Modul atau bahan ajar Limit Fungsi Aljabar ini digunakan untuk jenjang SMK kelas XII

1. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 0
MODUL
Kelas XII Ganjil
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Disusun oleh:
Tim Guru Matematika SMK Ahmad Yani

2. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 1
A. Kompetensi Dasar
1. KD pada KI pengetahuan
3.30 Menentukan nilai limit fungsi aljabar
2. KD pada KI keterampilan
4.30. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Indikator KD pada KI pengetahuan
3. 30.1 Menentukan definisi limit secara intuitif.
3. 30.2 Menentukan sifat-sifat limit fungsi aljabar.
3. 30.3 Menentukan nilai limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati nilai
tertentu dengan subtitusi.
3. 30.4 Menentukan nilai limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati nilai
tertentu dengan faktorisasi.
3. 30.5 Menentukan nilai limit suatu fungsi aljabar jika variabelnya mendekati nilai
tertentu dengan merasionalkan bentuk akar.
3. 30.6 Menentukan nilai limit fungsi aljabar jika variabelnya mendekati tak hingga.
Indikator KD pada KI keterampilan.
4. 30.1 Menyelesaikan permasalahan limit dengan pendekatan kanan dan kiri.
4. 30.2 Menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan sifat-sifatnya.
4. 30.3 Menyelesaikan permasalahan limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan subtitusi.
4. 30.4 Menyelesaikan permasalahan limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan faktorisasi.
4. 30.5 Menyelesaikan permasalahan limit suatu fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan merasionalkan bentuk akar.
4. 30.6 Menyelesaikan permasalahan limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati tak hingga.

3. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 2
C. Tujuan Pembelajaran
Tujuan Pembelajaran pada KI Pengetahuan
3. 30.1.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menentukan definisi limit secara
intuitif dengan benar.
3. 30.2.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menentukan sifat-sifat limit fungsi
aljabar dengan benar.
3. 30.3.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menentukan nilai limit jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan subtitusi minimal dua fungsi aljabar.
3. 30.4.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menentukan nilai limit jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan faktorisasi minimal dua fungsi aljabar.
3. 30.5.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menentukan nilai limit jika variabelnya
mendekati nilai tertentu dengan merasionalkan bentuk akar minimal dua
fungsi aljabar.
3. 30.6.1 Melalui diskusi, peserta didik dapat menenentukan nilai limit fungsi aljabar
jika variabelnya mendekati tak hingga dengan benar.
Tujuan Pembelajaran pada KI Pengetahuan Keterampilan
4. 30.1.1 Diberikan permasalahan tentang limit, peserta didik dapat menyelesaikan
permasalahan tersebut menggunakan pendekatan kanan dan kiri dengan
benar.
4. 30.2.1 Diberikan permasalahan tentang limit, peserta didik dapat menyelesaikan
permasalahan tersebut menggunakan sifat-sifat limit dengan benar.
4. 30.3.1 Diberikan permasalahan tentang limit fungsi aljabar yang variabelnya
mendekati nilai tertentu, peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan
tersebut menggunakan substitusi dengan benar.
4. 30.4.1 Diberikan permasalahan tentang limit fungsi aljabar yang variabelnya
mendekati nilai tertentu, peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan
tersebut menggunakan faktorisasi dengan benar.
4. 30.5.1 Diberikan permasalahan tentang limit yang variabelnya mendekati nilai
tertentu, peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan tersebut dengan
merasionalkan bentuk akar minimal dua fungsi aljabar.
4. 30.6.1 Diberikan permasalahan tentang limit fungsi aljabar yang variabelnya
mendekati nilai tak hingga, peserta didik dapat menyelesaikan
permasalahan tersebut dengan benar.

4. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 3
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif
Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang
bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.
Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh
berikut:
Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =
2
22


x
xx
Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =
0
0
(tidak dapat ditemukan)
Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :
x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7
f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =
2
22


x
xx
: mendekati 3.
jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di
dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : 3
2
2
lim
2
2



 x
xx
x
Jadi, definisi limit yaitu:
Limit 𝑓(𝑥) mendekati 𝑐 sama dengan 𝐿, ditulis
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿
Jika untuk setiap 𝑥 yang mendekati 𝑐, maka 𝑓 𝑥 mendekati 𝐿.
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai
Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita
dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:
a. CARA : SUBTITUSI
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai  8lim 2
3


x
x
!

5. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 4
Penyelesaian :
Nilai limit dari fungsi f(x) = x2
– 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu
dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
 8lim 2
3


x
x
89832
 1
Artinya bilamana x dekat 3 maka x2
– 8 dekat pada 32
– 8 =9 – 8 = 1 Dengan
ketentuan sebagai berikut:
a) Jika f (a) = c, maka axf
ax


)(lim
b) Jika f (a) =
0
c
, maka ~)(lim 

xf
ax
c) Jika f (a) =
c
0
, maka 0)(lim 

xf
ax
b. CARA : PEMFAKTORAN (Cara Cepat: Menurunkan ada di hal 12)
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga
tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
!
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =
0
0
33
932



.
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak
terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
, kita harus mencari
fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk
menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x)
sehingga menjadi:
  
 
 .3
3
33



x
x
xx
1
3
3








x
x
Jadi,
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
=
  
 3
33
lim
3 

 x
xx
x
=  3lim
3


x
x
= 3 + 3 = 6

6. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 5
c. CARA : MERASIONALKAN PENYEBUT
Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang
perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
!
Penyelesaian:
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
=
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x 2
2
.


x
x
=
  
 2
2
2
2
223
lim



x
xxx
x
=
   
 2
221
lim
2 

 x
xxx
x
=   21lim
2


xx
x
=   22.12 
= 1 . 0
= 0
d. CARA : MERASIONALKAN PEMBILANG
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
!
Penyelesaian:
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
=
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
.
3423
3423


xx
xx
=
   
  34231
3423
lim
22
1 

 xxx
xx
x
=
  34231
1
lim
1 

 xxx
x
x

7. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 6
=
 
  34231
1
lim
1 

 xxx
x
x
=
3423
1
lim
1 

 xxx
=
31.421.3
1


=
11
1


=
11
1


=
2
1

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya MENDEKATI TAK
BERHINGGA (Cara Cepat : lihat pangkat tertinggi adadi hal 13)
Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak
berhingga,diantaranya:
)(
)(
lim
~ xg
xf
x
dan  )()(lim
~
xgxf
x


Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-
cara sebagai berikut:
a. CARA : MEMBAGI DENGAN PANGKAT TERTINGGI
Cara ini digunakan untuk mencari nilai
)(
)(
lim
~ xg
xf
x
. Caranya dengan membagi
f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x )
atau g (x).
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
a.
12
14
lim
~ 

 x
x
x
b.
xx
x
x 

 2~
14
lim
Penyelesaian:
a. untuk menentukan nilai dari
12
14
lim
~ 

 x
x
x
perhatikan pangkat tertinggi dari
x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x
adalah satu.
12
14
lim
~ 

 x
x
x
=
xx
x
xx
x
x 12
14
lim
~




8. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 7
=
x
x
x 1
2
1
4
lim
~



=
~
1
2
~
1
4


=
02
04


=
2
4
= 2
b. Perhatikan fungsi h (x) =
2
14
2


x
x
! Fungsi tersebut memiliki x dengan
pangkat tertinggi 2, yaitu x2
yang terdapat pada x2
– 2. jadi, untuk
menentukan nilai
xx
x
x 

 2~
14
lim maka fungsi 4x + 1 dan x2
– 2 harus dibagi
dengan x2
.
xx
x
x 

 2~
14
lim =
22
2
22
~ 2
14
lim
xx
x
xx
x
x



=
2
2
~ 2
1
14
lim
x
xx
x



=
2
2
(~)
2
1
(~)
1
~
4


=
01
00


=
1
0
= 0

9. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 8
b. CARA: MENGALIKAN DENGAN FAKTOR LAWAN
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan  )()(lim
~
xgxf
x


.
Jika kita dimitai menyelesaikan  )()(lim
~
xgxf
x


maka kita harus
mengalikan [f (x) + g (x)] dengan
(x)]g(x)[f
(x)]g(x)[f


sehingga bentuknya
menjadi:
 )()(lim
~
xgxf
x


.
(x)]g(x)[f
(x)]g(x)[f


=
 
(x)g(x)f
(x)][g(x)][f
lim
22
~ 

x
ataupun sebaliknya.
Contoh:
Tentukan nilai dari xxxx
x


22
~
2lim
Penyelesaian:
xxxx
x


22
~
2lim
= xxxx
x


22
~
2lim .
xxxx
xxxx


22
22
2
2
=
   
xxxx
xx
x


 22
22
~
2
12
lim
=
xxxx
x
x
 22~
2
3
lim
=
22
2
22
2~
2
3
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


=
0101
3

=
2
3

10. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 9
B. TEOREMA LIMIT / SIFAT-SIFAT LIMIT
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam
menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah
konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:
1. kk
ax


lim
2. ax
ax


lim
3. k
ax
lim f (x) = k
ax
lim f (x)
4.
ax
lim [f (x) ± g (x)] =
ax
lim f (x) ±
ax
lim g (x)
5.
ax
lim [f (x) . g (x)] =
ax
lim f (x) .
ax
lim g (x)
6.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 , dengan
ax
lim g(x) ≠ 0
7.
ax
lim [f (x) ]n
= [
ax
lim f (x)]n
8. n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim

 dimana
ax
lim f (x)  0 untuk n bilangan genap
ax
lim f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil
Contoh:
Carilah a.  xx
x


2
4
3lim ! b.
x
x
x 2
9
lim
2
3


Penyelesaian:
a)  xx
x


2
4
3lim = xx
xx 4
2
4
lim3lim

 (teorema 4)
= 3 xx
xx 4
2
4
limlim

 (teorema 3)
= 3   xx
xx 4
2
4
limlim

 (teorema 7)
= 3. (4)2
– 4 (teorema 2)
= 3. 16 – 4 = 44

11. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 10
b)
x
x
x 2
9
lim
2
3


=
x
x
x
x
2lim
9lim
3
2
3



(teorema 6)
=
x
x
x
x
3
2
3
lim2
)9(lim



(teorema 8 dan 3)
=
x
x
x
xx
3
3
2
3
lim2
9limlim



(teorema 4)
=
x
x
x
xx
3
3
2
3
lim2
9lim)lim(



(teorema 7)
=
3.2
932

(teorema 1 dan 2)
=
6
18
= 2
6
3
= 2
2
1
C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus limit fungsi trigonometri:
a. Limit fungsi sinus
1. 1
sin
lim
0

 x
x
x
2. 1
sin
lim
0

 x
x
x
3. 1
sin
lim
0

 ax
ax
x
→
b
a
bx
ax
x

 sin
lim
0
4. 1
sin
lim
0

 ax
ax
x
→
b
a
bx
ax
x


sin
lim
0
b. Limit fungsi tangens
1. 1
tan
lim
0

 x
x
x

12. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 11
SELAMAT
BELAJAR
!!!
2. 1
tan
lim
0

 x
x
x
3. 1
tan
lim
0

 ax
ax
x
→
b
a
bx
ax
x

 tan
lim
0
4. 1
tan
lim
0

 ax
ax
x
→
b
a
bx
ax
x


tan
lim
0
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
a.
x
x
x 2
3sin
lim
0
b.
x
x
x 2sin
5sin
lim
0
Penyelesaian:
a.
x
x
x 2
3sin
lim
0
=
x
x
x
x
x 2
3
.
3
3sin
lim
0
=
x
x
x
x
xx 2
3
lim.
3
3sin
lim
00 
= 1 .
2
3
=
2
3
b.
x
x
x 2sin
5sin
lim
0
=
x
x
x
x
x
x
x 2
5
.
2sin
2
.
5
5sin
lim
0
=
x
x
x
x
x
x
xxx 2
5
lim.
2sin
2
lim.
5
5sin
lim
000 
= 1. 1 .
2
5
=
2
5

13. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 12
A. MATERI & CONTOH SOAL LIMIT
1. MATERI : LIMIT FUNGSI aljabar 𝑥  𝑎
 Substitusikan dulu nilai 𝑥 ke fungsi. Jika hasilnya tidak
0
0
, proses berhenti, SELESAI.
 Jika hasilnya
0
0
dan fungsi tidak berbentuk akar, lanjutkan dengan pemfaktoran atau
menurunkan fungsi pada pembilang dan penyebut, lalu substitusikan kembali nilai 𝑥 .
 Jika hasilnya
0
0
dan fungsi berbentuk akar, lanjutkan dengan mengalikan sekawan
atau menurunkan fungsi pada pembilang dan penyebut, lalu substitusikan kembali
nilai 𝑥 .
2. CONTOH SOAL
SOAL JAWABAN
a.
....
9
15112x
lim 2
2
3








 x
x
x
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3
93
153.112.3
9
15112
lim 2
2
2
2
3 









 x
xx
x
0
18
0
99
153381




b. ....
1092
253x
lim 2
2
2








 xx
x
x
A. -4 D. -7
B. -5 E. -8
C. -6
102.92.2
22.53.2
1092
253
lim 2
2
2
2
2 









 xx
xx
x
0
0
10188
21021




hasilnya
0
0
dan fungsi tidak berbentuk akar,
maka:








 1092
253x
lim 2
2
2 xx
x
x
94
56
094
056






x
x
x
x
98
512
92.4
52.6






7
1
7



Cara menurunkan fungsi aljabar:
1
.. nn
xanadalahxadariTurunan
aadalahxadariTurunan .
0adalahadariTurunan
contoh
𝑓(𝑥) Turunannya adalah
4 0
-1 0
4𝑥 4
−𝑥 1
4𝑥3 3.4𝑥3−1
= 12𝑥2
𝑥6
6𝑥6−1
= 6𝑥
5

14. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 13
c.
....
2424
lim
0


 x
xx
x
A. -1 D. 2
B. 0 E. 4
C. 1
)2424(
)24()24(
lim
2424
24242424
lim
2424
lim
0
0
0
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x












44
4
)2424(
4
lim
)2424(
4
lim
0
0











xx
xxx
x
x
x
1
4
4



3. MATERI :LIMIT FUNGSI ALJABAR 𝑥 ∞
 Cara cepat :
LIHAT PANGKAT TERTINGGI VARIABEL x
(syarat : fungsi berbentuk operasi penjumlahan/pengurangan)
1) Jika pangkat tertinggi berada di atas maka hasilnya adalah
2) Jika pangkat tertinggi berada di bawah maka hasilnya adalah
3) Jika pangkat tertinggi atas dan bawah sama, maka hasilnya adalah
koefisien pangkat tertinggi atas
koefisien pangkat tertinggi bawah
4. CONTOH SOAL
SOAL JAWABAN
a.
....
2
2x-3
lim 42
32








 xx
x
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Pangkat tertinggi ada di bawah,maka
0
2
2x-3
lim 42
32








 xx
x
x
b.
Nilai dari ....
25
372
2
3
lim 


 xx
xx
x
A.
5
3 C.
2
3 E
. 5
7
B. 0 D. 
Pangkat tertinggi ada di atas,maka



 xx
xx
x 25
372
2
3
lim
5. MATERI :LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 𝑥 0
 Jika fungsi trigonometrinya adalah 𝑠𝑖𝑛 dan 𝑡𝑎𝑛, lakukan cara cepat :
Ubah menjadi fungsi perkalian bukan pangkat, lalu buang fungsi trigonometrinya,
kemudian sederhanakan.

15. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 14
6. CONTOH SOAL
SOAL JAWABAN
a.
....
2sin.4
8tan
lim
2
0






 xx
x
x
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8















xx
xx
xx
x
x
x
2sin.4
8tan.8tan
lim
2sin.4
8tan
lim
0
2
0
x
x
x
x
2sin
8tan
.
4
8tan

8
4.2
2
8
.
4
8



x
x
x
x
B. LATIHAN SOAL
TUGAS PERTEMUAN 1
1. Jelaskan definisi limit fungsi aljabar!
2. Sebutkan 3 saja sifat-sifat limit fungsi aljabar!
3.
....
5
1032
0
lim 


 x
xx
x
A. -2 C. 0 E
.
2
B.
5
7

D.
5
7
4.
Nilai dari ....
32
32
2
5
lim 


 xx
x
x
A.
10
1 C.
6
1 E
. 4
1
B.
9
1 D.
5
1
TUGAS PERTEMUAN 2
1.
= ....
A. 2 C. 4 E. 8
B. 3 D. 6
2.
Nilai dari
A. -2 C. 0 E.
B. -1 D. 1
3.
Nilai dari
....
103
232
lim 2
2
2



 xx
xx
x
A.
7
3 C.
7
6 E
. 9
7
B.
7
5 D.
9
5
4.
Nilai dari ....
9
15112
2
2
3
lim 


 x
xx
x
A. 0 C
. 3
1 E
. 6
11
B.
6
1 D
. 6
5
2
124
lim
2
2 

 x
xx
x
....
33
693 2
1-
lim 


 x
xx
x


16. Modul Matematika Kelas XII - SMK Ahmad Yani Probolinggo 15
SELAMAT
BELAJAR !!!
TUGAS PERTEMUAN 3
1.
Tentukan nilai dari ....
2
5959
lim
0


 x
xx
x
A. C. E.
B. D.
2.
Nilai dari ....
7
7
lim
2




x
x
x
A. 2 7 C. 4 7 E. 9 7
B. 3 7 D. 5 7
TUGAS PERTEMUAN 4
1.
....
65
343
3
2
lim 


 xx
xx
x
A.  D. 0
B. 3 E.
6
3

C. 2
2.
Nilai dari ....
25
372
2
3
lim 


 xx
xx
x
A.
5
3 C.
2
3 E
. 5
7
B. 0 D
.

3.
....
65
343
3
2
lim 


 xx
xx
x
A.  D. 0
B. 3 E.
6
3

C. 2
4.
Nilai ....
174
)12(
2
2
lim 


 xx
x
x
A.
2
1 C.
2
3 E
.
2
5
B. 1 D. 2
TUGAS PERTEMUAN 5
1.
Nilai dari adalah ....
A. C. E.
B. D.
2.
Nilai ....
tan.4
3sin.
2
2
0
lim 
 xx
xx
x
A.
3
1 C.
3
2 E
.
5
4
B.
4
3 D.
4
2
4
3
5
6
2
7
6
5
3
4
x
x
x 5sin
3tan2
lim
0
4
3
5
6
2
7
6
5
3
4