Libro completo geometria analitica zuvieta

GEOMETRIA ANALITICA
Por F. Zubieta R.
Ramón Cortés Barrios
Fernando Vázquez Dorantes
Vianney Vergara Sedeño
Luis Zubieta Russi
Francisco Santillán Contreras
Colaboració:1 de los profesores ingenieros:
Eugenio Argudín Zarrábal, Mario Benítez Ruiz, Antonio Camarena
Cortés, leocadio Guerrero R., Osear Léver Pérez, Esteban Minor Ca-
rro y Luis Rodríguez Labarraque.
MEXICO, 1978

(
I N D I O E DEL TEXTO
Capitulo I: NOCIONES FUNDAMENTALES pag. 1
Números reales e imaginarios. Puntos en un plano. Ejes rectangula-
res. Distancia de dos puritos. Biseccidn de un segmento de recta.
ATea del triángulo. Curva de una ecuación. Ecuación de una curva.
Ecuaciones de los ejes. Intersección de curvas. Puntos imaginarios.
Simetrías de una curva. Significado de las identidades y de las --
desi~~aldades. Objeto de la geometría analítica.
-
Apéndice: EMPLEO DE LOS DETERMINANTES pag.26
Determinantes de segundo y tercer orden. Resolución de ecuaciones
por determinantes. Area del triángulo. Condición para que tres --
puntos estén alineados. Ecuación de la recta por dos puntos del --
plano. Condición para que tres rectas sean concurrentes.
Capitulo II: LA LINEA RECTA pag.33
Pendiente de una recta y ordenada al origen. Ecuación de la recta.
Ecuación general de primar grado. Rectas por un punto, con una
pendiente dada. Recta determinada por dos puntos. Angulo de dos
rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Fbrmas de la
ecuación de una recta. Distancia de un punto a una recta. Bisec---
trices de loa ángulos que forman dos rectas. Familias de rectas
con uno o dos parámetros.
Capitulo III: LA CIRCUNFERENCIA pag.55
Ecuación de la circunferencia. Encontrar centro y radio de una cir-
cunferencia. Circunferencia definida por tres condiciones. Inter--
sección de recta y circunferencia. Condición de tangencia. Inter--
sección y eje radical de dos circunferencias. Familias de circun--
ferencias.

Capítulo IV: ESTUDIO DE LA P.ARABOLA pag.69
Definicidn y construcción de la parábola. Ecuaci6n de la parábola
•
horizontal. Segunda definicidn de la parábola. otras formas de la
ecuacidn de la parábola. Ecuacidn general de la parábola. Tangen--
tes a la parábola.
Capítulo V: ESTUDIO DE LA ELIPSE pag.85
Definición y propiedades de la elipse. Trazado de la elipse. Ecua-
cidn de la elipse. Discusidn de esa ecuación. otras formas de la
ecuacidn de la elipse. Ecuacidn general de la elipse.
Capítulo VI: ESTUDIO DE LA HIPERBOLA pag.97
Definicidn y ecuación de la hipérbola. Análisis de la ecuación. --
Asíntotas de la hipérbola. Hipérbolas equiláteras. Otras formas de
la ecuación de la hipérbola. Posición general de la hipérbola. Hi-
pérbola equilátera referida a sas asíntotas.
Capítulo VI~: CAMBIOS DE LOS EJES DE COORDENADAS pag.-111
Translación de los ejes. Simplificación de ecuaciones por transla-
cidn de los ejes. Rotacidn de los ejes. Simplificar ecuaciones por
rotación de los ejes. Ecuación general de segundo grado con dos --
variables. Identificacidn de las cónicas. Los invariantes A + C y
2J = B -4AC.
Capítulo VIII: ECUACIONES PARAMBTRICAS pag.l25
Nociones generales. Ecuaciones de la linea _recta. Ecuaciones para-
métricas de las cónicas. Eliminacidn del parámetro. Trazado de una
curva a partir de sas ecuaciones paramétricas.
Capítulo IX: COORDENADAS POLARES pag.l35
Definicidn de las coordenadas polares. Distancia de dos puntos y
área del triánBUlo en coordenadas polares. Relaciones entre coor--
denadas cartesianas y polares. Ecuación de la linea recta. Ec~-
ción de la circunferencia. Ecuaci6n polar de las c6nicas.

ADVERTElfCU J.L PBOPESOB.
Todo lo que el lector necesita para estudiar con provecho
este libro, es saber resolver hábilmente las ecuaciones y sis-
temas de primero y segundo grados. Conviene saber también algo
de trigonometría. El maestro hará bien en asegurarse, al comen-
zar el curso, de que sus alumnos dominan tales temas.
Los diversos capítulos deben estudiarse preferentemente en
el orden en que están dispuestos. El capitulo primero es :f.'wlda-
mental: dolllinar au contenido es indispensable para entender co-
rrectaaente el resto de la obra.

C A P I T U L O I
NOCIONES liUND.AMENTALES
Las ideas tratadas en este capítulo son -fundamentales para
entender correctamente la materia de este curso. El lector hará
bien en dominar estas ideas, antes de pasar al estudio de otros
temas del presente libro.
l. Números reales. En cursos más elementales el estudiante
se· familiariza con el manejo de los números reales, positivos y
negativos, ~ue son de dos categorías: (a) los números racionales,
enteros o fraccionarios, como 2, O, -5, 3/4, -1/3, ••• ; (b) los
irracionales, que no son racionales, como -v'2, - v'5, i(, •••
En la escritura decimal, cada número racional se escribe co-
mo fracción decimal limitada o como fracción periódica ilimitada.
Por lo contrario, se escribe un número irracional mediante una
sucesión infinita de cifras, que se suceden irregularmente, sin
período.
Ejemplos: 3/4 = 0.75 (fracción decimal limitada).
-1/3 = -0.333 ••• (fracción periódica ilimitada).
~ = 3.141592653 ••• (sucesión infinita sin período).
Bien entendido: el número 7r es irracional y no puede escri -
birse como fracción decimal limitada ni como fracción periódica
ilimitada; cuando en los cálculos se substituye 1J' por 3.1416 ó
por 3.14159, se está usando, en vez del número irracional 7f , un
número racional · que difiere poco de 1T , pero que no es exactamen-
te igual. La misma observación se aplica a los números.f2, -·15, ...
Los números reales son susceptibles de una representación
gráfica, mediante los puntos de una recta orientada x•x. Marcamos
puntos que dividen la recta en una infinidad de partes iguales, y
escogemos uno de esos puntos como origen: a ese punto le hacemos
corresponder el número O (cero). Los puntos de división a la dere-
cha del origen, los marcamos con los enteros positivos: +1, +2, •••
Los puntos de división a la izquierda del origen los marcamos con
los enteros negativos: -1, -2, •.. De este modo, la recta x•x se
convierte en una escala de números y sobre ella podemos represen -

tar todos los n~eros reales, los positivos a la derecha, los ne -
sativos a la izquierda del origen. (fig.l) fig.l
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8
Ejemplo (1). En la escala tomemos el segmento cuyos extremos
son los puntos O y l. Si dividimos este segmento en cuatro partes
iguales, obtenemos tres puntos de divisi6n, marcados con los núme-
ros racionales 1/4, 1/2 y 3/4. Hacer la figura.
EJemplo (2). Dibujemos el cuadrado cuyo lado es el segmento -
unidad, que tiene por extremos los puntos O y 1 (fig.2). La diago-
nal del cuadrado mide .../2. Si hacemos .
centro con el compás en el origen y
trazamos el arco .AB, el punto B re -
presenta sobre el eje x•x el número
irracional-/2. fig.2 X
Ejemplo (3). Sobre una perpendi~ular por el origen al eje x•x
se toman dos segmentos, AO y OB, cuya suma es .AB; sus medidas res-
pectivas son 1 y 3, de modo que .AB
mide 4 unidades (fig.3). La circun-
B
,",--
'1
1
1
1
1
-vrX
M ' .... ,_
A
fig.3
--...........
'
---
'

1
1
1
1
ferencia cuyo diámetro es AB corta
al eje x•x en dos puntos simétricos,
K' y M, cuyas abscisas respectivas
son - ,jj y + -/3. Pl:>rque, por un teo-
rema conocido de geometria elemen -
tal, sabemos que:
olf = AO • OB = 1 x 3
OK =.J3.
3
Si en este ejemplo fUera AO = 1, OB =m, entonces OM =~; lo
que dice bien c6mo localizar puntos de la escala cuyas abscisas
son de la forma ~~' siendo m cualqui~r número racional. Proponga
el lector nuevos ejemplos, con m= 5, 6, 7, ••.
Los ejemplos citados bastan para ver c6mo se localizan sobre·
el eje x•x los puntos correspondientes a ciertos números reales; -
2

pero no siempre es fácil hacer esa localización y se conocen casos
en que resulta imposible lograrla. Por ejemplo: es imposible loca-
lizar en la escala el punto representativo del númeroW, haciendo
uso de la regla y el compás.
Con el fin de realizar plenamente la representación de los
números reales mediante los puntos de una recta orientada, esta
blecemos los axiomas que siguen:
(1) todo número real está representado por un punto único de
la recta orientada x'x.
'(2) todo punto de la recta orientada x'x representa un número
real y sólo uno •
(En vista de estos axiomas -y volviendo al caso antes citado-
podemos afirmar que existe un punto del eje x'x que representa al
número 'Ir, aún cuando no sabemos localizar ese punto con nuestros -
instrumentos de construcción geométrica: la regla y el compás).
De lo dicho resulta que: cada punto de la recta orientada x•x
está determinado por un número real único, que es la abscisa del-
punto considerado.
Distancia de dos puntos del eje x'x. Pensemos nuevamente en
la recta orientada x'x (!ig.l): la distancia entre dos de sus pun-
tos es el módulo de la diferencia de sus abscisas. Así definida, -
la distancia entre dos puntos de la recta mide la longitud del seg-
mento cuyos extremos son esos puntos.
(El módulo de un número real es la raíz cuadrada positiva de
su cuadrado. Todo número positivo se confunde con su módulo; todo
número negativQ. tiene por módulo su simétrico, que ¡e positivo.- -
En efecto: +vlx2 = x cuando x es positivo; pero +vfx2 = -x cuando
x es negativo)
Si d es la distancia entre dos puntos de la escala cuyas abs-
cisas respectiva~ son x1 y x2 , por la definición anterior debemos
poner: ¡ 2
d = lxl- x2j = +v (xl- x2) .
3

Ejemplo. Sean loa puntos del eje x•x cuyas abscisas son -5 y
3, respectivamente. La distancia que separa estos dos puntos es:
d = l-5 -31 = +J(-5 -3)
2
= +~ = +¡;;= 8 ..
Comprobar, midiendo directamente sobre la escala.
La distancia entre dos puntos A y B de la escala es la misma
cuando se mide de A hacia B, que cuando se mide de B hacia A. Por-
que:
+~(x1 - ~)2 = +yl(~- x1 )2. Es decir: diat.(AB) = dist.(BA).
2. Ntimeros imaginarios. Hasta ahora nos hemos ocupado solamen-
te de los números reales, cuyos cuadrados son positivos. Por ejem-
plo, el número real -3 tiene su cuadrado positivo: (-3) 2 = + 9. --
Existen otros números cuyos cuadrados son negativos; estos son los
números imaginarios. Todo número imaginario se concibe como la ra-
íz cuadrada de un número negativo.
Ejemplos. V-3, J:l/3,... son imaginarios.
Por si solos loa números imaginarios presentan poco interés -
en un curso elemental de geometria analítica, pero aparecen en mu-
chos resultados y conviene retenerlos e interpretarlos al enunciar
esos miamos resultados.
3. PUntos en un plano. Tracemos en el plano dos rectas que se
cortan, formando un ángulo 8 (fig.4). Sea O su punto de interaec-
ci6n. Tendremos dos ejes de coordenadas, si tomamos el punto O co-
mo origen común y hacemos de cada recta una escala de números. So-
bre la recta x•x, eje de las abscisas, los números positivos se
cuentan a la derecha del origen y los negativos a su izquierda.
Sobre la recta y•y, ~je de las ordenadas, los números positivos se
cuentan hacia arriba y los negativos hacia abajo del origen.
x'
4
-----------..,P
/1
/1
11
1
P' X
fig.4
Sea P un punto cualquiera del -
plano. Por el punto P tracemos las -
rectas PP' y PP" paralelas a los
ejes: la primera recta corta al eje
x•x en el punto P', al que correspon-
de sdbre este eje un número real úni-

co, que es la abscisa del punto P; la segunda recta corta al eje -
y'y en el punto P'-', 'al que corresponde sobre este eje un número
real único, que es la ordenada de P.
Al punto P le hemos asociado un par de números reales, su
abscisa y su ordenada: estos dos números, considerados en este or-
den, son las coordenadas de P. Recíprocamente: dado un par ordena-
do de números reales, ese par queda representado por un punto úni-
co del plano, cuyas coordenadas son los números dados.
Esta correspondencia entre los puntos del plano y los pares -
ordenados de números reales constituye la idea fundamental de la -
geometría analítica de dos dimensiones: ella identifica el plano -
geométrico con la totalidad de los pares ordenados de números rea-
les, estableciendo así una liga muy importante entre la geometría
y el álgebra, entre el espacio y el número.
Ejemplos. En la fig.5 el par de números (2,3) representa el -
punto A, cuya abscis~ es 2 y su ordenada es 3. Escribimos: A(2,3).
El punto B(-3,4) tiene abscisa -3 y ordenada 4.
En la misma figura tenemos: C(-1,-2) y D(3,-3).
Bien entendido: en cada caso el primer número del paréntesis
representa la abscisa, que se cuenta sobre el eje x'x; mientras --
que el segundo número representa la ordenada, que se cuenta sobre
el eje Y'Y• y
Los ejes de coordenadas
dividen el plano en cuat~,-· cua- ·
drantes (fig.5). Todo pUnto si-
tuado en el primer cuadrante
(punto A) tiene sus dos coorde-
nadas positivas; todo punto si-
3 --------.,A
2 p
1
1
l
1
1
1
1
1
tuado en el tercer cuadrante x~--~--~r--n-,~--~--~--,---~x
(punto C) tiene sus dos coorde-
nadas negativas. En el segundo
cuadrante, la abscisa es nega -
tiva y la ordenada positiva
(punto B); mientras que en el - fig. 5
cuarto cuadrante, la abscisa es
l -1
¡
c'---2
1
1
1
11
1
¡1
-3 _____________j D
y'
5

positiva y la ordenada negativa (punto D).
Un punto cuya abscisa vale cero está situado sobre el eje y 1y.
Ejemplo: ~1 punto P(0,2) de la figura 5. Un punto cuya ordenada
vale cero se encuentra sobre el eje x•x. Ejemplo: el punto Q(-3,0)
de la figara 5. El punto O (el origen de coordenadas) tiene sus
dos coordenadas nulas: (0,0).
4. Ejes reotangalares. En las figaras 4 y 5 hemos considerado
ejes oblicuos, que se cortan formando un ángulo 8; pero en lo su-
cesivo usaremos solamente ejes rectangalares: e= 90°. Supondremos
que los ejes se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Haciendo una figura, el lector puede comprobar que, cuando
los ejes son rectangalares y sólo en ese caso, la abscisa de un -
punto mide su distancia al eje y•y, que se considera positiva si -
el punto está situado a la derecha de este eje y negativa, si está
situado a la izquierda; análogamente, la ordenada de un punto mide
su distancia al eje x•x, distancia positiva para puntos situados -
arriba de este eje y negativa para puntos que están por debajo del
eje.
El uso de sistemas de ejes rectangulares ofrece ventajas de -
simplicidad en los cálculos, por lo que tales sistemas son prefe -
ridos para el estudio de la mayoría de los problemas geométricos.
Sin embargo, existen casos en que la naturaleza del problema a re-
solver exige el empleo de ejes oblicuos o de otros sistemas de
coordenadas.
Distancia de dos puntos. La medida de un segmento del eje x•x,
o paralelo a ese eje, es el módulo de la diferencia de las absci -
sas de sus extr,emos, como antes se dijo. La medida de un segmento
del eje y'y, o paralelo a ese eje, es el módulo de la diferencia -
de las ordenadas· de sus extremos.
Sean P y Q dos puntos del plano, y sea PQ el segmento cuyos-
extremos son esos dos puntos. Por definición, la distancia entre -
los puntos P y Q es la medida del segmento PQ, medida positiva.
Sean (x1 ,y1 ) las coordenadas de P; (~,y
2 ) las coordenadas de
Q; trazar los segmentos PR y~ paralelos a los ejes (fig.6).
6
t

En el triángulo rectángulo PRQ
tenemos:
Q
:1
2
::~=¿?11 1
1 11 1
1 1
1 1
fig.6
Esta fórmula (1) nos permite calcular la distancia entre dos
puntos cualesquiera del plano, cuando conocemos las coordenadas de
esos puntos. Bien dice la fórmula (1) que la distancia entre P y Q
es la misma cuando la medimos de P hacia Q, que cuando la medimos
de Q hacia P. Explicar la razón de esto (hágalo el lector).
En particular, la distancia del origen (0,0) al punto (x,y) -
está dada por la fórmula:
d =V<x- 0)
2
+ (y- 0)
2
• Es decir:
d =vx2 + :r2 • • •• <2>
Esta fcSrmu.la (2) es un caso particular de (1) •1 que se obtiene
de (1) poniendo: X2 ~ x, :r2 = y, X1 = O, y1 = O.
Ejemplo (1). Distancia del punto P(5,2) al punto Q(2,-2).
d =v(5 - 2 >
2
+ <2 + 2>
2
=) 9 + 16 = 5 •
Ejemplo (2~. Distancia entre los puntos (3,4) y (0,-1).
d ={C3 - o>2
+ <4 + 1>
2
= +V34.
Ejemplo (3). ¿Cuánto dista del origen el punto (-8,6)?
Respuesta: d =+J(-8) 2 + (6) 2 =10.
En este último ejemplo se usó la fórmula (2).
5. Bisección de un segmento de recta. Este problema puede --
plantearse del siguiente modo: dados dos puntos A y B, extremos de
un segmento de recta, y un punto P sobre esa recta, comparar la -
magnitud del segmento AP con la de AB, fig.7.
fig.7
Se considera la razón o cociente
AP, = k. Y se dice que el punto P divi-
IB
A p B

de al segmento AB en la razón k. Esto significa que la recta AB se
toma como eje orientado, de A hacia B; .que el punto A se toma como
origen sobre esa recta, y que el segmento AB viene a ser la unidad
de me~da.
Evidentemente, k es positivo y menor que la unidad, cuando el
punto P se encuentra entre A y B, como en la fig.7; es igual a ce-
ro, cuando P coincide con A; e igual a la unidad, cuando P coinci-
de con B.
Si k.> l entonces B está entre A y P (hacer la figura).
Si k< O entonces A está entre P y B (hacer la figura).
Considerar los casos particulares siguientes:
(l) Si P es el punto medio del segmento AB, entonces k~ l/2.
(2) Si B es el punto medio del segmento ~ entonces k =2.
(3) Si A es el punto medio del segmento P.B entonces k = -1.
y 2¡-------------------- í
y ~-------------/ 1
Suponer que la recta AB está
referida a un sistema de ejes reo -
tangulares (fig.8) siendo las coor-
denadas de A y B las que siguen:
----~----------~--1~1 1 1 A(xl,yl) ; B(~, y2).
o
AG AP
-=-AH AB
GP . AP
-=-
HB AB
1 1 1
1 ! 1
xl x x2
fig.8
Sea P(x,y) un punto sobre la
recta AB. Comparando los triángulos
semejantes AGP y AHB, obtenemos:
O sea: x- xl =k. Es decir: x- x1 = k(x2 - x1 ).
x2 - xl
O sea: Y- 11 =k. Es decir: y- Y1 = k(y2 - Y1).
y2 - yl
Estas ecuaciones nos dan, para .las coorde.nadas de P:
x = x1 + k(x2 - x1 )
y = yl + k(y2 - yl)
} •.• (I)
Caso particular: Si P es el punto medio· del segmento AB, en -
tonces k = 1/2, y las fórmulas obtenidas nos dan:
8

se
r-
S
• •• (II)
La primera de éstas dice que la abscisa del punto medio de un
segmento de recta, es la semi-suma de las abscisas de sus extremos.
Dice la segunda que la ordenada del punto medio ea la semi-suma de
las ordenadas de los extremos del segmento.
Ejemplo (1). Encontrar las coordenadas del punto medio del
segmento Al3 Quyos extremos tienen por coordenadas: A(-1,1) y :8(3,5).
Respuesta: x0
= (-1 + 3)/2 = 1
y0
= (1 + 5)/2 = 3.
Comprobar estos resultados, haciendo la gráfica respectiva.
Ejemplo (2). Encontrar las coordenadas de loa punto~ que di
viden en tercios el segmento AB cuyos extremos son: A(-1,1); :8(5,4).
Si M y N sqn los puntos pedidos, a ellos corresponden los va-
lores k =1/3 y k = 2/3. Estos valores, substituidos e~ las fórmu-
las (I), nos dan: (a) coordenadas de M(l,2); (b) coordenadas de
N(3,)). Hacer este cálculo y comprobar resultados dibujando la
gráfica.
Ejemplo , (3). Sobre una recta dada, elegir un segmento AB y un
punto P, que divida al segmento en la razón k; fijar la posición -
de P cuando k = -1, cuando k ~ -1/2, cuando k = 2,. ~.
En tales casos, obtener las coordenadas de M, si los extremos
del segmento son: A(-1,2) y :8(3,-6). Comprobar resultados, hacien-
do la gráfica.
6. Area del triángulo., En la fig.9 (a) vemos un triángulo ABC,
cuyos vértices tienen las coordenadas (x1 ,y1 ), (x2,y2) Y (x
3
,y
3
).
Los lados del triángulo, las ordenadas de sus vértices y el eje de
las abscisas, forman tres trapecios cuyas _fireas son:
área del trapecio (Ax
1x
3
c) = (x3 - X¡) Zl-f-Z3
área del trapecio (cx
3
x2:a) = (x2 - x
3
) Z2-f-Z3
área del trapecio (Axlx2:S) = (x2 - x1 ) Z2-7-Z1
9

B
e
x3 x2
fig.9(a)
A
x3
fig.9(b)
2
Seail el área del triángulo ABO, que se obtiene reatando el-
área del tercer trapecio a la suma de las áreas de los dos pr~e -
ros:
L1= ~ [(x3 - xl)(yl "'+ 73) + (~ - x3HY2 + Y3) + (~ - x2)(yl + Y2~
--- -- -
Esta expresión, después de desarrollar los productos en el
segundo miembro y simplificar, se escribe así:
L1 = ± ~ [ xl (y2 - Y3) + ~{y3 - 71) + x3(yl - 7 2>J
El razonamiento anterior, aplicado a la fig.9 (b), da para el
área del triángulo un valor negativo. Esta observaci6n justifica -
el uso del doble signo en la fórmula obtenida.
(En la fig.9 (a) el contorno se recorre en sentido positivo,
de modo que el interior del triángulo queda siempre a la izquierda;
pero en la fig.9 (b) el contorno se recorre en sentido negativo, -
de modo que el interior del triángulo queda siempre a la derecha.)
Ejemplo (1). ¿Cuál es el área del triángulo cuyos vértices
tienen por coordenadas (0,-2), (2,1) y (-1,2)?
Respuesta: L1 = 11/2 porque:
2 ~ = ± ( 0(1 - 2) + 2(2 + 2) -1(-2 -1)] = .± 11.
Ejemplo (2). Dibujar el triángulo cuyos vértices son: (0,3),
(1,0) y (-2,-1). Calcular el área de este triángulo.
Respuesta: Ll = 5 porque:
2 ¡1 = .± [ 0(0 + 1) + 1(-1 -3) -2(3 - O)] = + 10.
10
una
mente.
ciente
el
da.
6.
dio es (
mento?
7.
vértices
debe ser
8.
(-2,-2).
longi

Es fácil comprender que, si los tres vértices pertenecen a
una misma recta, el área del triángulo resulta nula, y recíproca -
mente. Por lo tanto, Ll =O expresa la condici6n necesaria y sufi-
ciente para que los puntos considerados estén alineados.
E J E R C I C I O S
l. En un sistema de ejes rectangulares, situar los puntos cu-
'yas coordenadas son: (3,1), (-2,2), (-2,-3), (3,-3). Dibujar este
cuadrilátero y calcular las longitudet;~ de sus diagonales. Respues-
ta: diagonal mayor = 5..f2.
2. Dibujar un cuadrado cuyo lado mide 6, que tiene por centro
el origen y sus lados paralelos a los ejes coordenados. ¿Cuáles
son las coordenadas de los vértices de este cuadrado? ¿Cuáles se -
rían si su centro se trasladara al punto (-1,1)?
3. El centro de un cuadrado es el punto (2,-1) y dos de sus -
vértices son (2,2) y (-1,-1); encontrar las coordenadas de loe
otros dos vértices. ¿CUánto mide el perímetro de este cuadrado? --
Respuesta: 12~2.
4. Establecer las f6rmu.las que sirven para calcul.ar las coor-
.denadas del punto que divide un segmento de recta en una raz6n da-
da. Caso particular: coordenadas del punto medio de un segmento.
5. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento cu-
yos extremos son (-2,-1) y (4,2). Encontrar las coordenadas de loe
puntos que dividen en tercios al propio segmento.
6. El punto (2,6) es un extremo de un segmento-cuyo punto me-
dio ea (3,3). ¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo del seg-
mento?
1. Comprobar que los puntos (1,1), (0,5) y (-3,0) son los
vértices de un triángulo rectángulo. El cuadrado del lado mayor -
debe ser ig11al a la suma de los cuadrados de loe otros dós lados.
8. Dibujar el triánglllo cuyos vértices son: (4,2), (0,6) y -
(-2,-2). Dibujar las tres medianas del triángulo y calcular sus
longitudes.
ll

9. Establecer la fórmula que expresa el área de un triángulo
en fUnción de las coordenadas de sus vértices. Deducir la condi
ción necesaria y suficiente para que tres puntos dados por sus
coordenadas estén alineados.
10. Usando el resultado anterior, verificar que loa puntos
(-2,-1), (2,1), (4,2) están alineados. Calcular el área del trián-
gulo cuyos vértices son: (-2,-1); (4,2); (0,3). Resp. área= 9.
11. Comprobar que loe puntos (3,2), (7,-2), (6,1) son los vér-
tices de un triángulo isósceles. Calcular el área de este triángu-
lo. Respuesta: área = 4.
12. Dibujar el triángulo cuyos vértices son: (3,1); (-1,1); --
(0,-3). Calcular perímetro y área. Respuesta: perimetro = 9 +~;
área = 8.
13. Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos medios
de los lados del anterior. Calcular perímetro y área. ¿Qué rela --
cionee guardan estas magnitudes con las correspondientes del tri -
ángulo original?
14. La base de un triángulo isósceles tiene por extremos loe -
puntos (2,-1) y (-1,2); los lados iguales miden cada uno~. En-
contrar el vértice opuesto a la base. Respuesta: una solución es -
(-2,-2); ¿cuál es la otra?
15. Una diagonal de un rombo tiene por extremos los puntos
(-1,3) y (2,0); un tercer vértice del rombo es (3,4). Encontrar el
cuarto vértice del rombo y comprobar: (a) que los cuatro lados son
iguales; (b) que las dos diagonales coinciden en su punto medio.
7. Curva de una ecuación. Sea f(x,y) = O una ecuación con
dos variables; podemos suponer que estas variables representan las
coordenadas de un punto cualquiera del plano. Los pares de valorea
de las variables (x,y) que verifican la ecuación considerada, re -1
presentan puntos del plano, los cuales forman generalmente una
curva, que es la curva representativa de la ecuación dada.
12
X
mo
e
3

Ejemplo {1). Trazar la curva de la ecuación y= x + 3
Ponemos: y = x + 3 •. • (a)
Asignemos a la variable x un valQr particular, por ejemplo,
x = -2. Sabstituyendo este valor de x en la ecuación dada, obtene-
mos y = l. Tenemos así un punto B cuyas coordenadas (-2,1) verifi-
can la ecuación (a). De modo parecido obtenemos los puntos M, Q, -
F, ••• cuyas coordenadas (0,3), (2,5), (4,7), ••• verifican la ecua-
ción (a). Estos resultados aparecen reunidos en el cuadro:
punto: B Q
abscisa: -2 o 2
ordenada: 1 3 5
El cuadro contiene sólo
cuatro de la infinidad de pun -
tos cuyas coordenadas verifican
la ecuación (a); todos esos
puntos (en número infinito) for-
man una linea recta, la recta -
BF (fig.lO) que es la curva de
la ecuación (a). Bien entendido:
la curva de una ecuación puede
ser una linea recta, lo que no
debe sorprendernos porque las -
rectas se consideran en geome -
tría como las más simples de
todas las curvas.
.-..
Ejemplo (2). Construir la curva de la ecuación
Esta se escribe: 1 2
Y='2"X -1 ••• (b)
fig.lO
,¡/
/ 2
2y = X - 2.
Asignemos a la variable x valores particulares: -4, -2, o, 2,
3, 4, ••• Y calculemos, usando la ecuación (b), los valores corres-
pondientes de y: 7, 1, -1, 1, 7/2, 7, ••• Obtenemos los puntos A, -
B, C, D, E, F,... (fig.lO )· cuyas coordenadas están en el cuadro
siguiente:
13

punto: A B o D E !'
abscisa: -4 -2 o 2 3 4
ordenada: 7 1 -1 1 7/2 7
Con la . ~da de esta tabla de valores se construye la curva-
de la ecuaci6n (b), que ea la parábola de la figura 10. Nótese que
la recta del ejemplo anterior corta a esta parábola en los puntos:
B(-2,1) y 1'(4,7).
8. Ecuación de una cuzo:va. Se concibe una C}lrv& como engendra-
da por el movimiento de un punto o como formada por puntos indivi-
duales fijos, teniendo cada punto. una poaici6n fija y bien deter -
minada. Segdn esto, es equivalente decir que tal o cual propiedad
pertenece a todos los puntos de una curva o que la propiedad per -
tenece al "punto móvil" que genera la curva.
Ie.s propiedades aludidas son propiedades m.Strioas, que se
refieren a la medida de segmentos, ángu1os, etc.
1 - >
Una curva está definida cuando se menciona una propiedad m4-
trica común a todos sus puntos y privativa de ellos: todo punto
de la curva debe tener esa propiedad y rec!procamente, todo punto
que tenga esa propiedad debe pertenecer a la curva. Se dice tam-
bi~ (es una manera de hablar) que la propiedad considerada perte-
nece al "punto móvil" que genera la curva.
Una curva as! definida es un lugar geom.Strico. Este concepto
es fundame.ntal en geometr!a como veremos despu~a.
Si nos dan una curva o lugar geom,trico, podemos establecer
una relación entre las coordenadas (x,y) de un punto cualquiera o
"punto m6vil" de la curva: tal es la ecuación de la curva dada.
B3e.mplo (1). En geometr!a plana, la mediatriz de un segmento
de recta está definida por la propiedad que tienen sus puntos ~e
equidistar de los extremos del segmento. Es decir: la mediatriz
del segmento es el lugar geom,trioo de los puntos del plano que
equidistan de los extremos del segmento.
En la figura 11, los extremos del segmento .AB tienen por coor-
denadas (1,2) y (3 ,1). Sean (x,7) las coordenadas del punto m6vil
14

K que describe la mediatriz. Cal-
culemos las distancias de K a los
extremos del segmento:
MA =J(x- 1) 2 + (y- 2) 2
MB =J(x- 3)
2
+ (y- 1)
2
Por la definición de media -
triz: MA = MB.
~(x- 1)
2
+ (y- 2) 2
=/<x- 3)
2
+ (y- 1)2• fig.ll
Esta ecuación liga las coordenadas (x,y) de un punto cualquie-
ra de la mediatriz del segmento AB, y por eso es la ecuación de la
mediatriz. Podemos simplificarla, elevando ambos miembros· al cua -
drado para que desaparezcan los radicales y desarrollando los pa -
réntesie para efectuar la reducción de los términos semejantes. --
/
Tendremos sucesivamente:
· (x- 1) 2. + (y- 2) 2 = (x - 3) 2
+ (y - 1)
2
x2 -2x + 1 + y-
2 -4y + 4 = x2 -6x + 9 + y-
2 -2y + 1
-2x -4y + 4 = -6x + 9 -2y
4x - 2y = 5.
Esta es la ecuación pedida, ya simplificada; ella es de pri -
mer grado en las variables (x,y) y representa una linea recta. To-
do par de valores de estas variables que verifican esta ecuación,
representa un punto de la mediatriz del segmento AB. Recíprocamen-
te: las coordenadas de cada punto de la mediatriz del segmento AB
verifican la ecuación de la mediatriz.
Por ejemplo, el punto H de coordenadas (2,3/2) pertenece a la
mediatriz del segmento AB (fig.ll) porque, poniendo x = 2, y = 3/2,
la ecuación de la mediatriz, 4x -2y = 5, se reduce a la identidad
5 = 5. Por lo contrario, el punto G de coordenadas (-1,2) no per-
tenece a la mediatriz del segmento AB porque, poniendo x = -1,
y = 2, la ecuación de la mediatriz produce la falsa igualdad -8 = 5.
15

Condición necesaria y ~iciente para que un pUnto dado per -
tenezca a una curva dada es la sigaiente: las coordenadas del pun-
to deben verificar la ecuación de la curva.
Ejemplo (2). Todos loe puntos del plano que se encuentran a -
distancia fija r de un punto fijo Q del plano, 'forman la circunfe-
rencia de centro Q y radio =r. Esta doble propiedad, la de estar
en el plano y equidistar de un punto dado del plano, pertenece ex-
clusivamente a loe puntos de la circunferencia y basta para defi -
nirla: la circunferencia es el lugar geométrico de loe puntos del
plano que equidistan de un punto dado del plano.
La circunferencia de centro Q(3,4) y radio r = 5 tiene la
ecuación:
~,-C-x---3~)2:---+-(y---4-)-::-2 = 5,
que expresa que la distancia de un punto cualquiera (x,y) de la
circunferencia a su centro (3,4) es igual al radio =5.
Simplifiquemos esta ecuación, elevando al cuadrado ambos miem-
bros, suprimiendo paréntesis y reduciendo los términos semejantes,
como sigue:
(x - 3)
2 + (y - 4)
2 = 25
x
2
-6x + 9 + y
2
-By + 16 = 25
x
2 -6x + y2 -By = O.
Esta es la ecuaci6n -ya simplificada- de la circunferencia de
centro (3,4) y radio = 5. El lector debe probar que los puntos
(6,0), (0,8), (-2,4) y (3,-1) pertenecen a esta curva. Hacerlo.
Ejemplo (3). Un punto se mueve de modo que se mantiene a dis-
tancias iguales de ~n punto fijo F y de una recta fija D'D. Encon-
trar la ecuaci6n de la curva descrita.por el punto ~óvil.
En este problema no se dice cuáles son los ejes de coordena -
das; por lo tanto, nos encontramos en libertad de escoger los ejes
como nos convenga. Procedeu.o s asi: por el pw1to F trazamos la rec-
ta OF perpendicular a D'D Uig.l2); tomamos OF como eje de las
abscisas y D'D como eje de las ordenadas; el punto O es el origen
de coordenadas. Suponer escogida la unidad <le longitud de modo que
OF =a; las coordenado.o de F son (a,O).
16

Sean (x,y) las coordenadas
del punto móvil M que describe
la curva; la distancia llP es:
llP =J(x - a)2 + {y - o)2
M.P =J(x - a) 2 + Y2.
La distancia del punto M a
la recta D'D {eje de las ordena-
das) es: MH = x.
--------'7M
F
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
fig.l2
Ambas distancias son igu.ales: llP =MH. Por lo tanto:
~(x- a) 2
+ y
2
= x.
Esta es la ecuaci6n de la curva, que podemos simplificar como
en los ejemplos anteriores, obteniendo:
y2 -2ax + a2 = o.
La curva descrita es una parábola, cuyo foco es el punto ~y
su directriz la recta D1D. El punto medio del segmento OF perte -
nece a la parábola porque sus coordenadas (a/2,0) verifican la
ecuaci6n obtenida. El lector deberá comprobarlo.
9. Ecuaciones de los ejes. A lo dicho en el párrafo anterior
hemos de agregar que los propios ejes de coordenadas son lugares
geométricos y tiene cada uno su propia ecuaci6n.
Todo punto del eje x•x tiene su ordenada igu.al a cero, y no -
hay punto alguno fuera del eje x•x gozando de la misma propiedad.
Por lo tanto: y= O es la ecuación del eje de las abscisas.
De modo parecido, la propiedad que define al eje y'y es que
todo á sus puntos tienen su abscisa igu.al a e ero. Por lo tanto:
x = O es la ecuación del eje de las ordenadas.
En resumen: el eje de las abscisas es el lugar geomátrico de
los puntos de ordenada nula; mientras que el eje de las ordenadas
es el lugar de lo.a puntos de abscisa nula.
17

o
~c
1) 10. Interseooidn de dos curvas.
- En la figtlr8. 13 tenemos dos curvas -
{c1 ) y {C2) que se cortan en un pur,-
X
fig.l3
to A. Sean: f 1 {x,y) =O la ecuacidn
de la curva {c1 ); f
2{x,y) =o la -
ecuacidn de la curva (c2). El punto
A pertenece al mismo tiempo a las
dos curvas: sus coordenadas deben
verificar simultáneamente ambas
ecuaciones.
Ahora bien, el álgebra nos ensefia que las raíces que verifi -
can simaltáneamente dos_ecuaciones con dos variables se obtienen -
resolviendo el sistema formado por esas ecuaciones. Si las curvas
{C1 ) y {c2) se cortan en otros puntos B, e, ••• , las coordenadas de
estos puntos se obt,ienen al mismo tiempo que las de A, resolviendo
el sistema formado por las ecuaciones de las curvas consideradas.
En resumen: se encuentran los puntos de intersección de dos -
curvas, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de esas
curvas. Cada par de valores (uno de x, otro de y) que verifican
simultáneamente las ecuaciones dadas, son las coordenadas de un -
punto común a las curvas definidas por esas ecuaciones.
Ejemplo. Encontrar los puntos donde la recta que tiene por -
ecuación y = x + 3 corta a la parábola cuya ecuación es 2y = x2 -2.
Si hacemos la gráfica, encontramos la parábola de la fig.lO y
la recta por los puntos B(-2,1), M(0,3) y F(4,7). Vemos así, grá-
fioamente, que la recta corta a la parábola en los puntos B y F.
Procedamos algebraicamente, resolviendo el sistema:
Y = X + 3
2
2y = X -2
Substituyendo en la segunda e~uación el- valor de y dado por-
la primera, obtenemos la ecuación con una incógnita:
16
{ 2 2
2 X + 3) = X - 2 ; X -2X - 8 = 0
•. . X= -2 ; X = 4•

Estos valores de x los Bl1bstituímos en la primera ecuacicSn
(la ecuacicSn de la recta) y obtenemos:
para x = -2, y = -2 + 3 = l. Es decir: B(-2,1)
para x = 4, y= 4 + 3 = 1. Es decir: F(4,7).
Vemos ahora, analitÍ.camente, que los puntos B(-2,1) y 1'(4,7)
son los puntos donde la recta y la parábola se cortan.
Caso particular. Encontrar las intersecciones con los ejes
coordenados de una curva (C) cuya ecuacicSn es f(x,y) = o.
Si se trata del eje x•x, cuya ecuaci6n es y = O, habrá que
resolver el sistema formado por la ecuacicSn de este eje con la de
la curva (C). Ahora bien, el valor y= O, Bl1betituido en f(x,y)~ O
nos da la ecuaci6n f(x,O) = O, que e6lo contiene la inccSgnita x. -
Resolviendo esta ecuacicSn encontramos las abscisas de loe puntos
donde ·la curva (C) corta al eje x•x.
Si se trata del eje y•y, debemos substituir x = O en la ecua-
ci6n de la curva (C), obteniendo f(O,y) =O. Las raíces de esta
ecuaci6n son las ordenadas de los puntos donde la curva (C} corta
al eje Y'Y·
Ejemplo. Encontrar los puntos donde corta a los ejes la curva
2cuya ecuaci6n es: 3x + 5y = 15.
Poniendo y = O obtenemos 3x = 15. Por lo tanto, x = 5 es la-
abscisa del punto donde la curva dada corta al eje x'x.
2 r-Poniendo x =O obtenemos 5y = 15. Por lo tanto y= ~v3 son
las ordenadas de los puntos donde corta la curva dada al eje y•y.
En resumen: la curva cuya ecuacicSn es 3x + 5y2 = 15 corta a -
loe ejes coordenados en los tres puntos cuyas coordenadas son:
(5'o) ; (o'+ ,¡3) ; (o'- v'3) .
11. Puntos imaginarios. Sabemos obtener loe puntos de intereec-
ci6n de dos curvas, mediante la reeoluci6n del sistema que forman
sus ecuaciones; pero bien puede suceder que al resolver ese siste-
ma se obtengan raíces imaginarias, que no corresponden a ningún
punto real del plano: entonces decimos que las curvas consideradas
se cortan en puntos imaginarios. Bien entendido: cuando decimos
que dos curvas se cortan en puntos imaginarios, queremos decir --
realmente que las curvas no se cortan.
19

'-
Un punto imaginario tiene al menos una de sus dos coordenadas
imaginarias, ya sea la abscisa o la ordenada.
Ejemplo. Encon"tirar los puntos donde la curva 2
)X - 5y = 15
corta a los ejes de coordenadas.
Poniendo t = o ootenemos y = + ~; estos dos valores de y
son imaginarios. la curva corta al eje y•y en dos puntos imagina -
rios: (O, H) y (O,- rf:3). En otras palabras: la curva dada no
corta al eje de las ordenadas.
Hemos visto ya que, generalmente, una ecuacidn que liga las -
variables (x,y) representa una curva en el plano de estas varia
blea pero tal afirmacidn supone que la ecuacidn considerada se ve-
rifica para valores reales de las variables, comprendidos en cier-
tos intervalos, lo que no sucede siempre. Dos caeos excepcionales
pueden presentarse:
(1) La ecuacidn dada sólo se verifica para ciertos parea de -
valores aislados de las variables: ella representa entonces puntos
aisladoa del plano •
(2) La ecuacidn no se verifica para ningdn par de valores
/
reales de las variables: ella no representa punto al~o del plano.
Se dice entonces que representa una curva imaginaria.
Son imaginarias las curvas que están formadas exclusivamente
por puntos imaginarios, como la del ejemplo (2) que sigue.
Ejemplo (1). Sea la ecuacidn x2 + y2 =o. Si asignamos -a las
variables valores reales distintos de cero, BUS cuadrados serán
positivos; por lo tanto será positiva la suma de BUS cuadrados.
Para que se cumpla x2 + y 2 = O es forzoso tener aimultáneamente:
x =O, y = O. Esto significa que la ecuacidn dada representa un
solo punto: el origen (O ,o);
Ejemplo (2). Sea la ecuacidn x2 + y2 + 4 =O. Si las varia
bles tienen ~ores reales, el primer miembro representa la suma -
de tres números positivos, que no puede ser igual a e ero. Esta
ecuacidn no representa puntos reales del plano; es la ecuacidn de
una curva imaginaria.
20

Ejemplo (3). Comprobar que la curva imaginaria del ejemplo
anterior contiene los si~ientes puntos imaginarios: (O,~);
(..{:4,0); (3,.y:l3); (,.[::2,,/::2). Respuesta: Substituir las varia-
bles (x,y) por las coordenadas de cad~ uno de estos puntos, para -
ver que se verifica la ecuación x2 + y2 + 4 =O. Hágalo el lector.
12. Simetrias de una curva. Sea M el punto medio del segmento
AB, cuyos extremos son los puntos A y B. Estos dos puntos son si -
métricos con relación al punto M, que viene a ser el centro de si-
metria de la figura formada por esos dos puntos.
1
Una curva (C) tiene un centro de simetria Q, cuando la curva
está formada por pares de puntos simétricos respecto del punto Q.
Ejemplos: (a) el punto medio de un segmento de recta es el
centro de "simetria del se~ento; (b) el centro _de una circunferen-
cia es su centro de simet:r;-ia; (e) el punto donde co.ncurren las
diagonales de un rectán~o es el centro de simetria de ese reo
tán~o;
Dos puntos situados uno frente al otro, de ambos lados y a la
misma distancia de una recta dada, son simétricos con res~cto a -
esa recta, que viene a ser el eje de simetr!a de la fi~ra formada
por esos dos puntos. Más precisamente: si la recta s•s es la me --
diatriz del segmento AB, entonces y só~o entonces decimos que loe
puntos A y B son simétricos con relación a la recta S'S.
Una recta es un eje de simetria de ~oda fi~a formada por -
pares de puntos simétricos con respecto a esa recta.
Ejemplos: (a) la mediatriz de un segmento de recta ea un eje
de simetria del segment~; (b) la bisectriz de un án~o es un eje
de simetria de ese án~o; (e) todos los diámetros de una circun -
ferencia son ejes de eimetria de la circunferencia; •••
Ayudándose con una fi~ apropiada el lector pu~de demostrar
el teorema que dice: si. la curva (C) admite dos ejes de simetr!a -
perpendiculares entre ellos, el punto donde esos ejes se cort~ es
un centro de simetria de la curva (C).
Es claro que una fi~ geométrica puede tener un centro de -
simetria, sin tener ejes de eimetr!a. Tal ·~s el caso de la curva -
2l.

D B
fig.14 ~
adjunta (fig.l4), formada por dos
semi-circunferencias apoyadas en el
diámetro .A.OE: el punto e es un cen -
tro de simetría, pero la curva no
tiene ejes de simetría.
A las curvas planas definidas por sus ecuaciones (ejes rec
'tangulares) se aplican los sig11ientes criterios de simetría:
(1) Si no cambia la ecuación de una curva cuando se substitu-
ye x por -x, entonces y sólo entonces el eje Y'Y es un eje de si -
metría de la curva considerada.
(2) Si no cambia la ecuación de una curva cuando se substitu-
ye y por -y, entonces y sólo entonces el eje x•x es un eje de si -
metria de la curva considerada.
()) Si la ecuación no cambia cuando se aplican al mismo tiem-
po las substituciones (1) y (2), entonces y sdlo entonces la curva
es simétrica con respecto al origen de coordenadas: este punfo es
un centro de simétría de la curva considerada.
Ejemplo. Dibujar la circunferencia con centro en el origen y
radio = 5. Sea (x,y) el punto mdvil que describe la circunferencia;
su distancia al origen: ,Jx2 + y2 = 5. Elevando ambos miembros al -
cuadrado se obtiene, finalmente: x2 + y2 = 25. Esta es la ecuacidn
de la circunferencia descrita. Observando esta ecuación se aprecia
inmediatamente que la curva es simétrica con respecto a los ejes -
de coordenadas, también con relación al origen. Explicar ¿por qué?
13. Significado de las identidades. Una identidad que contiene
las variables (x,y) es una ig11aldad que se cumple, sin restricci6n
algwBa, para todo par de valores de esas variables. Las. coordena -
das de cualquier punto del plano verifican la identidad: ella re -
presenta todo el plano. Por tener esta propiedad -la de represen -
tar todo el plano- las identidades carecen de interés para la geo-
metría analítica.
14. Significado de las desigualdades. Toda desig11aldad que li-
sa a las variables (x,y), que se verifica para valores reales de-
estas variables, representa alg11na región o zona del plano.
22

Ejemplo (1). El eje x•x, cuya ecuación es y= o, divide al
plano en dos regiones distintas, una superior y otra inferior. Los
puntos situados en la región superior se caracterizan por tener su
ordenada positiva; mientras que los de la región inferior tienen -
su ordenada negativa. Es decir: la desigualdad y> O representa la
región del plano superior f;l.l eje x•x; mientras que y<:,O representa
la región inferior al propio eje de las abscisas.
Ejemplo (2). Dibujar el círculo cuyo centro es el origen y su
radio = 5. Los puntos (x,y) de la circunferencia verifican la ecua-
ción x2 + y2 =25. Ahora bien, la circunferencia divide al plano -
en dos regiones: una interior, cuyos puntos verifican la desigual-
dad x2 + y2< 25, y otra exterior cuyos puntos cumplen la desigual-
dad x2 + y2> 25. Comprobar todo esto, razonado sobre la figu.ra.
15. Objeto de la Geometría Aqalítica. Hemos aprendido ya que a
las ecuaciones con dos variables les corresponden curvas planas y
recíprocamente. Hemos llegado así a identificar la ecuación alge -
braica con el lugar geométrico, y esta identificación es la clave
del estudio que vamos a seguir.
En lo que sigue aprenderemos que: a las ecuaciones algebrai -
cas de un tipo determinado corresponden curvas geométricas de un -
tipo determinado. Por ejemplo: a las ecuaciones más simples del
álgebra, que son las de primer grado' correspo_nden las curvas más
simples de la geometría, que son las lineas rectas. Esta corres --
pondencia general entre la simplicidad algebraica y la simplicidad
geométrica, es la qúe da todo su poder al método de la geometría -
analítica.
SUbstituir al estudio directo de una curva el análisis de su
ecuación, es el objeto de la geometría analítica de .dos dimensio-
nes. Esta idea fue concebida primero por René Descartes, en cuya -
memoria los ejes de coordenadas que venimos usando reciben el nom-
bre de sistema de ejes cartesianos.
23

EJE RO I O I 'O S
l.. Ottrve. de una ecuacidn: Construir por puntos las curvas cu-
yas ecycioñes ~on: (a) y = 3x - 5 ; (b) y = x2 - 2 ; (e) 4y = x2 -4.
2. Concepto de lu~ geométrico: definir la mediatriz de un-
segmento de recta, la ci:ooUn:rerencia y la parábola como lugares -
geométricos.
3. Ecuacidn de la mediatriz del. segmento cuyos extremos son -
los puntos (0,1) y (4,3). Respuesta: ' y+ 2x = 6.
4. Ecuacidn de la circunferencia cuyo radio mide .fió y tiene
por centro el punto (-1,2). Respuesta: x2 + 2x + y2 -4y =5.
5. Ecuacidn de la parábola que t~ene por foco el punto (2,2)
y por directriz el eje de las ordenadas. Respuesta: y2+ 8 = 4(x+y).
6. Explicar: ¿cdmo sabemos que un punto dado por sus coorde -
nadas pertenece a una curva cuya ecuacidn conocemos? ¿odmo encon -
tramos los puntos donde se cortan dos curvas dadas por sus ecua --
ciones?
7. Encontrar los puntos donde las curvas de los ejercicios -
anteriores cortan a los ejes coordenados. Comprobar, trazando la -
gráfica en cada caso.
8. Hay un punto del eje x•x que equidista de los puntos {3,8)
y (-2,5). ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto? Resp.:(22/5,0).1
9. ~ibujar la circunferencia de radio r = 2, que tiene por -
céntro el punto (4,o); encontrar su ecuacidn. Respuesta: _______'
2 2x + y -8x + 12 =o.
l.O. Iu~ de los puntos tales que -su distancia al origen es el
dobl.e de su distancia al punto {3 ,o). Se encontrará la misma cir -
ounferencia del ejercicio anterior.
l.l.. Usar l.a eouacidn anterior para probar· que los puntos (2,0),
(3,,fjf, (4,-2) y (5,-,..¡j) pertenecen a la circunferencia desc~ita.
12. Encontrar la eouacidn de una curva cuyos puntos distan del
eje Y'Y el doble de lo ~e distan del punto (3,0). Respuesta: --
4y2 + 3x2 - 24x + 36 =O.
24

13. Usar la ecuacidn anterior para probar que los puntos (2,0),
(4,zJ3), (5,3/2) y (6~0) pertenecen a la curva considerada.
14. Encontrar los puntos donde la recta 2y + )x =18 corta a
la curva del ejercicio anterior.
15. Ecuacidn de la circ~erencia· que tiene por diámetro el. - ·
segmento de l.a recta l.2x- 5y = 60, comprendido entre l.os ejes de
coordenadas. Usar la ecuacidn que resulte para probar que la oir -
cun:ferenoia pasa por el. origen y por los extremos del. diámetro.
16. lugar de los puntos del. pl.ano que equidistan del punto
(1,1) y de la recta y = 5. Se trata de la parábola cuya ecuacidn -
es: x2 - 2x + 8y =23. Dibujar esta parábola y encontrar los pun -
toe donde corta a los ejes de coordenadas.
17. La ecuacidn (x2 - 1)2 + (y2 - 1)2 = O representa cuatro
puntos del plano; encontrar l.as coordenadas de esos cuatro puntos.
18. Construir por puntos las curvas de estas ecuaciones:
(a) 2y = x2 - 2 (b) x2 + y2 = 25 ; (e) y + 2 =~.
¿Cuáles de estas curvas son eim~tricae respecto de alguno de -
los ejes de coordenadas? ¿Cuál es sim~trioa respecto del origen?
¿Cuál es el centro de simetría de la curva (e)?
19. Hacer una gráfica donde aparezca la bisectriz del án~o -
de los ejes (2o. y 4o. cuadrantes). La ecuacidn de esta recta es:
x + y =.O. ¿Por qu~? Probar que la distancia de un punto cualquie-
ra M(x,y) del plano a esta bisectriz está dada por:
p ·• :! (x + y)cos 45° =:! (x + y)/~.
20. Demostrar analfticamente: (a) que todo ángulo inscrito
en un semi-circulo es recto; (b) que el radio perpendicular a. una
cuerda la biseca; (o) que el. punto medio de la hipotenusa de todo
triángulo rectángQJ.o equidista de ios v~rtices de ese triángul.o; ••
Comparar con las demostraciones de l.a geometría el.emental.
1.

l!XPLEO DE LOS DETEBMIN.lNTES
Bl determinante de segundo orden, cuyos elementos son a, b, -
o 7 d, se escribe:
-1: !lAl producto .de los elementos de la diagonal descendente, se -
le resta el producto de los elementos de la diagonal ascendente, -
para obtener el valor del determinante. ~iere decir esto que el -
valor del determinante de segundo orden, representado por D, es el
si~iente: D • ad - ob.
Ejemplos. La diferencia a - b de dos ndmeros se escribe:
a 1
a-b=
b 1
Y la swma a + b de esos dos ndmeros se escribe:
a -1
a+ b =
b 1
Si usamos índices (el mismo índice para las letras del mismo
rengldn) el determinante de segundo orden se escribe:
&¡
a2
Sean las ecuaciones lineales:
bl
1 • &¡b2 - a2bl"
b2
a¡x + b1y = c1
a2x + b~ = 02
con las inodgnitas x, y. Resolviándolas:
o1b2 - o2bl a¡o2 - a2cl
x- • 7_ ...
- &¡b2 - a2bl ' - alb2 - a2bl
Y estas raíces tambián se escriben así:

1~
Notemos que en ambos divisores figgra el mismo determinante,
que está formado por los coeficientes de las incógnitas en las --
ecuaciones dadas. Los determinantes en los numeradores se obtienen
del anterior (del que figura como divisor) reemplazando los coefi-
cientes de la incógnita respectiva por los t'~s independientes,
tomados estos con el signo que tienen en el segundo miembro de las
ecuaciones dadas.
Ejemplo. Resolver el sistema: 2x- 7 • 3
6x + 7 = l.
Nótese que las incógnitas x, 7t aparecen dispuestas en el mis-
mo orden en· ambas ecuaciones 7 los t'rminos independientes están-
en los segundos miembros de esas ecuaciones. Aplicar la regla an -
terior, para obtener:
X= 1~
1:
7=
1~
1:
-~1
-~1
~1
-~1
l_t_l 4 1
="2'"+li ='8 =~·
Comprobar las ra!ces obtenidas, por Bllbstitución.
El lector propondrá nuevos ejemplos.
El determinante de tercer orden, que tiene tres renglones 7 -
tres columnas, se escribe así:
a¡ bl el
&2 b2 02
&3 b3 03
27

SU.pr:lmiendo el. ·renB].cSn 7 l.a ool.umna que se cra.IIBD. en uno de -
l.oe el.eaen~os de este de~erminan~e, se ob~iene un de~erminan~e. de
ee&QD.do orden, llamado menor o co:tactor del. el.emento considerado.
Por e~ampl.o, el. el.em.ento a2 tiene por co:tactor el determinan~e -
. .
lbl.
01
1 , que se obtiene suprimiendo el se~do renglcSn 7 l.a pri-
b3 °3 mera col.um.na, donde se encuentra a2•
Se cal.cul.a un determinante de tercer orden, usando loa co -
:taotores de loa el.ementoa del. primer renglcSn, como si.211e:
D • a¡j - b1 + o1
b2 02 &2 021 &2 b21
b3 °3 •3 °3 a3 b3
D • &¡(b2o3 - b3o2) - b1(~o
3 - a3o2) + o1(~b
3 - a3b2)
D • a¡b2o3 - a¡b3o2 - a2b1o3 + a3b1o2 + a2b3o1 - a3b2o1 •
El mismo resultado se ob~iene, si se usan loa elementos de l.a
primera oolumna 7 sus co:tactores, oomo sigu.e:
D • 8.;L 1 - &2 + &3
b2 o21 bl. O¡ bl. O¡
b3 03 b3 03 b2 02
1
D • &¡(b2o3 - b3o2) - a2(b1o3 - b3o1 ) + a3(b1o2 - b2o1 )
D = &¡b2o3 - a¡b3o2 - a2b1o3 + a2b3o1 + a3b1o2 - a3b2o1 •
Ciertos resultados de l.a geometr!a anal.!tioa se expresan me -
~or usando determinantes. ID Uua~raremoa mediante los ejem.pl.os -
que siguen:
(l.) Dados tres puntos (x¡,71 ), (X2,72) y (x
3
,73
), que. son los
v4rtioes de un. triángu.lo, el. área del triángu.lo tiene por expre --
eicSn:
X¡
.l=.±~IX2
7]. l.
72 l.
x3 73 l
Desarrollar este de~erminante, usando los co:tactores de la -
priaere. ool.um.na, para obtener:
28

7
Si los tres puntos considerados pertenecen a una misma recta,
si están alineados, el área del trid.n.gul.o debe valer cero 7 reo:[ -
procamente. Es decir: la c_ondicidn necesaria 7 Bllficiente para que
los puntos (xl'7l), (~,72 ) 7 (x3 ,73) están alineados, es que se -
oumpl.a la igual.dad:
xl. 71 1
~ 72 1 = o.
x3 73 1
(2) Se sabe que por dos puntos ~el. plaGo pasa siempre una li-
nea recta y sdl.o una. Por l.o tanto, una recta está completamente -
determinada cuando se conocen l.as coordenadas de dos de Blls puntos.
Tratemos de encontrar la ecuacidn de una recta asi definida.
_Sean l.os puntos dados: A(X¡•71 ) 7 B(~,7
2). Y sea K(x,7) un-
punto cualquiera del plano. Una condicidn necesaria 7 suficiente
'para ~ue Jl pertenezca a l.a recta AB es que el triángulo JUB, for -
mado por estos tres puntos, tenga su área nula.
Es decir: X 7 l.
xl 7J. 1 • o.
~ 72 1
Esta es l.a ecuaoidn de la recta considerada. Ndtese que el.l.a
se verifica y sdl.o se verifica cuando l.as coordenadas (x,7) son -
las de un punto Jl que está sobre la recta AB.
Si l.a recta no es paralela al. eje de las ordenadas, si
x1 ~ ~' esta ecuacidn se escribe:
7 - 71 7J. - 72
x _ xl = X¡ .- ~. Compru.ébel.o el. lector.
(3) SUponer ahora que nos dan las ecuaciones de tres _rectas,
que podemos escribir asi:

-A¡x + :&¡7 + e1 =o
~x + B23 + e2 =o
A3:x: + B37 + e3 =O
Resolver las dos dltimas ecuaciones, para obtener las coorde-
nadas (:x:,7} del punto donde se cortan esas dos rectas:
B2e3 - B3e2
X = 93 - l)B2
7 - ~2 - A2e3
- A 3 - 13B2
cada uno de estos valores es el cociente de dos determinantes
de segundo orden. El divisor es el mismo en ambos casos: es el de-
terminante formado por los coeficientes de las incógnitas en las -
dos ecuaciones resueltas. Debe suponerse que este determinante es
distinto de cero.
~poner que el punto (:x:,7} pertenece tambián a la primera rec-
ta; sus coordenadas deben verificar la primera ecuaci6n dada. Subs-
tituir en ella los valores encontrados, para obtener:
A1 (B2e
3
- B
3
e2} + B¡(A3e2 - A2e3) + e1 (A2B3 - A3B2} =O
donde el primer miembro es el desarrollo de un determinante de
tercer orden. Y por eso, la i~aldad que acabamos de obtener se
escribe:
Al Bl el
A2 B2 e2 l =o.
A3 B3 e3
Esta igualdad expresa la condici6n necesaria y suficiente pa-
ra que las tres rectas dadas sean concurrentes. Ellas tendrán en -
tonces un punto común y sdlo uno.
Se comprueba todo esto en casos particulares, resolviendo dos
de las ecuaciones dadas para encontrar las coordenadas del punto -
comdn a esas dos rectas; coordenadas que deben verificar la terce-
ra ecuaci6n propuesta, si es que la tercera recta pasa por el pun-
to donde concurren las otras dos.
30
~

EJERCICIOS
l.. Explicar: ¿Cómo se calculan loa determinantes de sesundo
orden? ¿Cómo se calculan loe de tercer orden? Poner ejemplos.
2. Calcular loe determinantes que siguen:
1
-5 31= 8
-6 2
o
-l.
-2
2 l. -3 3
8 -6 4 • ? -8
5 4 1 7
2 o r3~6 4 = -6
7 • 5
-2
3
-6
6
9
2
5 -l. -2
8 .. ? 5 8
l. 2 l.
2
-4 =o
2
!l-.). Usando determinantes, resolver loe sistemas siguientes:
x-2,-=5
-3x + y = 1
Y - )X = 7
2y+x=7
2x + )y - 1 =O
3x- 2y - 2 = O
Comprobar las ra:!cee obtenidas en cada caso.
4. Usar el mismo mátodo para resolver l.oe sistemas que si
guen, notando que loe determinantes son ahora de tercer orden:
3x + 2y + z = 10 )X+ y- )Z = 4 2y - )z =O
5x - y + z = 6 2x- y- 2z = 6 )X- 5y + 2z =l.
2x + )y- z = 5 x+y- 4z = 9 X+ )y - 2z = 2.
5. Usando determinantes, expresar lo siguiente: (a) el área
de un triángulo en fUnción de las coordenadas de sus vértices;
(b) la condición necesaria y suficiente para que tres puntos del -
plano estén alineados; (o) la ecuación de una recta, definida por
dos de sus puntos; (d) la condición necesaria y suficiente para -
que tres rectas sean concurrentes.
6. Calcular: (a) el área de un triángulo cuyos vértices son:
(-2,-1), (4,2) y (0,3); (b) el área del triángulo cuyos vértices
son: (3,1), (-1,1) y (0,-3). En ambos caeos dibujar la figura y -
comprobar.
7. Calcular: (a) el área del triángulo cuyos vértices son:
(1,0), (-2,3) y (-1,-2); {b) el área del triángulo cuyos várticea
aon: (-2,-2), (2,-1) y (-1,2). En ambos casos trazar la gráfica
comprobar. 31.

8. Demostrar {por determi.D.a.ntes) que los puntos (-2,2), (2,0)
y (4,-1) están alineados; ·tamQién los puntos (-2,0), ' (1,1) y (7,3).
Hacer la gráfica y comprobar.
9. Comprobar que los puntos (-2,-1), (2,1) y (4,2) están ali-
neados; también los puntos (2,0), (0,2) y (-4,6). Hacer la gráfica
en ambos casos y encontrar el punto donde esas rectas concurren.
10. Vértices de un triángulo: A(4,y), B(-2,4), C(8,-2). Calcu-
lar la ordenada del punto A, sabiendo que el área del triángulo
mide 28 unidades cuadradas. Respuesta: y = 6.
11. Vértices de un triángulo: A(-3,0); B(x,4); C(0,7). Calcu-
lar la abscisa del punto B, sabiendo .que el área del triángulo mi-
de 29 unidades cuadradas. Respuesta: x =7.
12. Usando determinantes, probar que son-concurrentes las rec-
tas dadas por estas ecuaciónes:
2x + 3y - 1 = O X+2Y-7=0 3x + 2y = 1
3x - 2y - 2 = O )X + y- 6 =o 5x + 3Y = 1
5x + y - 3 = o 2x - y+l=O X+ y= 1
En cada caso, construir la gráfica correspond~ente.
13. Encontrar algebraicamente los mismos puntos donde concu --
rren las rectas de cada terna del ejercicio anterior.
14. Usando determinantes, encontrar la ecuación de la recta
por los puntos (-2,4) y (8,-2). Respuesta: 6x + lOy = 28; comprue-
be el lector que las coordenadas de ambos puntos verifican esta
ecuación.
15. De igual modo, encontrar las ecuaciones de los tres lados
del triángulo del ejercicio 10;. comprobar resultados.
32

O A PI tUL O II
Jl'IO'.f.A.S DBL PLUO
· Bn el. presente cap:!tul.o estudiaremos las rect•s del. plano,
representadas por las ecuaciones lineales o de primer grado en lu' .
variables {x,J'), coordenadas de un punto ,cualquiera del. plano.
las coordeaadas de los puntos de una misma recta han de veri-
ficar una misma eouacicSn de primer grado en ambas variables, que
viene a ser la eouacicSn de la recta considerada.
16. P8D41ente de una recta. La direccidn de una recta est' &e-
·:tinida por el menor ánsulo positivo que forma esa recta con el. -
sentido positivo del eje de las abscisas. la tangente trigono..__
trica de ese ~o se llama pendiente de la recta.
Bn la :tig.l5 se tiene: pendiente de .A.B • a • tan 0(. •
BcStese que la :misma pendiente
se obtiene, si al ángu.lo ()( se le
.wma o resta un ndmero entero · de
semi-vueltas; lo que significa
que la pendiente de la recta .A.B
no depende del sentido en que se
oriente dicha recta, que puede
ser tanto de A hacia B como de
B hacia A.
De esta observacidn resulta:
A
y
fig.l5
{1) Qu.e el llnsulo O( {fig.l5) scSlo varia de 0° a 180°.
B
{2) Si ex es agudo, la pendiente es positiva 7 recíprocamente.
{3) Si ex es obtuSo, la pendiente es negativa y réc:!prooaaante.
{4) Si O( • 90° la pendiente no ex:lste, porque tan 90° no e~
de:tinida. {Se dice tambiél que tan 90° • +00 , pero esto es edl.o
una manera de hablar).
{Sa.poner un llngu:Lo OC. <90°. Si <X crece hasta llegar a 90°,
vemos que tan OC crece hasta hacerse mayor que. cualquier lbfaezo
poaitivo 4ado. Se expresa este hecho diciendo que t&D()( se baoe
iD:tinita cuando (f.• 90°. :Bil sf:m.bol.osa t&D 90°• +OO. Pero e.W

define la tangente de 90°, porque ningún valor real, positivo o
negativo, representa el símbolo +00 • )
y
A
1
1
1
r2-Y1
1
.........----i Q
X2-Xl :
fig.16
1
1
1
1
X
B
Si se conocen las coordenadas
(x
1 ,y1 ) y (x
2,y2) de dos puntos P1
y P
2 de la recta AB (fig.16), su -
pendiente se calcula por medio de
la fórmula:
Y2 - Y1
m=tano<.=x x ••• (I)
2 - 1
Esta fórmula no se aplica
cuando x2 = x1 (cuando Ol = 90°)
caso en que la recta ea paralela
al eje de las ordenadas.
Ejemplo (1). Encontrar la pendiente de la recta que pasa por
los puntos P1 (-3,2) y P2(5,6). Véase la figura 17(a).
Se aplica la fórmula {I):
Y2 - Y1 -·
m = , siendo x1 = -3, y
1 = 2, x2 = 5, y
2 = 6.
x2 - xl
m=
6 - 2 4
m=E
.. . m = 0.5.
Con la tabla de valores naturales se encuentra que OC.= 26° 34';
el ángulo es agudo porque su pendiente ea positiva.
fig.17(b)
fig.l7(a) ·J--- -------
3"!"
Ejemplo (
loa puntos C(-
las abscisas.
En la fig
Y2 -
m=--
x2 -
Resulta:
El ángulo
1.7. Ecuaci
definida por e
corta al eje d
ángulo O<. que 1
sentido positi
abscisas.
Sea M(x,y
ra de la recta
Se puede escri
Y= mx +
que es la ecua.J
a) la penl
que está justi
1
dependiente y :
b) la con
la ordenada d
Estos dos
ción (II) o de
la fig.18; val
en (II), nos
Ejemplo.
de las
es m = -3; tra
En (II) si
tene:!':
y = -3

sitivo o
coordenadas
e puntos ~l
g.16), BU -
r medio de
•. • (I)
aplica
:X:. = 90º)
paralela
e pasa por
6.
OC.= 26° 34';
fig.17(b)
Ejemplo (2). Determinar el ángulo oc. que forma la recta por
los puntos C(-1,4) y D(4,-3) con el sentido positivo del eje de
las abscisas.
En la fig.17(b) se tiene:
m = Y2 - Y1 = ¡3+-ix 2 - Xl
m = -1.4.
'Resulta: ex. = 180° - 54°28 1 = 125°32 1 •
El ángulo es obtuso porque su pendiente es negativa.
17. Ecuaci6n de la linea recta. En la fig.18, la recta BM está
definida por el punto B(O,b) donde y
corta al eje de las ordenadas y el
ángulo O(. que la recta forma con el
sentido positivo del eje de las
abscisas.
Sea M(x,y) un punto cualquie-
ra de la recta, distinto de n(o,b). fig.18
X
Se puede escribir m = .l.....::...l! (como se ve en la figura), · de donde:X
y=mx+b •. • (II)
que es la ecuación de la recta en su forma usual, y en la que:
a) la pendiente m se llama también coeficiente angular, nombre
que está justificado porque m es el coeficiente de la variable in-
dependiente y define un ángulo.
b) la constante b se denomina ordenada al origen y representa
la ordenada del punto donde la recta corta al eje de las ordenadas.
Estos dos coeficientes, m y b, son los parámetros de la ecua-
ción (II) o de las rectas que ella representa, como la recta BM de
la fig.18; valores particulares de estos parámetros, substituidos
en (II), nos dan la ecuación de una recta particular.
Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje -
de las ordenadas a una distancia b = 2 del ori~en y cuya pendiente
es m = -3; trazar la gráfica.
En (II) substituir los valores dados, m = -3, b = 2, pa.."'a
tener:
y = -3x + 2.
.
~-

X
fig.19
X
Para trazar la gráfica, se mi-
de la ordenada al origen, b = o::e =
=2 (fig.19). En segu.ida, por :e se
traza el segmento BA = -1 paraleio
al eje x•x, y por A se levanta AX =
=; 3, paralelo al eje de las orde -
nadas, para que la pendiente sea -
ü/BI = -3. La recta ::eJ4 es la rec-
ta pedida.
18. casos particulares de la ecuaci6n (II). Se consideran los
casos particulares siguientes:
(1) Si la recta pasa por el origen, entonces b = O y la ecua-
ci6n (II) nos da: y = mx. Haga el lector la fig11ra, teniendo en -
cuenta el sigo.o de m., que puede ser ~O.
(2) Si la recta es paralela al eje de las abscisas y corta al
eje de las ordenadas en el punto 11(0,b), entonces OI...= O y por eso
m. = o.
La ecuación de esta paralela al eje x•x es: y =b.
(3) Si o<.= O y b = O (es decir: si m = O y b = O), la recta -
considerada se conf'unde con el eje de las abscisas y su ecuación -
es: y =O.
Las rectas paralelas al eje y•y no tienen pendiente definida.
Para ellas suele ponerse m. =00 ; pero este 11
valor11
no debe substi-
tuirse en la ecuación (II). Por lo tanto, (II) designa ~odas las -
rectas del plano, excepto aquellas que son paralelas al eje de las
ordenadas.
Se puede afirmar que toda paralela al eje y•y tiene una ecua-
ción de la forma x = a (donde a es la distancia entre esa paralela
y el eje citado) porque todos los puntos de esa recta tienen la
misma abscisa, x = a. En particular, x = O es la ecuación del eje
de las ordenadas.
36
puntos.
Por
donde m = -
ta
del plano,
Y1 =
y - Y1
que es la ec
coordenadas
rectas en p
Ejempl
punto .&.(2,-

ica, se mi-
en, b = o:e =
da, por B se
-1 parale.i.o
levanta Ali =
e las orde -
diente sea -
es la rec-
sideran los
y la ecua-
en -
y corta al
y por eso
la recta -
ecuaci6n -
e definida.
ebe substi-
todas las -
eje de las
e una ecua-
sa para.lela
ienen la
6n del eje
19. Eouaoi6n general. de primer grado. La discusi6n anterior
pru.eba que: toda linea recta está representada por una ecuac16n de
primer grado en las coordenadas (x,y) de uno cualquiera de sus
puntos.
Ahora demostraremos la recíproca: toda ecuaci6n de la forma
Ax + :By + e = O representa una linea recta. Esta ecuacj~n, con
A~ O, B = o, nos da:
Ax + e =o . •. x = -C/A,
que representa una paralela al eje de las ordenadas: todos sus
puntos tienen la misma abscisa: -C/A.
Por otra parte, con B ~ o, la ecuaci6n considerada se escribe:
.. . y=mx+b • • • (II)
donde m =-A/Bes la pendiente de la recta (II); b = -C/B es su
ordenada al origen o sea la ordenada del punto donde la recta cor-
ta al eje y•y.
20. Rectas por un punto dado. La ecuaci6n de cualquier recta
del plano, no paralela al eje y•y, es la siguiente:
y = mx + b •. • (II)
En la fig.20 aparecen varias rectas · que contienen el punto P1
cuyas coordenadas (x1 ,y1) verifican la ecuaci6n (II), es decir:
Y1 = m.xl + b ••• (A)
Restando (A) de (II) para eliminar b, obtenemos:
y - y1 = m(x - x1 ) ••• (III)
que es la ecuaci6n de todas las rectas que pasan por el punto de -
coordenadas (x1 ,y1 ); para encontrar la ecuaci6n de una de estas
rectas en particular, es necesario conocer su pendiente.
Ejemplo. Encontrar la ecuaci6n de la recta que contiene e1
punto A(2,-3) y cuya pendiente es 2; trazar la recta usando los
•datos y comprobar (fig.21).
3

y
x•
:fig. 20
1
:1
1
1
1
1
1
-------ÍA
:fig. 21
--Se aplica la ecuaci6n (III) con x.¡ = 2, y1 =-3, m. =2:
y+ 3 = 2(x - 2) ••• y= 2x - 7,
X
que es la ecuación pedida. Se aprecia de inmediato que la pen-
diente es m = 2, la ordenada al origen, b = -7. El punto B(0,-7)
pertenece a la recta; también el punto A(2,-3) cuyas coordene:d.as
verifican la ecuación obtenida: -3 = 4 - 7. Al ·trazar la recta,
se ve que pasa por el punto L(l,-5). Comprobar todo esto.
21. Recta definida por dos puntos. Si los puntos dados, P y Q,
tienen la misma abscisa x1 = ~ = a, la recta definida por el1os
es paralela al eje de las ordenadas y su ecuaci<Sn: x = a.
Consideremos el caso en qu.e ambos puntos tienen abscisas dis-
tintas, fig.16. La recta por el pu.il.to P1 (x.¡,y1 ) tiene la ecuación:
y - Y1 = m(x - ::ic¡) ••• (III)
Y como el punto P2 también pertenece a esta recta, sus coor-
denadas verifican esta ecuación, lo que da:
Y2 - Y1 =m(~ - Xo¡) ••• (c)
Eliminando m, por división de (III) entre (a), cambiando sig-
nos, obtenemos :finalmente:
l-l
Y1 - f2 =
X - X,
Xi - t2 •••(IV)
38
ecuación de
cidas. Esta
X y
xl Y1
X2 Y2
Compara:
(IV,a) val e :
derada es pa:
Ejemplo
por los punt
Se apli
~ =ª=
l
y= - ~
usual (y = m
al origen, b
todo al pri::i
El lec't
zará la gráf
dos puntos v
22. Caso
una recta AE
figura) su p
Substit
b
y = - -a
~ + t =
Esta re
de la recta.
y la ordenad
B(O,b) done.e

/ X p-
7
fig.21
-3, m = 2:
que la pen-
punto B(0,-7)
-as coordenadas
~zar la recta.,
lo esto.
;os dados, P y Q,
l.nida por ellos
: X= a.
ien abscisas dis-
Lene la ecuación:
r"ecta; sus coor-
) , cambiando sig"'.'
ecuación de la recta que contiene dos puntos de coordenadas cono -
cidas. Esta se escribe también así:
= o .•• (IV,a)
Comparar con lo dicho en la página 29. Y observar que la
(IV,a) vale aún en el caso en que x1 = x2, cuando la recta consi -
derada es pare.lela al eje y•y.
Ejemplo. Expresar en la forma general la ecuación de la recta

por los puntos P1 (2,2) y P2(8,-l), y trazar la gráfica.
Se aplica (IV) con: xl = 2, Y1 = 2, x2 = 8, Y2 = -1.
H- 2 +1 . H=
1
X - 2::-s . . X - "2"
y= 1
-"2"x+3 ; que es la ecuación de esta recta en la forma
usual (y= mx + b), donde la pendiente es m = -1/2, la ordenada -
al origen, b = ). Podemos multiplicar por 2 ambos miembros y pasar
todo al primer miembro para obtener: x + 2y - 6 = O.
El lector situará los puntos dados, P1 (2,2) y P2(8,-l), y tra-
zará la gráfica, comprobando de paso que las coordenadas de estos
dos puntos verifican la ecuación obtenida: x + 2y - 6 = O.
22. Caso particular de las ecuaciones (III) y (IV). Suponer
una recta .AB que contiene los puntos A(a,O) y B(O,b); (hacer la
figura) su pendiente es m = -b/a.
Substituir en la ecuación (II) para obtener:
b + b que podemos escribir:y = - - X
a
X
+ t = 1 • •• (V)a
Esta recibe el nombre de primera forma normal de la ecuac~jn
de la recta. Los parámetros a y b son, respectivamente, la absciaa
y la ordenada al origen, abscisa y ordenada de los puntos 4 (a ,
B(O,b) donde la recta corta a loo· ejes.

la (V) se obtiene también como caso particular de las ecuacio-
nes (III) y (IV), como debe comprobar el lector. Hacerlo.
Ejemplo .(1). Escribir la eouaci6n de una recta definida por
los.puntos A(-3,of y B(0,2).
Loe datos son aqu! las coordenadas al origen: a • -3, b = 2.
SU.betituir en (V) para obtener:
_j + ~ = l
.. . 2x - 3Y + 6 = O.
Ejemplo (2). Transformar algebraicam.ente la ecuaci6n
Jx + 4y - 12 =O a su primera forma normal, y a partir de ella
trazar la recta representativa (fig.22).
• La eouaoidn se puede escribir en la forma: 3x + 4y = 12
y.
'.{ l._:,
fig.22
H+H=~
l+!=l
que es la ecuaci6n buscada, en, la
que, como se ilustra en la fi~
22, a = 4; b = 3.
Ejemplo (3). Determinar en la primera forma normal la ecua -
1
ci6n de la recta por el punto D(2,4), que corta al eje de las abs-
cisas a cuatro unidades del origen; trazar la gráfica.
Se aplica (V) y como la abscisa al origen es a =4, se tiene:
f +t=l ••• (i)
Y como la recta contiene el punto D(2,4), sus coordenadas ve-
rifican esta ecuaci6n (i), es decir: 2 4
4 +o= 1
b = 8.
SU.bstituir en (i) para obtener:
f + ~ = l, que es' la ecuaci6n pedida.
Esta representa una recta por los puntos A(4,0) y B(0,8); tra-
zar esta recta y comprobar gráficamente que ella pasa por el punto
D(2,4).
40
1
23.
las
rectas son:
se cumple: •
tan V=
Si las
se
Observar
gulos distinto
(VI) y (VI,a)
do es el ángul
obtenido es el
se
Ejemplo (
Estas reo
tan V=
El ángulo

ecuacio-
ida por
3, b :: 2.
n
de ella
= 12
da, en la
la figara
la ecua
de las abs-
, se tiene:
enadas ve-
b = 8.
(O, 8); tra-
r el punto

23. Angulo de dos rectas. Sean dos rectas, .AB y CD (fig.23)
las cuales se cortan en un punto
H, formando un ángu.lo V y el su-
plemento 180° - V. Por el punto
H trazar HZ paralela al eje Ox
para ver que V ::: <X. - ex. ••
' tan o<. - tan OL •
tan V = l + tan ex. tan CX.1 • • • (i) C
Si las ecuaciones de las A
rectas son: y = m.x + b
y= m•x + b'
fig.23
se cumple: m = tan ()(. , m' = tan Ol 1. Stlbstituir en (1):
m - m'
tan V =1 + mm' •••(VI)
Si las ecuaciones de las rectas son, respectivamente:
Ax+By+C=O
A'x + B'y + C' =O
se cumple: tan ex.= -A/B, tan OC.• = -A' /:B'. Stlbstituyendo en (1):
A1
B - AB'
tan V = BIP + ll 1
••• (VI,a)
D
Observar que las rectas consideradas (fig.23) forman dos án -
gulos distintos, agudo el uno y obtuso el otro. s,i las fórmulas
(VI) y (VI,a) dan para tan V un valor positivo, el ángulo calcula-
do es el ángulo agudo; pero si tan V resulta negativa, el ángulo -
obtenido es el obtuso.
Ejemplo (1). Angulo de las rectas: y= 3x - 7, y= -2x + 3.
Estas rectas se cortan en el punto H(2,-l) cuyas coordenadas
se encuentran resolviendo el sistema que forman ambas ecuaciones.
Hágalo el lector y trace la gráfica.
Se tiene: m = 3, m' = -2. Y la fórmula (VI) da:
t. V 3 + 2 5 1 • V = 135°.an = 1 - 3(2) = =;- = - • •
El ángulo obtenido es el ángu.lo obtuso.
~
--

Ejemplo (2). Encontrar el punto donde se cortan y el ángulo -
que forman las rectas dadas por estas ecuacion/s:
3Y + 2x = 6
4x - y = 5.
•
Resolviéndolas, obtener: x = 3/2, y = l.
El punto donde se cortan estas rectas es: H(3/2,l).
Par~ obtener el ángulo que forman se aplica (VI,a):
tan V _ 4(3, + 2~1~ _ 12 + 2 _ 14 · • V_ 70º2l •
- 3(-1 + 2 4 - - 3 + 8 - ,. • • -
El ángulo obtenido es el ángulo agudo. Hacer la gráfica.
Condición de paralelismo. La condición necesaria y suficiente
para que las rectas dadas sean paralelas es que se cumpla: tan V = O.
La fórmula (VI) da: ,m .- m: = O • •. m = m'.
Lo que dice: dos rectas paralelas tienen siempre la misma
pendiente.
La fórmula (VI,a) da: A'B - AB'¡ ¡. ..... =o A B
X•= 'B•
Lo que dice: dos ~ectas paralelas tienen proporcionales los
coeficientes de sus variables en sus respectivas ecuaciones. En
particular, los coeficientes de las variables pueden ser iguales y
entonces las rectas son paralelas.
Ejemplo (1). Encontrar la ecuación de una recta por el punto
(2,-3) que sea paralela a la recta que tiene por ecuación: y =4x+l.
La r'ecta pedida debe tener la misma pendiente que la recta
dada, m = 4, y como ha de pasar por el punto (~1 ~3) su ecuación
y + 3 = 4(x - 2) • º • y = 4x - 11. ÁJ. '7A- ':Jf-.J.
En este ejemplo se aplicó la (III), página 37 Jz:/(+'1'j-tC
Ejemplo (2). Encontrar la ecuación de la recta por el punto
H(2,-3) paralela a la recta: 2x + 3y = l.
es:
Los coeficientes de las variables en ambas rectas deben ser -
iguales o proporcionales. Por lo tanto, la recta pedida tiene la -
ecuación:
2x + 3Y = h (constante indeterminada).
Como el punto H(2,-3) debe pertenecer a esta recta, sus coor-
42
denadas han de •
obtener: h = -5 •
La ecuaciór:
Condición a
La fórmula
Es decir: n
Ejemplo (1)
(-2,5) que sea~
La recta da
debe tener m' =
ecuación es:
y-5=jü
Ejemplo (2)
de sus extremos:
diatriz o sea la
Se encuentr
pendiente es p =
pendicular al se
por el punto H,
/ 3
y - ~ = 2(::x
Comparar es
l. Ecuacion
dibujar las rect
y - 2 = o ; y +
2. Rectas n
ordenada al orig
do de los paráme
3. Utilizan
las rectas q_ue· s
y+x+l=O;

y el ángttlo -
2,1).
,a) :
= 70º21 1
a gráfica.
ia y suficiente
cumpla: tan V = O.
= m'.
re la misma
B
= ~·
rcionales los
uaciones. En
n ser iguales y
a por el punto
uaci6n: y =4x+l.
que la recta
su ecuaci6n es :
; ..J
:x~1'-1+C
por el punto
ecta, sus coor-
denadas han de verificar esta ecuaci6n. Substituyendo x = 2, y = -3,
obtener: h = -5.
La ecuaci6n~edida: 2x + 3Y = -5.
Condici6n de perpendicularidad. Esta condici6n es: ta! V= O.
La fórnru.la (VI) da: 1 + mm' = 0
m - m'
.. . ~
l + mm' = o.
Es decir: m' = - 1
m (pendientes recíprocas y de signos opuestos).
Ejemplo (1). Encontrar la ecuaci6n de una recta por el punto
(-2,5) que sea perpendicular a la recta cuya ecuaci6n es: 3x + 4y=8.
La recta dada tiene la pendiente m = -3/4; la recta pedida
debe tener m' = 4/3. Y como debe pasar por el punto (-2,5), su
ecuaci6n es:
y - 5 = i<x + 2) 3y - 4x = 23.
Ejemplo (2). Un segmento AB está definido por las coordenadas
da sus extremos: A(l,2) y B(3,l). Encontrar la ecuaci6n de su me -
diatriz o sea la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
Se encuentra que el punto medio del segmento es H(2,3/2); su
pendiente es p = -1/2, fig.11 (página 15). Por lo tanto, la per
pendicular al segmento debe tener la pendiente m = 2, y como pasa
por el punto H, su ecuaci6n es:
/ 3 .
y - ~ = 2(x - 2) 4x - 2y = 5.
Comparar este método con el tratado en las páginas 14-15.
E J E R e I e I o s
l. Ecuaciones de los ejes y de rectas paralelas a los ejes; -
dibujar las rectas cuyas ecuaciones son: x = O ; y = O ; x = -1
y - 2 = o j y + 1 = o j
2. Rectas no-paralelas a los ejes; pendiente de una recta y
ordena~a al origen. Obtener la ecuación (II) ael texto; significa-
do de los parámetros m y b.
3. Utilizando su pencliente y su ordenada al origen, dibu jar
las rectas que· siguen: y = x y = 2x + 1 ; y = -3x + 4
y + X + 1 = 0 j X - 3y + 6 o.

4. Rectas por un punto dado, con una pendiente dada. Obtener
la ecuaci6n (III) del texto considerando que la pendiente de esa
recta es: m = (y - y1 )/(x - x1 ).
5. Escribir las ecuaciones de las rectas que siguen:
a) por el punto (-1,2) con pendiente = 3. Respuesta: y = 3x + 5.
b) por el punto (1,-2) con pendiente = -2. Respuesta: y = -2x.
c) por el punto (2,2) con pendiente = 1/2. Respuesta: 2y = x + 2.
d) por el punto (-3,-2) con pendiente -1/3. Resp.: 3Y + x + 9 =O.
Dibujar estas rectas y comprobar las ecuaciones obtenidas.
6. Rectas que pasan por dos puntos dados; diversas maneras de
obtener la ecuaci6n (IV) del texto. ¿Qué pasa cuando los d·os pun -
tos dados tienen la misma abscisa?
7. Ecuaciones de las rectas definidas como sigue:
a) por los puntos (0,-1) y (2,1). Respuesta: y = x - l.
b) por los puntos (-2,-1) y (2,1). Respuesta: 2y = x.
c) por los puntos (-2,-1) y (-1,-2). Respuesta: x +y + 3 =O.
d) por los puntos (-5,1) y (2,3). Respuesta: 7y = 2x + 17.
8. Recta definida por sus coordenadas al origen: primera for-
ma normal de la ecuación de una recta; obtener (V) de las ecuacio-
nes (III) y (IV) del texto. Observar que la (V) no vale para las -
rectas que pasan por el origen o son paralelas a los ejes.
9. Escribir en la primera forma normal las que siguen, para -
obtener sus coordenadas al origen; con esos datos trazar la gráfica:
.......
2x + 4y = 8 -3x + 4y =12 5x - ' 2y = 10.
10. Usar las coordenadas al origen para dibujar las rectas:
j+f=l; x · zr+3=2; j - ~ =3.
11. Angulo de dos rectas; obtener las f6rmulas (VI) y (VI,a) -
del texto, página 41. Condiciones de paralelismo y perpendiculari-
dad. Poner ejemplos de todo esto.
12. Calcular el ángulo que forman las rectas a) y b) del ejer-
cicio 5. Respuesta: V= 135º.-Angulo de las rectas c) y d) del
mismo ejercicio. Respuesta: V= 45°.
44
13.
Dibujar
cribir las ec
se cortan y el
14. Escrib
y su ordenada
cuyas coordena'
rectas y encon
15. Una re
ta definida po
de estas dos r
líneo cuyos e
probar que los
17. Hay un
puntos (3, 8) y
18. Una rec
trar la ecuaci
mismo punto (a,
19. Desde e
men ángulos de
Encontrar las e
20. Sean el
esta re'cta dos
látero. Respues
24.
primera
segunda
Se puede
quiera de las o

e dada. Obtener
endiente de eea
sigu.en:,
ta: y = 3x + 5.
sta: y = -2x.
sta: 2y = x + 2.
: 3y + X + 9 = 0.
nes obtenidas.
ersas maneras de
do los dos pun -
igu.e:
X - l.
= x.
+ y + 3 = o.
2x + 17.
gen: primera for-
) de las ecuacio-
o vale para las -
loe ejes.
ue siguen, para -
trazar la gráfica:
2y = 10.
ar las rectas:
~ = 3.
s (VI) y (VI,a) -
y perpendiculari-
a) y b) del ejer-
s c) y d) del
13. Dibujar la recta por el punto (-1,2) cuya pendiente es ~1- ·
Dibujar la que pasa por el punto (5,2) y su pendiente es -1/2. Es-
cribir las ecuaciones de estas dos rectas; obtener el punto donde
se cortan y el ángulo que forman. Respuesta: V = 53°08 1 •
14. Escribir la ecuación de una recta cuya pendiente es m = -1
y su ordenada al origen b = 2. Escribir la ecuación de otra recta
cuyas coordenadas al origen son a = -2, b = 6. Dibujar estas dos -
rectas y encontrar el punto donde_ se cortan y el ángu.lo que forman.
15. Una recta pasa por el punto · {3,-6) y es paralela a la rec-
ta definida por loe puntos (4,1) y (2,5). Encontrar las ecuaciones
de estas dos rectas y sus intersecciones con los ejes coordenados.
16. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento recti -
líneo cuyos extremos son (-2,-3) y (0,-1). Usar esa ecuación para
probar que loe puntos (-4,1) y (l,-4) pertenecen a la mediatriz.
17. Hay un punto del eje de las ordenadas que equidista de los
puntos (3,8) y (-2,5). ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?
18. Una recta pasa por el origen y por el punto (a,b). Encon -
trar la ecuación de otra recta perpendicular a la anterior por el
mismo punto (a,b). Respuesta: ax+ by= a2 + b2•
19. Desde el punto C(0,7) trazar dos rectas, CA y Cl3, que for-
men ángulos de 45º con la recta cuya ecuación es: lOy = 4x + 12. -
Encontrar las ecuaciones de esas dos rectas.
20. Sean el punto C(-6,4) y la recta x = y. Encontrar sobre
esta recta dos puntos A y B, tales que el triángulo ABC sea equi -
látero. Respuesta: A(-5/VJ -l,-5/J3 -1); B(5/..rJ -1,5/./3' -1).
24. Pormae de la ecuación de una recta. Son las siguientes:
forma general: Ax + By + C = O • •. ( I)
forma usual: y= mx + b • • • (II)
primera forma normal: ~ + t = l •.•(V)a
segtUlda forma normal: X coa f +y sen 'f = p ••• (VII)
Se puede pasar directamente de la forma general (I) a cua..!.
quiera de las otras tres formas, como veremos en seguida:
5

(1) Con B 1 O se pasa inmediatamente de (I) a (II); lo vimos
ya en el # 19, página 37 de este libro.
(2) Si A 1 O, B 1 O, C 1 O, la ecuación (I) se escribe:
Ax + By = -C
~ +~ = 1 . +++=l. .-¡ - 13
~+t=l ••• (V)
donde se ha puesto: -C/A = a, -C/B =b.
(3) Como los coeficientes A y B no pueden ambos ser nulos, -
dividir todos los términos de (I) entre ±.~A2
+ B
21
para obtener:
Ax ~ -C
±.JA2 + B
21
+±.JA + B
21
=, ±.JA2 + B
21
O sea: X COS'f+ y sen'f = p •.. (VII)
donde: A
J 2 2' = cos 'f'
B
J 2 2, = sen <¡, -C
J 2 21 = p.
+ A + B + A + B + A + B
Es fácil probar que los parámetros p y <:f que acabamos de in -
troducir, son el segmento p y el ánguJ_olf de la fig.24, donde se -
y
A
fig.24
Substituyendo en (V):
O sea:
46
I
considera una recta AB no pasando
por el origen. Desde el origen
llevemos el segmento OP = p, per-
pendicular a la recta AB; segmen-
to que forma con el semi-eje Ox -
el ánguJ_o 'f. En esta figura, a y
b representan las coordenadas al
origen de la recta AB. Y se tiene:
!-~a - P¡ = cos cp .. .
t = sen <p
1 sento
o=~
X COS !e_ + l. sen~ = 1
p p
x cos Y' + y sen <f = p · •• (VII)
distancia del o.
Ejemplo (l ~
Dividamos
Tomando el
Comprobar t
Ejemplo (2)
en el punto (0,5
Suponer que
Como la rec
de este punto h
Para calcul
'Estos valor
Como el
distintas, una p
consideraciones
radio=4 dibujamo
trazar dos tange
gentes es una sol
gráfica de t odo e
tacto tienen las

(II); lo vimos
escribe:
•• (V)
s ser nulos,
para obtener:
•. (VII)
±
acabamos de in -
g.24, donde se -
ta A.B no pasando
sde el origen
nto OP = p, per-
ecta A.B; segm.en-
el semi-eje Ox -
sta figura, a Y
coordenadas al
a A.B. Y se tiene:
1-~a - P
l=~
o p
••• (VII)
que es la segunda forma normal de la ecuación de la linea recta, -
donde el segundo miembro (término independiente) representa la
distancia del origen a la recta dada.
Ejemplo (1). Distancia del origen a la recta: Jx -4y = 5.
Dividamos esta ecuación entre ±~32
+ 4
21
= ± 5 para obtener:
~ ±z 5
:±? - :ts =±5"
3 4Tomando el signo + resulta: p = 1, cos'f'= '?' senc.p= - ;•
Comprobar todo esto gráficamente, de la ecuación dada.
Ejemplo (2). Encontrar la ecuación de una recta que se apoya
en el punto (0,5) y pasa a una distancia p = 4 del origen.
Suponer que la ecuación pedida es (VII) con p = 4:
xcos'j+ysencp=4 ••• (1)
Como la recta pedida pasa por el punto (0,5), las coordenadas .
de este punto han de verificar la ecuación {i), es decir:
O cose¡+ 5 sen 'f = 4
5 sen'f= 4
sene¡ = ~ ••• ( j)
Para calcular co s '/ponemos:
cosy>= ±Ji 2
- sen 'f
'Estos valores {j) y (k),
+ 3_,
••• (k)cosr¡= ± ~
substituidos en (i), dan:
± J X + 4 y = 20.
Como el primer té:rinino tiene doble signo hay dos solu9iones
distintas, una para cada signo, lo que pudo haberse previsto por -
consideraciones geométricas. Porque, si con pentro en el origen y
radio=4 dibujamos una circunferencia, desde el punto (0,5) podemos
trazar dos tangentes a esa circunferencia, y cada una de esas tan-
gentes es una solución del problema propuesto. Haga el lector la -
•gráfica de todo esto, comprobando de paso que los puntos de con --
tacto tienen las coordenadas ( 12 16) • ·
±5').

e
25. Distancia de un punto a una recta. Sean Q(xl'yl) el punto
o
s
~
',n B
fig.25
dado, .AB la recta dada, ~ig.25.
Sea la ecuación de la recta:
x coa'J' + y senrp = p ••• (VII)
Por el PlpltO Q trazar la rec-
ta auxiliar CD paralela a la recta
dada, .AB. La ecuación de CD es:
X COS'f+ y sen'J= p - d •• (1)
Y como el punto Q pertenece a
la recta CD, sus coordenadas deben
verificar esta ecuaci6n (1):
x1cosf+ y1 sen'f= p - d
• • • x1costp+ y1senf- p =-d.
Hemos obtenido: -d = x1cos'f+ y1 sen'f- p ••• (VIII)
Y podemos considerar los casos especiales siguientes:
(1) Si la recta dada es: y = mx + b • • • {II)
-m
se tiene: COSf= J - 2' i
+ 1 + m
1
sen'f = J - 2' i
+ 1 + m
P
b •
= J 2''.! 1 + m
valores que, substituidos en (VIII) dan:
y -mx -b ( I )d 1 l ••• VI I,a
= .:t)l + m2 '
(2) Si la recta dada es: Ax+ By+ C =O ••• (!)
se obtiene para la expresión de la distancia QS la f6rmu.la:
Ax1 + B.Y1 + C ••• (VIII,b)
d = J 2 2 '.! A + B
(3) Finalmente, para la recta:
~+t=l • • • (V)
se tiene: cos1 = ¡ ; sen'f = $ ; p = J ~b z., ; y la (VIII)
.! a + b
da:
Xl Y1
-d = x1 ¡ + y 1 t - p = p(-¡ + ""1) - 1)
d = ab xl Y1
.:t/a2 + b2' (-¡+""'O - 1) •• (VIII,c)
48
I
Note el 1
da p6r el prime
han substituido
del' punto dado.
de las fórmulas
De la fó
para los puntos
mando para el ra'
cuando el punto
mo lado de la re
Ejemplo (1)
Se aplica (
La distanci
la región superi
ciando la gráfic
Ejemplo (2)
Se aplica (
Se
podemos
mismo lado de la
26. Encont
de dos rectas
finidas como el
distan de las do
Sean
Sea M(x,:r:·
distancias a la

Q(x1 ,y1
) el punto
a dada, ~ig.25.
ación de la recta:
sencp = p ••• (VII)
o Q trazar la rec-
paralela a la recta
ación de CD es:
sen'j = p - d •• (1)
unto Q pertenece a
coordenadas deben
ecuación (1):
senr¡= p - d
sen'('- p = -d.
p ••• (VIII)
gi.lientes:
• • • (II)
b
P =±.Ji+ m'2.'
••• (VIII,a)
•.. (I)
a fórmula:
••• (VIII, b)
• • • (V)
y la (VIII) da:
- 1 ) .• ( VIII , c )
Note el lector que en la f6rmula (VIII) la distancia está da-
da pÓr el primer miembro de la ecuaci6n de la recta en la que se -
han substituido las variables (x,y) por las coordenadas (x
1
,y1
)
der punto dado. La misma observación se aplica a los numeradores -
de las fórmulas (VIII,a) y (VIII,b) y al paréntesis de (VIII,c).
De la fórmula (VIII,a) se aprecia que, si se usa el signo (+)
del radical, se obtiene distancia positiva para todo punto situado
en la parte superior de la recta considerada; distancia negativa -
para los puntos de la región inferior. En la fórmula (VIII,?), to-
mando para el radical el signo de e, la distancia resulta positiva
cuando el punto Q(x1 ,y1 ) y el origen de coordenadas están del mis-
mo lado de la recta dada; pero es negativa en caso contrario.
Ejemplo (1). Distancia del punto (-1,2) a la recta y= 2x + l.
Se aplica (VIII,a): d - 2 + 2 -l - 3
- 1/1 + 4 -::¡;
La distancia resultó positiva porque el punto (-1,2) está en
la región superior de la recta dada, como se prueba fácilmente ha-
ciendo la gráfica.
Ejemplo (2). Distancia del punto (2,-3) a la recta y+ x = 5.
Se aplica (VIII,b): d = -3;.j+ 2 -5 = -=t- = 3~.
- 1 + 1 -V2
Se escogió para el radical el signo de C y como resultó d>O,
podemos afirmar que el punto (2,-3) y el origen (0,0) están de un
mismo lado de la recta dada. Comprobarlo, haciendo la figura •
26. Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos
de dos rectas dadas por sus ecuaciones. Las bisectrices están de -
finidas como el lugar geométrico de los puntos del plano que equi-
distan de las dos rectas dadas.
Sean las ecuaciones de las rectas dadas:
Ax+By+C =0
A'x + :e•y +e• o
}· •• (i)
Sea M(x,y:· .J.to cualquiera de una de las bisectrices; s-.is
distancias a las rectas (i) deben ser iguales; por eso pone~os:

Ax + :By + e = + A'x + B'y + e•
IJA2 + B2 - ;;¡A,2 + B'2
•• (IX)
que son las ecuaciones de las bisectrices pedidas; el signo (+) da
una bisectriz y el digno (-) da la otra.
Ejemplo. Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los -
áng¡.tlos de las dos rectas: y -2x + 2 = O ; 2y -x + 4 = o.
Respuesta: Y - 2X + 2 = 21j- x + 4
#.Ji + 4 .± 4 + l
O sea: y - 2x + 2 = ,:t{2y - X + 4)
Tomando el signo (+) resulta: y + x + 2 =O.
Tomando el signo (-) se obtiene: y - x + 2 = O.
Y estas son las ecuaciones pedidas de las dos bisectrices.
Se ve de inmediato que ambas bisectrices son perpendiculares
entre ellas y concurren con las rectas dadas en el punto (0,-2).
27. Familias de rectas. Las rectas que cumplen una cierta con-
dición forman una familia de rectas. Así, por ejemplo, la ecuación
(II): y= mx + b define una familia de rectas; la que está formaua
por todas las rectas del plano, excepto las páralelas al eje y•y.
En esta ecuación suponemos que los parámetros m y b toman valores
arbitrarios; pero si fijamos el valor de b, por ejem~lo, tendremos
la familia formada por todas las rectas (con todas las pendientes
posibles) que pasan por el punto fijo (O,b). Esta última familia -
depende de un solo parámetro, que es m.
El lector debe encontrar las ecuaciones con un solo parámetro,
de las siguientes familias de rectas, construyendo la figura ilus-
trativa en cada caso:
a) De todas las paralelas al eje de las abscisas.
b) De todas las paralelas al eje de las ordenadas.
e) De todas las rectas ~ue pasan por~ origen.
d) De las que se apoyan en el punto (-5,0).
e) De todas las que concurren en el punto (x1
,y1
).
f) De las que son paralelas a la recta 4y + 3x = 8.
g) De las que son perpendiculares .a la recta anterior.
En cada caso, dando un valor particular al parámetro conside-
rado, se obtiene la ecuación de una recta particular de la familia.
50
Un caso
general de
ecuaciones.
Sean las
/
y sea .A una
ción por Ay
Sean (x1
rectas (i); e
táneam.ente lo
to , anulan lo
verificada 1n1
rectas repres
del sistema (
siendo arbit
das las
Se
presentando
de escogerse
ejemplo, que
diente dada.
Ejemplo
pasan por el
son: 2x - y +
lar
La
donde .A. es
,..~ntesis y

•• (IX)
!l signo (+) da
~rices de los -
~ = o.
oisectrices.
erpendiculares
punto (0,-2).
ma cierta con-
lo, la ecuación
.i.e está formada
as al eje y•y.
toman valores
o.plo, tendremos
las pendientes
ltima familia -
solo parámetro,
::..a figura ilus-
as.
das.
nterior.
oá.metro conside-
."!:' de la familia.
Un caso interesante es el siguiente: Encontrar la ecuación -
general de las rectas que concurren con dos rectas dadas por sus -
ecuaciones.
Sean las ecuaciones de las dos rectas dadas:
I !.::~.~:~.:~} ...(i)
y sea .A una constante arbitraria; multipliquemos la segunda ecua -
ción por .1 y restemos miembro a miembro para obtener:
(Ax+ By + C) +.A (A•x + B•y + ·e•) =o ••• (ii)
Sean (x1 ,y1 ) las coordenadas del punto de intersección de las
rectas (i); estos dos números, substituidos en (1), anulan simul -
táneamente los primeros miembros de dichas ecuaciones; por lo tan-
to, anulan los paréntesis de la ecuación (1i), la cual queda as! -
verificada independientemente del valor de .A • Se concluye que las
rectas representadas por la ecuación (11) concurren con las rectas
del sistema (i). La constante .A. que figura en la ecuación (11),
s~endo arbitraria, puede adquirir una infinidad de valores distin-
tos; haciendo que :A. tome todos los valores reales se obtienen to -
das las rectas concurrentes en el punto (x1 ,y1 ).
Se puede considerar indistintamente la ecuación (11) como re-
presentando un haz de rectas concurrentes o bien como representan-
do una recta móvil que gira en torno del punto de intersección de
las rectas (i). El parámetro :A. que figura en la ecuación (1i) pue-
de escogerse entonces de tal modo que la recta representada por
dicha ecuación satisfaga alguna condición adicional impuesta, por
ejemplo, que dicha recta pase por un punto dado o tenga una pen
diente dada.
Ejemplo (1). Encontrar la ecuación general de las rectas que
pasan por el punto donde se cortan las dos rectas cuyas ecuaciones
son: 2x - y + 3 = O ; 3x + y - 5 = O. Encontrar la recta particu -
lar de esta familia, paralela a la recta y = x •
•
La ecuación pedida es: (2x -y + 3) +.A(3x + y - 5) = O,
donde .A es el parámetro arbitrario. Haciendo desaparecer los a
~éntesis y despejando y, esta ecuación se escribe:
2x - y + 3 + 3A x + J... y - 5 A = O
5-

,Ji'
<.A.- l)y + <2 + 3.A.)x + (3 - 5.A.> =o
.. . 2 + 3A 3 - 5.A. e >Y= l-).. x+ 1-Jl .•. a
Se ve que la recta representada por esta ecuación tiene por -
pendiente y por ordenada al origen, los números:
m - 2 + ~.A. b - 3 - 5.íl- 1-_ ' - 1-,A ••• (c)
Si se quiere que la recta de ecuación (a) sea_paralela a la -
recta y = x, se debe poner m = 1, o sea:
2 + 3). - l
1 - .A -
2 + 3.A. = l -.A .•. .A.= -1/4
este valor de.A. nos da: m = 1, b = 17/5, que substituídos en (a):
17 " •y = X + ~ • • .5y - 5X =17.
Ejemplo (2). Encontrar la ecuación de una recta por el punto
(2,-1) y por el punto donde se cortan las rectas: x +y = 3 ;
2x - y = o.
Todas las rectas que concurren con las dos rectas dadas están
representadas por la ec~ación:
(x + y - 3) +.;t(2x - y) = O ••• (b)
y como la recta pedida debe pasar por el punto (2,-1). ss pondrá
x = 2, y= -1 en la ecuación (b), lo que da:
(2 -1 -3) '+.A,(4 + l) =o .. .
,este valor de.; se substituye en (b) para obtener:
(x + y - 3) + ~(2x - y) = O
5x + 5y - 15 + 4x - 2y = O
9x + 3Y - 15 = O
A.= 2/5 ,
que es la ecuac~ón pedida; en la que podemos dividir todos los
t~rm.inos entre 3, para obtener: 3x +y - 5 = O.
Trazar la gráfica y comprobar que la recta obtenida pasa por
el punto (2,-1) y por el punto (1,2) donde concurren las rectas
dadas.
52
l. Obten
significado d
general (I) a
2. Escri
normal, obten
3. Encon
(4,0) y del o
= 4; trazar 1
4. Pasar
(VII) de la e
cos !f =
=
y
ta:
8. Ecuac
san a la dist
trazar la
que pasan
y-x+2=
10.
yos
(13/17,
las
y +
11.

= o
•••(a)
tiene por -
• • • (c)
alela a la -
= -1/4
dos en (a):
por el punto
+ y = 3 ;
s dadas están
••• (b)
• se pondrá
..:l = 2/5 ,
todos los
ida pasa por
las rectas
E J E R e I e I o s
l. Obtener la segunda fprma normal de la ecuación de la recta;
significado de los parámetros p y JJ • ¿Cómo se pasa de la forma
general (I) a la segunda forma normal (VII)?
2. Escribiendo la ecuación 3x - 4y = 6 en la segunda forma
normal, obtener: p = 6/5,J>= 306°08 1 • Comprobar gráficamente•
3. Encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto -
(4,0) y del origen a la distancia p = 2; dos soluciones: x ± y./3'=
= 4; trazar la gráfica y comprobar.
4. Pasar de la forma usual (II) a la segunda forma normal
(VII) de la ecuación de la recta, para obtener:
cos 'f = -m
' z~l + m2'
sen CíJ = 1
J . ¡_ 2 1
b
p = -;::::=~
z.J1 + m2t
'
zyl + m
5. Distancia de un punto dado por sus coordenadas a una recta
dada por su ecuación; obtener las fórmulas (VIII), (VIII,a),
(VIII,b) y (VIII,c) del texto.
6. Calcular la distancia del punto (5,2) a la recta 3x -4y ~
= -6. Respuesta: d = 13/5. 'Hacer la gráfica para ver que el origen
y el punto dado están de un mismo lado de la recta dada•
7. Distancia del punto (6,-1) a la rect~ 3x + 1 =y. Respue~
ta: d = 2 /10; trazar la gráfica y comprobar.
8. Ecuaciones de las paralelas a la recta x + 3y =O, que pa-
san a la distancia VfO' del punto (..11,2). Respuesta: x + 3y = 5 + 10;
trazar la gráfica y comprobar.
9. Ecuaciones de las perpendiculares a la recta x + y = O,
que pasan a la distancia 2 -./2'del punto (1,:-1). Respuesta:
y - x + 2 = ± 4; trazar la gráfica y comprobar.
10. Encontrar las longitude_s de las alturas del triángulo cu -
yos v~rtices son: (2,0), (3,5) y (-1,2); encontrar las coordenadas
(13/17, 28/17) del punto donde concurren las tres alturas.
11. Dibujar las rectas: x + y = O; y - x + 2 = O; encont~
las ecuaciones de las bisectrices de sus ángulos. Respuesta: x = -
y + 1 = O; gráfica de todo esto.
=

12. Encontrar las bisectrices de los ángulos que forman las
rectas: x + y = 2; x + 2 = 7y. Respuesta: 3x - y = 4; x + 3Y = 3.
13. Un triángtllo isósceles tiene por base el segmento que de -
finen los puntos (5,-5) y (-1,-1); su tercer vértice sobre la rec-
ta x = 6. ¿Cuál es su área? Respuesta: 26.
14. Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por el
punto (-1/2, 4) a la distancia p = 2 del origen.
Respuesta: 4x + 3y = 10 ; -12x + 5y = 26.
15. Encontrar las ecuaciones de las bisectrices del triángulo
A(-3,-6), B(l3,6), C(-12,6) y por medio de ellas el centro de la -
circunferencia inscrita. Respuesta: I(-2,1).
16. Uno de los vértices de un cuadrado es A(2,4) y el punto en
que se cortan sus diagonales M(3,7). Encontrar las ecuaciones de -
sus lados. Respuesta: y + 2x = 13 ± 5 ; 2y - x = 11 ± 5.
17. Familias .de rectas con un parámetro; escribir las ecuacio-
nes pedidas al final de la página 50; determinar en cada una la
recta particular de la familia que pasa por el punto (2,-1).'
18~ Hágase ver que la ecuación (VII) con dos parámetros, p yy.>,
representa todas las rectas del plano; considerar casos particula-
res: rectas paralelas a los ejes, rectas que pasan por el origen, ••
L9. La ecuación (3x - 2y - 10) + k (x +y) = O representa una
familia de rectas concurrentes con: 3x - 2y - 10 = O; x + y = O. -
Calcular valores apropiados del parámetro k para obtener las dos -
rectas particulares siguientes:
a) la que pasa por el pun·to (4,-1) • Respuesta: x - 2y = 6.
b) la perpendicular a la recta x + y = o. Respuesta: x - y = 4.
20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son:
3x - y + 6 = O 2x + y - 3 = O X + y - l = 0.
Usar el método del ejercicio anterior para encontrar las ecua-
ciones de las tres alturas del triángulo, que son:
)y + x + 1 = O ; 5y - 5x = 24 ; 8y - 4x = 23 ;
y el punto (-77/20, 19/20) donde concurren estas alturas.
54
Esta
La circunf
equidistan
28. E
Si en la f
C(h,k) fij
y el punto
C conserva
te, tendre
ferencia.
nos da:
r2 =
ecuación q
x2 +
Obser
coeficient
producto :x
ecuación d
Si D
x2 +
Cuand
nadas, cua
x2 +
que es la
Ejem¡:
tiene por
La ec
(x -
Quita
.. .

forman las
X + 3Y = 3.
ento que de -
sobre la rec-
san por el
el triángulo
entro de la -
y el punto en
uaciones de -
.:!: 5.
las ecuacio-
ada una la
(2,-1).
etros, p y y;,
os particula-
r el origen, ••
presenta una
X + y = 0.
er las dos -
- 2y = 6.
ta: X - Y = 4.
on:
- 1 = o.
rar las ecua-
4x = 23 ;
s.
C A P I T U L O III
LA CIRCUNP'ERENCIA·
Esta es la primera curva de segundo grado que estudiaremos:
La circunferencia es u.na curva plana que tiene todos sus puntos
equidistantes de un punto interior fijo llamado centro.
28. Ecuación de la circunferencia.
Si en la fig.26 consideramos el centro
C(h,k) fijo (de coordenadas constantes)
y el punto P(x,y) que gira alrededor de
e conservando la distancia r = constan-
te, tendremos la gráfica de la circun -
ferencia. La condición de equidistancia
nos da:
r 2 = (x - h)
2
+ (y - k)
2 ••• (I) fig.26
ecuación que, después de desarrollar loe paréntesis, queda así:
x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r 2 =O ••• (I,a)
Observar en (I,a) que los términos cuadráticos tienen igual -
coeficiente y la ecuación carece del término rectangular, con el -
producto xy de las variables. Estas condiciones cara.eterizan la
ecuación de la circunferencia.
Si D = -2h, E= -2k, F = h2
+ k2 - r 2
, la •(I,a) se escribe:
x2 + y 2 + Dx + Ey + F =O ••• (II)
Cuando el centro de la circunferencia es el origen de coorde-
nadas, cuando h = k = O, la ecuación (I,a) se escribe:
2 2 2 (x +y = r .•• I,b)
que es la ecuación de la circunferencia con centro (O,O) y radio = r.
Ejemplo (1). Escribir la ecuación de la circunferencia que
tiene por centro el punto C(3,5) y su radio r = 8•
•
La ecuación (I) con h = 3, k = 5, r = 8, da:
' 2 2 2
(x - 3) + (y - 5) = 8
Quitando paréntesis: x2 -6x + 9 + y2 -lOy + 25 = 64
x2 + y
2 -6x -lOy - 3Ó = O

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