Proyecto final Matematicas superior Ley de enfriamiento de Newton

LEY DE ENFRIAMIENTODENEWTON
UTEPSA- MATEMATICAS SUPERIOR
PROYECTO FINAL
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
INTEGRANTES:
KEVIN TOLEDO.
IVAN TORRICO.
EDUVIGUES SERRUDO.
MIGUEL ANGEL.
MIGUEL ANGEL GUDIÑO.
MATERIA: CALCULO III.
DOCENTE: ING. CARLOS GUTIERREZ.
FECHA: 04-07-2016
SANTA CRUZ – BOLIVIA

OBJETIVO:
 Demostrar la ley de Newton mediante la realización de nuestro experimento, y
luego mediante el uso de la ecuación resuelta por integrales.
Marco Teórico
Ley de enfriamiento de Newton
La ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano establece que la tasa de
pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el
cuerpo y sus alrededores. Fue determinado experimentalmente por Isaac
Newton analizando el proceso de enfriamiento y para él la velocidad de enfriamiento de un
cuerpo cálido en un ambiente más frío , cuya temperatura es , es proporcional a la
diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente:
donde r es una constante de proporcionalidad.
Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para
pequeñas diferencias entre T y Tm . En todo caso la expresión superior es útil para mostrar
como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento
exponencial:
Esta expresión resulta de resolver la ecuación diferencial.
Una formulación más precisa del enfriamiento de un cuerpo en un medio necesitaría un
análisis del flujo de calor del cuerpo cálido en un medio heterogéneo de temperatura. La
aplicabilidad de esta ley simplificada viene determinada por el valor del número de Biot.
En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado especialmente en modelos
climáticos como una forma rápida y computacionalmente menos costosa de calcular la
evolución de temperatura de la atmósfera. Estos cálculos son muy útiles para determinar
las temperaturas, así como para predecir los acontecimientos de los fenómenos naturales.

MATERIALES:
 Agua.
 1 termómetro de mercurio de uso experimental.
 1 botella, o recipiente donde verter el agua.
 Jarra eléctrica para calentar agua.
DESARROLLO Y CALCULOS:
Para la resolución del siguiente proyecto tenemos como datos lo siguiente:
 Temperatura inicial del agua 93ºc.
 Tiempo inicial 0.
 Temperatura del ambiente 23ºc.
 Tiempo transcurrido luego de exponer el agua a temperatura ambiente – 2min.
 Temperatura del agua luego de los 2min. 89ºc.
Con estos datos nos planteamos el siguiente problema:
 Un recipiente con agua caliente de temperatura 93ºc, es puesta a temperatura
ambiente la cual es de 23ºc, luego de 2min. el agua tiene una temperatura de 89ºc.
¿Cuál será la tempera del agua luego de pasar 60min?
Una vez no planteamos el problema comenzamos con la resolución de la fórmula para la
resolución del problema.
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚)
𝑑𝑇
( 𝑇 − 𝑇𝑚 )
= 𝐾𝑑𝑡
∫
𝑑𝑇
( 𝑇 − 𝑇𝑚 )
= ∫ 𝐾𝑑𝑡
ln( 𝑇 − 𝑇𝑚) = 𝑘𝑡 + 𝐶
𝑇 − 𝑇𝑚 = 𝑒 𝐾𝑡+𝐶
𝑒 𝑘𝑡
∗ 𝑒 𝑐
𝑇 − 𝑇𝑚 = 𝐶1 ∗ 𝑒 𝐾𝑡
𝑇( 𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝐾𝑡
+ 𝑇𝑚

Una vez tenemos la solución a la ecuación diferencial, que nos va a servir para calcular la
temperatura de cualquier objeto, en este caso el agua, en función al tiempo.
Ahora debemos encontrar los distintos parámetros que nos sirven como datos para poder
dar solución al problema.
Hallamos los parámetros C1 y K con las condiciones iniciales que nos dan.
Datos:
To = 93ºc. Calculo de “C1”: 𝑇( 𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝐾𝑡
+ 𝑇𝑚
Tf = 89ºc. 93 = 𝐶1 𝑒 𝐾.0
+ 23
to = 0. 93 = 𝐶1 ∗ 1 + 23
tf = 2min. 93 − 23 = 𝐶1
Tm = 23ºc. 𝐶1 = 70
Calculo de “K”: 89 = 70𝑒 𝐾.2
+ 23
89 − 23 = 70𝑒 𝐾.2
66 = 70𝑒 𝐾.2
𝑒 𝐾.2
=
66
70
ln 𝑒 𝐾.2
= ln 0.942
𝐾 ∗ 2 = ln 0.942
𝐾 =
ln 0.942
2
𝐾 = -0.0298

Una vez tenemos C1 y K, podemos dar solución a nuestro problema con la siguiente
ecuación:
𝑇( 𝑡) = 70 ∗ 𝑒−0.0298∗𝑡
+ 23
Donde solo reemplazamos “t”, de acuerdo al momento en el que queremos saber la
temperatura.
En este caso tenemos una temperatura diferente cada 2min., en nuestro experimento
tenemos 31 mediciones que eso es igual a 60min., tal como muestra la siguiente tabla:
Nº t(min) T(ºc)
1 0 93
2 2 89
3 4 86
4 6 84
5 8 82
6 10 79
7 12 77
8 14 75
9 16 73
10 18 69
11 20 65
12 22 63
13 24 60
14 26 59
15 28 57
16 30 56
17 32 54
18 34 51
19 36 49
20 38 47
21 40 46

22 42 45
23 44 43
24 46 43
25 48 41
26 50 40
27 52 39
28 54 38
29 56 37
30 58 36
31 60 35
𝑇( 𝑡) = 70 ∗ 𝑒−0.0298∗𝑡
+ 23
Comparación de resultados:
t(min) T(EXP) T(TEO)
0 93 93
2 89 89
4 86 85
6 84 82
8 82 78
10 79 75
12 77 72
14 75 69
16 73 67
18 69 64
20 65 61
22 63 60
24 60 58
26 59 56
28 57 54
30 56 52
32 54 50
34 51 49
36 49 47

38 47 46
40 46 45
42 45 43
44 43 42
46 43 41
48 41 40
50 40 39
52 39 38
54 38 37
56 37 36
58 36 36
60 35 35
CALCULOERROR:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜(𝐸𝐴) = 𝑇(𝑇𝐸𝑂) − 𝑇(𝐸𝑋𝑃)
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜(𝐸 𝑅) =
𝐸𝐴
𝑇(𝑇𝐸𝑂)
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝐸 𝑅 ∗ 100
T(EXP) T(TEO)
Error Absoluto Error Relativo Error Porcentual
(%)
93 93 0 0 0
89 89 0 0 0
86 85 1 0.011 1.1
84 82 2 0.024 2.4
82 78 4 0.051 5.1
79 75 4 0.053 5.3
77 72 5 0.069 6.9
75 69 6 0.086 8.6
73 67 5 0.074 7.4
69 64 5 0.078 7.8
65 61 4 0.065 6.5
63 60 3 0.05 5
60 58 2 0.034 3.4

59 56 3 0.053 5.3
57 54 3 0.055 5.5
56 52 4 0.076 7.6
54 50 4 0.08 8
51 49 3 0.061 6.1
49 47 2 0.042 4.2
47 46 1 0.021 2.1
46 45 1 0.022 2.2
45 43 2 0.046 4.6
43 42 1 0.023 2.3
43 41 2 0.048 4.8
41 40 1 0.025 2.5
40 39 1 0.025 2.5
39 38 1 0.026 2.6
38 37 1 0.027 2.7
37 36 1 0.027 2.7
36 36 0 0 0
35 35 0 0 0
Gráficos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70
Temperaturaexpreimental

CONCLUSION:
Logramos demostrar mediante la Ley de Newton la temperatura que tendrá el agua
durante el tiempo transcurrido, existió un margen de error como en todos los
experimentos pero esto fue debido a que tuvimos una temperatura del ambiente muy
variada al momento de realizar las mediciones con el termómetro, pero podemos decir que
logramos demostrar lo que nos planteamos.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70
Temperatura teorica e expreimental
T(EXP) T(TEO)

RECOMEDACIONES:
Realizar las mediciones de la parte experimental en un ambiente cerrado, donde no
cambie la temperatura de manera excesiva.
ANEXOS:

BIBLIOGRAFIA:
-Ley de enfriamiento de Newton – Tareas plus – YouTube.com
-Guía Maap Calculo III – Utepsa.
-Apuntes Calculo III.
-www.wikipedia.com
-www.fisicalab.com
-https://espanol.answers.yahoo.com

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