O documento discute funções polinomiais do 1o grau, especificamente a função linear. Apresenta exemplos de como estas funções podem ser usadas para modelar situações como depreciação de máquinas e gastos com faculdade. Também mostra como construir gráficos de funções lineares e como analisar suas inclinações e pontos de interseção.
2. A matemática é uma das ferramentas mais importantes para o profissional
da área contábil, uma vez que ele lida com valores que envolvem posses,
patrimônios e as relações econômico-financeiras relacionadas a eles.
Do ponto de vista matemático, as relações mais importantes são as
funções. E, dentre elas, uma de grande destaque é a função polinomial do
1°grau ou função afim.
Vamos começar?
3.
4. Existem vários métodos para o cálculo da depreciação e o mais simples e
mais usado é o método linear ou em linha reta.
Como calcular então o valor da
depreciação de uma máquina de R$
400.000,00, sabendo que a vida útil é de 5
anos, e o valor residual (ou de troca) é de
R$ 50.000,00
O que tudo isso tem a ver com o estudo da função
do 1 grau?
Isto você verá no final desta aula!
5. Fique por dentro
Ao montar sua planilha de gastos domésticos, Marcos contabiliza os gastos
programando-se para quando sua filha ingressar na faculdade.
A mensalidade da faculdade é R$ 600,00 e, no primeiro mês, é cobrada uma
taxa única de matrícula de R$ 100,00.
O total da despesa de Marcos com a faculdade pode ser calculado conforme o
números de meses que sua filha estudar.
6. Generalizando, temos y = 600. x + 100 e a função obtida é um exemplo de
função polinomial do 1° grau, cujo domínio é IN.
para x = 1, y = 600 + 100
para x = 2, y = 2. 600 + 100
para x = 3, y = 3. 600 + 100
para x = 4, y = 4. 600 + 100
Sendo x número de meses e y o gasto correspondente,em reais, podemos
escrever y em função de x:
Vamos conhecer um pouco mais a respeito desta
função?
7. Definição
Chama-se ou
a qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma:
,
função polinomial do 1º grau
função afim
a ≠ 0
o número a é chamado de coeficiente de x
e o número b é chamado termo constante.
f(x) = ax + b
onde a e b são números reais dados e
8. Vejamos alguns exemplos de funções
polinomiais de 1º grau.
f (x) = .x + , onde a = e b =600 600100 100
f (x) = x + 1 , onde a = 1 e b = 1
4 2 4 2
f (x) = . x , onde a = e b = 012 12
9. Dizem que uma imagem vale mais do que mil palavras, correto? Isso é verdade para as
funções cujas imagens são os gráficos. Vamos ver o gráfico de uma função
polinomial de 1° grau? Veja o exemplo.
Lia é assinante da Empresa Hello e ela paga R$ 37,00 fixos por mês pelo direito de
utilizar esta assinatura, acrescidos de R$ 0,50 por cada minuto excedente.
A lei que expressa f(x) de x é:
f(x) = 37 + 0,5 x
Para acompanhar os gastos de Lia podemos atribuir a x alguns valores,
construir uma tabela e marcar os pontos em um referencial cartesiano.
10. Gráfico da função do 1º grau y = 0,5 x + 37
Observe que nesse exemplo quanto mais aumentamos o valor de x (quanto mais Lia
falou) maior é o valor de y (mais ela gastou). Dizemos que nesse caso a função é
crescente. No caso da função do 1° grau, isso ocorre sempre que a > 0. (a = 0,5)
O gráfico mostra como o valor gasto por Lia variou em função do total dos
minutos excedentes.
x y = 0,5 x + 37 (x,y)
0 37 (0, 37)
10 42 (10, 42)
26 50 (26, 50)
11. .
O gráfico de uma função
polinomial de 1º grau é
sempre uma reta.
Você percebeu que o gráfico da função de 1º grau é uma e que basta
obter dois de seus pontos para traçá-la. Daí...
r e t a
12. .
Por isso, escolhemos alguns pontos, marcamos no plano cartesiano e traçamos o
gráfico, ligando esses pontos.
Mas isso é impossível,
pois o número de pontos
é infinito!
13. Acompanhe outro exemplo.
Nesse exemplo, quanto mais aumentamos o valor de x menor é o valor de y.
Dizemos que nesse caso a função é decrescente. Isso ocorre sempre quando
x y = - x + 2 (x,y)
-1 3 (-1, 3)
0 2 (0,2)
1 1 (1, 1)
Vamos construir o gráfico da função y = - x + 2
a<0.
(a= -1)
14. Na função do 1º grau f(x) = a.x + b, vimos que b é o
termo constante. Ele também é chamado de
coeficiente linear do gráfico de f e determina o
ponto aonde o gráfico se intercepta com o eixo OY.
Podemos observar isso claramente no gráfico do exemplo
anterior:
x y = - x + 2 (x,y)
-1 3 (-1, 3)
0 2 (0, 2)
1 1 (1, 1)
0 2
y = - x + 2
(0, 2)
15. Enquanto b determina o ponto de intersecção, o a (coeficiente de x) determina a
inclinação da reta. Por isso, a é chamado também de ,
declividade, ou inclinação. Ele pode ser obtido por meio de dois pontos quaisquer da reta,
por exemplo, os pontos P2 = (10,42) e P3 = (26,50) do gráfico de gastos de Lia.
coeficiente angular
a = 50 – 42 = 8 = 1 = 0,5
26 – 10 16 2
Então tg α = 0,5 α ≈ 27°
Sabendo que:
Veja no gráfico ao lado:
16. A depreciação linear é um conceito simples: subtrai-se do valor de aquisição o valor
final e divide-se pelo tempo. Esse é o valor depreciado por unidade de tempo.
Fórmula
Onde:
DL = valor de depreciação
PV = valor do bem (preço inicial)
n = vida útil
R = valor residual
Como calcular então o valor da depreciação de uma máquina de R$
400.000,00, sabendo que a vida útil é de 5 anos, e o valor residual
(ou de troca) é de R$ 50.000,00?
Para finalizar, vamos retomar à questão relacionada à depreciação:
Podemos ver que o valor de depreciação varia
linearmente (função do 1° grau) em relação ao valor
do bem.
17. Solução:
n
Valor de
Depreciação
Depreciação
Acumulada
Residual
0 - x - - x - R$ 400.000,00
1 R$ 70.000,00 R$ 70.000,00 R$ 330.000,00
2 R$ 70.000,00 R$ 140.000,00 R$ 260.000,00
3 R$ 70.000,00 R$ 210.000,00 R$ 190.000,00
4 R$ 70.000,00 R$ 280.000,00 R$ 120.000,00
5 R$ 70.000,00 R$ 350.000,00 R$ 50.000,00
Utilizando essa fórmula, pode-se construir uma tabela para acompanhar a depreciação
do bem em função do tempo.
19. Saiba mais sobre depreciação em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Deprecia%C3%A7%C3%A3o
Assista a aula de funções do prof. Nivaldo em:
http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g&feature=player_embedded
Navegando
Ótimo site com links e dicas sobre função do 1º grau:
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm
20. Agora é sua vez!
1. Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilômetro rodado. Sabendo
que o preço a pagar é dado em função do número x de quilômetros rodados, responda:
a) Qual é a lei da função afim representada por essa situação?
b) Qual é a taxa de variação (o valor de a)?
2. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$
0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas.
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;
b) calcule o custo de 100 peças;
c) escreva a taxa de crescimento da função.
