1. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya berpangkat tertinggi 2 dengan bentuk umum aX^2 + bX + c = 0. 2. Akar persamaan kuadrat adalah nilai X yang membuat persamaan kuadrat bernilai 0. Jenis akar ditentukan oleh diskriminan. 3. Persamaan kuadrat dapat difaktorkan untuk menentukan akar-akarnya, dengan syarat tertentu untuk bentuk persamaan.

1. 1 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
PERTEMUAN 1
A. Pengertian Persamaan Kuadrat
Agar terlihat lebih indah dan bersih, dinding sebuah kamar mandi ditutupi dengan keramik. Coba
perhatikan permasalahan berikut.
Dinding sebuah kamar mandi yang berbentuk persegi panjang akan ditutupi dengan keramik
persegi. Panjang dinding 5 keramik lebihnya dari lebar dinding. Jika keramik yang diperlukan untuk
menutup dinding kamr mandi tersebut 300 keramik, tentukan panjang dinding tersebut (luas satu
keramik dianggap 1 satuan).
Bagaimana rumus luas persegi panjang?
Jika luas satu buah keramik 1 satuan, sebelum menyelesaikan bagaimana model matematika dari
masalah tersebut?
Untuk memudahkan penentuan panjang dinding, gambarkan masalah tersebut terlebih dahulu.
Misalkan lebar dinding adalah x.
x
x + 5
Luas dinding adalah x(x + 5)
Jika dikalikan kedua faktor tersebut akan diperoleh .
Perhatikan bentuk aljabar diatas. Variabel x mempunyai pangkat tertinggi 2. Bentuk aljabar seperti
itulah yang disebut bentuk kuadrat. Dengan demikian, diperoleh = 300 atau
0.
Bentuk-bentuk inilah yang disebut persamaan kuadrat.
Jadi, berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan:
Persamaan kuadrat adalah persaman yang variabelnya (peubah) berpangkat tertinggi 2.
Persamaan kuadrat dari variabel mempunyai bentuk umum a = 0 dengan , b, c adalah
konstanta real dan ≠ 0.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
a. 2
b.
c.
Persamaan 2 adalah persamaan kuadrat dengan , , dan = 5, jika
dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan
kuadrat asli karena semua unsurnya ada, yaitu , b, c tidak sama dengan nol.
Persamaan adalah persamaan kuadrat dengan = 1, b = 0, c = -4. Jika dibandingkan
dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat murni
karena tidak mempunyai suku x (b = 0).
L = x(x + 5)

2. 2 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Persamaan adalah persamaan kuadrat dengan = 1, b = 9, c = 0. Jika dibandingkan
dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat tak
lengkap karena konstanta pada persamaan itu adalah 0 (c = 0).
Selain bentuk persamaan kuadrat di atas, ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak disajikan
dalam bentuk umum, misalnya:
a.
b.
Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah kedalam bentuk umum persamaan kuadrat dengan
operasi aljabar tertentu.
Contoh Soal:
Nyatakan persamaan ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian
tentukan nilai a, b dan c!
Penyelesaian:
(kedua ruas kurangi
= 20 20 (kedua ruas kurangi
= 0
Jadi, nilai dan .
B. Akar dan Bukan Akar Persamaan Kuadrat
1. Misalkan persamaan kuadrat:
2. Ganti variabel dengan sembarang bilangan bulat , hasilnya catat seperti tabel berikut.
Tabel Nilai Persamaan Kuadrat
1
0
-1 (-1)
-2 (-2)
-3 (-3)
3. Dari Tabel diatas, ternyata x = 1 dan x = -3 menyebabkan bernilai nol maka nilai x = 1
dan x = -3 merupakan akar-akar persamaan dari persamaan . Sedangkan, x = 0, x
= -1 dan x = -2 bukan merupakan akar-akar persamaan dari persamaan , karena
tidak menyebabkan bernilai 0.
Jadi berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan:
Akar persamaan kuadrat adalah pengganti dari variabel sehingga menyebabkan suatu
persamaan kuadrat bernilai 0.
C. Jenis – jenis akar persamaan kuadrat
Jenis-jenis akar/ penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai diskriminannya.
Diskriminan yaitu suatu nilai pada persamaan persamaan kuadrat yang membedakan banyaknya
akar persamaan itu sendiri. Persamaan untuk mencari nilai diskriminan ditulis sebagai D = b2
– 4ac.
Sifat dan fungsi dari diskriminan yaitu antara lain :
1. D > 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata (real) yang
berlainan (x1 tidak sama dengan x2).

3. 3 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
2. D = 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang sama (x1 = x2).
3. D < 0, fungsinya maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar penyelesaian real/nyata
(akarnya berbentuk imajiner yang nantinya akan di pelajari di tingkat SMA)
Menggunakan Diskriminan untuk Analisis Selesaian
Gunakan diskriminan untuk menganalisis persamaan-persamaan kuadrat berikut apakah memiliki akar
bilangan real. Jika iya, nyatakan apakah akar-akar tersebut merupakan bilangan rasional atau irasional,
dan apakah persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan atau tidak.
1. 2x2
+ 5x + 2 = 0
2. x2
– 4x + 7 = 0
3. 4x2
– 20x + 25 = 0
Pembahasan
1. Persamaan 2x2
+ 5x + 2 = 0 memiliki a = 2, b = 5, dan c = 2. Sehingga,
Kita peroleh bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut merupakan bilangan kuadrat
tidak nol. Maka persamaan tersebut memiliki 2 akar rasional dan dapat difaktorkan.
2. Dari persamaan x2
– 4x + 7 = 0 kita peroleh a = 1, b = –4, dan c = 7.
Karena –12 < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real dan tidak dapat
difaktorkan.
3. Persamaan kuadrat 4x2
– 20x + 25 = 0 memiliki a = 4, b = –20, dan c = 25. Maka,
Karena diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar bilangan
rasional dan dapat difaktorkan.
PERTEMUAN 2
A. Menentukan Akar- Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
1. Bentuk +c = 0
Untuk mendapatkan akar-akar penyelesaian x yang real maka +c = 0 dapat difaktorkan jika
tanda dan c berlawanan.
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan !
Penyelesaian:
atau
atau
atau
Jadi, akar-akar persamaan adalah atau

4. 4 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
2. Bentuk +bx = 0
Bentuk +bx = 0 dapat diselesaikan dengan memfaktorkan dan mengubah persamaan kuadrat
menjadi x(ax+b) = 0.
Contoh:
Tentukan akar-akar dari persamaan !
Penyelesaian:
atau
atau
atau
Jadi, akar-akar persamaan adalah atau
3. Bentuk +bx+c = 0 untuk 0a
Misalkan: cbxx 2
hasil pemfaktorannya adalah   qxpx  dengan p, q bilangan bulat, di
tulis:
  qxpxcbxx 2
Jika bentuk   qxpx  dikalikan maka diperoleh:
      qxpqxxqxpx 
       qpxpqxxx 
pqpxqxx  2
  pqxqpx  2
Sehingga:     qxpxpqxqpx 2
Hal ini dapat ditulis sebagai:
  pqxqpxcbxx  22
  qxpx 
Ternyata, untuk memfaktorkan cbxx 2
menjadi   qxpx  kamu harus mencari p dan q
sedemikian sehingga bqp  dan cpq  . Akibatnya bentuk cbxx 2
dapat difaktorkan
menjadi   qxpx  .
Untuk lebih memahaminya, amati dan lengkapi langkah-langkah penyelesaian menentukan akar-
akar persamaan berikut.
1. Akar-akar dari persamaan 652
 xx adalah ....
Penyelesaian:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
6pq
5 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -
5 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
Jika   qxpxcbxx 2
, maka berlaku bqp  dan cpq 

5. 5 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
1 6 6 7
-1 -6 6 -7
2 3 6 5
-2 -3 6 -5
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = -2 dan q = -3
Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mensubstitusikan nilai p dan
q yang telah diperoleh ke dalam bentuk
0652
 xx
   032  xx
02 x atau 03 x
21 x 32 x
Jadi, akar-akar dari 652
 xx adalah 2 atau 3
2. Akar-akar dari persamaan 982
 xx adalah ....
Penyelesaian:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
9pq
8 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan -9 dan jika dijumlahkan menghasilkan
-8 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
-1 9 -9 8
1 -9 -9 -8
-3 3 -9 0
3 -3 -9 0
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = 1 dan q = -9
Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mensubstitusikan nilai p dan
q yang telah diperoleh ke dalam bentuk
0982
 xx
   091  xx
01 x atau 09 x
11 x 92 x
Jadi, akar-akar dari 0982
 xx adalah -1 atau 9
3. Akar-akar dari persamaan 1582
 xx adalah ....
Penyelesaian:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
15pq
8 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan 15 dan jika dijumlahkan menghasilkan
-8 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
1 15 15 16
-1 -15 15 -16
3 5 15 8
-3 -5 15 -8
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = -3 dan q = -5

6. 6 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mensubstitusikan nilai p dan
q yang telah diperoleh ke dalam bentuk
1582
 xx
   053  xx
03 x atau 05 x
31 x 52 x
Jadi, akar-akar dari 1582
 xx adalah 3 atau 5.
4. Bentuk +bx = 0 untuk 1a
Misalkan: cbxax 2
hasil pemfaktorannya adalah 












a
q
x
a
p
xa dengan p, q bilangan bulat,
di tulis:







a
c
x
a
b
xacbxax 22
............................ (i)
Perhatikan 
























a
q
x
a
p
a
q
xx
a
q
x
a
p
x
    












a
q
a
p
x
a
p
a
q
xxx
2
2
a
pq
x
a
p
x
a
q
x 
 
2
2
a
pq
x
a
qp
x 

 .............................. (ii)
Persamaan (i) dan (ii) dapat ditulis sebagai berikut:
 
2
22
a
pq
x
a
qp
x
a
c
x
a
b
x 


Sehingga berlaku:













a
q
x
a
p
x
a
c
x
a
b
x2
Hal ini berarti:
 
a
pq
xqpaxcbxax  22
............................ (iii)













a
q
x
a
p
xa
Ternyata, dengan mengubah sedemikian maka dari persamaan (iii) disimpulkan bahwa
bqp  dan ,c
a
pq
 atau ,acpq  sehingga bentuk cbxax 2
dapat difaktorkan menjadi













a
q
x
a
p
xa
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
Jika 












a
q
x
a
p
xacbxax2
, dengan 1a maka berlaku
: bqp  dan acpq 

7. 7 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Pernyataan di atas dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk .2
cbxax  untuk lebih
memahaminya lagi, amati dan lengkapi langkah-langkah penyelesaian menentukan akar-akar
persamaan berikut.
1. Tentukan akar-akar dari !492 2
 xx
Penyelesaian:
Pada bentuk ini a = 2, b = 9, dan c = 4 maka berlaku:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
,acpq  berarti 8)4(2  pqpq
,bqp  berarti ,9 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan 8 dan jika dijumlahkan menghasilkan
9 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
1 8 8 9
-1 -8 8 -9
2 4 8 6
-2 -4 8 -6
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = 1 dan q = 8
Langkah 3: Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mengubah b
menjadi p + q.
0492 2
 xx
0482 2
 xxx (9x diubah menjadi 8x + x)
    04142  xxx
    0412  xx
012  x atau 04 x
2
1
1 x 42 x
Jadi, akar-akar dari 492 2
 xx adalah
2
1
 atau 4
2. Tentukan akar-akar dari 6135 2
 yy !
Penyelesaian:
Pada bentuk ini a = 5, b = -13, dan c = -6 maka berlaku:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
,acpq  berarti 30)6(5  pqpq
,bqp  berarti ,13 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan -30 dan jika dijumlahkan
menghasilkan -13 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
-1 30 -30 29
1 -30 -30 -29
-2 15 -30 13
2 -15 -30 -13
-3 10 -30 7
3 -10 -30 -7
-5 6 -30 1
5 -6 -30 -1
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = 2 dan q = -15

8. 8 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mengubah b menjadi p + q.
06135 2
 yy
062155 2
 yyy
    03235  yyy
    0325  yy
025  y atau 03 y
5
2
1 y 32 y
Jadi, akar-akar dari 6135 2
 yy adalah
5
2
 atau 3
3. Tentukan akar-akar dari 3196 2
 xx !
Penyelesaian:
Pada bentuk ini a = 6, b = 19, dan c = 3 maka berlaku:
Langkah 1 : misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka:
,acpq  berarti 18)3(6  pqpq
,bqp  berarti ,19 qp
Langkah 2 : cari dua bilangan, jika dikali menghasilkan 18 dan jika dijumlahkan
menghasilkan 19 dengan melengkapi tabel berikut ini.
p q pq p + q
1 18 18 19
-1 -18 18 -19
2 9 18 11
-2 -9 18 -11
3 6 18 9
-3 -6 18 -9
Dengan demikian bilangan yang memenuhi adalah p = 1 dan q = 18
Langkah 3: faktorkan akar persamaan kuadrat tersebut dengan mengubah b menjadi p + q.
03196 2
 xx
03186 2
 xxx (19x diubah menjadi 18x + x)
    03136  xxx
   0316  xx
016  x atau 03 x
6
1
1 x 32 x
Jadi, akar-akar dari 3196 2
 xx adalah
6
1
 atau 3
A. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat degan Melengkapi Bentuk Kuadrat Sempurna
Kalian sudah mempelajari cara menentukan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran. Sayangnya,
banyak persamaan kuadrat tidak mudah difaktorkan.
Perhatikan persamaan kuadrat . Kita tidak dapat menemukan kombinasi dua
bilangan bulat yang jumlahnya 3 dan hasil kalinya 6 sehingga kita tidak dapat menyelesaikan
persamaan kuadrat tersebut dengan cara pemfaktoran.
Bentuk kuadrat sempurna adalah suatu bentuk kuadarat yang merupakan hasil pengkuadaratan
suatu bentuk linier. Sebagai contoh: 4, , , dan , apakah

9. 9 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
merupakan bentuk kuadrat sempurna. Ternyata bukan karena bentuk tersebut tidak berasal dari
pengkuadaratan bentuk linier.
Untuk memahami cara melengkapi kuadrat sempurna pada . Perhatikan gambar
dibawah ini.
(a)
(b)
Pada persamaan diatas bisa dibagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian luasnya .
Kemudian, disusun seperti pada gambar diatas. Untuk mengisi sudut yang hilang atau melengkapi
kuadrat sempurna, kita harus menambah persegi tersebut dengan luasan = 25.
Berdasarkan gambar diatas, agar menjadi kuadrat sempurna, kita harus
menambah kedua sisi dengan 25.
Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut:
Contoh soal
Dengan melengkapi kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
!
Penyelesaian:
Agar bentuk menjadi kuadrat sempurna, kedua ruas harus ditambahkan dengan kuadrat
dari setengah koefisien , yaitu:
( = 9
Sehingga, persamaan menjadi,
atau
atau
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
Untuk dapat menentukan persamaan kuatdrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna,
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Pastikan bahwa koefisien adalah 1. Jika koefisien , buatlah koefisiennya menjadi 1
dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien dari .

10. 10 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
b. Jika perlu, tambah/kurangkan kedua ruas dengan suatu bilangan agar konstanta hanya di ruas
sebelah kanan.
c. Melengkapi kuadrat: menambah kedua ruas dengan kuadrat dari setengah nilai koefisien .
d. Faktorkan persamaan kuadrat.
B. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus ABC
Selesaikan dengan menggunakan aturan akar kuadrat.
02
 cbxax
cbxax  2
(kedua ruas ditambah –c)
a
c
x
a
b
x

 2
(kedua ruas dibagi a)
22
2
22















a
b
a
c
a
b
x
a
b
x (kedua ruas ditambah
2
2






a
b
)
a
c
a
b
a
b
x 





 2
22
42
2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x








2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x








a
acb
a
b
x
2
4
2
2


a
acb
a
b
x
2
4
2
2


a
acbb
x
2
42
2,1


Untuk lebih memahaminya, amati dan lengkapi langkah-langkah penyelesaian menentukan akar-
akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus ABC berikut.
1. Tentukan akar-akar persamaan 023 2
 xx dengan menggunakan rumus ABC!
Penyelesaian:
Jika kita perhatikan persamaan 023 2
 xx maka a = 3, b = 1, dan c = -2. Sehingga dapat ditulis:
a
acbb
x
2
42
2,1


  
 32
23411 2


6
2411 

Jadi, dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa:
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat ,02
 cbxax 0a adalah
a
acbb
x
2
42
2,1


Rumus ini disebut rumus ABC

11. 11 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
6
251

6
51

6
51
1

x atau
6
51
2

x
6
4
1 x
6
6
2

x
3
2
1 x 12 x
Jadi, akar-akar dari persamaan 023 2
 xx adalah
3
2
atau 1
2. Akar-akar dari persamaan 0294 2
 xx adalah ....
Penyelesaian:
Jika kita perhatikan persamaan 0294 2
 xx maka a = 4, b = -9, dan c = -2. Sehingga dapat
ditulis:
a
acbb
x
2
42
2,1


      
 42
24499
2


8
32819 

8
1139 

8
1139
1

x atau
8
1139
2

x
Jadi, akar-akar dari persamaan 0294 2
 xx adalah
8
1139 
atau
8
1139 
3. Tentukan akar-akar persamaan 13242
 xx dengan menggunakan rumus ABC!
Penyelesaian:
13242
 xx
    1322422
 xxxx (kedua ruas ditambah (-2x))
   131313422
 xx (kedua ruas ditambah (-13))
0922
 xx
Jika kita perhatikan persamaan 0922
 xx maka a = 1, b = -2, dan c = -9. Sehingga dapat
ditulis:
a
acbb
x
2
42
2,1


      
 12
91422
2


2
3642 

2
402 


12. 12 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
2
1022 

 
2
1012 

101
1011 x atau 1012 x
Jadi, akar-akar dari persamaan 13242
 xx adalah 101 atau 101
PERTEMUAN 3
A. Menyusun Persamaan Kuadrat
1. Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-Akarnya
Jika untuk mencari akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan pemfaktoran, maka
untuk menyusun persamaan kuadrat juga dapat dilakukan kebalikannya, yaitu dengan
menggunakan hasil kali faktor. Jadi, jika persamaan kuadrat akar-akarnya dan , maka
persamaan kuadrat tersebut adalah: = 0.
Jadi, berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan , adalah:
= 0.
Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -1!
Penyelesaian:
Misal = 2 dan = -1 maka diperoleh:
= 0
= 0
= 0
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah .
Contoh Soal:
Akar-akar persamaan kuadrat adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat
baru yang akar-akarnya dan !
Penyelesaian:
a. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat:
= 0
= 0
= 0 atau = 0
atau
Jadi, dan
b. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat baru:

13. 13 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Jadi, diperoleh dan
c. Menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan :
= 0
= 0
= 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah =
0.
2. Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya
Suatu persamaan kuadrat dapat juga disusun kembali jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-
akarnya. Misalkan suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar dan maka:
= 0
= 0
= 0
Jadi, jika menyatakan jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat dan menyatakan
hasil kalinya maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan dengan:
= 0
Nilai dan menurut rumus adalah
= dan =
Penjumlahan akar-akarnya adalah
=
=
=
Hasil kali kedua akarnya adalah
=
=
=
=
Dengan demikian, untuk persamaan kuadrat , diperoleh:
= dan =
Contoh Soal:
Jika α dan β adalah akar-akar persamaan , tentukan persamaan kuadrat
baru yang mempunyai akar-akar α + 2 dan β + 2!
Penyelesaian:
Dari persamaan , diperoleh:
dan
α + β = =
αβ = =
jumlah dan hasil kali akar-akar α + 2 dan β + 2 adalah sebagai berikut.
 (α + 2) + (β + 2) = (α +β) + 4 = 7 + 4 = 11
 (α + 2) (β + 2) = αβ + 2(α +β) + 4 = 6 + 2 7 + 4 = 24

14. 14 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
Jadi, diperoleh persamaan kuadrat baru sebagai berikut:
= 0
B. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.
Dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat permasalahan tersebut akan mudah di atasi.
Soal yang menyangkut persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Salah satu yang belum diketahui dimisalkan dengan x atau variabel lain, sedangkan yang lainnya
dinyatalan dengan kalimat terbuka yang memuat variabel tersebut.
2. Buatlah persamaan dalam bentuk variabel, kemudian selesaikan.
3. Tentukan penyelesaian yang memanuhi.
Contoh soal:
1. Sebuah karpet berbentuk persegi panjang yang luasnya adalah 15 m2
. Jika panjangnya 2 m
lebih panjang dari lebarnya, berapa lebarnya?
Penyelesaian:
Misalkan: lebar karpet = x
panjang karpet = p , sehingga p = x + 2
Luas karpet = lp
 xx 215 
xx 215 2

01522
 xx
   035  xx
  05  x atau   03 x
5 x 3x
Karena ukuran lebar karpet tidak mungkin bernilai negatif maka nilai x yang memenuhi
adalah 3
Jadi lebar karpet tersebut adalah 3 m
2. Sebuah bilangan positif, 5 lebih dari tiga kali bilangan lainnya. Hasil kali kedua
bilangan itu samadengan 68. Tentukan bilangan-bilangan itu (misalkan: bilangan a dan b)!
Penyelesaian:
Misalkan: bilangan I = a
bilangan II = b, sehinggan b = 3a +5
Persamaan : ab = 68
  6853  aa
6853 2
 aa
06853 2
 aa
   04173  aa
  0173  a atau   04 a
3
17
 a atau 4a
Karena kedua bilangan tersebut adalah bilangan posifit maka nilai a yang memenuhi adalah
4.
Untuk a = 4, maka   1754353  bbab
Jadi, nilai kedua bilangan tersebut adalah 4 dan 17.

15. 15 | M a t e r i A j a r P e r s a m a a n K u a d r a t K e l a s I X S M P N 4 S a m a r i n d a
3. Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 cm. Tentukan panjang kedua kakinya
apabila kaki yang satu lebih panjang 14 cm dari pada panjang kaki lainnya.
Penyelesaian:
Misalkan: panjang kaki I segitiga = x
panjang kaki II segitiga = y, sehingga y = x + 14
Persamaan:   222
3414  xx
11561962822
 xxx
0960282 2
 xx
0480142
 xx
   03016  xx
  016  x atau   030 x
16 x atau 30x
Karena panjang kedua kaki segitiga tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai x yang
memenuhi adalah 16.
Untuk x = 16, maka 30141614  yyxy
Jadi, panjang kedua kakinya adalah 16 cm dan 30 cm.