2. Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0
Ada 3 masalah limit yang dikenal, yaitu
sin x
lim
x→0
x
,
x2 − 9 ,
lim 2
x →3 x − x − 6
f(x) − f(a)
lim
x →a
x −a
Limit tersebut tidak dapat ditentukan dgn aturan hasil bagi limit, yaitu
hasil
bagi pembilang dan penyebut berlimit nol, sehingga dgn
menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi, diperoleh jawaban
yg tak ada artinya, yaitu 0/0.
Aturan yg lazim dipakai untuk menghitung limit-limit demikian dinamakan
Aturan l’Hopital.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 2
3. Aturan l’Hopital untuk bentuk 0/0
Mis :
lim f(x) = lim g(x) = 0
x →u
Apabila : lim [f
x →u
'
(x)/g' (x)]
ada, baik ia terhingga atau tak terhingga
f ' (x)
(bilangan terhingga L, ∝, atau -∝), maka lim :
x→u g' (x)
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 3
4. Aturan l’Hopital untuk bentuk 0/0
Contoh :
Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :
sin x
a) lim
x→0
x
x2 − 9
b) lim 2
x →3 x − x − 6
Jawab :
Jawab :
x2 − 9
2x
6
lim 2
= lim
=
x →3 x − x − 6
x →3 2x − 1
5
sin x
D sin x
lim
= lim x
x →0
x →0
x
Dx x
cos x
=1
x →0
1
= lim
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 4
5. Aturan l’Hopital untuk bentuk 0/0
Contoh :
Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :
1− cos x
c) lim
x →0
x
x 2 + 3x − 10
d) lim+
x →2
x 2 − 4x + 4
Jawab :
Jawab :
1− cosx
D x (1− cosx)
lim
= lim
x →0
x →0
x
Dx x
x 2 + 3x − 10
2x + 3
lim
= lim+
2
x →2+
x − 4x + 4 x →2 2x − 4
sinx
= lim
=0
x →0
1
Integral
FT – BUDI LUHUR
=∞
Slide - 5
6. Teorena Nilai Rata-rata Cauchy
Andaikan f dan g fungsi yg terdiferensialkan pada selang (a, b) & kontinu
pd selang [a, b]. Apabila g ′(x) ≠ 0 untuk semua x di (a, b), maka ada
bilangan c dalam selang (a, b) sehingga :
f(b) − f(a)
f ' (c)
= '
g(b) − g(a) g ( c))
Bukti aturan l’Hopital :
adanya lim+ [f ' (x)/g' (x)] mengandung pula sifat adanya f ′(x) & g ′(x)
x →a
paling sedikit dalam lingkungan (a, b) dari a & bahwa : xlim+ f(x) = 0
→a
danlim+ g(x) = 0
x →a
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 6
7. Teorena Nilai Rata-rata Cauchy
Bukti aturan l’Hopital : (lanjutan)
Dapat didefinisikan bahwa f(a)=0 dan g(a) = 0. Dengan demikian f dan g
kontinu (kanan) di a, agar f dan g memenuhi syarat-syarat dalam teorema
nilai rata-rata Cauchy pd selang [a, b]. Maka ada c dalam (a, b) sehingga :
f(b) − f(a)
f ' (c)
= '
g(b) − g(a) g ( c))
f(b) f ' (c)
=
Oleh karena f(a) = 0 = g(a), maka : g(b) g' ( c))
f(b)
f ' (c)
lim
= lim
Apabila b → a+ jadi juga c → a+, maka diperoleh : b→a + g(b) c →a + g' (c)
Bukti yang serupa berlaku untuk limit kiri.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 7
8. Integral Tak Wajar
b
Integral tertentu∫ f(x)dx
disebut integral tak wajar, jika :
a
a) integral f(x) memp. satu atau lebih titik diskontinu pd selang a ≤ x ≤ b,
atau
b) paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga
Integran yg Diskontinu, jika f(x) pada selang a ≤ x < b, tetapi
diskontinu
pada x = b, maka didefinisikan :
b
b−ε
∫ f(x)dx = lim+ ∫ f(x)dx, asalkan limit ada
a
ε →0
a
Jika f(x) kontinu pd selang a<x≤ b, tetapi diskontinu di x = a,
b
didefinisikan = lim f(x)dx, asalkan limit ada
f(x)dx
+
b
∫
a
Integral
ε →0
∫
a+ ε
FT – BUDI LUHUR
Slide - 8
9. Integral Tak Wajar
Jika f(x) kontinu u/ semua nilai x pd selang a ≤ x ≤ b, kecuali x = c,
di mana a < c < b, didefinisikan :
c −ε
b
b
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx
a
ε →0 +
a
ε →0 +
c +ε
asalkan kedua limit itu ada.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 9
10. Integral Tak Wajar
Contoh :
3
1) Hitung :
∫
0
dx
9 − x2
Penyelesaian :
Integran diskontinu pada x = 3.
3 −ε
lim
ε →0 +
∫
0
3
Maka :
∫
0
Integral
dx
x
= lim+ arcsin
2
ε →0
3
9−x
3 −ε
0
3−ε
= lim+ arcsin
ε →0
3
1
= lim+ arcsin 1 = π
ε →0
2
dx
1
= π
9 − x2 2
FT – BUDI LUHUR
Slide - 10
11. Bentuk Tak Wajar yang lain
x
x →∞ e x
Untuk limit sebagai berikut : lim
f(x)
lim
Bentuk limit ini tergolong bentukx →∞
yg memiliki sifat bahwa
g(x)
pembilang & penyebut menuju tak terhingga. Bentuk tsb dinamakan
bentuk
tak-tentu dari jenis ∝/∝. Bentuk l’Hopital juga berlaku dalam hal ini.
f(x)
f ' (x)
Jadi, lim
= lim '
x →∞
g(x)
x →∞
g (x)
Dgn menggunakan Aturan l’Hopital
diperoleh :
Contoh :
x
x →∞ e x
1) Tentukan : lim
∝
Penye. :
Tampak bahwa x & ex menuju
apabila x →∝.
Integral
lim
x →∞
x
Dx x
1
= lim
= lim x = 0
e x x →∞ D x e x x →∞ e
FT – BUDI LUHUR
Slide - 11
12. Pemakaian Integral Tak Tentu
Bila persamaan y = f(x) st kurva diketahui kemiringan m di tiap titik P(x,y)
pd kurva tsb diberikan oleh m = f′(x).
Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di titik P(x,y) padanya diberikan
oleh
m = dy/dx = f′(x), kumpulan kurva y = f(x) + C dapat ditemukan lewat
integrasi. U/ mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu,
ditetapkan a/ ditentukan suatu nilai C. Dilakukan dgn menyatakan bahwa karna
melalui suatu titik tertentu.
Suatu persamaan s = f(t), dimana s adl. jarak suatu benda pada t terhadap
suatu titik tetap pd lintasannya (garis lurus), dgn lengkap mendefinisikan
gerakan benda.
Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh :
ds '
dv d2s ''
dan
v=
= f (t)
a=
= 2 = f (t)
dt
Integral
dt
FT – BUDI LUHUR
dt
Slide - 12
13. Pemakaian Integral Tak Tentu
Contoh :
1)
Carilah pers. kumpulan kurva yg kemiringannya di titik P(x,y) adalah
m= 3x2y dan persamaan kumpulan kurva yg melalui titik (0,8).
Penyelesaian :
dy
dy
2
ln y = x 3 + C = x 3 + ln c
m=
= 3x y atau
= 3x 2dx
dx
y
, maka :
y=ce
x3
dan :
, Jika x = 0 dan y = 8,
8 = ce0 = c
y = 8e
x3
Persamaan kurva yang ditanyakan adalah :
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 13
14. Pemakaian Integral Tak Tentu
2)
Suatu besaran tertentu q bertambah dgn kelajuan yg sebanding dgn
besarnya sendiri. Jika q = 25 bila t = 0 dan q = 75 bila t = 2, cari q bila t =
6.
Penyelesaian :
dq
Karena :
dq
= kq, diperoleh
= k dt
dt
q
Maka :
ln q = kt + ln c atau
q = c ekt
Bila t = 0, q = 25 = ce0 = c ; jadi q = 25ekt
Bila t = 2, q = 25e2k = 75
; maka e2k = 3 = e1.10 dan k= 55
Bila t = 6, q = 25e55t = 22e3.3 = 25(e1.1)3 = 25(27) = 675
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 14
15. Contoh tambahan :
1)
Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Periksa dgn seksama apakah
syarat l’Hopital benar-benar telah terpenuhi sebelum digunakan :
a) lim
x →0
b)
sin x − 2x
x
lim
x →(1 / 2 )π
cos x
x − 1 / 2π
ln x
x →1 x 2 − 1
d) lim
e) lim
t →1
t −t
lnt
x 2 + 5x + 4
c) lim 2
x → −1 x − 4x − 5
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 15
16. Contoh tambahan :
2)
Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Telitilah dengan seksama
sebelum menggunakan Aturan l’Hopital.
x10
a) lim x
x →∞ e
ln(ln x)
b) lim
x →∞
ln x
c)
d)
e)
lim+ (sin x)x
x →0
lim+ (2x)x
2
x →0
lim x1/x
x →∞
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 16
17. Contoh tambahan :
3) Hitunglah :
1
a)
∫
0
4
b)
∫
0
dx
x
dx
4−x
4
c)
dx
∫ 4−x
0
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 17
