
À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d’amplitude .
» Montrer que l’équation admet une solution unique, notée β, dans ‫.ޒ‬
À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de β d’amplitude 0,01.
Solution
³ On donne .
Posons et .
Les fonctions u et v sont continues et strictement décroissantes sur ‫.ޒ‬
La fonction f qui est égale à la somme est donc continue et strictement décroissante sur ‫.ޒ‬
· On calcule et .
La fonction f est continue et strictement décroissante sur . On obtient .
Comme , l’équation admet une solution unique, notée α, dans .
La fonction f étant continue et strictement décroissante sur ‫,ޒ‬ l’équation peut avoir au
maximum une solution.
Ainsi l’équation admet une solution unique α dans ‫.ޒ‬
La calculatrice nous donne : et .
On peut écrire :
car f est décroissante.
D’où .
» On calcule et .
On peut dresser le tableau de variation de f sur ‫.ޒ‬
La fonction f est continue et strictement décroissante sur ‫.ޒ‬
Le tableau de variation nous montre bien qu’il existe un réel tel que et que
l’équation n’admet pas d’autre solution.
x β 0
4
3
1
f x( )
3
2
--=
] ∞ ;– 2]– 2 ; 3–[ ]
3 ; +[ ∞[
f 3 ;[ + ∞[( ) = ]1 ; 4]
3
2
-- ∈ ]1 ; 4] f x( )
3
2
--= 3 ; + ∞[[
f x( )
3
2
---=
f x( ) λλλλ=
f x( ) x3– 2x– 1+=
f x( ) 0=
10 2–
f x( ) 3=
f x( ) x3– 2x– 1+=
u x( ) x3–= v x( ) 2x– 1+=
u v+
f 0( ) 1= f 1( ) 2–=
0 ; 1[ ] f 0 ; 1[ ]( ) 2 ; 1–[ ]=
0 2 ; 1–[ ]∈ f x( ) 0= 0 ; 1[ ]
f x( ) 0=
f x( ) 0=
f 0 45,( ) 0 008 875,= f 0 46,( ) 0 017 336,–=
0 017 336,– 0 0 008 875,< <
f 0 46,( ) f α( ) f 0 45,( )< <
0 45, α 0 46,< <
0 45, α 0 46,< <
f 1–( ) 4= f 0( ) 1=
∞– 1– + ∞
f x( )
β 1 ; 0–[ ]∈ f β( ) 3=
f x( ) 3=
Exemple ᕨ

La calculatrice nous donne : et .
On peut écrire :
car f est décroissante.
D’où .
̈ On peut tracer la courbe représentant f sur une calculatrice.
Pour le calcul des valeurs de , voir le paragraphe F sur les calculatrices.
̈ L’amplitude d’un intervalle , avec , est la différence .
On a bien ici et .
ᕡ Tracer la courbe représentative d’une fonction
Énoncé
Soit la fonction f déﬁnie sur ‫ޒ‬ par :
.
Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’écran de la calculatrice.
Solution
Méthode
On appuie sur la touche .
On écrit l’expression de dans .
On appuie sur la touche .
Dans la pratique
La courbe apparaît à l’écran, ainsi que des valeurs de x et y. En général les valeurs de x ne sont pas
simples. Aussi si l’on veut s’en servir pour tracer la courbe sur la copie, il vaut mieux changer la
« fenêtre » à l’aide de la touche .
La touche .
On choisira multiple de 94 (le plus souvent : 9,4 ; 4,7).
Ici on peut choisir : ;
.
En revenant au mode et en déplaçant le curseur sur la courbe on obtient des coordonnées
de points.
̈ Il y a deux touches « moins » sur la Ti 82 : .
La touche indique l’opposé.
La touche indique que l’on fait une soustraction.
̈ S’il y a déjà une fonction dans , on peut la supprimer en appuyant sur la touche avant
d’en introduire une autre.
̈ Les flèches ̇ et ̈ permettent de déplacer le curseur sur une courbe.
̈ On peut introduire 10 fonctions dans la calculatrice. L’une en et les autres en , , ... , .
On pourra passer d’une courbe à l’autre avec le curseur en se déplaçant à l’aide des flèches ̆ et ̄.
f 0 78,–( ) 3 034 552,= f 0 77,–( ) 2 996 533,=
2 996 533, 3 3 034 552,< <
f 0 77,–( ) f β( ) f 0 78,–( )< <
0 78,– β 0 77,–< <
0 78,– β 0 77,–< <
f x( )
a ; b[ ] a b< b a–
0 46 0 45,–, 10 2–= 0 77,– 0 78,–( )– 0 01,=
Fonctions et calculatrices TI 82 © Texas Instruments incorporatedF
f x( ) x3– x2– x 1+ +=
C1
Y =
f x( ) Y1
TRACE
Y = –( ) X T θ, , ^ 3 – X T θ, , x2 + X T θ, , + 1 TRACE
WINDOW
WINDOW
Xmax Xmin–
Xmin 4 7 : Xmax,– 4 7 : X scl, 1= = =
Ymin 5 : Ymax– 5 : Y scl 1= = =
TRACE
–( ) –
–( )
–
Y1 CLEAR
Y1 Y2 Y3 Y9 Y10
Remarques
Exemple µ
Remarques

̈ S’il y a plusieurs courbes, on peut en supprimer en désactivant la fonction correspondante. Pour
supprimer la courbe , on désactive la fonction marquée dans .
Supposons que l’on ait en la fonction .
À l’écran on a :
À l’aide des flèches ̇ ̄ ̆ ̈, on se positionne sur .
On appuie sur ce qui donne à l’écran :
La fonction est alors désactivée ; pour la réactiver on recommence le même travail.
ᕢ Valeurs de
Plusieurs méthodes existent.
Méthode 1
On a vu qu’en déplaçant le curseur, en mode , on obtient les images de certaines valeurs de x.
Ainsi, par exemple, .
Méthode 2
On veut calculer . On va afficher .
Pour cela on fait :
On obtient alors .
Si la fonction f est en , on calculera .
On remplacera alors par .
Méthode 3 (utilisation d’un tableau de valeurs)
On règle tout d’abord deux paramètres en appuyant sur . On choisit la valeur initiale
et le pas ( qui est la distance entre deux valeurs consécutives de x).
̈ en option auto
Pour obtenir l’affichage de la table, il suffit de faire .
La calculatrice calculera , , , , , ... etc.
̈ en option ask (ici les paramètres choisis sont inutiles)
On choisit les valeurs x dont on veut calculer les images par f.
Par exemple : ; ; ; ; ; ; ... etc.
C2 Y2
Y2 x x2‫ۋ‬
Y2 x2
ENTER
Y2 x2=
f x( )
TRACE
f 1 5,–( ) 0 625,=
f 0 32,( ) Y1 0 32,( )
2nd Y VARS– 1 1
*
( · 3 2 ) ENTER
f 0 32,( ) Y1 0 32,( ) 1 184 832,= =
Yi Yi x( )
1
*
i
2nd WINDOW
Tbl Min 5–=( ) Δ Tbl 0 1,=
2nd GRAPH
f 5–( ) f 4 9,–( ) f 4 8,–( ) f 4 7,–( ) f 4 6,–( )
x 2–= x 1 5,–= x 1 2,= x 2= x 2= x 2 5,= x 3 2,=
Remarque

Méthode 4 (utilisation d’un programme)
On peut écrire un programme pour obtenir l’écran suivant :
Pour écrire ce programme voici les touches qu’il faut taper sur la calculatrice :
(les touches correspondent
à l’écriture du nom du programme VALF)
(dans on inscrit le no
du programme VALF)
Pour exécuter ce programme, on fait :
(dans on inscrit le no du programme VALF).
On tape une valeur pour x, on fait et on obtient .
On recommence pour autant de valeurs de x que l’on veut.
̈ Les touches correspondent à car l’expression de est en .
Si l’expression de était en , en , en , ... on taperait , , ...
̈ Pour l’image, la première ligne correspond à l’écriture décimale et la seconde à l’écriture fractionnaire.
Ainsi .
Soit u et v deux fonctions définies sur ‫ޒ‬ par :
et .
Déterminer les fonctions composées f et g définies sur ‫ޒ‬ par et .
³ Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par :
.
Déterminer deux fonctions u et v telles que .
PRGM ̇ ENTER 6 MATH ) COS ENTER 6 MATH ) COS
PRGM ̈ 2 X T θ, , ENTER
PRGM ̈ 3( )2nd VARS 1 1 , 2nd VARS 1 1 MATH 1 ENTER
PRGM ̇ ENTER
2nd MODE PRGM ENTER
ENTER f x( )
1 Y1 f x( ) Y1
f x( ) Y2 Y3 Y4 2 3 4
f 2 5,( ) 18 375,–
147
8
--------–= =
Exercices d’apprentissage (série 2)G
u x( ) x2– x+= v x( )
1
1 x2+
--------------=
f v Ⴆ u= g u Ⴆ v=
f x( ) x2 x 1+ + 1+=
f v Ⴆ u=
Remarques
Exercice ᕥ
Exercice ᕦ

· Soit g la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Montrer que l’on peut décomposer g en trois fonctions u, v, et w telles que (on
admet qu’une telle décomposition existe sur ‫.)ޒ‬
On désigne par « int » la fonction partie entière définie au paragraphe D. ᕣ.
Ainsi, pour tout x réel tel que , on a .
³ Montrer que pour tout x réel on a : .
· Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Montrer que f est périodique, de période , c’est-à-dire que .
» Déterminer pour .Tracer alors la courbe représentant f sur , puis en déduire
la courbe représentative de f sur l’intervalle . Peut-on prévoir toutes les valeurs réelles x pour
lesquelles la fonction f est discontinue ? Si oui, préciser ces valeurs.
¿ Déduire du graphique que, pour tout x réel, .
Montrer alors que, pour tout x réel, .
³ Résoudre dans ‫ޒ‬ l’équation .
Tracer, à l’aide de la calculatrice, la parabole P d’équation .
En déduire, suivant les valeurs de x, le signe du trinôme .
· On pose et .
Préciser, pour chacune des deux fonctions f et g, les intervalles sur lesquels elles sont continues.
g x( )
2
2 x4+
------------------=
g w Ⴆ v Ⴆ u=
n x n 1+<≤ int x( ) n=
int x 1+( ) 1 int x( )+=
f x( ) x int x( )–=
T 1= f x 1+( ) f x( )=
f x( ) 0 x 1<≤ 0 ; 1[[
3– ; 3[[
0 f x( ) 1<≤
x 1– int x( ) x≤<
2x2 3x 5–+ 0=
y 2x2 3x 5–+=
2x2 3x 5–+
f x( ) 2x2 3x 5–+= g x( )
x 2–
2x2 3x 5–+
-----------------------------=
Exercice ᕧ
Exercice ᕨ

Synthèse
28 Séquence 1 – MA01
̈ Variation
• Si deux fonctions u et v varient dans le même sens sur I, alors varie comme u et v sur I.
Si deux fonctions u et v varient en sens contraires sur I, alors on ne peut rien dire sur le sens de varia-
tion de sur I.
Pour k réel, les fonctions u et ont le même sens de variation sur I.
• Si , alors u et ku ont le même sens de variation sur I.
Si , alors u et ku varient en sens contraires sur I.
• Si deux fonctions positives u et v varient dans le même sens sur I, alors uv varie comme u et v sur I.
Si deux fonctions positives u et v varient en sens contraires sur I, alors on ne peut rien dire sur le sens
de variation de uv sur I.
• Les deux fonctions v et varient en sens contraires sur tout intervalle où v ne s’annule pas.
• Le sens de variation d’une fonction trinôme (avec ) change pour
, qui est l’abscisse du sommet de la parabole.
̈ Fonctions composées
.
• Soit I un intervalle où existe.
Si u et v varient dans le même sens, alors est croissante.
Si u et v varient en sens contraires, alors est décroissante.
̈ Fonction continue sur un intervalle
• La fonction f est continue sur un intervalle I si on peut tracer la courbe représentant f sur I « sans
lever le crayon ».
• Les fonctions « usuelles » sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de
déﬁnition (c’est le cas pour quasiment toutes les fonctions étudiées en terminale ES).
• La somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues sur I.
• Contre exemple
La fonction « partie entière » est déﬁnie sur ‫ޒ‬ mais n’est pas continue sur ‫.ޒ‬ Elle est continue sur
tout intervalle de la forme où n est un entier relatif.
• L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.
• Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors pour tout réel
, l’équation admet une solution unique dans I. Ainsi, si , l’équa-
tion admet une solution unique dans .
u v+
u v+
u k+
k 0>
k 0<
1
v
--
x ax2 bx c+ +‫ۋ‬ a 0≠
x
b
2a
------–=
x
u
u x( )
X
v
v X( )
x
f v Ⴆ u=
v u x( )( )
f x( ) v Ⴆ u( ) x( ) v u x( )( )= =
f v Ⴆ u=
v Ⴆ u
v Ⴆ u
n ; n 1[+[
λ f I( )∈ f x( ) λ= f a( ) f b( )× 0<
f x( ) 0= a ; b[ ]

Exercices d’entraînement
On pose, pour tout x réel, .
³ Quel est le sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fonction ?
· En déduire le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬
» ̈ Généralisation
Soit g la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Dire, sans démonstration, quel est le sens de variation de g sur ‫.ޒ‬
Soit f la fonction définie, pour , par .
Déterminer le sens de variation de f sur et sur .
Soit f la fonction définie sur par .
³ Déterminer le sens de variation de f sur .
· Tracer, en utilisant une calculatrice, la courbe Ꮿ représentant f.
» Déterminer le signe de .
³ Tracer la parabole P d’équation .
· Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Dire pourquoi f est bien définie sur ‫.ޒ‬
Donner les variations de f sur ‫ޒ‬ et tracer la courbe Ꮿ représentative de f sur ‫.ޒ‬
» Utiliser le graphique pour donner les coordonnées des points d’intersection de P et de Ꮿ.
On donne : ̈ pour x réel.
̈ pour .
Déterminer les fonctions f et g définies par et en précisant leur domaine de
définition.
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
³ Déterminer le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬
· Quel est le nombre de solutions de l’équation ?
Déterminer un encadrement d’amplitude 0,001 de la solution, notée α (utiliser une calculatrice).
» Montrer que l’équation admet une solution unique dans ‫ޒ‬ (elle sera notée β). Trouver
un encadrement de β d’amplitude .
Soit « int » la fonction partie entière.
On pose, pour tout x réel, .
³ Montrer que f est périodique et de période 1.
· Exprimer pour .
Tracer la courbe représentant f sur .
En déduire la courbe Ꮿ représentant f sur .
» La fonction f est-elle continue sur ? sur ? sur ?
f x( ) x 1–( )2 4–=
u : x x 1–( )2
‫ۋ‬
g x( ) x a–( )2 b+=
x 1–≠ f x( ) 1
2
x 1+
-----------–=
] ∞ ; 1[–– ] 1 ; + ∞[–
]0 ; + ∞[ f x( )
1
x
-- x–=
]0 ; + ∞[
f x( )
y x2 2x 2+ +=
f x( )
1
x2 2x 2+ +
--------------------------=
u x( ) 2x 1–=
v x( )
1
x 2+
----------------= x 2–>
f u Ⴆ v= g v Ⴆ u=
f x( ) x3 x 4–+=
f x( ) 0=
f x( ) 3=
10 3–
f x( ) x int x( )–[ ]2=
f x( ) x 0 ; 1[[∈
0 ; 1[[
4– ; 4[[
0 ; 1[[ 0 ; 1[ ] 0 ; 2[[
Exercice ¾
Exercice µ
Exercice ¸
Exercice ¹
Exercice Ƹ
Exercice ƹ
Exercice ƺ

Aide
aux exercices d’entraînement
³ Penser au sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fonction .
· Se rappeler que u et ont le même sens de variation.
» Même raisonnement que dans la question ᕢ en posant .
Utiliser les propriétés suivantes :
̈ u et varient en sens contraires sur tout intervalle où u ne s’annule pas.
̈ v et varient en sens contraires sur tout intervalle où v est définie.
̈ v et ont le même sens de variation.
³ f est la somme de deux fonctions décroissantes sur .
· On écrit l’expression donnant en par exemple. La touche « trace » nous donne ensuite la
courbe.
» Il faut trouver l’abscisse du point où la courbe coupe l’axe des abscisses.
³ On peut utiliser la calculatrice.
Sinon il faut savoir que l’abscisse du sommet est égale à .
· Vérifier que .
Utiliser le sens de variation de la fonction inverse.
» On fait une simple lecture graphique (on peut aussi utiliser une calculatrice).
Faire attention à l’ordre des fonctions : f est la fonction « v suivie de u » et g la fonction « u suivie de v ».
Bien voir que v existe seulement sur .
³ Décomposer f comme somme de deux fonctions croissantes sur ‫.ޒ‬
· Ne pas oublier de dire que f est continue et strictement croissante sur ‫.ޒ‬
Il faut trouver a et b tels que .
On fait ensuite des essais sur la calculatrice.
On peut utiliser un tableau de valeurs, en changeant éventuellement le « pas » dans « Tblset ».
On peut aussi utiliser le programme donnant les valeurs de .
Prendre des valeurs ayant 3 décimales.
» Ici il faut trouver a et b tels que .
³ Il faut montrer que .
Bien savoir que pour trouver la partie entière d’un nombre, il faut l’encadrer par 2 entiers consécutifs.
· On connaît pour .
Quand une fonction est périodique, il suffit de connaître la courbe sur un intervalle dont l’amplitude
est justement égale à la période.
Il ne reste plus ensuite qu’à faire des translations.
» Repérer les valeurs de x pour lesquelles la courbe fait des « sauts ». ■
X X 2‫ۋ‬
u k+
u x( ) x a–( )2=
1
u
--
v–
v k+
]0 ; + ∞[
f x( ) Y1
1–
x2 2x 2+ + 0≠
] 2 ; + ∞[–
f a( )f b( ) 0<
f x( )
f a( ) 3 f b( )< <
f x 1+( ) f x( )=
int x( ) 0 x 1<≤
Exercice ¾
Exercice µ
Exercice ¸
Exercice ¹
Exercice Ƹ
Exercice ƹ
Exercice ƺ

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