Analisis numero

1. Introducción al Calculo Numérico
y Manejo de Errores
Alumna: María de los Ángeles Tovar Izarza
CI: 26.142.416
Sección: SAIA-A
Profesor: Domingo Méndez
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Sistema de Aprendizaje Interactivo a Distancia
Cabudare

2. Análisis Numérico
Definición
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una
forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos
numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas
cantidades numéricas, con una precisión determinada. En el contexto del cálculo numérico, un
algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema
mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les
da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. El análisis numérico cobra
especial importancia con la llegada de los ordenadores
Gran parte de la tecnología actual depende de la solución de modelos matemáticos, desde la
programación empotrada de una calculadora científica y el calculo estructural de un edificio
multinivel con estructuras de acero, hasta el diseño y simulación de aeronaves y vuelos espaciales. La
solución de un modelo matemático relativamente sencillo puede obtenerse de manera analítica.
Sin embargo, para la gran mayoría de los modelos matemáticos del mundo real, las soluciones
analíticas pueden no existir o ser extremadamente complejas, por lo cual se recurre a métodos
numéricos que aproximen las soluciones dentro de ciertos márgenes de tolerancia. El análisis de los
métodos numéricos nos permite realizar estimación es tanto de la eficiencia o complejidad de los
algoritmos asociados, as ́ı como dela confiabilidad de los resultados numéricos obtenidos durante su
aplicación
Importancia

3. Métodos Numéricos
Definición
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera
aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos
(operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo
preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que
especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una
aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el
cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de
las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores).
Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han
llevado a una verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este
crecimiento estaba limitado por el costo de procesamiento de las grandes computadoras
(mainframes), por lo que muchos ingenieros seguían usando simples procedimientos analíticos en
una buena parte de su trabajo. Vale la pena mencionar que la reciente evolución de computadoras
personales de bajo costo ha permitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de
cómputo. Además, existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos:
Practica en la ingeniería

4. Números de Máquinas
Definición
Definición de Número Máquina "Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1)
de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la
más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un
número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de
las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos.
Ejemplo
Para representar un número en binario se descompone el número en potencias de 2 y sólo se escribe
utilizando los dígitos 0 y 1.

5. "Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x
10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente
k= 6 y –78 £ n £ 76.
Definición
Número Máquina Decimal
Ejemplos
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el residuo es igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 y el residuo es igual a 1
32 dividido entre 2 da 16 y el residuo es igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 y el residuo es igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 y el residuo es igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 y el residuo es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 y el residuo es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0 y el residuo es igual a 1
Finalmente, ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011

6. Errores absolutos y relativos
Error Absoluto (EA)
Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o
negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las
mismas que las de la medida.
Formula
𝐸𝐴 = 𝑉𝑟 − 𝑉𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑥
Error relativo(Er)
Formula
Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de
error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
𝐸𝑟 =
𝐸𝐴
𝑉𝑟
𝑥100%

7. Ejemplo
Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones con una cinta métrica. Los
valores obtenidos son los siguientes:
75,2 cm; 74,8 cm; 75,1 cm; y 74,9 cm.
Expresa el resultado de la medida acompañado del error absoluto.
Solución
(75.2+74.8+75.1+74.9)/4=75
Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
75.2 cm 75.2 - 75= 0.2 cm 0.2/75x100=0.27%
74.8 cm 74.8 - 75 = -0.2 cm -0.2/75x100=-0.27%
75.1 cm 75.1 - 75 = 0.1 cm 0.1/75x100=0.13%
74.9 cm 74.9 - 75 = -0.1 cm -0.1/75x100=-0.13%
Errores absolutos y relativos

8. Cota de errores absolutos y relativos
Cotas de error:
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplos
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
Radio de la tierra 150000000 km
|Error absoluto| < 5000000 km
error relativo <5000000km/150000000km = 0.033
Volumen de una gota de aceite de aviones 0.4 mm3
|Error absoluto| < 0.05 mm3
error relativo <0.05 mm3 /0.4 mm3 =0.13

9. Fuentes básica de los errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El
Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como
se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para
obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
Error de Redondeo
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para
obtener a fl ; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k
dígitos; se redondea así hacia abajo
Para que obtengas información, esta es la conexión:
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0, d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se
obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un
método es simplemente truncar los dígitos dk+1,dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.

10. Ejemplos
Encontrar el error de redondeo y truncamiento de los siguientes números
Número
Orden de
aproximación
Error de Truncamiento Error de Redondeo
123.456543 Milécimas 123.456 123.457
995 Decenas 990 1000
321123 Centenas 321100 321100
Errores de suma y resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma
introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el
proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los
números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

11. Estabilidad e Inestabilidad
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede
decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo
en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores
relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa que un cambio relativamente
pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o
más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un
problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si
pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de
problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los
errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe
tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función
se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de
número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre
aumenta.