Estática, Ingeniería Industrial UPC ciclo: 2022-1

1. MECÁNICA PARA
INGENIEROS

2. FUERZAS EN EL ESPACIO

3. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL ESPACIO
2 - 3
Una partícula “A” está en equilibrio si la resultante
de todas las fuerzas que actúan sobre A es cero. Al
expresar que las componentes Rx, Ry y Rz son cero,
tenemos:
Estas ecuaciones representan las condiciones
necesarias y suficientes para lograr el equilibrio de
una partícula en el espacio y pueden usarse para
resolver problemas que tratan con el equilibrio de
una partícula y en los que intervienen no más de tres
incógnitas.

4. COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
El vector F está
contenido en el
plano OBAC que
forma el ángulo ϕ
con el plano XY.
Descomponemos Fh
en componentes
rectangulares
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝐹𝐹ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(∅)
= 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃𝑦𝑦 cos(∅)
𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹ℎ𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(∅)
= 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃𝑦𝑦 seno(∅)
Descomponemos F
en sus componentes
vertical y horizontal
𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃𝑦𝑦)
𝐹𝐹ℎ = 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜃𝜃𝑦𝑦)

5. COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Representamos el enfoque anterior aplicado a los 3 ejes cartesianos
El vector ⃗
𝐹𝐹 forma los ángulos 𝜃𝜃𝑋𝑋, 𝜃𝜃𝑌𝑌, 𝜃𝜃𝑍𝑍 con los ejes X, Y, Z respectivamente
D
A
O O
A
B
E
O
A
𝜃𝜃𝑥𝑥
𝜃𝜃𝑦𝑦
𝜃𝜃𝑧𝑧
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝜃𝜃𝑥𝑥)
𝐹𝐹
𝑦𝑦
=
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝜃𝜃
𝑦𝑦
)
𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝜃𝜃𝑧𝑧)
⃗
𝐹𝐹
⃗
𝐹𝐹
⃗
𝐹𝐹

6. COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Con los ángulos entre F y los ejes
𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 cos(𝜃𝜃𝑥𝑥) 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝐹𝐹 cos(𝜃𝜃𝑦𝑦) 𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝐹𝐹 cos(𝜃𝜃𝑧𝑧)
⃗
𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑥𝑥⃗
𝚤𝚤 + 𝐹𝐹𝑦𝑦 ⃗
𝚥𝚥 + 𝐹𝐹𝑧𝑧𝑘𝑘
= 𝐹𝐹 (cos 𝜃𝜃𝑥𝑥 ⃗
𝚤𝚤 + cos 𝜃𝜃𝑦𝑦 ⃗
𝚥𝚥 + cos 𝜃𝜃𝑧𝑧 )𝑘𝑘
= 𝐹𝐹 ⃗
𝜆𝜆
⃗
𝜆𝜆 = cos 𝜃𝜃𝑥𝑥 ⃗
𝚤𝚤 + cos 𝜃𝜃𝑦𝑦 ⃗
𝚥𝚥 + cos(𝜃𝜃𝑧𝑧)𝑘𝑘
Podemos expresarlo mediante el producto de un escalar por un vector
donde
⃗
𝜆𝜆 es un vector unitario a lo largo de la línea de
accion de ⃗
𝐹𝐹 y cos(𝜃𝜃𝑥𝑥), cos 𝜃𝜃𝑦𝑦 , cos 𝜃𝜃𝑧𝑧 son los
cosenos directores de ⃗
𝐹𝐹

7. COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
La dirección de la fuerza se define por la
ubicación de los puntos M y N
𝑀𝑀 𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1, 𝑧𝑧1 y 𝑁𝑁(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2, 𝑧𝑧2)
⃗
𝑑𝑑 = Vector que une M con N
⃗
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥⃗
𝚤𝚤 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 ⃗
𝚥𝚥 + 𝑑𝑑𝑧𝑧𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1, 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1, 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1
Expresamos el Vector F en función del módulo y el vector
unitario
⃗
𝐹𝐹 = 𝐹𝐹 ⃗
𝜆𝜆
Donde
⃗
𝜆𝜆 =
1
𝑑𝑑
(𝑑𝑑𝑥𝑥⃗
𝚤𝚤 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 ⃗
𝚥𝚥 + 𝑑𝑑𝑧𝑧 ⃗
𝚥𝚥)
Por lo tanto
𝐹𝐹𝑥𝑥 =
𝐹𝐹𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑
𝐹𝐹𝑦𝑦 =
𝐹𝐹𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑
𝐹𝐹𝑧𝑧 =
𝐹𝐹𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑

8. EJEMPLO 1
SOLUCION:
• Usando las ubicaciones relativas de
A y B determinaremos el vector
unitario de F
• Aplicaremos el vector unitario al
modulo de F para determinar sus
componentes
• Con las componentes de F
determinaremos los ángulos
directores
El alambre de una torre está
anclado en A por medio de un
perno. La tensión en el alambre es
de 2500 N. Determine.
a) Las componentes Fx, Fy y Fz
de la fuerza que actúa sobre el
perno.
b) Los ángulos θx, θy y θz que
definen la dirección de la fuerza.

9. SOLUCIÓN EJEMPLO 1
• Hallamos el vector unitario de la línea de acción
desde A hasta B.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m
3
.
94
m
30
m
80
m
40
m
30
m
80
m
40
2
2
2
=
+
+
−
=
+
+
−
=
AB
k
j
i
AB



• Los componentes de la Fuerza.
( )( )
( ) ( ) ( )k
j
i
k
j
i
F
F








N
795
N
2120
N
1060
318
.
0
848
.
0
424
.
0
N
2500
+
+
−
=
+
+
−
=
= λ
k
j
i
k
j
i







318
.
0
848
.
0
424
.
0
3
.
94
30
3
.
94
80
3
.
94
40
+
+
−
=






+






+





 −
=
λ

10. SOLUCIÓN EJEMPLO 1
• Calculamos los ángulos directores.
k
j
i
k
j
i z
y
x







318
.
0
848
.
0
424
.
0
cos
cos
cos
+
+
−
=
+
+
= θ
θ
θ
λ



5
.
71
0
.
32
1
.
115
=
=
=
z
y
x
θ
θ
θ

11. EJEMPLO 2
Prob. 2
Si se sabe que las tensiones en los cables AB y AC son de 425 lb y de 510 lb
respectivamente, determine la magnitud y la dirección de la resultante de las
fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

12. SOLUCIÓN EJEMPLO 2
Si se sabe que las tensiones en los cables AB y AC son de 425 lb y de 510 lb
respectivamente, determine la magnitud y la dirección de la resultante de las
fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

13. EJEMPLO 3
Prob. 3
Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están
anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 525
lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno
en B.

14. SOLUCIÓN EJEMPLO 3
Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están
anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 525
lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno
en B.

15. EJEMPLO 4
Una placa circular horizontal se sostiene mediante tres alambres que forman
ángulos de 30° respecto de la vertical y se encuentran unidos a un soporte en D. Si
se sabe que la componente x de la fuerza ejercida por el alambre CD sobre la
placa es de –20 lb, determine a) la tensión en el alambre CD, b) los ángulos θx, θy y
θz que forma la fuerza ejercida en C con los ejes coordenados.

16. SOLUCIÓN EJEMPLO 4

17. PROBLEMA 1
Un marco ABC está sostenido en parte por el cable DBE, el cual pasa a través de un anillo sin
fricción en B. Si se sabe que la tensión en el cable es de 385 N, determine las componentes de
la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en D.

18. PROBLEMA 2
Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por
los cables mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1200 lb
en el cable AC, determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas
ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.

19. PROBLEMA 3
Se usan tres cables para amarrar el globo que se muestra en la figura. Determine la
fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el cable AB es de
259 N.

20. PROBLEMA 4
El cajón de 100 Kg. Está soportado por tres cuerdas, una de las cuales se conecta a un
resorte. Determine la tensión de las cuerdas AC y AD, así como el alargamiento del
resorte.