2. Suma, Resta y Valor Numérico de
expresiones Algebraicas.
Para sumar o restar
fracciones algebraicas se
procede de igual manera que
con la fracciones
aritméticas: se encuentra el
mínimo común denominador
y se realizan las operaciones
de forma similar.
Con la resta algébrica
sustraemos el valor de una
expresión algébrica de otra.
Por ser expresiones.
Ejemplo N°1
Solución:
x2
+𝑥𝑦 + 4x2
=
Se agrupan los términos
semejantes: x2
+ 4x2
+
𝑥𝑦Se agregan términos
semejantes: 52 + 𝑥𝑦
Ejemplo N°2 Resultado: 52 + 𝑥𝑦
wx2
𝑦+3x2
+ −7𝑤x2
𝑦 + 4x2
=
Solución:
Se Agrupan terminos semejantes: wx2
𝑦
+ −7𝑤x2𝑦 +3x2 + 4x2 =
Se Respetan signos negativos:: wx2
𝑦
− 7𝑤x2
𝑦+3x2
+ 4x2
Resultado: −6wx2𝑦 + 72
Ejemplo N°1
3x2
−(−4x2
)
Solución:
Primero se observa el signo
del termino siguiente, en
este caso es
negativo,−(−4x2
)
Se afecta el termino con el
signo menos: −(−4x2
) = +4
x2
.
Se escribe la operación con
el signo cambiado: 3x2
+ 4
x2.
Se resuelve la
operación: 3x2
+4 x2
= 7x2
Ejemplo N°2
4m−(−8𝑚)
Solución:
=4m+8m
=12m
Suma. Resta.
3. Valor Numérico.
El valor numérico de una expresión
algebraica, para un determinado
valor, es el número que se obtiene
al sustituir en ésta el valor
numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
Ejemplo
N°1
𝑃 𝑥 = 2𝑥3
+5 − 3; 𝑥 = 1
𝑃 𝑥 = 2 ∙ 13+5∙ 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Ejemplo N°2
𝑄 𝑥 = 𝑥4
− 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 − 1; 𝑥 = 1
𝑄 1 = 14
− 2 ∙ 13
+ 12
+ 1 − 1 = 1 − 2
+1 + 1 − 1 = 0
Ejemplo N°3
𝑅 𝑥 = 𝑥10 − 1024: 𝑥 = −2
𝑅 −2 = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024
= 0
4. La Multiplicación Algebraica
consiste en realizar una operación
entre los términos multiplicando y
multiplicador para encontrar el
tercer termino llamado producto
Ejemplo
N°1
(−4𝑎2
𝑏 𝑝𝑜𝑟 − 𝑎𝑏2
)
−4𝑎2𝑏 𝑥 −𝑎𝑏2 = 4𝑎2+1. 𝑏1+2 = 4𝑎3𝑏2
Ejemplo
N°2
5 + 3𝑎 + 2𝑎2
+ 4𝑏)𝑥(5𝑎 + 𝑏 =
5𝑏 + 3𝑎𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 4𝑏2 + 20𝑎𝑏 + 10𝑎3 + 15𝑎2 + 25𝑎 =
5𝑏 + 23𝑎𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 4𝑏2 + 10𝑎3 + 15𝑎2 + 25𝑎
Multiplicación.
Multiplicación y División
Algebraicas.
5. La División Algebraica es la operación inversa a
la multiplicación y se trata de encontrar una
expresión llamada cociente, a partir de dos
expresiones llamadas dividendo y divisor. Si el
dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el
cociente es positivo, si tienen signos contrarios
el consciente es negativo
Ejemplo
N°2
Ejemplo
N°1
𝑎6
𝑎4
=
𝑎6
𝑎4
(𝑎−4)
(𝑎−4)
=
𝑎(6−4)
𝑎(4−4)
=
𝑎2
𝑎0
=
𝑎2
1
= 𝑎2
30𝑎3
3𝑎−3
=
30𝑎3
3𝑎−3
(𝑎3)
(𝑎3)
=
30𝑎(3+3)
3𝑎(−3+3)
=
30𝑎6
3𝑎0
= 𝑎2
División.
6. Producto Notable
Simplificación de
fracciones
algebraicas
Son expresiones algebraicas que vienen
de un producto que conocemos porque
sigue reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, es decir,
sin verificar la multiplicación. Estas
operaciones son fáciles de recordar sin
necesidad de efectuar la multiplicación
correspondiente.
(x+10)2
(𝑥 + 10)2=x2+20x100
(7a2+5x3)2
Ejemplo N°1
Solución:
Ejemplo N°2
Solución: (7a2+5x3)2=49𝑎4
+ 70𝑎2
𝑥3
+ 25𝑥6
Es la acción de dividirse el numerador y el denominador
de una fracción por otro mismo número con el fin de
obtener otra fracción equivalente, cuyo cociente tenga el
mismo valor numérico.
Ejemplo N°1:
3ab
2a2x + 2𝑎3
Solución:
3ab
2a2(x + 𝑎)
=
3b
2a(x + 𝑎)
Ejemplo N°2: 𝑚2+n2
𝑚4 − 𝑛4
Solución:
𝑚2+n2
(𝑚2)2 − (𝑛2)2 =
𝑚2+n2
(𝑚2+𝑛2)(𝑚2−𝑛2)
=
1
𝑚2 − 𝑛2
7. Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de
igual manera que con la fracciones aritméticas: se
encuentra el mínimo común denominador y se realizan las
operaciones de forma similar.
El proceso a seguir para sumar
dos o más fracciones algebraicas
dependerá de si las fracciones
son homogéneas o heterogéneas.
Si son heterogéneas, tenemos
que empezar calculando el
mínimo común denominador para
reescribirlas como fracciones
homogéneas equivalentes.
Ejemplo N°1: 𝑥 − 1
3
+
1 − 8𝑥
3
𝑥 − 1
3
+
1 − 8𝑥
3
=
𝑥 − 1 + (1 − 8𝑥)
3
=
𝑥 − 8𝑥 + (−1 + 1)
3
= −
7𝑥
3
Ejemplo N°2: 4x2 − 3
𝑥
+
2x2 − 1
𝑥
4x2 − 3
𝑥
+
2x2 − 1
𝑥
=
4x2 − 3 + (2x2 − 1)
𝑥
Solución:
Solución:
4x2 − 3 + (2x2 − 1)
𝑥
=
4x2+2x2 + (−3 − 1)
𝑥
= −
6𝑥2 − 4
𝑥
Suma de Fracciones
Algebraicas.
Suma y Resta de
Fracciones Algebraicas
8. Podemos restar dos o más fracciones
algebraicas homogéneas al usar un solo
denominador y restar sus numeradores.
Si es que las fracciones algebraicas son
heterogéneas, tenemos que empezar
encontrando su mínimo común
denominador para escribir fracciones
homogéneas equivalentes.
Ejemplo N°1:
Solución:
3x
5
−
2x
5
3x
5
−
2x
5
=
3x−2x
5
=
x
5
Ejemplo N°2
𝑎 − 2
6
−
3𝑎 + 2
4
Solución:
=
𝑎 − 2
6
−
3𝑎 + 2
4
=
2 𝑎 − 2
12
−
3(3𝑎 + 2)
12
=
2𝑎 − 4
12
−
9𝑎 + 6
12
=
2𝑎 − 4 − (9𝑎 + 6)
12
=
2𝑎 − 4 − 9𝑎 − 6
12
=
−7𝑎 − 10
12
= −
7𝑎 + 10
12
Resta de Fracciones
Algebraicas.
9. Multiplicación
de fracciones.
División de
fracciones.
Ejemplo N°2:
3a2
3𝑏
𝑥
6b2
4ܽ
=
a
1
𝑥
b
1
3a2
3𝑏𝑦
𝑥
6b2
4ܽ
3a2
3𝑏
𝑥
6b2
4ܽ
= 𝑎𝑏5
Ejemplo N°1:
Solución:
x2𝑦
5
𝑥
10a3
3m2
𝑥
9𝑚
𝑥3
=
𝑦
5
𝑥
2a3
m
𝑥
3
𝑥
Solución:
=
x2𝑦
5
𝑥
10a3
3m2
𝑥
9𝑚
𝑥3
=
6𝑎3𝑦
𝑚𝑥
Para multiplicar 2 fracciones algebraicas se
multiplican numerador con numerador y
denominador con denominador con cada una de
ellas. Para no manipular expresiones tan largas,
si es posible se debe simplificar cada una de las
fracciones antes de efectuar los productos.
Como en las sumas y en las restas, hay que
tener en cuenta los (0) en los denominadores.
Para dividir fracciones algebraicas se
intercambia el numerador y el denominador
de la fracción que este a la derecha del
signo de división se procede como en la
multiplicación.
Ejemplo N°1:
x2
3𝑦2 ÷
2x
3𝑦2
x2
3𝑦2
÷
2x
3𝑦3
=
𝑥2
3𝑦2
𝑥
y3
2𝑥
x2
3𝑦2
÷
2x
𝑦3
=
𝑥
3
𝑥
y
2
x2
3𝑦2
÷
2x
𝑦3
=
𝑥𝑦
6
Solución:
Ejemplo N°2:
3a2𝑏
5𝑥2 ÷ a2b3
Solución:
3a2𝑏
5𝑥2
÷ a2b3 =
3a2𝑏
5𝑥2
𝑥
1
a2𝑏3
3a2𝑏
5𝑥2
÷ a2b3 =
3
5𝑥2
𝑥
1
𝑏2
3a2𝑏
5𝑥2
÷ a2b3 =
3
5b2𝑥2
Multiplicación de
Fracciones.
División de
Fracciones.
10. Factorización por
resolvente cuadrática
Esta consiste en descomponer a la
ecuación cuadrática y formar un producto
de sus factores. La factorización puede ser
considerada como el proceso reverso de la
distribución de la multiplicación.
Ejemplo N°1:
𝑟2-5𝑟 + 6 = 0.
𝑟2-3𝑟 − 2𝑟 + 6 = 0.
Solución:
(𝑟2-3𝑟) − (2𝑟 − 6) = 0.
𝑟(𝑟-3) − 2(𝑟 − 3) = 0.
(𝑟-3) − (𝑟 − 2) = 0.
𝑟-3 = 0 𝑟 − 2 = 0.
Ejemplo N°2:
𝑥1
−(−5) ± (−5)2−4(3)(2)
2(3)
=
5 ± 25 − 24
6
=
5 + 1
6
.
3𝑥2𝑟 − 5𝑥 + 2 = 0
Solución:
3𝑥2𝑟 − 5𝑥 + 2 = 0 𝑎 = 3, 𝑏 = −5, 𝑐 = 2
𝑥1 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 =
5 + 1
6
=
6
6
= 1
𝑥2 =
5 − 1
6
=
4
6
=
2
3
𝑥1 = 1 𝑥2 =
2
3
Factorización por
Resolvente Cuadrática.
11. Factorización por
Ruffini.
Consiste en seleccionar una posible raíz del
polinomio dado y formar una tabla, en el
momento en que el ultimo resultado sea cero
(0) habremos culminado, en caso que no pase
esto, habrá que intentar con otra posible raíz.
Ejemplo N°1:
Solución:
−5𝑥 + 3𝑥2−2
𝑥 − 2
3𝑥2−5𝑥−2
𝑥 − 2
1. Se Ordena de forma decreciente
2. Escribir los coeficientes del dividendo respetando el orden
y signo. El termino independiente del divisor se escribe en la
parte inferior izquierda con signo contrario
3. Se baja el primer coeficiente y se multiplica por el termino
independiente del divisor y se escribe el resultado abajo del
segundo coeficiente.
3 − 5 − 2
2
2 6
3 1
3 − 5 − 2
2 6 2
3 1 0
3 − 5 − 2
4. El procedimiento anterior se repite con el
resultado de la suma o resta.
Resultado
= 3𝑥 + 1 . (𝑥 − 2)
Factorización por
Ruffini.
12. Radicación.
La radicación es el proceso de
hallar raíces de orden (n) de
un numero (a), de modo que
se verifica que =x, donde
(n) es llamado índice u orden,
(a) es llamado radicando, y (x)
es una raíz enésima.
𝑛 𝑎
Ejemplo N°1
3 48
Solución:
3 48 =3 42𝑥3=3 42𝑥 3=3x4 3
3 48 = 12 3
Ejemplo N°2
18
18 = 32𝑥2= 32x 2
Solución:
18 = 3 2
Radicación.
13. Para sumar o restar
radicales es necesario que
tengan el mismo índice y
el mismo radicando, esto
ocurre se suman o se
restan los coeficientes y
se deja el radical
Ejemplo
N°1
Solución:
3 40 + 3 1029-3 625
3 40 + 3 1029 − 3 625= 3 23𝑥5+ 3 73𝑥3 − 3 53𝑥5
1) Se Descomponen las cantidades subradicales
en sus factores primos, y se les colocan potencias
cuyos exponentes sean múltiplos del índice de la
raíz.
2) Se sacan los factores cuyos exponentes sean
múltiples del índice de la raíz, dividiendo el exponente
por el índice:
3 40 + 3 1029 − 3 625=23 5+ 73 3 − 53 5
3) Reduciendo las radicales semejantes
3 40 + 3 1029 − 3 625=73 3 − 33 5
Suma y Resta de
Radicales
15. Para multiplicar radicales con el mismo índice se
multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación
extraeremos los factores del radical.
3x 4
Ejemplo N°1
Solución:
Se multiplica lo de adentro
dando el siguiente
resultado: 3x 4 = 12
Ejemplo N°2
8 3 2x93 7
Solución:
Para resolver hay que multiplicar lo de
afuera con lo de afuera y lo de adentro
con lo de adentro: 8 3 2x93 7=723 14
Dándonos como resultado=723 14
Multiplicación de
Radicales.
16. División de
Radicales.
Para dividir los radicales se dividen los coeficientes
numéricos y luego las cantidades subradicales y se
coloca el mismo índice en el radical, siendo así la
multiplicación de ellos
Ejemplo N°1 Ejemplo N°2
4 6 ÷ 2 3
Solución:
4 6 ÷ 2 3 =
4
2
+
6
3
= 2 2
6
128
6
16
Solución:
6
128
6
16
=
6 128
16
=
6
8
=
6
23
= 2
División de
Radicales.
