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Tema I: Relaciones y Funciones
1. Relaciones
1.1. Par Ordenado
Una pareja ordenada se compone de dos elementos “X” y “Y”; escribiéndose (X, Y) donde “X” es el
primer elemento y “Y” el segundo elemento.
Si (a, b) = (c, d) entonces: a=c y b= d
Ojo: (a;b) ≠ (b;a)
1.2. Producto Cartesiano
Se llama producto cartesiano AxB, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) tales
que a ϵ A y b ϵ B.
E1) Si A= {3; 5; 7} y B= {1; 2}.
Halla i) A x B ii) B x A
E2) Halla H x F sabiendo que:
H= {X ϵ Z / -2 < X ≤ 2}
F= {X + 1 / -3 < X < 1; X ϵ Z}
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1.3. Relaciones binarias
Dado dos conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del
producto cartesiano A x B, o también R es una relación de B en A si es un subconjunto del
producto cartesiano B x A.
Se denota: R: A B R A x B
Dónde: R: A B, se lee: “R es una relación de A en B”
R A x B, se lee: “R está incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”
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Dominio y Rango de una relación
Dominio: Son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.
Rango: Son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.
En una relación hay:
a) Un conjunto de partida
b) Un conjunto de llegada
c) Una regla de correspondencia
E1) A= {5; 8; 11}, B= {4; 7; 10}
R1= {(x; y) ϵ A x B / x < y}
Conjunto de partida es A= Conjunto de llegada es B=
Regla de correspondencia:
Diagrama de Flecha Diagrama Cartesiano
R1=
Dominio de R1= { } Rango de R1= { }
E2) A= {x2 – 1 / -2 ≤ x < 3; x ϵ Z}. R2= {(x; y) ϵ A x N /y= x2 + 3}
1.4. Relación Inversa
E1) R= {(x; y) ϵ A x B / x tiene y}
Diagrama de Flechas
Dominio (R)=
Rango (R)=
R=
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Determinando la relación inversa
1.5. Relaciones definidas en un conjunto
A= {cuaderno, mesa, televisor, bar, regla} R= {(x; y) / x “termina con la misma letra que” y}
El conjunto R expresado por extensión y utilizando solo las letras iniciales para indicar a sus
elementos es el siguiente:
R=
Si a R b sale una flecha de a hacia b
Si a R a sale una flecha de a y vuelve a a
1.6. Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto
A. Reflexiva: Es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo
mismo.
E1) A= {543; 27; 108} y R1: A A definido por R1= {(x; y) / x tiene tantas cifras como y}
Dominio (R-1) =
Rango (R-1) =
R-1=
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Luego, el conjunto R1 expresado por extensión sería:
R1=
Diagrama de flechas
Notar que:
543 Ɛ A y 543 R1 543
108 Ɛ A y 108 R1 108
27 Ɛ A y 27 R1 27
B. Simétrica: Se da cuando cada vez que “a” está relacionado con “b”, entonces “b” está
relacionado con “a”.
Ejemplo: A={4; 7; 9} y la relación R: A A / R= {(X; Y) / X + Y es par}
Entonces R=
Graficamos:
En este diagrama vemos que de
7 sale una flecha hacia 9 y otra
flecha vuelve de 9 hacia 7. Esto
indica que R es simétrica.
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C. Transitiva: Es transitiva si cada vez que “a” está relacionado con “b” y “b” está relacionado con
“c”, entonces “a” está relacionado con “c”.
Ejemplo: A= {6; 13; 17; 25} se define la relación:
R= {(X; Y) / X tiene igual número de cifras que Y}
R= {
Graficamos:
1.7. Relación de equivalencia
Una relación es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo: A= {Ángel, Beto, Luis, Juan} y la relación:
R= {(X; Y) / X tiene tantas letras como Y}
Expresando por extensión esta relación, se obtiene:
R=
Graficamos:
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2. Funciones
2.1. Definición:
Una relación de F de A en B denotada por F: AB es una función si y solo si a cada elemento X Ɛ A,
le corresponde un único elemento Y Ɛ B a través de F.
Simbólicamente: F= {(X; Y) Ɛ A x B / Y=F(X)}
Donde:
A: Es el conjunto de partida B: Es el conjunto de llegada
Y= F(X): es la regla de correspondencia
Dom(f): es el dominio de F Ran(f): es el rango de F.
E1) Dado A= {2; 4; 6; 8} B= {1; 3; 4; 5; 6; 7}
Halla f= {(x; y) Ɛ A x B / y= x + 1}; Dom(f); Ran(f); Elabora el diagrama sagital
E2) Dado A= {2; 3; 4; 5} B= {3; 8; 15; 24; 26}
Halla f= {(x; y) Ɛ A x B / y= x2 - 1}; Dom(f); Ran(f); Diagrama sagital
2.2. Cómo reconocer si una relación es una función
Una relación es una función cuando de cada punto del dominio sale sólo una flecha.
