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72 b lim 𝑥→0 1 +
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ordenamos la expresión lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ahora dividimos la expresión Tanto al numerador como denominador Por 1/x lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 Aplicando limites trigonométricos podemos aplicar lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 = 0 𝑦 lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 1 𝑓𝑥 = 0 + 1 0 − 1 = −1 lim 𝑥→0 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1
2.
62 b lim 𝑥→1 𝑥4 𝑥3 −
1 − 𝑥3 𝑥2 − 1 Aumentamosyrestamoslomismo lim 𝑥→1 𝑥4 − 1 𝑥3 − 1 + 1 𝑥3 − 1 − 𝑥3 − 1 𝑥2 − 1 − 1 𝑥2 − 1 lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) + 1 𝑥3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − 1 𝑥2 − 1 lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − 1 𝑥2 − 1 + 1 𝑥3 − 1 lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 + 1) + −1( 𝑥3 − 1) + 1(𝑥2 − 1) (𝑥2 − 1)(𝑥3 − 1) lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 + 1) + −𝑥3 + 1+𝑥2 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 + 1) + −𝑥2(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) lim 𝑥→1 (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 + 1) + −𝑥2 (𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) (2)(2) (3) − (3) (2) + −1 (2)(3) = − 1 3
3.
71b lim 𝑥→∞ 𝑥3 2𝑥2 − 1 − 𝑥2 2𝑥
+ 1 lim 𝑥→∞ 𝑥3(2𝑥 + 1) − 𝑥2(2𝑥2 − 1) (2𝑥2 − 1)(2𝑥 + 1) lim 𝑥→∞ (2𝑥4 + 𝑥3) − (2𝑥4 − 𝑥2) 4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 lim 𝑥→∞ 2𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥2 4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 Ahoracogemosla variable que coníndice mayorde lafunción = 𝑥3 y lodividimosentre este valortantoal numeradorcomodenominador lim 𝑥→∞ 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 𝑥3 lim 𝑥→∞ 𝑥3 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 4𝑥3 𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3 − 2𝑥 𝑥3 − 1 𝑥3 1 + 0 4 + 0 − 0 − 0 = 1 4
4.
70c lim 𝑥→∞ 𝑥 3 2(√ 𝑥3 +
1 − √ 𝑥3 − 1 ) lim 𝑥→∞ 𝑥 3 2 (√𝑥3 + 1 − √𝑥3 − 1 ) (√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 ) .(√ 𝑥3 + 1 + √ 𝑥3 − 1 ) lim 𝑥→∞ 𝑥 3 2 ( 𝑥3 + 1 − 𝑥3 + 1 ) (√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 ) lim 𝑥→∞ 2√𝑥3 (√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 ) El mayoríndice exponencial es √𝑥3 asíque lodividimosporeste númerotantoal numeradorydenominador lim 𝑥→∞ 2 √𝑥3 √𝑥3 ( √𝑥3 + 1 √𝑥3 + √𝑥3 − 1 √𝑥3 ) lim 𝑥→∞ 2(1) (√ 𝑥3 𝑥3 + 1 𝑥3 + √ 𝑥3 𝑥3 − 1 𝑥3 ) 2(1) (√1 + 0 + √1 − 0 ) = 1
5.
71c lim 𝑥→∞ (√𝑥7 + 3 5 +
√2𝑥3 − 1 4 ) √𝑥8 + 𝑥7 + 1 6 − 𝑥 La variable de mayorexponente 𝑥 7 5 𝑥 3 4 𝑥 8 6 = 𝑥 7 5 dividimoslamayorvariable coníndice mayortanto al numeradorcomo denominador lim 𝑥→∞ (√𝑥7 + 3 5 + √2𝑥3 − 1 4 ) 𝑥 7 5 √𝑥8 + 𝑥7 + 1 6 − 𝑥 𝑥 7 5 lim 𝑥→∞ (√ 𝑥7 𝑥7 + 3 𝑥7 5 + √ 2𝑥3 𝑥 28 5 − 1 𝑥 28 5 4 ) √ 𝑥8 𝑥 42 5 + 𝑥7 𝑥 42 5 + 1 𝑥 42 5 6 − 𝑥 𝑥 7 5 lim 𝑥→∞ (√1 + 3 𝑥7 5 + √2𝑥3 𝑥5.6 − 1 𝑥5.6 4 ) √ 𝑥8 𝑥8.4 + 𝑥7 𝑥8.4 + 1 𝑥8.4 6 − 𝑥 𝑥1.4 (√1 + 05 + √0 − 04 ) √0 + 0 + 06 − 0 = 1 0 = ∞ " 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 "
6.
71f lim 𝑥→1 √7 + 𝑥33 −
√3 + 𝑥2 𝑥 − 1 Aumentamosunvaloryrestamosel mismonúmeroparaque no haya cambios enla función lim 𝑥→1 √7 + 𝑥33 − 2 𝑥 − 1 − √3 + 𝑥2 − 2 𝑥 − 1 lim 𝑥→1 √7 + 𝑥33 − 2 𝑥 − 1 − lim 𝑥→1 √3 + 𝑥2 − 2 𝑥 − 1 EN EL PRIMER LIMITE APLICAMOS DIFERENCIA DE CUBOS Y EL SEGUNDO DIFERENCIA DE CUADRADOS lim 𝑥→1 7+𝑥3−8 (𝑥−1)( √(7+𝑥3)23 +2 √7+𝑥33 +4 − lim 𝑥→1 3+𝑥2−4 (𝑥−1)(√3+𝑥2+2) lim 𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1) (𝑥−1)( √(7+𝑥3)23 +2 √7+𝑥33 +4 − lim 𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−1)(√3+𝑥2+2) (12 + 1 + 1) (√(7 + 13)23 + 2√7 + 133 + 4 − (1 + 1) (√3 + 12 + 2) 3 4 + 2(2) + 4 − 2 (2 + 2) = 3 4
7.
62ª lim 𝑥→−∞ 𝑥 ‖ 𝑥 +
1 𝑥 ‖ 𝑠𝑒𝑛( 1 𝑥 ) lim 𝑥→−∞ ‖ 𝑥 + 1 𝑥 ‖ 𝑥 𝑠𝑒𝑛( 1 𝑥 ) lim 𝑥→−∞ ‖ 𝑥 + 1 𝑥 ‖ ∗ lim 𝑥→−∞ 𝑥 𝑠𝑒𝑛( 1 𝑥 ) lim 𝑡→−0 ‖𝑡( 1+𝑡 𝑡 )‖ ∗ lim 𝑡→−0 1 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) lim 𝑡→−0 ‖ 𝑡‖ + 1 ∗ lim 𝑡→−0 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑡 (0 + 1) ∗ (−1) = −1
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