problemas resueltos de analisis matricial

1. Ing. Carlos Elmer Cruz Salazar
2016
Autor:
ING.CIVILI7º“K”
ANALISIS ESTRUCTURAL
AVANZADO

2. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 2
CUADERNILLO DE EJERCICIOS UNIDAD 3
INGENIERIA CIVIL | 7° “K”
INTEGRATES
SANTOS NATAREN HUGO ALBERTO
SANTOS CAMACHO MANUEL JULIO CESAR
VILLALOBOS HERNANDEZ FCO. GABRIEL
SANCHEZ ZARATE ENRIQUE
TRINIDAD FIGUEROA GUADALUPE
VELAZQUEZ ORTIZ LUIS ENRIQUE
ANALISIS ESTRUCTURAL
AVANZADO

3. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 3
14-1 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K P ARA EL ENSAMBLE. CONSIDERE
𝒒𝒖𝒆 𝑨 = 𝟎. 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟕 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟗(𝟏𝟎 𝟑
) KSI PARA CADA ELEMENTO.
Barra 1
𝜆 𝑥 = cos 36.87 = 0.8
𝜆 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6
𝐿 = 60
5 6 1 2
154.667 116 -154.667 -116 5
116 87 -116 -87 6
-154.667 -116 154.667 116 1
-116 -87 116 87 2
K11
Barra 2 𝜆 𝑥 = 1 𝜆 𝑦 = 0 𝐿 = 72
1 2 3 4
K12
201.389 0 -201.389 0 1
0 0 0 0 2
-201.389 0 201.389 0 3
0 0 0 0 4
Barra 3 𝜆 𝑥 = cos 36.87 = 0.8 L=60
𝜆 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = −0.6
7 8 1 2
154.667 -116 -154.667 116 7
-116 87 116 -87 8
-154.667 116 154.667 -116 1
116 -87 -116 87 2
K13

4. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 4
Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K
1 2 3 4 5 6 7 8
510.723 0 -201.39 0 -154.667 -116 -154.667 116 1
0 174 0 0 -116 -87 116 -87 2
-201.389 0 201.389 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 4
-154.667 -116 0 0 154.667 116 0 0 5
-116 -87 0 0 116 87 0 0 6
-154.667 116 0 0 0 0 154.667 -116 7
116 -87 0 0 0 0 -116 87 8
KG
14-2 DETERMINE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICAL EN LA
JUNTA (3) DEL ENSAMBLE DEL PROBLEMA.
𝐷𝑘 =
[
0
0
0
0
0]
𝑄𝐾 = [
0
−4
]
1 2 3 4 5 6 7 8
0 510.723 0 -201.39 0 -154.667 -116 -154.667 116 D1
-4 0 174 0 0 -116 -87 116 -87 D2
Q3 -201.389 0 201.389 0 0 0 0 0 0
Q4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Q5 -154.667 -116 0 0 154.667 116 0 0 0
Q6 -116 -87 0 0 116 87 0 0 0
Q7 -154.667 116 0 0 0 0 154.667 -116 0
Q8 116 -87 0 0 0 0 -116 87 0
KG
0 = 510.72𝐷1 + 0𝐷2
−4 = 0𝐷1 + 172𝐷2
𝐷1 = 0
𝐷2 = −0.0230𝑖𝑛

5. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 5
14-3 DETERMINE LA FUERZA E N CADA ELEMENTO DEL ENSAMBLE DEL
PROBLEMA 14-1
𝐷1 = 𝐷2 = 𝐷3 = 𝐷4 = 𝐷5 = 𝐷6 = 𝐷7 = 𝐷8 = 0 𝐷2 = −0.230
Barra 1
𝑄1 =
0.5(29(103))
60
[−0.8 −0.6 0.8 0.6] [
0
0
0
−0.230
]
𝑄1 =
0.5(29(103))
60
(0.6)(−0.230) = −𝟑. 𝟑𝟑𝑲
Barra 2
𝑄2 =
0.5(29(103))
72
[−1 0 1 0] [
0
−0.0230
0
0
]
𝑄2 = 0
Barra 3
𝑄3 =
0.5(29(103))
60
[−0.8 0.6 0.8 −0.6] [
0
0
0
−0.230
]
𝑄3 =
0.5(29(103))
60
(0.6)(−0.230) = −𝟑. 𝟑𝟑𝑲

6. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 6
14-4 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE
𝑨 = 𝟎 𝟕 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟕 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟗(𝟏𝟎 𝟑
)𝒌𝒔𝒊.
Barra 1
𝜆 𝑥 = sen 450
= −0.707
𝜆 𝑦 = cos 450
= −0.707
𝐿 = 12√32
1 2 3 4
160.155 160.155 -160.155 -160.155 1
160.155 160.155 -160.155 -160.155 2
-160.155 -160.155 160.155 160.155 3
-160.155 -160.155 160.155 160.155 4
K11
Barra 2
𝜆 𝑥 = 0 𝜆 𝑦 = −1 𝐿 = 48
1 2 5 6
0.000 0.000 0.000 0.000 1
0.000 453.125 0.000 -453.125 2
0.000 0.000 0.000 0.000 5
0.000 -453.125 0.000 453.125 6
K12

7. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 7
Barra 3
𝜆 𝑥 = sen 36.870
= 0.6
𝜆 𝑦 = cos 36.87 = −0.8
𝐿 = 60
1 2 7 8
130.50 -174.00 -130.50 174.00 1
-174.00 232.00 174.00 -232.00 2
-130.50 174.00 130.50 -174.00 7
174.00 -232.00 -174.00 232.00 8
K13
Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K
1 2 3 4 5 6 7 8
290.655 -13.845 -160.155 -160.155 0.000 0.000 -130.50 174.00 1
-13.845 845.280 -160.155 -160.155 0.000 -453.125 174.00 -232.00 2
-160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 3
-160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 4
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 0 5
0.000 -453.125 0.000 0.000 0.000 453.125 0 0 6
-130.500 -130.500 0.000 0.000 0.000 0.000 130.50 -174.00 7
174.000 174.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -174.00 232.00 8
K
14-5 DETERMINACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA JUNTA 1 Y LA
FUERZA EN EL ELEMENTO 2.

8. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 8
Elemento 2
𝜆 𝑥 = 0 𝜆 𝑦 = 1, −1
𝐷1 = −500
𝐷2 = 0
𝐷𝑘 =
0
0
0
0
0
0
Qk=⌈
500
0
⌉
1 2 3 4 5 6 7 8
-500 290.655 -13.845 -160.155 -160.155 0.000 0.000 -130.50 174.00 1 D1
0 -13.845 845.280 -160.155 -160.155 0.000 -453.125 174.00 -232.00 2 D2
Q3 -160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 3 0
Q4 -160.155 -160.155 160.155 160.155 0 0 0 0 4 0
Q5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0 0 5 0
Q6 0.000 -453.125 0.000 0.000 0.000 453.125 0 0 6 0
Q7 -130.500 -130.500 0.000 0.000 0.000 0.000 130.50 -174.00 7 0
Q8 174.000 174.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -174.00 232.00 8 0
K
[
−500
0
] = [
0.003443191 5.63967E − 05
5.63967E − 05 0.001183964
] [
𝐷1
𝐷2
]
−500 = 𝐴𝐸(0.003443191D1 − 5.63967E − 05D2)
0 = 5.63967E − 05D1 − 0.001183964D2
𝐷2 =-1.72159573 𝐷 = -0.02819834
ELEMENTO 2
𝜆 𝑥 = 0 𝜆 𝑦 = −1 𝐿 = 48
𝑄2 =
0.75(29(103))
48
[0 1 0 −1] [
−1.7116
−0.0282
0
0
]
𝑄2 =
0.75(29(103))
48
(1)(−0.082) = −𝟏𝟐. 𝟕𝟖𝒍𝒃

9. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 9
14-7 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K ARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE
A = 0.0015 𝑴 𝟐
Y QUE E = 200 G P A P ARA CADA ELEMENTO.
Barra 1
𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2
5 6 7 8
150000000 0 -150000000 0 5
0 0 0 0 6
-150000000 0 150000000 0 7
0 0 0 0 8
K11
Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2
1 2 5 6
150000000 0 -150000000 0 1
0 0 0 0 2
-150000000 0 150000000 0 5
0 0 0 0 6
K12
Barra 3
𝜆 𝑥 = sen 45 = −0.707
𝜆 𝑦 = cos 45 = −0.707
𝐿 = 2√2
1 2 3 4
53020000 -53020000 -53020000 53020000 1
-53020000 53020000 53020000 -53020000 2
-53020000 53020000 53020000 -53020000 3
53020000 -53020000 -53020000 53020000 4
k13

10. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 10
Barra 4 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = 1 𝐿 = 2
5 6 3 4
0 0 0 0 5
0 150000000 0 -150000000 6
0 0 0 0 3
0 -150000000 0 150000000 4
k14
Barra 5 𝜆𝑥 = −0.7071 𝜆𝑦 = −0.7071 𝐿 = 2.8284
3 4 7 8
53020000 53020000 -53020000 -53020000 3
53020000 53020000 -53020000 -53020000 4
-53020000 -53020000 53020000 53020000 7
-53020000 -53020000 53020000 53020000 8
k15
Barra 6 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 2
3 4 9 10
150000000 0 -150000000 0 3
0 0 0 0 4
-150000000 0 150000000 0 9
0 0 0 0 10
k16
Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
203020000 -53020000 -53020000 53020000 -150000000 0 0 0 0 0 1
-53020000 53020000 53020000 -53020000 0 0 0 0 0 0 2
-53020000 53020000 256040000 0 0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 3
53020000 -53020000 0 256040000 0 -150000000 -53020000 -53020000 0 0 4
-150000000 0 0 0 300000000 0 150000000 0 0 0 5
0 0 0 -150000000 0 150000000 0 0 0 0 6
0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 203020000 53020000 0 0 7
0 0 -53020000 -53020000 0 0 53020000 53020000 0 0 8
0 0 -150000000 0 0 0 0 0 150000000 0 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
KG

11. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 11
14-8 DETERMINE EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL EN LA JUNTA 2 Y LA FUERZA EN
LA JUNTA EL ELEMENTO [5]. CONSIDERE QUE 𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓 Y QUE 𝑬 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂.
𝑄𝑘 =
[
0
−30000
0
0
0
0 ]
1
2
3
4
5
6
𝐷𝑘 = [
0
0
0
0
]
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
203020000 -53020000 -53020000 53020000 -150000000 0 0 0 0 0 D1
-53020000 53020000 53020000 -53020000 0 0 0 0 0 0 D2
-53020000 53020000 256040000 0 0 0 -53020000 -53020000 -150000000 0 D3
53020000 -53020000 0 256040000 0 -150000000 -53020000 -53020000 0 0 D4
-150000000 0 0 0 300000000 0 150000000 0 0 0 D5
0 0 0 -150000000 0 150000000 0 0 0 0 D6
KG
0 = [203.033 𝐷1 − 53.033𝐷2 − 53.033𝐷3 + 53.033𝐷4 − 150𝐷5](106) − 30(103)
= [−53.033𝐷1 + 53.033𝐷2 + 53.033𝐷3 − 53.033𝐷4](106)
0 = [−53.033𝐷1 + 53.033𝐷2 + 256.066𝐷3](106)
0 = [53.033𝐷1 − 53.033𝐷2 + 256.066𝐷4 − 150𝐷6](106)
0 = [−150𝐷4 + 300𝐷5](106)
0 = [−150𝐷4 + 150𝐷6](106)
𝐷1 = −0.0004𝑚 𝐷2 = −0.0023314𝑚 𝐷3 = 0.0004𝑚 𝐷4 = −0.00096569𝑚
𝐷5 = −0.0002𝑚 𝐷6 = 0.00096569𝑚 = 0.000966𝑚
𝜆 𝑦 = − cos 45 . 𝜆 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 45
𝐿 = 2.8284𝑀
(𝑞5) 𝐹 =
0.0015[200(109)]
2.8284
[. 707 .707 − .707 − .707]= -42.4 kN

12. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 12
14.9 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CONSIDERE QUE
A= 0.0015 𝑴 𝟐
Y QUE E = 200 GPA PARA CADA ELEMENTO.
Barra 1
𝜆𝑥 = cos 36.87 = − 0.8
𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6
𝐿 = 5𝑚
Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚
1 2 3 4
75000000 0 -75000000 0 1
0 0 0 0 2
-75000000 0 75000000 0 3
0 0 0 0 4
k12
Barra 3 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚
3 4 9 10
75000000 0 -75000000 0 3
0 0 0 0 4
-75000000 0 75000000 0 9
0 0 0 0 10
k13
Barra 4 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 3𝑚
3 4 5 6
0 0 0 0 3
0 100000000 0 -100000000 4
0 0 0 0 5
0 -100000000 0 100000000 6
k14
1 2 5 6
38400000 28800000 -38400000 -28800000 1
28800000 21600000 -28800000 -21600000 2
-38400000 -28800000 38400000 28800000 5
-28800000 -21600000 28800000 21600000 6
k11

13. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 13
Barra 5 𝜆𝑥 = cos 36.87 = − 0.8 𝜆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 36.87 = 0.6 𝐿 = 5𝑚
5 6 9 10
38400000 28800000 -38400000 -28800000 5
28800000 21600000 -28800000 -21600000 6
-38400000 -28800000 38400000 28800000 9
-28800000 -21600000 28800000 21600000 10
k15
Barra 6 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 4𝑚
5 6 8 7
75000000 0 -75000000 0 5
0 0 0 0 6
-75000000 0 75000000 0 8
0 0 0 0 7
k16
Barra 7 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = 1 𝐿 = 3𝑚
8 7 9 10
0 0 0 0 8
0 100000000 0 -100000000 7
0 0 0 0 9
0 -100000000 0 100000000 10
k17
Ensamble para la determinación de la matriz de rigidez K

14. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
113400000 28800000 -75000000 0 -38400000 -28800000 0 0 0 0 1
28800000 21600000 0 0 -28800000 -21600000 0 0 0 0 2
-75000000 0 150000000 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 100000000 0 -100000000 0 0 0 0 4
-38400000 -28800000 0 0 84600000 57600000 0 -75000000 0 0 5
-28800000 -21600000 0 -100000000 57600000 143200000 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0 100000000 0 0 -100000000 7
0 0 0 0 -75000000 0 0 75000000 0 0 8
0 0 -75000000 0 -75000000 -28800000 0 0 0 0 9
0 0 0 0 -28800000 -28800000 -100000000 0 0 100000000 10
KG
14.10, 14-11 DETERMINE LA FUERZA EN EL ELEMENTO (5). CONSIDERE QUE A =
00015𝐌 𝟐
Y QUE E = 200 GPA PARA CADA ELEMENTO.
1 2 3 4 5 6 7
0 113400000 28800000 -75000000 0 -38400000 -28800000 0 D1 0
-20000 28800000 21600000 0 0 -28800000 -21600000 0 D2 -20000
0 -75000000 0 150000000 0 0 0 0 D3 0
0 0 0 0 100000000 0 -100000000 0 D4 0
0 -38400000 -28800000 0 0 84600000 57600000 0 D5 0
0 -28800000 -21600000 0 -100000000 57600000 143200000 0 D6 0
0 0 0 0 0 0 0 100000000 D7 0
2.66667E-08 -3.55556E-08 1.33333E-08 -2.34968E-23 -3.1329E-23 -2.34968E-23 0 D1 0.000711111
-3.55556E-08 0.00000014 -1.77778E-08 4.62963E-08 2.09832E-22 4.62963E-08 0 D2 -0.0028
1.33333E-08 -1.77778E-08 1.33333E-08 -1.18424E-23 -1.18424E-23 -1.18424E-23 0 D3 0.000355556
0 4.62963E-08 0 2.84217E-07 -1.7094E-07 2.74217E-07 0 D4 -0.000925926
0 1.15348E-22 0 -1.7094E-07 1.28205E-07 -1.7094E-07 0 D5 -2.30696E-18
0 4.62963E-08 0 2.74217E-07 -1.7094E-07 2.74217E-07 0 D6 -0.000925926
0 0 0 0 0 0 0.00000001 D7 0
MINVERSA

15. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 15
0.8 -0.6 -0.8 0.6 -2.30696E-18
-0.000925926
0
0
𝑸𝟓 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟑
14.12 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA LA ARMADURA. CON SIDERE QUE
𝑨 = 𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐 Y QUE 𝑬 = 𝟐 𝟗 ( 𝟏𝟎 𝟑
) KSI.
Barra 1 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 72𝑖𝑛
1 2 5 6
0 0 0 0 1
0 805.556 0 -805.56 2
0 0 0 0 5
0 -805.56 0 805.556 6
K11
Barra 2 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 96𝑖𝑛
5 6 3 4
604.167 0 -604.17 0 5
0 0 0 0 6
-604.17 0 604.167 0 3
0 0 0 0 4
K12

16. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 16
Barra 3 𝜆𝑥 = −1 𝜆𝑦 = 0 𝐿 = 96𝑖𝑛
1 2 7 8
604.167 0 -604.17 0 1
0 0 0 0 2
-604.17 0 604.167 0 7
0 0 0 0 8
K13
Barra 4 𝜆𝑥 = 0 𝜆𝑦 = −1 𝐿 = 72𝑖𝑛
3 4 7 8
0 0 0 0 3
0 805.556 0 -805.56 4
0 0 0 0 7
0 -805.56 0 805.556 8
K14
Barra 5 𝜆𝑥 = −0.8 𝜆𝑦 = −0.6 𝐿 = 120𝑖𝑛
1 2 3 4
309.333 232 -309.33 -232 1
232 174 -232 -174 2
-309.33 -232 309.333 232 3
-232 -174 232 174 4
K15
Barra 6 𝜆𝑥 = −0.8 𝜆𝑦 = 0.6 𝐿 = 120𝑖𝑛
5 6 7 8
309.333 -232 -309.33 232 5
-232 174 232 -174 6
-309.33 232 309.333 -232 7
232 -174 -232 174 8
K16
ENSAMBLE PARA LA DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K
1 2 3 4 5 6 7 8
913.5 232 -309.333 -232 0 0 -604.167 0 1
232 979.556 -232 -174 0 -805.556 0 0 2
-309.333 -232 913.5 232 -604.167 0 0 0 3
-232 -174 232 979.556 0 0 0 -805.556 4
0 0 -604.167 0 913.5 -232 -309.333 232 5
0 -805.556 0 0 -232 979.556 232 -174 6
-604.167 0 0 0 -309.333 232 309.333 -232 7
0 0 0 -805.556 232 -174 -232 979.556 8
KG

17. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 17
14.13 DETERMINE E L DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA JUNTA Y LA FUERZA
E N E L ELEMENTO [5]. CONSIDERE QUE A -2 PULG2 Y QUE E = 29(𝟏𝟎 𝟑
) KSI. NO TOME
EN CUENTA EL ESLABÓN CORTO EN (2).
14.14 DETERMINE LA FUERZA EN EL ELEMENTO [3] SI EL ELEMENTO ERA 0.025
PULGADAS MÁS CORTO DE LO ESPERADO ANTES DE AJUSTARSE EN LA
ARMADURA. CONSIDERE QUE A = 2 PULG2 Y QUE E=29(𝟏𝟎 𝟑
) KSI. NO TOME EN
CUENTA EL ESLABÓN CORTO E N (2).
913.5 232 -309.333 -232 0 D1 0
232 979.556 -232 -174 0 D2 0
-309.333 -232 913.5 232 -604.167 D3 3
-232 -174 232 979.556 0 D4 0
0 0 -604.167 0 913.5 D5 0
CONOCIDOS
0.00140996 -0.00013793 0.00072414 0.00013793 0.00047893 D1 0.00217241
-0.00013793 0.00116379 0.00040733 7.7586E-05 0.0002694 D2 0.00122198
0.00072414 0.00040733 0.00274946 -0.00040733 0.00181843 D3 0.00824839
0.00013793 7.7586E-05 -0.00040733 0.00116379 -0.0002694 D4 -0.00122198
0.00047893 0.0002694 0.00181843 -0.0002694 0.00229736 D5 0.00545529
MINVERSA

18. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 18
16-1 DETERMINAR LA MATRIZ DE LAS RIGIDECES K DE LA ESTRUCTURA PARA EL
MARCO.
DATOS
𝐴 = 10 𝐸3
𝑚𝑚4
. = 0.01𝑚2
𝐼 = 300 𝐸6
𝑚𝑚4
= 0.0003𝑚4
.
𝐸 = 200 𝐺𝑝𝑎. = 200𝐸9
𝑁
𝐿 = 4𝑚
Componentes de la matriz de rigideces.
𝐴𝐸
𝐿
=
(0.01𝑚)(200𝐸9
𝑁)
4
= 500𝐸6
𝑁/𝑚
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(200𝐸9
𝑁)(300 𝐸−6)
42
= 11.25𝐸6
𝑁/𝑚
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(200𝐸9
𝑁)(0.0003𝑚4
)
42
= 22.5𝐸6
𝑁
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(200𝐸9
𝑁)(0.0003𝑚4
)
4
= 60𝐸6
𝑁. 𝑚
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(200𝐸9
𝑁)(0.0003𝑚4
)
4
= 30𝐸6
𝑁. 𝑚
Elemento 1 (VIGA)
𝜆 𝑋 =
4−0
4
= 1 𝜆 𝑌 =
0−0
4
= 0
7 8 9 1 2 3
500 0 0 -500 0 0 7
0 11.25 22.5 0 -11.25 22.5 8
0 22.5 60 0 -22.5 30 9
-500 0 0 500 0 0 1
0 -11.25 -22.5 0 11.25 -22.5 2
0 22.5 30 0 -22.5 60
3
E6

19. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 19
7 8 9 1 2 3
500 0 0 -500 0 0 7
0 11.25 22.5 0 -11.25 22.5 8
0 22.5 60 0 -22.5 30 9
-500 0 0 500 0 0 1
0 -11.25 -22.5 0 11.25 -22.5 2
0 22.5 30 0 -22.5 60 3
Elemento 2 (COLUMNA)
𝜆 𝑋 =
4−4
4
= 0 𝜆 𝑌 =
−4−0
4
= −1
Matriz de rigideces del marco
1 2 3 4 5 6 7 8 9
511.25 0 22.5 -11.25 0 22.5 -500 0 0 1
0 511.25 -22.5 0 -500 0 0 -11.25 -22.5 2
22.5 -22.5 120 -22.5 0 30 0 22.5 30 3
-11.25 0 -22.5 11.25 0 -22.5 0 0 0 4
0 -500 0 0 500 0 0 0 0 5
22.5 0 30 -22.5 0 60 0 0 0 6
-500 0 0 0 0 0 500 0 0 7
0 -11.25 22.5 0 0 0 0 11.25 22.5 8
0 -22.5 30 0 0 0 0 25.5 60 9
E6
1 2 3 4 5 6
11.25 0 22.5 -11.25 0 22.5 1
0 500 0 0 -500 0 2
22.5 0 60 -22.5 0 30 3
-11.25 0 -22.5 11.25 0 -22.5 4
0 -500 0 0 500 0 5
22.5 0 30 -22.5 0 60 6
E6

20. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 20
16-2 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES FIJOS 1 Y 2. CONSIDERE
QUE E = 200 GPA, I = 300(106) MM4 Y A =10(103) MM2 PARA CADA ELEMENTO.
Conociendo las cargas en los nodos y las deflexiones
𝑄 𝑘 [
−5(103
)
−24(103
)
11(103
)
]
1
2
3
𝐷 𝑘
[
0
0
0
0
0
0]
4
5
6
7
8
9
Relación de cargas-desplazamiento Q=KD
[
−5(103
)
−24(103
)
11(103
)
𝑄4
𝑄5
𝑄6
𝑄7
𝑄8
𝑄9 ]
=
[
511.25 0 22.5
0 511.25 −22.5
22.5
−11.25
0
22.5
−500
0
0
−22.5
0
−500
0
0
−11.25
−22.5
120
−22.5
0
30
0
22.5
30
−11.25 0 22.5
0 −500 0
−22.5
11.5
0
−22.5
0
0
0
0
0
500
0
0
0
0
30
−22.5
0
60
0
0
0
−500 0 0
0 −11.25 −22.5
0
0
0
0
500
0
0
22.5
0
0
0
0
11.25
22.5
30
0
0
0
0
22.5
60 ]
(106)
[
𝐷1
𝐷2
𝐷3
0
0
0
0
0
0 ]

21. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 21
Qu = K11Du + K12DK
−5(103) = (511.25𝐷1 + 22.5𝐷3)(106
) (1)
−24(103) = (511.25𝐷2 − 22.5𝐷3)(106
) (2)
11(103) = (511.25𝐷1 − 22.5𝐷2 + 120𝐷3)(106
) (3)
Resolviendo las ecuaciones 1, 2 y 3
𝐷1 = 13.57(10−6
)𝑚
𝐷2 = −43.15(10−6
)𝑚
𝐷3 = 86.12(10−6
)𝑟𝑎𝑑
Usando estos resultados y aplicándolos en Qu = K21Du + K22Dk
𝑄4 = −11.25(106)(−13.57)(10−6) + (−22.5)(106)(86.12)(10−6) = −1.785𝐾𝑁
𝑄5 = −500(106)(−43.15)(10−6) = 21.58𝐾𝑁
𝑄6 = 22.5(106)(−13.57)(10−6) + 30(106)(86.12)(10−6) = 2.278𝐾𝑁. 𝑚
𝑄7 = −500(106)(−13.57)(10−6) = 6.785𝐾𝑁
𝑄8 = −11.25(106)(−43.15)(10−6) + 22.5(106)(86.12)(10−6) = 2.423𝐾𝑁
𝑄9 = −22.5(106)(−43.15)(10−6) + 30(106)(86.12)(10−6) = 3.555𝐾𝑁. 𝑚
Reacciones.
𝑅4 = −1.785 + 5 = 3.214𝐾𝑁 = 3.21KN
𝑅5 = 21.58 + 0 = 21.58𝐾𝑁 = 21.6𝑁
𝑅6 = 2.278 − 5 = −2.722𝐾𝑁. 𝑚 = −2.722𝐾𝑁. 𝑚
𝑅7 = 6.785 + 0 = 6.785𝐾𝑁 = 6.79𝐾𝑁
𝑅8 = 2.423 + 24 = 26.42𝐾𝑁 = 26.4𝐾𝑁
𝑅9 = 3.555 + 16 = 19.55𝐾𝑁. 𝑚 = 19.6𝐾𝑁. 𝑚

22. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 22

23. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 23
16-3 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE ESTRUCTURA K PARA EL MARCO.
SUPONGA QUE (3). ESTÁ ARTICULADO Y QUE (1) ESTÁ FIJO. CONSIDERE QUE E =
200 MPA, I= 300(10)6 MM4 Y A=21(10)3 MM2 PARA CADA ELEMENTO.
ELEMENTO 1:
𝜆 𝑥 =
5−0
5
= 1 𝜆 𝑦 = 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(0.021)(200𝐸8
)
5
= 840000
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
52
= 14000
4𝐴𝐸
𝐿
=
4(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
5
= 48000
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
53
= 5760
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
5
= 24000
K1=
840000 0 0 −840000 0 0
0 5760 14400 0 −5760 14400
0 14400 48000 0 −14400 24000
−840000 0 0 840000 0 0
0 −5760 −14400 0 5760 −14400
0 14400 24000 0 −14400 48000

24. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 24
ELEMENTO 2:
𝜆 𝑌 =
0 − (−4)
4
= 1 𝜆 𝑋 = 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(0.021)(200𝐸6
)
4
= 1050000
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
42
= 22500
4𝐴𝐸
𝐿
=
4(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
4
= 60000
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
43
= 11250
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(200𝐸6
)(300𝐸−6
)
4
= 30000
K2=
11250 0 −22500 −11250 0 −22500
0 1050000 0 0 −1050000 0
−22500 0 60000 22500 0 30000
−11250 0 22500 11250 0 22500
0 −1050000 0 0 1050000 0
−22500 0 30000 22500 0 60000
𝐾 =
851250 0 22500 22500 −11250 0 −840000 0 0
0 1055760 −14400 0 0 −1050000 0 −5760 −14400
22500 −14400 108000 30000 −22500 0 0 14400 24000
22500 0 30000 60000 −22500 0 0 0 0
−11250 0 −22500 −22500 11250 0 0 0 0
0 −1050000 0 0 0 1050000 0 0 0
−840000 0 0 0 0 0 840000 0 0
0 −5760 14400 0 0 0 0 5760 14400
0 −14400 24000 0 0 0 0 14400 48000

25. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 25
16-4 DETERMINE LAS REACCIONES CON LOS SOPORTES 1 Y 3 CONSIDERE QUE
E= 200 MPA, I=300 (10⁶) MM⁴ Y A= 21(10³) MM² PARA CADA ELEMENTO.
7 8 9 1 2 3
𝐾1 =
[
840000
0
0
−840000
0
0
0
5760
14400
0
−5760
14400
0
14400
48000
0
−14400
24000
−840000
0
0
840000
0
0
0
−5760
−14400
0
5760
−14400
0
14400
24000
0
−14400
48000 ]
7
8
9
1
2
3
1 2 3 5 6 4
𝐾2 =
[
11250
0
−22500
−11250
0
−22500
0
1050000
0
0
−1050000
0
−22500
0
60000
22500
0
30000
−11250
0
22500
11250
0
22500
0
−1050000
0
0
1050000
0
−22500
0
30000
22500
0
60000 ]
1
2
3
5
6
4

26. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 26
MATRIZ GLOBAL
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝐊 =
[
851250
0
22500
22500
−11250
0
−840000
0
0
0
1055760
−14400
0
0
−1055760
0
−5760
−14400
22500
−14400
108000
30000
−22500
0
0
14400
24000
22500
0
30000
60000
−22500
0
0
0
0
−11250
0
−22500
−22500
11250
0
0
0
0
0
−1050000
0
0
0
1050000
0
0
0
−840000
0
0
0
0
0
840000
0
0
0
−5760
14400
0
0
0
0
5760
1440
0
−14400
24000
0
0
0
0
14400
48000 ]
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝑫 𝑲 =
[
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎]
𝑸 𝑲 = [
𝟎
𝟎
𝟑𝟎𝟎
𝟎
]
[
𝟎
𝟎
𝟑𝟎𝟎
𝟎
𝑸 𝟓
𝑸 𝟔
𝑸 𝟕
𝑸 𝟖
𝑸 𝟗 ]
=
[
851250
0
22500
22500
−11250
0
−840000
0
0
0
1055760
−14400
0
0
−1055760
0
−5760
−14400
22500
−14400
108000
30000
−22500
0
0
14400
24000
22500
0
30000
60000
−22500
0
0
0
0
−11250
0
−22500
−22500
11250
0
0
0
0
0
−1050000
0
0
0
1050000
0
0
0
−840000
0
0
0
0
0
840000
0
0
0
−5760
14400
0
0
0
0
5760
1440
0
−14400
24000
0
0
0
0
14400
48000 ] [
𝑫 𝟏
𝑫 𝟐
𝑫 𝟑
𝑫 𝟒
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎 ]
CALCULO DE LAS REACCIONES
[
0
0
300
0
] = [
851250
0
22500
22500
0
1055760
−14400
0
22500
−14400
108000
30000
22500
0
30000
60000
] [
D1
D2
D3
D4
] + [
0
0
0
0
]
0 = 851250 𝐷1 + 22500 𝐷3 + 22500 𝐷4
0 = 1055760 𝐷2 + −14400 𝐷3
300 = 22500 𝐷1 + −14400 𝐷2 + 108000 𝐷3 + 30000 𝐷4
0 = 22500 𝐷1 + 30000 𝐷3 + 60000 𝐷4

27. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 27
SOLUCION
𝐷1 = −0.00004322 𝑚 𝐷2 = 0.00004417 𝑚 𝐷3 = 0.00323787 𝑟𝑎𝑑 𝐷4 = −0.00160273 𝑟𝑎𝑑
[
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9]
=
[
−11250
0
−840000
0
0
0
−1050000
0
−5760
−14400
−22500
0
0
14400
24000
−22500
0
0
0
0 ]
[
−0.00004322
0.00004417
0.00323787
−0.00160273
] +
[
0
0
0
0
0]
𝐐 𝟓 = −𝟑𝟔. 𝟑 𝑲𝑵
𝐐 𝟔 = −𝟒𝟔. 𝟒 𝑲𝑵
𝐐 𝟕 = 𝑵𝟑𝟔. 𝟑 𝑲𝑵
𝐐 𝟖 = 𝟒𝟔. 𝟒 𝑲𝑵
𝐐 𝟗 = 𝟕𝟕. 𝟏 𝑲𝑵 ∗ 𝒎

28. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 28
16-5 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K PARA EL MARCO.
CONSIDERE QUE E= 200 GPA, I= 350 (𝟏𝟎 𝟔
) 𝒎𝒎 𝟒
Y 𝑨 = 𝟏𝟓(𝟏𝟎 𝟑)𝒎𝒎 𝟐
PARA CADA
ELEMENTO. LAS JUNTAS EN 1 Y 3 ESTÁN ARTICULADOS.
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200 ∗ 109
𝑁/𝑚
𝐼 = 350 ∗ 106
𝑚𝑚4
= 350 ∗ 10−6
𝑚4
𝐴 = 15 ∗ 103
𝑚𝑚2
= 0.015 𝑚2
𝐴𝐸
𝐿
=
(0.015)(200𝐸9
)
4
= 750𝐸6
𝑁/𝑚
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(200𝐸9
)(350𝐸−6
)
43
= 13.125𝐸6
𝑁/𝑚
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(200𝐸9
)(350𝐸−6
)
42
= 26.25𝐸6
𝑁
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(200𝐸9
)(350𝐸−6
)
4
= 70𝐸6
𝑁 ∙ 𝑚
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(200𝐸9
)(350𝐸−6
)
4
= 35𝐸6
𝑁 ∙ 𝑚
Por miembro 1 𝜆 𝑥 =
4−0
4
= 1 𝜆 𝑦 =
0−0
4
= 0
𝐾1 =
0080 00009 0000500 00010000 020000 03000
[
750 0 0 −750 0 0
0 13.125 26.25 0 −13.125 26.25
0 26.25 70 0 −26.25 35
−750 0 0 750 0 0
0 −13.125 −26.25 0 13.125 −26.25
0 26.25 35 0 −26.25 70 ]
(106)
Por miembro 2 𝜆 𝑥 =
4−4
4
= 0 𝜆 𝑦 =
−4−0
4
= −1
𝐾2 =
0080 00009 0000500 00010000 020000 03000
[
750 0 0 −750 0 0
0 13.125 26.25 0 −13.125 26.25
0 26.25 70 0 −26.25 35
−750 0 0 750 0 0
0 −13.125 −26.25 0 13.125 −26.25
0 26.25 35 0 −26.25 70 ]
(106)
Matriz general 9X9
𝐾2 =
000010 00002000 0000300 0004000000 0050000 60000 7 08000 9
[
763.125 0 26.25 26.25 0 −13.125 0 0 0
0 763.125 −26.25 0 −26.25 0 −750 −750 −13.125
26.25 −26.25 140 35 35 −26.25 0 0 26.25
26.25 0 35 70 0 −26.25 0 0 0
0 −26.25 35 0 70 0 0 0 26.25
−13.125 0 26.25 −26.25 0 13.125 0 0 0
0 −750 0 0 0 0 750 750 0
−750 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −13.125 26.25 0 26.25 0 0 0 13.125 ]
(106)

29. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 29
16-6 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES ARTICULADOS 1 Y 3
CONSIDERE QUE E=200 GPA, I=350 ( 𝟏𝟎 𝟔
) MM4 Y A=15 (𝟏𝟎 𝟑
) MM2 PARA CADA
ELEMENTO.
𝑄𝑘 =
[
0
−41.25(103)
45(103)
0
0 ]
1
2
3
4
5
𝐷𝑘 = [
0
0
0
0
]
6
7
8
9
[
0
−41.25(103)
45(103)
0
0
𝑄6
𝑄7
𝑄8
𝑄9 ]
=
[
763.125
0
26.25
26.25
0
−13.125
0
−750
0
0
763.125
−26.25
0
−26.25
0
−750
0
−13.125
26.25
−26.25
140
35
35
−26.25
0
0
26.25
26.25
0
35
70
0
−26.25
0
0
0
0
−26.25
35
0
70
0
0
0
26.25
−13.125
0
−26.25
−26.25
0
13.125
0
0
0
0
−750
0
0
0
0
750
0
0
−750
0
0
0
0
0
0
750
0
0
−13.125
26.25
0
26.25
0
0
0
13.125 ]
106
[
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷5
0
0
0
0 ]
Desde la partición de matriz, Qk= K11Du + K12Dk
0= (763.125D1 + 26 .25D3 + 26.25D4) ( 106
) (1)
-41.25 (103
)= 763.125D1 + 26 .25D3 + 26.25D5) ( 106
) (2)
45(103
)= (26.25D1 - 26.25D2 + 140D3 + 35D4 + 35D4) ( 106
) (3)
0= (26.25D1 + 35D3 + 70D4) (106
) (4)
0= (26.25D1 + 35D3 + 70D4) (106
) (5)
Resultados ecuación. (1) a (5)
D1= -7.3802(10−6
) D2= -47.3802(10−6
) D3= 423.5714(10−6
)
D5= -209.0181(10−6
) D5= -229.5533(10−6
)
Utilizando estos resultados y aplicando Qu= K21Du +K22Dk

30. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 30
Q6= (-13.125) (10−6
) – 7.3802(10−6
) – 26.25(10−6
)423.5714(10−6
) – 26.25(106
) - 209.0181(10−6
) + 0 = -
5.535 kN
Q7= -750(106
) – 47.3802(10−6
) + 0 = 35.535 kN
Q8= -750(106
) – 7.3802(10−6
) + 0 = 5.535 kN
Q9= -13.125(106
) – 47.3802(10−6
) + 26.25(106
) + 423.5714(10−6
) + 26.25(106
) – 229.5533(10−6
) + 0 =
5.715 kN
Superponer estos resultados a los de la figura (a),
R6 = - 5. 535 kN + 0 = 5.54 kN
R7= 35.535 + 0 = 35.5 kN
R8= 5.535 + 0 = 5.54 kN
R9= 5.715 + 18.75 = 24.5 kN

31. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 31
16.7 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K, PARA EL MARCO.
CONSIDERE QUE 𝑬 = 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎 𝟑
𝒌𝒔𝒊 , 𝑰 = 𝟔𝟓𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟒
, 𝑨 = 𝟐𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐
, PARA CADA
ELEMENTO.
Miembro 1
λx =
10 − 0
10
= 1 λy = 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(20)(29 × 103
)
10(12)
= 4833.33
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(29 × 103
)(650)
(10)2(12)2
= 7854.17
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29 × 103
)(650)
10(12)
= 314166.67
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(29 × 103
)(650)
(10)3(12)3
= 130.90
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29 × 103
)(650)
10(12)
= 628333.33
𝐾1 =
[
4833.33
0
0
−4833.33
0
0
0
130.90
7854.17
0
−130.90
7854.17
0
7854.17
628333.33
0
−7854.17
314166.67
−4833.33
0
0
4833.33
0
0
0
−130.90
−7854.17
0
130.90
−7854.17
0
7854.17
314166.6
0
−7854.17
628333.33]

32. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 32
Miembro 2
λY =
12 − 0
12
= 1 λX = 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(20)(29 × 103
)
(12)(12)
= 4027.78
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(29 × 103
)(650)
(12)2(12)2
= 5454.28
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29 × 103
)(650)
(12)(12)
= 261805.55
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(29 × 103
)(650)
(12)3(12)3
= 75.75
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29 × 103
)(650)
(12)(12)
= 523611.11
𝐾2 =
[
75.75
0
5454.28
−75.75
0
5454.28
0
4027.78
0
0
−4027.78
0
5454.28
0
523611.11
−5454.28
0
261805.55
−75.75
0
−5454.28
75.75
0
−5454.28
0
−4027.78
0
0
4027.78
0
5454.28
0
261805.55
−5454.28
0
523611.11]
MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL
𝐾:
[
4833.33
0
0
−4833.33
0
0
0
0
0
0
130.90
7854.17
0
−130.90
7854.17
0
0
0
0
7854.17
628333.33
0
−7854.17
314166.67
0
0
0
−4833.33
0
0
4909.08
0
5454.28
−75.75
0
5454.28
0
−130.90
−7854.17
0
4158.68
−7854.17
0
−4027.78
0
0
7854.17
314166.67
5454.28
−7854.17
1151944.44
−5454.28
0
261805.55
0
0
0
−75.75
0
−5454.28
75.75
0
−5454.28
0
0
0
0
−4027.78
0
0
4027.78
0
0
0
0
5454.28
0
261805.55
−5454.28
0
523611.11 ]

33. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 33
16-8 DETERMINE LOS COMPONENTES DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN 1
CONSIDERE QUE E =29(𝟏𝟎 𝟑
) KSI, I=650𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟒
Y A=20 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐
PARA CADA ELEMENTO.
𝐷 𝑘=|
0
0
0
| 𝑄 𝑘=
|
|
−4
−6
0
0
0
0
|
|
[
−4
−6
0
0
0
0
𝑄7
𝑄8
𝑄9 ]
=
[
4833.33
0
0
−4833.33
0
0
0
0
0
0
130.90
7854.17
0
−130.90
7854.17
0
0
0
0
7854.17
628333.33
0
−7854.17
314166.67
0
0
0
−4833.33
0
0
4909.08
0
5454.28
−75.75
0
5454.28
0
−130.90
−7854.17
0
4158.68
−7854.17
0
−4027.78
0
0
7854.17
314166.67
5454.28
−7854.17
1151944.44
−5454.28
0
261805.55
0
0
0
−75.75
0
−5454.28
75.75
0
−5454.28
0
0
0
0
−4027.78
0
0
4027.78
0
0
0
0
5454.28
0
261805.55
−5454.28
0
523611.11 ] [
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷5
𝐷6
0
0
0 ]
[
−4
−6
0
0
0
0 ]
+
[
4833.33
0
0
−4833.33
0
0
0
130.90
7854.17
0
−130.90
7854.17
0
7854.17
628333.33
0
−7854.17
314166.67
−4833.33
0
0
4909.08
0
5454.28
0
−130.90
−7854.17
0
4158.68
−7854.17
0
7854.17
314166.67
5454.28
−7854.17
1151944.44 ] [
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷5
𝐷6]
+
[
0
0
0
0
0
0]

34. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 34
-4 = 4833.33D1 - 4833.33D4
-6 = 130.90D2 + 7854.17D3 - 130.90D5 + 7854.17D6
0 = 7854.17D2 + 628333.33D3 - 7854.17D5 + 314166.67D6
0 = -4833.33D1 + 4909.08D4 + 5454.28D6
0 = -130.90D2 - 7854.17D3 + 4158.68D5 - 7854.17D6
0 = 7854.17D2 + 314166.67D3 + 5454.28D4 – 7854.17D5 + 11519944.44D6
Resolviendo los rendimientos de las ecuaciones anteriores
D1= -0.608 in
D2= -1.12 in
D3= 0.0100 rad
D4= -0.6076 in
D5= -0.001490 in
D6= 0.007705 rad

35. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 35
16.9 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K PARA EL MARCO. CONSIDERE 𝑬 =
𝟐𝟗 × 𝟏𝟎 𝟑
𝒌𝒔𝒊, 𝑰 = 𝟑𝟎𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟒
, 𝑨 = 𝟏𝟎𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐
, PARA CADA ELEMENTO.
Miembro 1
λy =
10 − 0
10
= 1 λx = 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(10)(29 × 103
)
10(12)
= 2416.67 𝑘/𝑖𝑛
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(29 × 103
)(300)
(10)2(12)2
= 3625 𝑘
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29 × 103
)(300)
10(12)
= 145000 𝑘. 𝑖𝑛
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(29 × 103
)(300)
(10)3(12)3
= 60.4167 𝑘/𝑖𝑛
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29 × 103
)(300)
10(12)
= 290000 𝑘. 𝑖𝑛
𝐾1 =
[
8
60.4167
0
−3625
−60.4167
0
−3625
9
0
2416.67
0
0
−2416.67
0
5
−3625
0
290000
3625
0
145000
1
−60.4167
0
3625
60.4167
0
3625
2
0
−2416.67
0
0
2416.67
0
3
−3625
0
145000
3625
0
290000]
8
9
5
1
2
3

36. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 36
Miembro 2
λx =
20 − 0
20
= 1 λy =
10 − 10
20
= 0
𝐴𝐸
𝐿
=
(10)(29 × 103
)
(120)(12)
= 1208.33 𝑘/𝑖𝑛
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6(29 × 103
)(300)
(20)2(12)2
= 906.25 𝑘
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29 × 103
)(300)
(20)(12)
= 72500 𝑘. 𝑖𝑛
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(29 × 103
)(300)
(20)3(12)3
= 7.5521 𝑘/𝑖𝑛
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29 × 103
)(300)
(20)(12)
= 145000 𝑘. 𝑖𝑛
𝐾2 =
[
1
1208.33
0
0
−1208.33
0
0
2
0
7.5521
906.25
0
−7.5521
906.25
3
0
906.25
145000
0
−906.25
72500
6
−1208.33
0
0
1208.33
0
0
7
0
−7.5521
−906.25
0
7.5521
−906.25
4
0
906.25
72500
0
−906.25
145000 ]
1
2
3
6
8
4
Matriz de rigidez estructural
𝐾:
[
1268,75
0
3625
0
3625
−1208.33
0
−60.4167
0
0
2424.22
906.25
906.25
0
0
−7.5521
0
−2416.67
3625
906.25
435000
72500
145000
0
−906.25
−3625
0
0
906.25
72500
145000
0
0
−906.25
0
0
3625
0
145000
0
290000
0
0
−3625
0
−1208.33
0
0
0
0
1208.33
0
0
0
0
−7.5521
−906.25
−906.25
0
0
7.5521
0
0
−60.4167
0
−3625
0
−3625
0
0
60.4167
0
0
−2416.67
0
0
0
0
0
0
2416.67 ]

37. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 37
16-10 DETERMINE LA REACCIONES DE SOPORTE EN (1) Y (3). TOMAR E = 2911032
KSI, I = 300 IN4, A = 10 IN2 PARA CADA MIEMBRO.
Cargas y deflexiones normales conocidas. Las cargas normales que actúan sobre el
grado de libertad.
20 = - 2416.67D2
D2 = - 8.275862071 (10-3)
5 = - 7.5521 (- 8.2758)(10- 3) - 906.25D3 - 906.25D4
0 = 906.25 (- 8.2758)(10- 3) + 72500D3 + 145000D4
4.937497862 = - 906.25D3 - 906.25D4

38. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 38
Desde la partición de matriz Qk = K11Du + K12Dk,
0 = 1268.75D1 + 3625D3 + 3625D5 - 1208.33D6 (1)
-25 = 2424.22D2 + 906.25D3 + 906.25D4 (2)
-1200 = 3625D1 + 906.25D2 + 435000D3 + 72500D4 + 145000D5 (3)
0 = 906.25D2 + 72500D3 + 145000D4 (4)
0 = 3625D1 + 145000D3 + 290000D5 (5)
0 = -1208.33D1 + 1208.33D6 (6)
Resolución de La ecu. (1) a (6)
D1 = 1.32 D2 = -0.008276 D3 = -0.011 D4 = 0.005552
D5 = -0.011 D6 = 1.32
Usando estos resultados y aplicando Qk = K21Du + K22Dk
Q7 = -7.5521 (-0.008276) - 906.25(-0.011) - 906.25(0.005552) = 5
Q8 = 60.4167 (1.32)-3625(-0.011)-3625(-0.011) = 0
Q9 = -2416.67 (-0.008276) = 20
Superponer estos resultados a los de FEM mostrados
R7 = 5 + 15 = 20 k Ans.
R8 = 0 + 0 = 0 Ans.
R9 = 20 + 0 = 20 k Ans.

39. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 39
16.-11 DETERMINE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K PARA EL MARCO,
CONSIDERE QUE E =29(103) KSI. 1= 700 PULG4 Y A = 20 PULG2 PARA CADA
ELEMENTO.
𝐴𝐸
𝐿
=
20((29(102))
24(12)
= 2013.89𝐾/𝑖𝑛
13𝐸𝐼
𝐿2
=
12(29(103
)(700)
(24(12))2
= 10.197𝑘/𝑖𝑛
6𝐸𝐼
𝐿2
=
6((29(102))(700)
24(12))2
= 1468.46 𝐾
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29(103
)(700)
(24(12)
= 281944 𝐾. 𝑖𝑛
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29(103))(700)
24(12)
= 140972 𝐾. 𝑖𝑛

40. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 40
L=16 ft AX =
24−24
16
= 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥 𝑦 =
16−0
16
= 1.
𝐴𝐸
𝐿
=
20((29(103))
16(12)
= 3020.83𝐾/𝑖𝑛
12𝐸𝐼
𝐿3
=
12(29(103
)(700)
(16(12))3
= 34.4170𝑘/𝑖𝑛
6𝐸𝐼
𝐿
=
6((29(103))(700)
16(12))2
= 3304.04𝐾
4𝐸𝐼
𝐿
=
4(29(103
)(700)
(16(12)
= 42217 𝐾. 𝑖𝑛
2𝐸𝐼
𝐿
=
2(29(103))(700)
16(12)
= 211458 𝐾. 𝑖𝑛

41. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 41
16.12 DETERMINE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES FIJOS 1 Y 2. CONSIDERE
QUE E = 200 GPA, I= 300(10^6) MM^4 Y A= 10(10^3) MM^2 PARA CADA ELEMENTO.
CARGAS Y DEFLEXIONES NODALES CONOCIDAS, LAS CARGAS NODALES ACTÚAN
A LIBERTAD.
Qk=
{
0
−13.75
1080
0
0 } {
1
2
3
4
5}
DK={
0
0
0
0
} {
6
7
8
9
}
RELACIÓN CARGAS, DESPLAZAMIENTO Y APLICACIÓN DE Q=KD.
[
0
−13.75
90
0
0
− − − −
𝑄6
𝑄7
𝑄8
𝑄9 ] [
2048.31
0
−3304.04
−3304.04
0
− − − −
−34.4170
0
−2013..89
0 ] [
0
3031..03
−1468.46
0
−1468.46
− − − −
0
−3020.83
0
−10.1976] [
−3304.04
−1468.46
704861
211458
140972
− − − −
3304.04
0
0
1468.46 ][
−3304.04
0
211458
422917
0
− − − −
3304.04
0
0
0 ] [
0
−1468.46
140972
0
281944
− − − −
0
0
0
1468.46 ] [
−34.4170
0
3304.04
3304.04
0
− − − −
34.4170
0
0
0 ] [
0
−3020..83
0
0
0
− − − − −
0
−3020.83
0
0 ] [
−2013.89
0
0
0
0
− − − −
0
0
2013.89
0 ] [
0
−10.1976
1468.46
0
1468.46
− − − −
0
0
0
10.1976 ] [
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷5
− − − −
0
0
0
0 ]

42. ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO
ING. CIVIL I 7º “K” 42
A PARTIR DE LA PARTICIÓN DE MATRIZ.
Qk= K11Du+K12DK
0=2048.31D1 – 3304.04D3- 3304.04D4 (1)
-13.75=3031.03D2 -1468.46D3 -1468.46D5 (2)
90= -3304.04D1-1468.46D2+704861D3+211458D4+140972D5 (3)
0= -3304.04D1+211458D3+422917D4 (4)
0=-1468.46D2+140972D3+281944D5 (5)
SOLUCION DE ECUACIONES.
D1=0.001668 D2=-0.004052 D3=0.002043 D4=-0.001008 D5=-0.001042
USANDO ESTOS RESULTADOS Y APLICANDO Qu=K21Du+K22Dk
Q6=-34.4170 (0.001668) +3304.04(0.002043) +3304.04(-0.001008) =3.360
Q7= -3020.83 (-0.004052) = 12.24
Q8= -2013.89 (0.001668) = -3.360
Q9= -10.1976 (-0.004052) +1468.46(0.002043) +1468.46(-0.001008) = 1.510
Superponer estos resultados a los de FEM
R6=3.360 + 0 = 3.36K
R7= 12.24 + 0 = 12.2K
R8= -3.360 + 0 = -3.36K
R9=1.510 +6.25 = 7.76K