5° laboratorio de fisica 2015 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA PETROLEO GAS NATURAL
1
INFORME
Quinto Laboratorio deFísica
DINÁMICA DE ROTACIÓN
Integrantes:
LIMA – PERÚ
2015 – I

2
EXPERIMENTO (TRABAJO Y ENERGIA)
OBJETIVOS
 Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones
efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular
que pasa por su centro de gravedad.
Fundamento TEORICO
Momento de inercia
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo, refleja
la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un
eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición
del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
Ecuaciones del momento de inercia
 Para un sistema de partículas y un eje arbitrario
 Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

3
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de
inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es
igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
Energía cinética rotacional
La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje
fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo.
Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más
energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular
Un cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular posee la energía rotacional:
Donde:
 : Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x.
 : Velocidad angular
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de
masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la
varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre “x” y “x+dx” es

4
El momento de inercia de la varilla es
MATERIALES A USAR
 Un par de rieles paralelos (como plano inclinado)
 Una rueda de Maxwell
 Un cronómetro digital
 Un pie de rey
 Una regla milimetrada
 Una balanza
 Un nivel
PROCEDIMIENTO
1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles.
2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados unos 10cm entre sí.
3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga
en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual.
4. Fija la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de
rodadura pura (sin patinaje).
5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente comience a
medir el tiempo (es decir, t0 = 0); mida los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes
a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente. Tome tres mediciones para t1, t2, t3 y
diez mediciones para t4.
6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4.
7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la
rueda) y mida 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

5
TABLA DE DATOS experimentales
1° INCLINACION
A0
10cm
A1
10cm
A2
10cm
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
tramo 𝝙x(cm) t(s)
t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) tp(s)2
A0A1 10 4.77 5.02 4.93 4.91 24.11
A0A2 20 7.36 7.44 7.31 7.37 54.32
A0A3 30 9.14 9.19 9.24 9.19 84.46
11.30cm
3.70cm
5.62cm

6
Para el tramo A0A4, el tiempo promedio lo calculamos con su respectiva desviación estándar
(dicha desviación lo calcularemos más adelante en cálculos y resultados, por ahora solo
mostramos el tiempo promedio de los 10 tiempos tomados en el tramo A0A4)
t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t7(s) t8(s) t9s) t10(s) tp(s) tp(s)2
A0A4 40 10.71 10.47 10.59 10.52 10.82 10.80 10.47 10.50 10.34 10.85 10.61 112.57
2° INCLINACION
A0
10cm
A1
10cm
A2
10cm
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) tp(s)2
A0A4 40 11.86 11.83 11.73 11.81 139.48
9.29cm
3.14cm

7
Otros datos importantes son:
 Masa del disco = 0.3469Kg
 Diámetro del eje del disco = 0.62cm
CALCULOS Y RESULTADOS
1) De los 10 tiempos tomados en el tramo A0A4, de la 1° inclinación procederemos a calcular la
respectiva desviación estándar de dichos datos, para ello calculamos:
a) Primero la media aritmética de los 10 datos y para ello usamos:
tm = ∑ 𝑡𝑖(
1
10
)10
𝑖=1
Entonces operamos:
 tm =
10.71+10.47+⋯+10.85
10
=
106.1
10
 tm = 10.61……….(1)
b) Luego procedemos a calcular la desviación promedio (ʆi ) de cada medida y el cuadrado de
dichas desviaciones, para ello usamos:
ʆi = ti - tm
Entonces operamos y completamos el siguiente cuadro:
tramo A0A4
i tiempo(ti)
en (seg)
1 10.71
2 10.47
3 10.59
4 10.52
5 10.82
6 10.80
7 10.47
8 10.50
9 10.34
10 10.85
tm =
1
10
∑ (ti10
i=1 )
ʆi = ti - tm

8
t(s) ʆi (ʆi )2
1 10.71 0.10 0.0100
2 10.47 -0.14 0.0196
3 10.59 -0.02 0.0004
4 10.52 -0.09 0.0081
5 10.82 0.21 0.0441
6 10.80 0.19 0.0361
7 10.47 -0.14 0.0196
8 10.50 -0.11 0.0121
9 10.34 -0.27 0.0729
10 10.85 0.24 0.0576
c) Después hallamos la desviación estándar (ʆms), con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro,
y para ello usamos:
Entonces operamos:
 ʆms = [
0.0100+0.0196+⋯+0.0576
10
]1/2
= [
0.2805
10
]1/2
 ʆms = 0.16748
 ʆms = 0.17……….(2)
d) Finalmente de (1) y (2), el mejor valor estimado del tiempo (tmejor) que se demora el disco en
recorrer el tramo A0A4 en la 1° inclinación es:
 tmejor = tm + ʆms
 tmejor = (1.061 ± 0.017).101 s
2) De la primera inclinación procederemos a calcular los momentos de inercia I3 y I4 en los puntos
A3 y A4 respectivamente, para ello aplicamos la conservación de energía mecánica entre los
puntos “A0 y A3”; y “A0 yA4” respectivamente, debido a que se desprecia el rozamiento:
A0
ʆms = [
1
10
∑ (ʆ10
i=1 i)2
]1/2

9
10cm
A1
10cm
A2
10cm
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
a) Primero hallamos las velocidades angulares en los puntos A3 y A4 para ello consideramos que
el movimiento es uniformemente acelerado, y usamos:
Entonces despejando V se tiene:
También para hallar las velocidades angulares usamos
Entonces operamos:
 V3 =
2(0.3m)
9.19s
= 0.0653m/s
 V3 = (ω3)(r)
 0.0653m/s = (ω3)(0.0031m)
 ω3 = 21.0645rad/s
 V4 =
2(0.4m)
10.61s
= 0.0754m/s
 V4 = (ω4)(r)
 0.0754m/s = (ω4)(0.0031m)
 ω4 = 24.3226rad/s
 V0 = 0m/s……….( dado que se suelta de ese punto)
 ω0 = 0rad/s
Vi = (ωi)r
mD(masa del disco) = 0.3469Kg
r(radio del eje del disco) = 0.0031m
x =
1
2
at2 V = at V =
2𝑑
𝛥𝑡
11.30cm
3.70cm
5.62cm

10
b) Luego aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 y A3” y “A0 y A4”
para hallar “I3” y “I4” para ello debemos tener en cuenta:
Dónde: EM = Energía mecánica
ECT = Energía cinética traslacional
ECR = Energía cinética rotacional
EPG = Energía potencial gravitatoria
Para nuestro caso:
1° (entre los puntos A0 y A3):
……….conservación de la energía mecánica
………. (1)
………. (2)
Entonces de (1) y (2) operamos:
 EM (A0) = EM (A3)

1
2
mDV02 +
1
2
ω02I0 + mD(g)(h0) =
1
2
mDV32 +
1
2
ω32I3 + mD(g)(h3)

1
2
(0.3469Kg)(0m/s)2 +
1
2
(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =
1
2
(0.3469Kg)(0.0653m/s) 2 +
1
2
(21.0645rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0562m)
 0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (7.3961)10-4Kg.m2/s2 + 221.8566(rad/)2(I3) + 0.1913m2/s2
 I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2
EM (A0) = EM (A3)
EM (A0) =
1
2
mDV0
2
+
1
2
ω0
2
I0 + mD(g)(h0)
EM (A3) =
1
2
mDV3
2
+
1
2
ω3
2
I3 + mD(g)(h3)
EM = ECT + ECR +EPG
EPG = (m)(g)(h)
ECT =
1
2
mVi
2
ECR =
1
2
ω2
Ii
mD = 0.3469Kg
V3 = 0.0653m/s
ω3 = 21.0645rad/s
V0 = 0m/s
ω0 = 0rad/s

11
2° (entre los puntos A0 y A4):
………. (1)
………. (2)
 EM (A0) = EM (A4)

1
2
mDV02 +
1
2
ω02I0 + mD(g)(h0) =
1
2
mDV32 +
1
2
ω42I4 + mD(g)(h4)

1
2
(0.3469Kg)(0m/s)2 +
1
2
(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =
1
2
(0.3469Kg)(0.0754m/s) 2 +
1
2
(24.3226rad/s)2(I4) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.037m)
 0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (9.8609)10-4Kg.m2/s2 + 295.7944(rad/)2(I3) + 0.1259m2/s2
 I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2
3) De la segunda inclinación procederemos a calcular el momento de inercia I4´ en el punto A4
respectivamente, para ello aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 y
A4” respectivamente, debido a que se desprecia el rozamiento:
A0
EM (A0) = EM (A4)
EM (A0) =
1
2
mDV0
2
+
1
2
ω0
2
I0 + mD(g)(h0)
EM (A4) =
1
2
mDV4
2
+
1
2
ω4
2
I4 + mD(g)(h4)
mD = 0.3469Kg
V4 = 0.0754m/s
ω4 = 24.3226rad/s
V0 = 0m/s
ω0 = 0rad/s

12
10cm
A1
10cm
A2
10cm
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
a) Primero hallamos la velocidad angular en el punto A4 para ello consideramos que el
movimiento es uniformemente acelerado, y usamos:
También para hallar las velocidades angulares usamos
Entonces operamos:
 V4´ =
2(0.4m)
11.81s
= 0.0677m/s
 V4´ = (ω4)(r)
 0.0677m/s = (ω4)(0.0031m)
 ω4´ = 21.8387rad/s
 V0 = 0m/s……….( dado que se suelta de ese punto)
 ω0 = 0rad/s
b) Luego aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 yA4” para hallar
“I4´” para ello debemos tener en cuenta:
mD(masa del disco) = 0.3469Kg
9.29cm
3.14cm
EM = ECT + ECR +EPG
ECT =
1
2
mVi
2
ECR =
1
2
ω2
Ii
Vi = (ωi)r
x =
1
2
at2 V = at V =
2𝑑
𝛥𝑡

13
Dónde: EM = Energía mecánica
ECT = Energía cinética traslacional
ECR = Energía cinética rotacional
EPG = Energía potencial gravitatoria
Para nuestro caso:
(Entre los puntos A0 y A4):
………. (1)
………. (2)
 EM (A0) = EM (A4)

1
2
mDV02 +
1
2
ω02I0 + mD(g)(h0) =
1
2
mDV4´2 +
1
2
ω42I4´ + mD(g)(h4´)

1
2
(0.3469Kg)(0m/s)2 +
1
2
(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0929m) =
1
2
(0.3469Kg)(0.0677m/s) 2 +
1
2
(21.8387rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0314m)
 0 + 0 + 0.3161Kg.m2/s2 = (7.9497)10-4Kg.m2/s2 + 238.4644(rad/)2(I3) + 0.1069m2/s2
 I4´ = (8.7395x10-3)Kg.m2
EM (A0) = EM (A4)
EM (A0) =
1
2
mDV0
2
+
1
2
ω0
2
I0 + mD(g)(h0)
EPG = (m)(g)(h)
mD = 0.3469Kg
V4´ = 0.0677m/s
ω4´= 21.8387rad/s
V0 = 0m/s
ω0 = 0rad/s
EM (A4) =
1
2
mDV4´
2
+
1
2
ω4
2
I4´ + mD(g)(h4´)

14
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE LA GUIA
1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,A0A1),
…, (t4, A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?
Sí, como podemos observar, la gráfica (d vs t) es una curva que corresponde a un
movimiento uniformemente variado (MRUV), o sea que el movimiento de traslación es
uniformemente acelerado, por tanto hablamos que la aceleración es constante.
2. Grafique también d vs t2

15
3. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación
estándar y propagación de errores, calcular:
a) La aceleración del centro de masa aG
La ecuación del movimiento en general:
Como: V0 = 0m/s y “y0” = 0m
Entonces nos queda: yf =
1
2
(a)t2, luego al realizar el grafico“d vs t2” de esta ecuación
obtenemos la ecuación de la recta L: y = 0.0034t2 + 0.017, donde su pendiente viene a
ser igual a 0.0034 y eso a la vez es igual a “
1
2
(a)”, donde “a” es la aceleración del
centro de masa (aG)
Entonces operamos

1
2
(a) = 0.0034
 a = (6.8)10-3m/s2
 como a = aG, entonces
 aG = (6.8)10-3m/s2
b) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en el punto A4
A0
yf = y0 + V0t +
1
2
(a)t2

16
0.4m
A4
…………NR
…………........NR
1° Para hallar la velocidad de traslación “V4”, consideramos que el movimiento es uniformemente
acelerado, y usamos:
Luego el mejor tiempo estimado en recorrer el tramo A0A4, ya fue calculado al inicio de “Cálculos
y Resultados”, y dicho valor fue:
t = (10.61 ± 0.17) s
Como la distancia del tramo A0A4 (d) es:
d = (0.4 ± 0.1) m
Procedemos a calcular la velocidad del centro de masa en el punto A4 usando
Entonces operamos:
 V4 =
2(0.4m)
10.61s
= 0.0754m/s
 V4 = 0.0754m/s………(1)
2° Para hallar la incertidumbre de la velocidad de traslación de “V4” (𝝙V), tomamos el error
relativo a la siguiente formula: V4 = 2d (𝝙t)-1, para ello usamos:
ΔV4
V4
=
2(Δd )
d
+
1(Δt)
t
x =
1
2
at2 V = at V =
2𝑑
𝛥𝑡

17
Entonces operamos:

ΔV4
(0.0754)
=
2(0.1 )
0.4
+
1(0.17)
10.61
 𝝙V4 = 0.0389081m/s……….(2)
3° Finalmente de las ecuaciones (1) y (2), la velocidad de traslación, V4, del centro de masa en el
punto A4 es:
 V4(CENTRO DE MASA) = V4 + 𝝙V4
 V4(CENTRO DE MASA) = 0.0754m/s ± 0.038908m/s
 V4(CENTRO DE MASA) = (7.54 ± 3.8908)10-2m/s
 V4(CENTRO DE MASA) = (7.54 ± 3.89) 10-2m/s
4. La velocidad angular de la rueda en el instante t4
 Primero hallamos la velocidad lineal en el punto 4 (V4) y para ello usamos:
Entonces operamos:
 V4 =
2(0.4m)
10.61s
= 0.0754m/s
 V4 = 0.0754m/s
 Luego hallamos la velocidad angular en el punto 4 (ω4) y para ello usamos:
Solo puede tener dos
decimales
Vi = (ωi)r
V4 =
2𝑑
𝛥𝑡

18
 V4 = (ω4)(r)
 0.0754m/s = (ω4)(0.0031m)
 ω4 = 24.3226rad/s
5. El momento de inercia de la volante, usando la siguiente ecuación, donde aplicamos la
conservación de energía entre el punto A0 y A3
A0
0.3m
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
Entonces operamos:
 EM (A0) = EM (A3)

1
2
mDV02 +
1
2
ω02I0 + mD(g)(h0) =
1
2
mDV32 +
1
2
ω32I3 + mD(g)(h3)

1
2
(0.3469Kg)(0m/s)2 +
1
2
(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =
11.30cm
5.62cm
1
2
mDV02 +
1
2
ω02I0 + mD(g)(h0) =
1
2
mDV32 +
1
2
ω32I3 + mD(g)(h3)

19
1
2
(0.3469Kg)(0.0653m/s) 2 +
1
2
(21.0645rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0562m)
 0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (7.3961)10-4Kg.m2/s2 + 221.8566(rad/)2(I3) + 0.1913m2/s2
 I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2
Donde “I3” es el momento de inercia de la volante
6. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del
momento de inercia?
Las mediciones de la altura son las que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del
momento de inercia, dado que unos milímetros de más o de menos, hará que el momento
de inercia varia su valor en las centésimas.
Otra medición que introduce incertidumbre en el cálculo del momento de inercia es la
longitud recorrida.
7. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?
A0
10cm
A1
10cm
A2
10cm
A3
10cm
A4
…………NR
…………........NR
 El momento de inercia en el punto A3 es: I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2
 El momento de inercia en el punto A4 es: I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2
11.30cm
3.70cm
5.62cm

20
Entonces observamos que la longitud recorrida influye sobre el valor de “I” de la siguiente
manera:
 A mayor longitud recorrida, el momento de inercia aumenta pero ligeramente pero
como observamos lo hace en las centésimas, de lo que podemos considerar que
prácticamente se mantiene constante.
8. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?
De los resultados obtenidos, hallamos los momentos de inercia en el mismo punto A4 pero
distintas inclinaciones:
1° inclinación:
El momento de inercia en el punto A4: I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2
2° inclinación:
El momento de inercia en el punto A4: I4´ = (8.7395x10-3)Kg.m2
Entonces observamos que la inclinación de los rieles influye sobre el valor de “I” de la
siguiente manera:
 A mayor inclinación, el momento de inercia aumenta pero ligeramente que
prácticamente podemos considerar que se mantiene constante.
OJO: 2° inclinación > 1° inclinación

21
Observaciones Y CONCLUCIONES
 En la 1° inclinación, el momento de inercia en el punto A4 denotado por I4 fue de:
(8.7092x10-3)Kg.m2 y en la segunda inclinación que fue mayor que la primera, dicho
momento de inercia en el mismo punto A4 denotado por I4´ fue de: (8.7395x10-3)Kg.m2 ,
como podemos ver, según nuestros resultados concluimos que a mayor inclinación en un
mismo punto(a una misma altura) el momento de inercia aumenta pero en las centésimas,
o sea que el momento de inercia aumenta ligeramente.
Pero estos resultados pudieron variar, o sea que la relación que encontramos pudo ser la
inversa, que a mayar inclinación menor momento de inercia para una misma altura, debido
al error que pudimos cometer al momento de medir las alturas respectivas.
Pero ya sea que el momento de inercia aumente o disminuya, lo hace en una cantidad
muy pequeña, que prácticamente podemos considerar que a una misma altura, aunque
variemos la inclinación, dicho momento de inercia no cambia o sea que se mantiene
constante.
 Entonces concluimos que el momento de inercia se mantiene prácticamente constante en
dos casos: 1° cuando mantenemos la inclinación constante y la longitud recorrida cambia,
y 2° cuando mantenemos la misma altura o sea cuando nos encontramos en un mismo
punto y variamos la inclinación.

22
BIBLIOGRAFIA
 http://www.ecured.cu/index.php/Trabajo_(Fisica)
 http://elmundodelafisicaylasmatematicas.blogspot.com/2011/11/trabajo-mecanico-
realizado-por-una.html
 https://www.google.com/imghp?hl=es-419&gws_rd=ssl

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