Aula 13 propriedade condicional, regra do produto e regra de bayes

Estatística Aplicada a
Administração
ADMINI S TRAÇÃO – EAADM
P ROF. ENIO JOS É BOLOGNINI
2 º S EME S TR E / 2014
AULA 13 – PROPR I EDADE CONDI C IONAL , R EGRA DO PRODUTO E R EGRA DE
BAY E S
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP

PROBABILIDADE CONDICIONAL
Nesta propriedade é possível avaliar a ocorrência dos eventos, no caso
do evento (A), que é condicional ao outro evento (B).
Note que a diferença esta no evento (A), pois é um evento anterior, ou
seja, a ocorrência de é atrelada em A, e sendo calculada a probabilidade
de (B) ocorrer.
Pergunta: “Como posso ler esta definição?”.
Dica: Probabilidade de B dado A ou Probabilidade de B condicional à
ocorrência de A.
푃 퐴/퐵
Veja no próximo slide o exemplo a seguir:
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
Exemplo 1:
Calcule a probabilidade de B ocorrer supondo que A tenha ocorrido.
Dica: “Preste atenção na leitura do slide anterior...”.
Fórmulas: 푃 퐴/퐵 e 푃 퐴 =
푛(퐴)
푛(푆)
푃 퐵/퐴 =
푛(퐴 ∩ 퐵)
푃(퐴)
푃 퐵/퐴 =
푃(퐴 ∩ 퐵)
푃(퐴)
=
푛 퐴 ∩ 퐵
푛(푆)
푛(퐴)
푛(푆)
=
푛 퐴 ∩ 퐵
푛(퐴)
푃 퐵/퐴 =
푛(퐴 ∩ 퐵)
푛(퐴)
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REGRA DO PRODUTO
É uma maneira de se obter a definição do produto por propriedade condicional
como:
푃 퐵/퐴 =
푃(퐴 ∩ 퐵)
푃(퐵)
→ 푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃(퐵) × 푃 퐴/퐵
푃 퐴/퐵 =
푃(퐴 ∩ 퐵)
푃(퐴)
→ 푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃(퐴) × 푃 퐵/퐴
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REGRA DO PRODUTO
Exemplo: São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas.
Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?
Solução:
Total de cartas do baralho: n(S) = 52 cartas
Total de cartas de ouros do baralho: n(A) = 13 cartas
P(A) = 13/52 (probabilidade de que a primeira carta retirada seja ouros)
Como não há reposição de cartas, a primeira carta retirada é de ouros e fica fora
do baralho.

REGRA DO PRODUTO
Para o cálculo de P(B/A):
n(S) = 51 (O Baralho ficou com uma carta a menos após a primeira retirada);
n(B/A) = 12 ( O conjunto das cartas de ouros diminuiu uma carta após a
primeira retirada ).
P(B/A) = 12/51 (probabilidade de que a segunda carta retirada seja ouros)
푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃 퐴 × 푃 퐵/퐴 =
13
52
×
12
51
=
156
2652
=
3
51

EVENTOS INDEPENDENTES
São dois eventos independentes quando realizado (ou não) um evento, que não
interfere na ocorrência (ou não) do evento seguinte:
Se dois eventos são independentes: 푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃(퐴) × 푃(퐵)
Se “n” eventos são independentes: 푃 퐴 ∩ 퐵 ∩ 푐 ∩ ⋯ = 푃 퐴 × 푃 퐵 ×
푃 퐶 …

EVENTOS INDEPENDENTES
EXEMPLO: Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa
encomendou uma pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara
Municipal. Segundo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a
licitação para coleta de lixo de bairro de Sérvia Amarela é de 60%. A pesquisa
revelou ainda que a probabilidade de a empresa ganhar a licitação para coleta de
lixo no bairro de Conceição é de 90%. Qual é a probabilidade de essa empresa
vencer as duas concorrências?
Solução: Como o fato de vencer uma licitação não interfere com o fato de
vencer ou não outra licitação, fica caracterizado que são eventos independentes.
푃 퐴 ∩ 퐵 = 푃 퐴 × 푃 퐵 = 0,60 × 0,90 = 0,54

REGRA DE BAYES
Consideramos n eventos mutuamente exclusivos, tais que a união será os
eventos que resultem igual ao espaço amostral, como:
퐴1 ∪ 퐴2 ∪ 퐴3 … ∪ 퐴푛 = 푆
As probabilidades de cada um dos eventos n, serão consideradas em eventos B
de S, onde todas sejam conhecidas como condicionais em relação a cada um dos
n eventos 푃 퐵/퐴푖 . Para cada probabilidade condicional 푃 퐴푖 /퐵 , 푡푒푚표푠:
푃 퐴푖 /퐵 =
푃 퐴푖 × 푃 퐵/퐴푖
푃 퐴1 × 푃 퐵1/퐴 + 푃 퐴2 × 푃 퐵2/퐴 + ⋯ + 푃 퐴푛 × 푃 퐵푛/퐴

REGRA DE BAYES
Um baralho foi separado em três montes, supondo as seguintes distribuições:
Naipes 1º Monte
(푨ퟏ)
2º Monte
(푨ퟐ)
3º Monte
(푨ퟑ)
Ouros 4 4 5
Copas 6 3 4
Espadas 2 5 6
Paus 5 7 1
17 19 16
Escolhemos um monte ao acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo
sido retirada uma carta de copas, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do
terceiro monte?

REGRA DE BAYES
푃 퐴1 = 1/3 푃 퐴2 = 1/3 푃 퐴3 = 1/3
Probabilidades condicionais (copas em cada um dos montes):
푃 퐶표푝푎푠/퐴1 = 6/17 푃 퐶표푝푎푠/퐴2 = 3/19 푃 퐶표푝푎푠/퐴1 = 4/16
푃 퐴3/푐표푝푎푠 =
푃 퐴3 × 푃 퐶표푝푎푠/퐴3
푃 퐴1 × 푃 퐶표푝푎푠/퐴1 + 푃 퐴2 × 푃 퐶표푝푎푠/퐴2 + 푃 퐴3 × 푃 퐶표푝푎푠/퐴3
푃 퐴3/푐표푝푎푠 =
1
3
×
4
16
1
3
×
6
17
+
1
3
×
3
19
+
1
3
×
4
16
=
323
983
A probabilidade de a carta ter
sido extraída do terceiro monte
é de 323/983 = 0,3286

PRÓXIMA AULA =>
AULA 14 - DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS: PERMUTAÇÕES,
ARRANJOS E DISTRIBUIÇÃO DISCRETA BINOMIAL E POISSON

Referências Bibliográficas
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências
contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.

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